已知系统的开环传递函数

f
l
（4－5）
问：f与l、q与h有什么关系？
闭环传递函数
( s) K
* G
(s z ) (s p )
k 1 k k 1 n k
（4－6）
f h
式中：zk , pk 分别为闭环零、极点。
比较式（4－2）和式（4－6）可得出以下结论
①闭环系统根轨迹增益等于系统前向通 道的根轨迹增益； ②闭环系统零点由前向通道的零点和反 馈通道的极点组成； ③闭环系统的极点与开环系统的极点、 零点以及开环根轨迹增益 K * 有关。 根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分 布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。
第4章 根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹
4-4 系统性能的分析
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导 极点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增 益和开环增益。
4、根轨迹方程
闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-7）
闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。
根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示
出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定 n≥m，这时根轨迹方程又可以写成：
G( s) ( s) 1 G( s) H ( s)
（4－1）
将前向通道传递函数G（s）表示为：
KG ( 1s 1)( s 2 1 2 s 1)… G( s) s (T1s 1)(T s 2 2T2 s 1)…
2 2 2 2 2 2
K
* G
(s z ) (s p )
• 稳态特性 坐标原点有一个开环极
•动态特性
当0< K1 <0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K1 =0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统； 当K1 >0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。
3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
如图所示系统闭环传递函数为
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系 统的分析与设计带来了极大的方便。
4－1
根轨迹法的基本概念
1、根轨迹概念
定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个
参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特 征根在s平面上移动的轨迹。
•当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根 轨迹；而负反馈系统的轨迹为
3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解， 熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增 益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由 闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分 析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有 意义的。
从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的 变化而变化。例如，设
K=0 K=0.5
s1 0, s2 2 s1 1, s2 1 s1 1 j , s2 1 j s1 1 2 j , s2 1 2 j s1 1 j, s2 1 j
例4-2
已知系统的开环传递函数:
G(s) H (s) 2K /(s 2)
2
试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点。
180 根轨迹。
例4-1
如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：
K G( s) s (0.5s 1)
•开环传递函数有两个极点 p1 0, p2 2 没有零点，开环增益为K。
。
闭环传递函数为
C (s) 2K ( s ) 2 R( s ) s 2 s 2 K
•闭环特征方程为 D(s) s 2 2s 2K 0 •闭环特征根为 s 1 1 2K , s 1 1 2K 1 2
G ( s) H ( s) K
*
(s z ) (s p )
i 1 i i 1 n i
m
1
（4－8）
不难看出，式子为关于s的复数方程，因 此，可把它分解成模值方程和相角方程。
相角 方程
(s z ) (s p ) (2k 1)
i 1 i i 1 i
i 1 i i 1 q i
（4－2）
f
K 为前向通道根轨迹增益 K G 为前向通道增益，
* G
K KG
* G
…
TT …
l j
wk.baidu.com
2 1 2 2 1 2
（4－3）
H (s) K
* H
(s z (s p
j 1 j 1 h
)
（4－4）
j
)
式中 K 为反馈通道的根轨迹增益。
m
n
k 0, 1, 2,
（4－9）
K
模值 方程
*
| s z
i 1 i
m
i
| 1
（4－10）
| s p
i 1
n
|
注意
模值方程不但与开环零、极点有关，还与开 环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、 极点有关。 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要 条件。 • 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点 的 K *值。
* H
* * G( s) H ( s) KG KH
(s z ) (s z ) (s p ) (s p )
i 1 i i 1 j j i 1 q i j 1 l j
f
l
K*
(s z ) (s z ) (s p ) (s p )
i 1 i j 1 j i 1 q i j 1 h
K=1
K=2.5 K=+∞
如果把不同 K值的闭环特征 根布置在s平面 上，并连成线， 则可以画出如 图所示系统的 根轨迹。
2、根轨迹与系统性能
• 稳定性
当K由0→∞ ，根轨迹不会 进入s右半边，即系统总是稳定的。 点，所以属I型系统，根轨迹上的 K值 就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上 可确定闭环极点取值范围。