过程设备设计 计算题

1. 试应用无力矩理论的基本方程，求解圆柱壳中的应力（壳体承受气体内压p ，壳体中面半径为R ，壳体厚度为t ）。若壳体材料由20R （

MPa MPa s b 245,400==σσ）改为16MnR （MPa MPa s b 345,510==σσ）时，

圆柱壳中的应力如何变化？为什么？

解：○

1求解圆柱壳中的应力 应力分量表示的微体和区域平衡方程式：

δ

σσθ

φ

z

p R R -

=+

2

1

φσππ

φs i n 220

t r dr rp F k r z k

=-=⎰

圆筒壳体：R 1=∞，R 2=R ，p z =-p ，r k =R ，φ=π/2

t

pR

pr t

pR

k 2sin 2=

=

=

φδσσφθ ○

2壳体材料由20R 改为16MnR ，圆柱壳中的应力不变化。因为无力矩理论是力学上的静定问题，其基本方程是平衡方程，而且仅通过求解平衡方程就能得到应力解，不受材料性能常数的影响，所以圆柱壳中的应力分布和大小不受材料变化的影响。

2. 对一标准椭圆形封头（如图所示）进行应力测试。该封头中面处的长轴D=1000mm ，厚度t=10mm ，测得E 点（x=0）处的周向应力为50MPa 。此时，压力表A 指示数为1MPa ，压力表B 的指示数为2MPa ，试问哪一个压力表已失灵，为什么？

解：○

1根据标准椭圆形封头的应力计算式计算E 的内压力： 标准椭圆形封头的长轴与短轴半径之比为2，即a/b=2，a=D/2=500mm 。在x=0处的应力式为：

MPa a bt p bt

pa 1500250

102222

2

=⨯⨯⨯==

=

θθσσ

○

2从上面计算结果可见，容器内压力与压力表A 的一致，压力表B 已失灵。

3. 有一锥形底的圆筒形密闭容器，如图所示，试用无力矩理论求出锥形底壳中的最大薄膜应力σθ与σφ的值及相应位置。已知圆筒形容器中面半径R ，厚度t ；锥形底的半锥角α，厚度t ，内装有密度为ρ的液体，液面高度为H ，液面上承受气体压力p c 。

解：圆锥壳体：R 1=∞，R 2=r/cos α（α半锥顶角），p z =-[p c +ρg(H+x)]，φ=π/2-α,

()()

()()

()()α

αρααραρρσα

σπρπ

ρπφφcos 23cos 231

cos 23

2222

222222t xtg R g tg x xRtg R x g H p R rt g

Rr r R x g H p R t r g Rr r R x g H p R F c c c -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=

++++=

=+++

+=αxtg R r -=

()[]()

()()[]{}()α

ρααρρασσσαα

ρσρααασαραρα

σα

αρσσσθφθθθθθθ

φ

cos 2210cos 2210cos 1

cos max

2

221t g tg p Htg R g g p H tg R H p 。

，。x t gtg dx d g tg p Htg R tg x dx d ：tg g x H p xtg R g t dx d t xtg R g x H p t

p R R c c c c c c z

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∞<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==++--=

-++=

-=+其值为的最大值在锥顶有最大值处在令 4. 有一周边固支的圆板，半径R=500mm ，板厚=38mm ，板面上承受横向均布载荷p=3MPa ，试求板的最大挠

度和应力（取板材的E=2×105

MPa ，μ=0.3） 解：板的最大挠度：

()()

2.915mm 10

005.164500

364101.0053

.01123810211294

4max 9

2

3

523=⨯⨯⨯='=

⨯=-⨯⨯⨯=-='D pR w Et D f

μ

板的最大应力：

389.543MPa 38450033432

2

22max

=⨯⨯⨯==t pR σ

5. 三个几何尺寸相同的承受周向外压的短圆筒，其材料分别为碳素钢（σs =220MPa ，E=2×105MPa ，μ=0.3）、

铝合金（σs =110MPa ，E=0.7×105MPa ，μ=0.3）和铜（σs =100MPa ，E=1.1×105MPa ，μ=0.31），试问哪一个圆筒的临界压力最大，为什么？

答：碳素钢的大。从短圆筒的临界压力计算式

t

D LD Et p cr 00

259.2=

可见，临界压力的大小，在几何尺寸相同的情况下，其值与弹性模量成正比，这三种材料中碳素钢的E 最大，因此，碳素钢的临界压力最大。

6. 承受均布周向外压力的圆筒，只要设置加强圈均可提高其临界压力。对否，为什么？且采用的加强圈愈多，壳壁所需厚度就愈薄，故经济上愈合理。对否，为什么？

答：○

1承受均布周向外压力的圆筒，只要设置加强圈均可提高其临界压力，对。只要设置加强圈均可提高圆筒的刚度，刚度提高就可提高其临界压力。 ○2采用的加强圈愈多，壳壁所需厚度就愈薄，故经济上愈合理，不对。采用的加强圈愈多，壳壁所需厚度就愈薄，是对的。但加强圈多到一定程度后，圆筒壁厚下降较少，并且考虑腐蚀、制造、安装、使用、维修等要求，圆筒需要必要的厚度，加强圈增加的费用比圆筒的费用减少要大，经济上不合理。

7. 有一圆筒，其内径为1000mm ，厚度为10mm ，长度为20m ，材料为20R （σb =400MPa ，σs =245MPa ，E=2×105MPa ，μ=0.3）。○1在承受周向外压力时，求其临界压力p cr 。○2在承受内压力时，求其爆破压力p b ，并比较其结果。