高一数学必修一知识典型习题整理

第一章 集合

一、集合有关概念

1.集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性.如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性.如：由HAPPY 的字母组成的集合{}Y P A H ,,, (3) 元素的无序性.如：{}c b a ,,和{}b c a ,,是表示同一个集合 2.常用数集的表示：

◆ 非负整数集（自然数集）：N ；正整数集 +*

N N 或；整数集：Z ；有理数集：Q 实数集：R 3.集合的分类：

(1) 有限集：含有有限个元素的集合 (2) 无限集：含有无限个元素的集合

(3) 空集：不含任何元素的集合，记作：φ.例：{}

5|2

-=x x

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系——子集

注意：B A ⊆有两种可能：①A 是B 的一部分；②A 与B 是同一集合.

反之: 集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A ,记作A ⊆

/B 或B ⊇/A 2．“相等”关系：B A = (B A ⊆且A B ⊆) 实例：设{}

01|2

=-=x x A ，{

}1,1-=B “元素相同则两集合相等” 3.集合的性质：

① 任何一个集合是它本身的子集即A A ⊆.

②真子集:如果B A ⊆,且B A ≠那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或(B A )

③如果B A ⊆,C B ⊆,那么C A ⊆. ④如果B A ⊆同时A B ⊆ 那么B A =. 4.子集个数问题

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. ◆ 有n 个元素的集合，含有n

2个子集，12-n

个真子集. 运算类型

交 集

并 集

补 集

定 义

B A ={}B x A x x ∈∈且| B A =

{}B x A x x ∈∈或|

A C S =

{}A S |∉∈x x x 且

韦 恩 图 示

A

B

图1

A

B

图2

1.下列四组对象，能构成集合的是（ ）

A 某班所有高个子的学生

B 著名的艺术家

C 一切很大的书

D 倒数等于它自身的实数 2.集合{}c b a ,,的真子集共有 个

3.若集合{}

R x x x y y M ∈+-==,12|2

,{}0|≥=x x N ,则M 与N 的关系是 .

S

A

4.设集合{}21|<<=x x A ，{}a x x A <=|，若B A ⊆，则a 的取值范围是 .

5.已知集合{}

082|2

=-+=x x x A ,{}065|2

=+-=x x x B ,{}

019|2

2

=-+-=m mx x x C ,若φ≠C B ，

φ=C A ，求m 的值.

第二章 函数

一、函数的相关概念

1．函数的对应形式：一对一、多对一．

2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.

常见定义域类型：①分母0≠； ②偶次方根的被开方数0≥；对数式的真数0>N ；④指数、对数式的底10≠>a a 且；⑤00

≠x x 中. ◆ 相同函数的判断方法：

◆ ①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ◆ ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

4. 函数图象变换规律：

①平移变换：左加右减、上加下减 ；

②翻折变换： )(x f 去左留右、右翻左 )(x f

)(x f )(x f

二、函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

I.增函数：2121,x x D x x <∈∀且，都有)()(21x f x f < 减函数：2121,x x D x x <∈∀且，都有)()(21x f x f > II.图象的特点

增函数：图象从左到右是上升的； 减函数：图象从左到右是下降的. III.函数单调区间与单调性的判定方法

A .定义法：

（证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论） B .图象法:从图象上看升降

C .复合函数的单调性规律：

“同增异减” 2．函数的奇偶性（整体性质） I.用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定)(x f )(x f -与的关系； ○

3作出相应结论：若为奇函数，则有0)()()()(=-+-=-x f x f x f x f 或； 若为偶函数，则有0)()()()(=--=-x f x f x f x f 或

II.函数图象的特征

奇函数：图象关于原点对称； 偶函数：图象关于y 轴对称.

3.函数解析式

主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法. 三、典型习题：

1.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = .

2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ ； 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 .

3.设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时

,()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x = ；

()f x 在R 上的解析式为 .

4.函数22(1)

()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨

⎪≥⎩

，若()3f x =，则x =

5.求下列函数的定义域：

⑴y =

⑵y =

6.求下列函数的值域：

（1）223y x x =+-

(2)y

7.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式.

8.求下列函数的单调区间：

⑴

y = （2）261y x x =--

9.设函数2

2

11)(x x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x

f -=．

第三章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .

a a n

n =)(为奇数n ；⎩

⎨

⎧<≥-==)0()

0(||a a a a a a n n )(为偶数n 2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)1,,,0(*

>∈>=n N n m a a a

n m n

m ，)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3．实数指数幂的运算性质

①r a ·s r r a a +=；②rs s r a a =)(；③

s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质