【金版优课】高中数学北师大版选修2-1课时作业：第2章 习题课2 Word版含解析
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习题课(2)
一、选择题
1．若A (1，－2,3)，B (2,5,6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，－2,3) B ．(2,5,6) C ．(1,7,3)
D ．(－1，－7,3)
解析：∵AB →
＝(1,7,3)，
又与AB →
平行的非零向量都可作为l 的方向向量， ∴(1,7,3)＝AB →
可作为l 的方向向量． 答案：C
2．已知AB →＝(2,2,1)，AC →
＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A ．(－13，－23，－2
3)
B ．(－13，23，－23)
C ．(－13，23，2
3
)
D ．(13，23，2
3)
解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋2y ＋z ＝0，
4x ＋5y ＋3z ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2. 所以n ＝(1，－2,2)．因为|n |＝3， 所以平面ABC 的一个单位法向量可以是 (－13，23，－23)． 答案：B
3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1,1)
B ．(1,3，3
2)
C ．(1，－3，32
)
D ．(－1,3，－3
2
)
解析：∵n 为α的一个法向量，∴n ·AP →
＝0，把P 点依次代入满足上式即可． 答案：B
4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱CC 1，BC ，A 1B 1上的点，若∠B 1MN ＝90°，则∠PMN 的大小是( )
A ．等于90°
B ．小于90°
C ．大于90°
D ．不确定
解析：∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥MN ， ∵MP →·MN →＝(MB 1→＋B 1P →)·MN →
＝MB 1→·MN →＋B 1P →·MN →＝0， ∴MP ⊥MN ，即∠PMN ＝90°. 答案：A
5．[2014·辽宁大连一模]长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1
的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )
A ．
10
10
B ．
3010
C ．21510
D ．31010
解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →
＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →
〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →
|＝3010.
所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010
. 答案：B
6．如右图所示 ，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )
A ．3
6 B ．
34 C ．
33
D ．23
3
解析：如右图所示，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝ 3.所以B ⎝⎛
⎭⎫32，0，0，F ⎝
⎛⎭⎫0，0，12，
C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，
D ⎝⎛⎭
⎫－3
2，0，0. 结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →
为面BOF 的一个法向量， 由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →
＝⎝⎛⎭⎫32，0，－12，
可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． 所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →
〉＝277，
所以tan 〈n ，OC →
〉＝23 3.
答案：D 二、填空题
7．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，5
8)是平面α内的三点，设平面α的法向量a
＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.
解析：AB →
＝(1，－3，－74)，
AC →
＝(－2，－1，－74)，由⎩⎪⎨⎪⎧
a ·AB →＝0，a ·
AC →＝0.
得⎩⎨⎧
x －3y －7
4
z ＝0，
－2x －y －7
4
z ＝0.解得⎩⎨⎧
x ＝23
y ，z ＝－4
3y .
则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－4
3y )＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是__________．
解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，BC 1→＝(－1,0,1)，A 1D →
＝(－1，