第六章随机过程

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第6讲随机过程

随机过程的基本概念1．概率论1.1 条件概率设A 、是两个事件，当B ()0>B P 时()()()B P AB P B A P =|称为在事件发生的条件下事件的条件概率。

B A 可以推广到任意有限多个事件的场合。

设n A A A ,,,21L 为任意个事件，则有n ()()()()()12121312121|||−=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P L L L1.2 事件的独立性对于任意两个事件A 与，若B ()()()B P A P AB P =则称事件A 与是相互独立的。

B 一般地，设个事件n n A A A ,,,21L 相互独立，则有()()()()n n A P A P A P A A A P L L 2121=设n A A A ,,,21L 是样本空间Ω的一个完备事件组，且()0>i A P ()n i ,,2,1L =，则对于在样本空间上定义的任一随机事件的概率，可计算如下ΩB ()()()∑==ni i i A B P A P B P 1|上式称为全概率公式。

设n A A A ,,,21L 是样本空间Ω的一个完备事件组，且()0>i A P ()n i ,,2,1L =，则对于在样本空间上定义的任一随机事件，，有ΩB ()0>B P ()()()()()∑==n k k k i i i A P A B P A P A B P B A P 1|||()n i ,,2,1L =上述公式称为贝叶斯公式。

意义：在实际工作中可能碰到这样一类问题，已知某个试验结果是由多个原因B i A 造成的，如果人们通过试验观察到这个结果，希望利B用来探讨每个原因B i A 导致这个结果的可能性有多大，即求后验概率()B A P i |。

与后验概率()B A P i |相对应，求解()B A P i |时所需的已知条件()i A P 被称为先验概率，它是根据以往数据分析所得的。

随机过程-第六章鞅与停时

E (Yn ) 0 E , Y (n ) ； X 0 0, X n Yi ，则 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。
i 1
n
-1-
例 6.2 （独立同分布变量之积）设 Y0 1 ， {Yn , n 1} 服从独立同分布，且
3、若 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是（上）鞅， g 是关于 Y0 , Y1 ,, Yn 的（非负）函数，则
6.1 离散鞅的定义
定义 6.1 鞅：随机过程 { X n , n 0} 是鞅，如果 n 0 有
（1） E ( X n ) ；（2） E ( X n1 X 0 , X1 ,, X n ) X n , a.s. 鞅是公平赌博的一种推广。假设我们把 X n 解释为第 n 次赌博后的赌资，则根据定义 6.1, 第 n 1 次赌博后的平均赌资恰好等于 X n ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会均等。对（2）式两边取期望得
f ( y) f ( z )dF ( z y)
则称 { X n n f (Yn ), n 0} 是一个鞅。例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实际研究中应用广泛。例 6.6 波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球，则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以 Yn 第 n 次抽取后坛子中的红球数，则 Y0 1 ， Yn 是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为
a0 (Y1 ) a0 , E[ f (Z0 ) Y1 ] E[ f (Z0 )] ，令

《随机过程》第六章习题

Y (s)ds, t 0 ，在均方可积意义下是否存在？存在的话，试求其相
0
t
(t ) e at B(e 2at 1), t 0, a 0 的常数，试求随机过程 (t ) 和 (t ) 的均值函数和相
关函数，并说明 (t ) 和 (t ) 是否是正态过程。 3、设 {B(t ) , t 0} 是标准的布朗运动，试求 B(t ) 与
P{B(t 0 t ) x0 B(t 0 ) x0 } P{B(t 0 t ) x0 B(t 0 ) x0 } 1 / 2 ；
Ta inf{t :t 0, B(t ) a} ，（3）令：当 a 0 时， Ta 表示布朗运动首次到达 a 的时刻，
试求 Ta 的分布函数。 7、设 B(t ) , t 0 是初值为零的标准布朗运动，令：
中国科学院大学 2014～201
第六章高斯过程（维纳过程）习题
1、设有随机过程 Y (t ) t X 1, 0 t ， X 是正态随机变量，期望为 0，方差为 X 。
2 2
（1）过程 Y (t ) 是否正态过程？是否平稳过程？均需说明理由；（2）过程 Z (t ) 关函数。 2、设 B(t ) , t 0 是初值为零的标准布朗运动，令 (t ) (1 t ) B[t /(1 t )], 0 t 1 ，
X (t ) B(t ) tB(1) , 0 t 1
称 { X (t ), 0 t 1} 为布朗桥过程。（1）试问布朗桥过程是否为正态过程，为什么？（2）试求布朗桥过程的均值函数和相关函数；（3）试求布朗桥过程的一维分布密度函数。

上海大学随机过程第六章习题及答案

第三章习题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。

上海大学随机过程第六章习题与答案

第三章习题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值.（1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P t n i i ===++=⎩⎨⎧≤>i j ij a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j ij iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。

《随机过程及其在金融领域中的应用》习题六答案

P X t h X t 1 X t 为偶数 h h
取初始条件 X 0 0 ，求下列概率
p1 t P X t 奇数, p2 t P X t 偶数
答：
记 p1 t P X t 奇数 X 0 0, p2 t P X t 偶数 X 0 0
k 1
k 1
m0

z m t Pim
m0
t
zm

z2 t
z
m0
Pim
t zm

z2
t
G t, z
z
④
1
t
Pi1
t

k1
k 1
t
Pik 1
t
zk1 z Nhomakorabea
k 1
P X t h 偶数 X t 奇数 p1 t P X t h 偶数 X t 偶数 p2 t
h 1 p2 t 1 h p2 t h
p2 t p2 t
于状态 0 的概率 P00 t 。
答：
设 x t 为 t 时刻所处状态，记
P00 t P xt 0 x0 0, P01 t Px t 1 x 0 0
易知： P00 t P01 t 1 ，采用无穷小分析法
P00 t t P x t t 0 x 0 0 P x t t 0, x t 0 x 0 0 P x t t 0, x t 1 x 0 0 P00 t P x t t 0 x t 0 P01 t P x t t 0 x t 1

随机过程第六章

2 X
mx2
若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。
对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)，若令ε=-t1，则
F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)
1.
l.i.mcn
lim
n
cn
c
2. l.i.mU U
3. l.i.m(cnU ) cU
4. l.i.m(aX n bYn ) aX bY
5.
lim
n
E[
X
n
]
E[ X
]
E[l.i.mXn
]
6.
lim
n,m
E[
X
nYm
]
E[
XY
]
E[(l.i.mX
n
)(l.i.mYm
)]
定理6.2
设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：
各态历经定理的意义：
一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的
时间平均代替过程的集合平均，即
mX
l.i.m 1 T T
T
x(t)dt,
0
RX
(t)
l.i.m
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估
计式
l.i.m 1
T 2T
T
T X (t) X (t ) dt RX ( )

过程的概念

说明随机过程{X(ω, t)， t ∈T}的含义如下： (1) 随机过程{X(ω, t), t ∈T}是定义在Ω×T上的二元函数，因此可以从不同角度去理解—— (i) t∈T取定，则X(ω, t)——随机变量； (ii)ω∈Ω取定，则X(ω, t)——普通函数x(ω, t); (iii) t,ω均取定，则X(ω, t)——数—全体：χ—状态空间或相空间(实数集) 若当t=t0 ∈T 时X(t0)=x ∈χ，则称随机过程{X(t)}在时刻t0 处于状态x. (2)由定义1可见，随机过程是有限维随机变量的推广。 (3)在理论分析时往往用随机变量族的描述方式，在实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。
第六章教学计划（第2次课）
教学内容： 1.二维随机过程的数字特征； 2. 高斯过程。教学目的及目标： 1.理解二维随机过程的互相关函数、互协方差的概念，熟练掌握其计算； 2. 理解高斯过程的概念，掌握其基本性质。教学重点： 1. 互协方差函数、互相关函数的概念； 2.高斯过程的概念教学难点：高斯过程的证明
第六章教学计划（第3次课）
教学内容：独立增量过程、泊松过程、维纳过程；马尔可夫链教学目的及目标： 1. 理解独立增量过程的定义，掌握其数字特征的性质； 2. 理解泊松过程和维纳过程的概念，掌握其基本性质和概率特征； 3. 理解马尔可夫性和马氏链的定义； 4. 理解马氏链的转移概率及转移概率矩阵的概念。教学重点： 1. 独立增量过程的定义及数字特征的性质； 2. 泊松过程和维纳过程的概念； 3. 马氏链的转移概率和转移概率矩阵的概念。教学难点：泊松过程和维纳过程的有关性质，对马氏性及转移概率的理解。
X 1 (t )
1
2
3
4
t
例2：考虑 X (t ) = α cos (ω t + Θ), t ∈ ( −∞, +∞ ) , 式中α 和ω 是正常数,Θ是在(0, 2π )上服从均匀分布的随机变量, 这是一个随机过程。对每一固定的时刻t , X (t ) = α cos (ω t + Θ)是随机变量Θ的函数, 从而也是随机变量。它的状态空间是[-α , α ]. 在(0, 2π )内随机取一数θ , 相应的就得到一个样本函数 x(t ) = α cos (ω t + θ ), 这族样本函数的差异在于它们相位θ的不同, 故这一过程称为随机相位正弦波。

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X ，分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。

独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p et g k)( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，kk k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = n p qDX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 22)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21exp{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-π),,,(21n a a a a =，),,,(21n x x x x =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。

《概率论与数理统计》课件-随机过程

《概率论与数理统计》经典课件 -随机过程
目录
• 随机过程基础 • 随机过程的基本类型 • 随机过程的分析与变换 • 随机过程的应用 • 随机过程的计算机模拟 • 随机过程的未来发展与挑战
01
随机过程基础
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是由随机变量构成的数学结构，每个随机变量对应一个时间点或位置。
分类
根据不同的特性，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程，平稳随机过程和非平稳随机过程等。
随机过程的统计特性
均值函数
方差函数
自相关函数
谱密度函数
描述随机过程的平均行为。
描述随机过程的波动程度。
描述随机过程在不同时间点的相关性。
描述随机过程的频率特性。
随机过程的概率模型
01
02
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于事件驱动的模拟方法，通过模拟离散事件的发生和影响来逼近真实系统。
离散事件模拟方法适用于描述离散状态变化的过程，如交通流模拟、排队系统模拟等。
离散事件模拟方法的关键在于事件的时间点和顺序的确定，以及事件影响的计算。
连续时间模拟方法
连续时间模拟方法是一种基于时间连续变化的模拟方法，通过模拟时间连续变化的过程来逼近真实系统。
连续时间模拟方法的关键在于时间步长的选择和状态变化的计算，需要保证模拟结果的准确性和稳定性。
连续时间模拟方法适用于描述连续状态变化的过程，如人口增长模拟、生态系统模拟等。
06
随机过程的未来发展与挑战
控制系统
利用随机过程理论，分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和

概率论第六章窄带随机过程

pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。

随机过程课件chapter6随机过程概念

的有限维分布函数族.
17
2.3 二维随机过程
(1) 互相关函数： RXY s, t
E
［X s Y t ］.
，参数集 T , ，如果对于每个，总
有一个普通的时间函数 X , t , t T 与之对应，这样对
于所有的，就可得到一族时间 t 的函数，称函数
族 X , t , 是参数为 T 的随机过程，族中每一函
数称为该随机过程的样本函数.
为 T 的普通函数，那么， X , t , t T 是一族样本函数.
把 X , t , , t T 所有可能的取值的全体称为
随机过程的状态空间或相空间.当 t 1 随机过程的概念
几个随机过程的实例.
例 1.1 考虑抛掷一颗骰子的实验，设 X n 是第 n 次抛掷的点
因 A, B 独立,故 E AB E A E B 0 ,则
BUPT
4
3
X t 1, RX s, t st , s, t T .
13
2.2数字特征
例 2.2 设 X t A cos 0t B sin 0t , t R, R是实数集 ,
称为 X t , t T 的有限维分布函数族. X t 的有限维分布函
数族 F 完整地确定了该过程的统计特性.
BUPT
9
2.2数字特征
定义 2.2 设 X t , t T 为随机过程，若对任意的
t T，E[ X 2 t ]＜，则称 X t 为二阶矩过程.
论深刻、应用又及其广泛的学科.
BUPT
1
1 .1 随机过程的概念

《随机过程》第6章习题及参考答案

湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。

解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。

13第六章正态随机过程

则称X1,X2为二维正态随机变量。其中ρ 为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为
1 f X1 ( x ) e 2 1

( x1 a1 )2 212
1 f X 2 ( x) e 2 2
( x2 a2 )2 2 22
2 2 X ~ N ( a , X ~ N ( a , ) 因此其边际分布为一维正态分布 1 ， 2 2 2) 1 1
若E[ X K Y l ]存在，K，l 1 ， 2... ，则称它为 X和Y的K l阶混合矩。
K l 若E（ [ X - EX）（Y - EY） ]存在，K，l 1 ， 2... ，
则称它为X和Y的K l阶混合中心矩。
E[X n ] ( j ) n
证明：
d nC X (u ) |u 0 n du
]e
jv T b
E[e
j ( v T A)X
]
e
比较： Y=aX+b
jv T b
C X T (v T A)
CY (u) e jubCX (ua)
一维正态随机变量的概念：一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为 ( x a )2 1 2 2 f X ( x) e 2 记为

当n=1时
d jux 1 dC X (u ) 1 j |u 0 j [e f ( x)dx] |u 0 du du j 1 jxe jux f ( x)dx |u 0

xf ( x)dx E[ X ]
证明：
三、多维随机变量的特征函数 1）定义若
CY T (v T ) e jV b C X T (v T A) e jV b e e jV

《随机过程》课件

泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上连续取值的随机现象的数学模型。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波器，用于提取有用信号或抑制噪声。

随机过程第26-27讲第六章高斯(Gauss)过程

第六章高斯（Gauss ）过程（六）维纳过程（布朗运动）1．维纳过程的定义设质点每经过t ∆时间，随机地以概率2/1=p 向右移动0>∆x 距离，以概率2/1=q 向左移动0>∆x 距离，且每次移动是相互独立的。

记：−=次质点向左移动第次质点向右移动第i i X i ,1,1若)(t X 表示在t 时刻质点所处的位置，则有：)()(][21tt XX X x t X ∆+++∆=L显然有：1}{}{,0}{2===i i i X E X D X E故有：∆∆==t t t t X D t X E 2)()}({,0)}({假设t c x ∆=∆，其中c 为常数，它由物理意义确定。

0>令∆0→t ，即研究连续的游动，则有：0)}({=t X Et c t t t c t t x t X D t t t 220200lim )(lim )}({lim = ∆∆=∆∆=→∆→∆→∆ 另一方面，任取两个时刻210t t <<，令：∆= ∆=t t n t t n 2211,则有：)()(1211n X X X x t X +++∆=L)()(2212n X X X x t X +++∆=L)()()(21112n n X X x t X t X ++∆=−+L由于(与)121n X X X +++L )(211n n X X +++L )(是相互独立的，因此与相互独立。

即随机过程)(1t X )()12t X −(t X t X 是一独立增量过程。

由此)(t X 可以看作由许多微小的相互独立的随机变量)(1−)(−i t i X t X 组成之和。

由中心极限定理，当∆0→t 时，我们有：)(0200lim x x t c xX P t t i i t Φ=≤−∆∑ ∆=→∆ 即有：∫∞−→∆−=Φ=≤xt du u x x t c t X P }2exp{21)()(lim 220π故当∆0→t 时，)(t X 趋向于正态分布，即0→∆t 时，),0(~)(2t c N t X 由此，我们引入维纳过程（Wienner Process ）的定义：定义：若一随机过程{}0);(≥t t W 满足：（1）)(t W 是独立增量过程；（2）∀； ),0(~)()(,0,2t c N s W t s W t s −+>（3）)(t W 是关于t 的连续函数；则称{}0);(≥t t W 是布朗运动或维纳过程（Wienner Process ）。

第六章平稳随机过程

第六章平稳随机过程在自然科学与工程技术研究中遇到的随机过程有很多并不具有Markov 性，这就是说从随机过程本身随时间的变化和互相关联来看，不仅它当前的状况，而且它过去的状况都对未来的状况有着不可忽略的影响，并且其统计特征不随时间推移而变化，这类随机过程称为平稳过程. 例如，恒温条件下热噪声电压()X t 是由于电路中电子的热扰动引起的，这种热扰动不随时间推移而改变；又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差()X t ，它有很多因素（如仪器振动，电磁波干扰与气候等）造成，但主要因素不随时间推移而改变.平稳过程是一种特殊的二阶矩过程，其表现在过程的统计特性不随时间的推移而改变.用概率论语言来描述：相隔时间h 的两个时刻t 与t h +处随机过程所处的状态()X t 与()X t h +具有相同的概率分布.一般地，两个n 维随机向量()12(),(),,()n X t X t X t 与()12(),(),,()n X t h X t h X t h +++ 具有相同的概率分布. 这一思想抓住了没有固定时间（空间）起点的物理系统中最自然现象的本质，因而平稳过程在通讯理论、天文学、生物学、生态学、和经济学个领域中有着十分广泛的应用.6.1 随机微积分在高等数学的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上.对于随机过程的研究，也需要建立在随机过程的连续性、可导性和可积性等概念的基础上，这些内容形式上与高等数学极为相似，但实质不同，高等数学研究的对象是函数，随机微积分研究的对象是随机函数（即随机过程），有关这部分的内容统称为随机分析（stochastic analysis ）.在随机分析中，随机序列极限的定义有多种，下面我们简单介绍常用的定义.由于我们主要研究广义平稳过程（具体的定义将在第二节介绍），因此，以下的随机过程都假定为二阶矩过程.为了讨论的方便，我们约定：今后如不加说明，二阶矩过程{(),}X t t T ∈的均值函数()()0X m t EX t ==，自协方差函数(,)()()X C s t E X s X t ⎡⎤=⎣⎦. 6.1.1 均方收敛定义6.1 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率为1收敛于二阶矩随机变量()X ω，若使lim ()()n n X X ωω→∞=成立集合的概率为1，即 {}:lim ()()1n n P X X ωωω→∞== 或称{()}n X ω几乎处处收敛（almost everywhere converge ）于()X ω，记作n X ..a e −−→ X .定义 6.2 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率收敛（convergence in probability ）于二阶矩随机变量()X ω，若对于任意给定的0ε>，有{}lim |()()|0n n P X X ωωε→∞-≥= 记作n X p −−→ X . 定义6.3 若二阶矩随机序列{()}n X ω和二阶矩随机变量()X ω满足2lim [||]0n n E X X →∞-= （6.1）成立，则称n X 均方收敛（convergence in mean square ）于X ，记作n X .m s −−→ X . （6.1）式的极限常常写成l i m n n X X →∞⋅⋅=或l i m n X X ⋅⋅=.（l i m ⋅⋅是英文limit in mean 的缩写）.定义6.4称二阶矩随机序列{()}n X ω依分布收敛（convergence in distribution ）于二阶矩随机变量()X ω. 若{()}n X ω相应的分布函数列{()}n F x ，在X 的分布函数每一个连续点处，有l i m ()()n n F x F x →∞= 记作n X d −−→X . 对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：（1）若n X .m s −−→ X ，则n X p −−→ X ；（2）若n X .a e −−→ X ，则n X p −−→ X ；（3）若n X p −−→ X ，则n X d −−→ X . 值得注意的是，在四种收敛定义中，均方收敛是最简单的收敛形式，它只涉及单独一个序列.下面我们讨论随机序列的收敛性，都是指均方收敛.定理6.1 二阶矩随机序列{}n X 收敛于二阶矩随机变量X 的充要条件是2,l i m [||]0n m n m E X X →∞-= 定理 6.2 设{},{},{}n n n X Y Z 都是二阶矩随机序列，U 为二阶矩随机变量，{}n c 为常数序列，,,a b c 为常数.令l i m n n X X →∞⋅⋅=，l i m n n Y Y →∞⋅⋅=，l i m n n Z Z →∞⋅⋅=，lim n n c c →∞=，则（1）l i m lim n n n n c c c →∞→∞⋅⋅==；（2）l i m n U U →∞⋅⋅=；（3）l i m()n n c U cU →∞⋅⋅=；（4）l i m()n n n aX bY aX bY →∞⋅⋅+=+；（5）l i m l i m n n n n EX EX E X →∞→∞⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⎣⎦；（6）()(),l i m l i m l i m n m n m n m n m E X Y EXY E X Y →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦；特别地，有222l i m [||]|||l i m |n n n n E X E X E X →∞→∞⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⎣⎦证明（1），（2），（3），（4）由均方收敛的定义可以得证.（5）由Schwartz 不等式 ||E XY ≤将X 取为n X X -，Y 取为1，则有 220|||[]|n n EX EX E X X ≤-=-2||0n E X X ≤-→ ()n →∞因此 l i m l i m n n n n EX EX E X →∞→∞⎡⎤⋅⋅==⋅⋅⎣⎦（6）由Schwartz 不等式|[][]||[]|n m n m E X Y E XY E X Y XY -=-[()()2]n m n m E X X Y Y X Y XY XY =--++-[()()][()][()]n m n m E X X Y Y E X X Y E Y Y X =--+-+-()()[()]()n m n m E X X Y Y E X X Y E Y Y X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤--+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦≤0→ 因此 ,l i m [][]n m n m E X Y E XY →∞⋅⋅=. （5）式和（6）式表明：极限运算和求数学期望运算可以交换顺序.定理6.3 二阶矩随机序列{}n X 均方收敛的充要条件是,lim n m n m E X X →∞⎡⎤⎣⎦=c （常数）证明必要性由定理6.2之（6）易知，下证充分性. 设,lim n m n m E X X →∞⎡⎤⎣⎦2||E X c ==，由 222||[||||]n m n n m n m m E X X E X X X X X X -=--+22||[][]||n n m n m m E X E X X E X X E X =--+因此 2,lim ||20n m n m E X X c c c →∞-=-+=. 定理6.3给出了判定二阶矩随机序列{}n X 均方收敛的方法，该条件称为洛弗（Loeve）准则.6.1.2 均方连续定义 6.5 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，若对0t T ∈，有00l i m ()()t t X t X t →⋅⋅= ，即020lim |()()|0t t E X t X t →⎡⎤-=⎣⎦ 则称{(),}X t t T ∈在0t 点均方连续（continuity in mean square ）. 如果{(),}X t t T ∈在t T ∈每点都均方连续，则称{()}X t 在T 上均方连续.定理6.4 （均方连续准则）二阶矩过程{(),}X t t T ∈在t 点均方连续的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处连续.证明必要性：若0l i m ()()h X t h X t →⋅⋅+=，由定理6.2中（6），得到 11221212lim (,)lim [()()]X t t t t t t t tR t t E X t X t →→→→=[()()](,)X E X t X t R t t == 充分性：若12(,)X R t t 在点(,)t t 处连续，考虑到2[|()()|](,)X E X t h X t R t h t h +-=++(,)(,)(,)X X X R t t h R t h t R t t -+-++令0h →取极限可得.推论6.4.1 若相关函数12(,)X R t t 在{(,),}t t t T ∈上连续，则它在T T ⨯上连续.证明若12(,)X R t t 在{(,),}t t t T ∈上连续，由定理6.4知()X t 在上均方连续，因此11l i m ()()s t X s X t →⋅⋅=，22l i m ()()s t X s X t →⋅⋅= 再由定理6.2中（6），得112212lim (,)lim [()()]X s t s t t t t t R t t E X s X t →→→→=1212[()()](,)X E X t X t R t t == 知12(,)X R t t 在T T ⨯上连续.推论 6.4.2 如果{(),}X t t T ∈是平稳过程，则()X t 在T 上均方连续的充分必要条件是()X t 的相关函数()X R τ在0τ=处连续，并且此时()X R τ是连续函数.证明：由于平稳过程的相关函数()X R τ本质上是(,)X R t t τ+，所证结论很显然.定理6.4表明：对于一般二阶矩过程在T 上均方连续性与它的相关函数（作为二元函数）在T T ⨯上连续性等价，而相关函数在T T ⨯上的连续性又等价于它在第一、三象限平分线{(,),}t t t T ∈上的连续性；对于平稳随机过程，均方连续等价于相关函数（作为一元函数）在原点的连续性.6.1.3 均方导数定义6.6 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，若存在另一随机过程'()X t ，满足2()()lim '()0h X t h X t E X t h→∞+--= 则称()X t 在t 点均方可微（differentiability in mean square ），记作 0()()()'()l i m h dX t X t h X t X t dt h→+-==⋅⋅ 称'()X t 为()X t 在t 点的均方导数.若()X t 在每点t 都均方可微，则称它在T 上均方可微.类似地，若随机过程{'(),}X t t T ∈在t 点均方可微，则称()X t 在t 点二次均方可微，记为''()X t 或22d X dt ，称它为二阶矩过程()X t 的二阶均方导数.同理可定义高阶均方导数. 定理6.5 （均方可导准则）二阶矩过程{(),}X t t T ∈在t 点均方可微的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处广义二阶导数存在.证明由定理6.3知，()X t 在t 点均方可微的充要条件为12120120()()()()lim h h X t h X t X t h X t E h h →→⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 存在，将其展开得1212120120(,)(,)(,)(,)lim X X X X h h R t h t h R t h t R t t h R t t h h →→⎡⎤++-+-++⎢⎥⎣⎦ 上式极限存在的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处广义二阶导数存在.6.1.4 均方积分设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，()f t 为普通函数，其中[,]T a b =，用一组分点将T 划分如下：01n a t t t b =<<⋅⋅⋅<=，记11max{}i i n i nt t -≤≤-=∆，作和式11()()()nn i i i i i S f t X t t t -=''=-∑其中1(1,2,,)i i i t t t i n -'≤≤= .定义6.7 如果当0n ∆→时，n S 均方收敛于S ，即20lim ||0n n E S S ∆→-=则称()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积（integral in mean square ），并记()()b a S f t X t dt ==⎰ 101l i m ()()()n ni i i i i f t X t t t -∆→=''⋅⋅-∑ (6.2) 称(6.2)式为()()f t X t 在区间[,]a b 上的(Riemann )均方积分.需要说明的是：均方积分()()b a f t X t dt ⎰是一个随机变量，而不是一个随机过程.，当()1f t =时，()b a X t dt =⎰ 101l i m ()()n ni i i i X t t t -∆→='⋅⋅-∑ 定理6.6（均方可积准则）()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积的充要条件是121212()()(,)b b X a a f t f t R t t dt dt ⎰⎰存在，特别地，二阶矩过程()X t 区间[,]a b 上均方可积的充要条件是12(,)X R t t 在[,][,]a b a b ⨯上可积.定理6.7 （数学期望与积分交换次序）()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积，则有（1）()()()[()]b b a a E f t X t dt f t E X t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰，特别地()[()]b b a aE X t dt E X t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰；（2）111222()()()()b b a a E f t X t dt f t X t dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰121212()()(,)b b X a a f t f t R t t dt dt =⎰⎰ 特别地，21212()(,)bb b X a a a E X t dt R t t dt dt =⎰⎰⎰.证明由定理6.2之（5），有101()()l i m ()()()n n bi i i i a i E f t X t dt E f t X t t t -∆→=⎡⎤''=⋅⋅-⎢⎥⎣⎦∑⎰101lim ()()()n n i i i i i E f t X t t t -∆→=⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦∑ []101lim()()()n n i i i i i f t E X t t t -∆→=''=-∑()[()]b a f t E X t dt =⎰ 类似地，可证明（2）式.均方积分有类似于普通函数积分的许多性质，如()X t 均方连续，则它均方可积；均方积分唯一性；对于a c b <<，有()()()()()()bc b a a c f t X td t f t X t d t f t X t d t=+⎰⎰⎰；若(),()X t Y t 在区间[,]a b 上均方连续，则[()()]()()b b ba a a X t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰ 其中,αβ为常数，等等.定理6.8 二阶矩过程{(),}X t t T ∈在区间[,]a b 上均方连续，则()(),ta Y t X d ττ=⎰ ()a tb ≤≤ 在均方意义下存在，且随机过程{(),}Y t t T ∈在[,]a b 上均方可微，且有()()Y t X t '=. 推论设()X t 均方可微，且()X t '均方连续，则()()()ta X t X a X t dt '-=⎰ （6 .3）特别地，()()()ba Xb X a X t dt '-=⎰上式相当于普通积分中的Newton Leibniz -公式.最后，对本节的内容作一些说明.（1）均方积分可以把区间[,]a b 推广到无穷区间上，得到广义均方积分；（2）均方连续、均方导数、均方可积对复随机过程依然适应，但要把前面的绝对值理解为复数的模；（3）均方连续、均方可导、均方可积都取决于相关函数的性质；（4）在计算均方导数与均方积分时，可以把随机过程当成普通函数来处理；（5）均方导数是随机过程，均方极限与均方积分都是随机变量.6.2 平稳过程及其相关函数平稳过程作为特殊的二阶矩过程在工程技术中有着广泛的应用.定义6.8 设{(),}X t t T ∈是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n ，12,,,n t t t T ∈ ，12,,,n t t t T τττ+++∈ ，()12(),(),,()n X t X t X t 与()12(),(),,()n X t X t X t τττ+++有相同的联合分布，则称{(),}X t t T ∈为严平稳过程，也称狭义平稳过程.定义6.9 设{(),}X t t T ∈是随机过程，如果（1）{(),}X t t T ∈是二阶矩过程；（2）对任意,()()X t T m t EX t ∈==常数；（3）对任意,,(,)[()()]()X X s t T R s t E X s X t R s t ∈==-，则称{(),}X t t T ∈为广义平稳过程，也称平稳过程（stationary process ）.若T 为离散集，则称平稳过程{(),}X t t T ∈为平稳序列（stationary sequence ）. 比较两种定义：广义平稳过程对时间推移的不变性是表现在统计平均的一阶矩、二阶矩上，而严平稳过程对时间推移的不变性是表现在概率分布上. 两者的要求是不一样的，一般来说，严平稳过程要求的条件比广义平稳过程要求的条件要严格得多. 显然，广义平稳过程不一定是严平稳过程；反之，严平稳过程只有当二阶矩存在时为广义平稳过程. 值得注意的是对于正态过程来说，二者是一样的.例6.1 设随机过程()cos()sin(),0X t Y t Z t t θθ=+>.其中，,Y Z 是相互独立的随机变量，且20,EY EZ DY DZ σ====，则 ()cos()sin()0EX t EY t EZ t θθ=+=(,)[()()]X R s t E X s X t =[cos()sin()][cos()sin()]E Y s Z s Y t Z t θθθθ=++=22cos()cos()sin()sin()s t EY s t EZ θθθθ+2cos[()]t s σθ=-因此，{(),0}X t t >为广义平稳过程.例6.2 （随机电报信号过程）设随机过程{(),0}N t t ≥是具有参数为λ的Poisson 过程，随机过程{(),0}X t t ≥定义为：若随机点在[0,]t 内出现偶数次，则()1X t =；若出现奇数次，则()1X t =-.（1）讨论随机过程()X t 的平稳性；（2）设随机过程V 具有概率分布 {1}{1}12P V P V ===-=且V 与()X t 独立，令()()Y t VX t =，试讨论随机过程()Y t 的平稳性.解（1）由于随机点()N t 是具有参数为λ的Poisson 过程，因此，在[0,]t 内随机点出现k 次的概率 ()(),0,1,2,!kt k t P t e k k λλ-== 因此 024{()1}()()()P X t P t P t P t ==+++⋅⋅⋅24()()[1]2!4!tt t e λλλ-=+++⋅⋅⋅()t e ch t λλ-= 135{()1}()()()P X t P t P t P t =-=+++⋅⋅⋅35()()[]3!5!tt t e t λλλλ-=+++⋅⋅⋅()t e sh t λλ-= 于是 ()()1()1()t t X m t EX t e ch t e sh t λλλλ--==⋅-⋅[()()]t e ch t sh t λλλ-=-2.t t t e e e λλλ---=⋅=为了求()X t 的相关函数，先求12(),()X t X t 的联合分布1122{(),()}P X t x X t x ==221111{()|()}{()}P X t x X t x P X t x ====其中1i x =-或1(1,2)i =.设21t t >，令21t t τ=-，因为事件12{()1,()1}X t X t ==等价于事件1{()1,X t =且在12(,]t t 内随机点出现偶数次}.由假设知，在1()1X t =的条件下，在区间12(,]t t 内随机点出现偶数次的概率与在区间(0,]τ内随机出现偶数次的概率相等，故21{()1|()1}()P X t X t e ch λτλτ-===由于 111{()1}()t P X t e ch t λλ-==所以 1121{()1,()1}()().t P X t X t e ch t e ch λλτλλτ--===类似可得 1121{()1,()1}()()t P X t X t e sh t e ch λλτλλτ--=-=-=； 1121{()1,()1}()()t P X t X t e sh t e sh λλτλλτ--=-==；1121{()1,()1}()()t P X t X t e ch t e sh λλτλλτ--==-=因此 1212(,)[()()]X R t t E X t X t = 1111()()t e ch t e ch λλτλλτ--=⋅⋅+11(1)(1)()()t e sh t e ch λλτλλτ---⋅-⋅11(1)1()()t e sh t e sh λλτλλτ--+-⋅⋅111(1)()()t e ch t e sh λλτλλτ--+⋅-⋅1()11[()()]t e ch t sh t λτλτλτ-+=---11()()t t e e λτλτ-+--=212()2.t t e e λλτ---==当21t t <，同理可得212()212(,)t t X R t t e e λλτ-==因此，对于任意12,t t ，有212||2||12(,)t t X R t t e e λλτ---== 由于2()t X m t e λ-=与时间t 有关，故()X t 不是平稳随机过程，值得注意的是非平稳过程相关函数也可以与时间起点无关.（2）由于20,1EV EV ==，由V 与()X t 独立知()()0EY t EVEX t ==2(,)[()()]Y R t t EV E X t X t ττ-=-2||()Y e R λττ-==所以，()Y t 是平稳过程.例6.3 设()()X t Xf t =为复随机过程，其中X 是均值为0的实随机变量，()f t 是确定函数. 证明()X t 是平稳过程的充要条件是()()i t f t ce ωθ+=.其中,,i c ωθ为常数.证明充分性：若()()i t f t ce ωθ+=，记2DX σ=，因此 ()()[()]0X m t EX t E Xf t ===(,)[()()]X R t t E X t X t ττ-=-22()[()]i t i t EX c e e ωθωτθ+--+=22i c e ωτσ=所以，()X t 是平稳过程.必要性：若()X t 是平稳过程，则(,)[()()]X R t t E X t X t ττ-=-2()()EX f t f t τ=-上式必须与t 无关，取0τ=，有22|()|f t c =（常数）因此，()()i t f t ce ϕ=，其中()t ϕ为实函数，于是 2()()exp{[()()]}f t f t c i t t τϕϕτ-=-- 上式应与t 无关，因此[()()]0dt t dtϕϕτ--= 即()()d t d t dt dtϕϕτ-=对一切τ成立，于是 ()t t ϕωθ=+.故 ()()i t f t ce ωθ+=.例6.3显示了相关函数在平稳过程中的重要性，平稳过程的统计特性往往通过相关函数来表现.例6.4 （随机相位过程）给定随机相位过程()()X t ϕτ=+Θ，其中()t ϕ时周期为l 的函数，Θ是服从(0,)l 上均匀分布的随机变量，讨论其平稳性.解 ()()()X m t EX t E t ϕ==+Θ00111()()()l t l l t t d s ds s ds l l lϕθθϕϕ+=+⋅==⎰⎰⎰ 与t 无关；(,)()()()(X R t t E X t X tE t t ττϕϕτ+=+=+Θ++Θ01()()l t t d lϕθϕτθθ=+++⋅⎰ 011()()()()l t ll s s ds s s ds l l ϕϕτϕϕτ+=+=+⎰⎰与t 无关. 因此，随机相位周期过程是平稳过程.下面我们来讨论联合平稳过程及相关函数的性质.定义6.10 设{(),}X t t T ∈和{(),}Y t t T ∈是两个平稳随机过程，若它们的相关函数()()E X t Y t τ⎡⎤-⎣⎦及()()E Y t X t τ⎡⎤-⎣⎦仅与τ有关，而与t 无关，则称()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程. 由定义有(,)()()()XY XY R t t E X t Y t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦ (,)()()()YX YX R t t E Y t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦当两个平稳过程()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程时，则它们的和()W t 是平稳过程，此时有()()()()()X Y XY E W t W t R R R ττττ⎡⎤-=++⎣⎦()()YX W R R ττ+=定理6.9 (相关函数的性质) 设{(),}X t t T ∈是平稳过程，则其相关函数()X R τ具有下列性质：（1）(0)0X R ≥；（2）()()X X R R ττ=-；（3）|()|(0)X X R R τ≤；（4）（非负定性）对于任意实数12,,,n t t t ⋅⋅⋅及复数12,,,n ααα⋅⋅⋅，有,1(,)0nXi j i j i j Rt t αα=≥∑（5）若()X t 是周期为T 的周期函数，即()()X t X t T =+，则 ()()X X R R T ττ=+（6）若()X t 是不含周期分量的非周期过程，当||τ→∞时，()X t 与()X t τ+相互独立，则||lim ()X X X R m m ττ→∞=证明由平稳过程相关函数的定义，得（1）2(0)()()|()|0X R E X t X t E X t ⎡⎤==≥⎣⎦；（2）()()()X R E X t X t ττ⎡⎤=-⎣⎦()()()X E X t X t R ττ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦；对于实平稳过程，由于()X R τ为实数，因此，()()X X R R ττ-=，即实平稳过程的相关函数为偶函数.（3）由Schwartz 不等式有22()()()()E X t X t E X t X t τ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦22|()|()E X t E X t τ≤- 即 22|()|[(0)]X X R R τ≤，因此|()|(0)X X R R τ≤；（4）显然；（5） ()()()X R T E X t X t T ττ⎡⎤+=--⎣⎦()()()X E X t X t R ττ⎡⎤=-=⎣⎦；（6） ||||lim ()lim ()()X R E X t X t ττττ→∞→∞⎡⎤=-⎣⎦||lim ()()]X X EX t E X t m m ττ→∞=-=.类似地，联合平稳过程()X t 和()Y t 的互相关函数具有下列性质：（1）2|()|(0)(0),XY X Y R R R τ≤ 2|()|(0)(0)YX X Y R R R τ≤；（2）()().XY YX R R ττ-= 证明（1）由Schwartz 不等式，22|()||[()()]|XY R E X t Y t ττ=-2[|()()|]E X t Y t τ≤-22|()||()|(0)(0)X Y E X t E Y t R R τ≤-=；（2）()[()()]XY R E X t Y t ττ-=-[()()]()YX E Y t X t R ττ=-=.当()X t 和()Y t 是实联合平稳过程时，（2）式变成()().XY YX R R ττ-=，这表明()XY R τ与()YX R τ在一般情况下是不相等的，且它们不是τ的偶函数.例 6.5 设()sin(),X t A t ω=+Θ ()sin()Y t B t ωϕ=+Θ-是两个平稳过程，其中,,A B ϕ为常数，Θ在(0,2)π上服从均匀分布，求()XY R τ和()YX R τ.解 ()[()()XY R E X t Y t ττ=-[s i n ()s i n (E A t B t ωωωτϕ=+Θ-+Θ-201sin()sin()2AB t t d πωθωωτθϕθπ=+-+-⎰ 20sin()[sin()cos()2AB t t πωθωθωτϕπ=+++⎰ cos()sin()]t d ωθωτϕθ-++ 1cos().2AB ωτϕ=+ 同理可得1()cos().2YX R AB τωτϕ=-6.3 平稳过程的各态历经性平稳随机过程的统计特征完全由前二阶矩函数确定，为了研究平稳过程的相关理论，必须先明确均值函数与相关函数.但在实际应用中，随机过程的均值函数与相关函数一般是未知的，需要先通过大量的观察试验获得样本函数，然后用数理统计的点估计理论作出估计，其要求是很高的.为了提高估计的精度，需要做出多次试验，以获得许多样本函数.限于人力和财力，更限于试验周期等原因，这是不现实的.然而，对于平稳过程，它的均值函数是常数，相关函数只与时间间隔有关，它们都与起始时刻无关，也就是说，平稳过程的统计特性不随时间推移而改变，这就提供了一个是否在较宽的条件下，用样本函数估计平稳过程均值与相关函数的方法，它需要平稳过程具有各态历经性，即遍历性.各态历经性的理论依据是大数定律.大数定律表明：随时间n 的无限增大，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均.也就是说，时间平均与状态平均殊途同归，它的直观含义是：只要观测的时间足够长，随机过程的每一个样本函数都能够“遍历”各个可能状态.定义6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，称1()l i m()2TTT X t X t dt T-→∞⋅⋅⎰（6.4）为该过程的时间均值；称1()()l i m()()2TTT X t X t X t X t dt Tττ-→∞-⋅⋅-⎰（6.5）为时间相关函数.定义6.12 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，若()(),..X t EX t a s 〈〉=即1l i m()2TX TT X t dt m T-→∞⋅⋅=⎰（6.6）以概率为1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性.若()()()()X t X t E X t X t ττ⎡⎤-=-⎣⎦，即1l i m()()()2TX TT X t X t dt R Tττ-→∞⋅⋅-=⎰（6.7）则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性.如果均方连续平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性（ergodicity ），或称()X t 是各态历经过程（ergodic process ）.由上面的讨论知，如果()X t 是各态历经过程，则()X t 和()()X t X t τ-不再依赖ω，而是以概率为1分别等于()EX t 和()()E X t X t τ⎡⎤-⎣⎦，这一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的，于是，对随机过程的时间平均也可以用样本函数的时间平均来表示，且可以用任一个样本函数的时间平均代替随机过程的统计平均；另一方面也表明()EX t 和()()E X t X t τ⎡⎤-⎣⎦必定与时间t 无关，即各态历经过程必定是平稳过程.但是平稳过程只有在一定的条件下才是各态历经过程.例6.6 随机相位正弦波()cos(),X t a t t ω=+Θ-∞<<∞具有各态历经性，其中Θ是(0,2)π上均匀分布的随机变量.容易求得20,()cos 2X X a m R τωτ==，于是()X t 的时间平均为 1()l i mcos()2TTT X t a t dt T ω-→∞=⋅⋅+Θ⎰()l i m c o s c o s s i n s i n 2T TT a t t d t T ωω-→∞=⋅⋅Θ-Θ⎰ l im c o s c o s 2T T T a t d t T ω-→∞=⋅⋅Θ⎰c o s s i n l i m 0T a TT ωω→∞Θ=⋅⋅=()X t 的时间相关函数为21()()l i mcos()cos(())2TTT X t X t a t t dt Tτωωτ-→∞-=⋅⋅+Θ-+Θ⎰()2l i m cos(22)cos 4TT T a t dt T ωωτωτ-→∞=⋅⋅--+Θ+⎰2cos 2a ωτ=上述结果表明：随机相位正弦波()X t 的均值与相关函数都具有各态历经性，从而()X t 具有各态历经性.下面我们讨论平稳过程具有遍历性的条件.定理6.10 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件是2221||lim1()||022TX X T T R m d T T τττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ (6.8) 证明因()X t 是随机变量，先求它的期望与方差1()l i m()2TT T E X t E X t dt T -→∞⎡⎤=⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 1lim [()]2TX TT E X t dt m T -→∞==⎰因此，随机变量()X t 的均值函数为常数()X EX t m =，由方差的性质，若能证明()0D X t =，则()X t 依概率为1等于()EX t .因此，要证明()X t 的均值具有各态历经性等价于证明()0D X t 〈〉=，由于22()|()|||X D X t E X t m 〈〉=〈〉- (6.9)而 221|()|l i m()2TTT E X t E X t dt T-→∞=⋅⋅⎰221121lim ()()4T T T T T E X t dt X t dt T --→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 211221lim()()4T TT T T E X t X t dt dt T --→∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰ 211221lim ()4TTX TTT R t t dt dt T --→∞=-⎰⎰作变换112221,t t t t ττ=+=-，变换的雅可比式为1212(,)1(,)2t t ττ∂=∂于是2222|2212222||11|()|lim()42TT X T T T E X t R d d T τττττ---+→∞〈〉=⎰⎰22222||1lim()122TX T T R d TT τττ-→∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ (6.10) 又因为2222||11122TT d TT ττ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ 故 222222||1||||122TX X T m m d TT ττ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （6.11）将(6.10) 和(6.11)代人(6.9)，得()2221||()lim1()||22TX X T T D X t R m d TT τττ-→∞⎛⎫〈〉=--⎪⎝⎭⎰ (6.12) (6.12)式等于0就是()X t 〈〉以概率1等于()X EX t m =的充要条件，证毕.当()X t 是实均方连续平稳过程时，()X R τ为偶函数，过程()X t 的均值各态历经性的充要条件可以写成221lim1()02T XX T R m d T T τττ→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ （6.13）由于2()()||X X X C R m ττ=-，因此，(6.8)式等价于221||lim 1()022TX T T C d TT τττ-→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ （6.14）相应地，(6.13)式等价于201lim1()02T X T C d T T τττ→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ （6.15）定理 6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，则它的相关函数具有各态历经性的充要条件是2211112||1lim1()|()|022TX T T C R d T T ττττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ (6.16)其中111()()()()()X C E X t X t X t X t τττττ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦(6.17)证明对于固定的τ，记()()()Y t X t X t τ=-，则()Y t 为均方连续的平稳过程，且()()()()Y X m EY t E X t X t R ττ⎡⎤==-=⎣⎦因此，()X R τ的各态历经性相当于()EY t 的各态历经性，由于11()()()Y R E Y t Y t ττ⎡⎤=-⎣⎦11()()()()E X t X t X t X t ττττ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦1()C τ= 由定理6.10得定理6.11成立.定理6.12 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<+∞，等式1l i m ()TX T X t dt m T→∞⋅⋅=⎰（6.18 ）以概率1成立的充要条件为1||l i m1()02TX T T C d TT τττ-→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ （6.19 ）若()X t 为实随机过程，则上式变为 01lim1()0.T X T C d T T τττ→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ 定理6.13 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<+∞，等式1l i m()()()TX T X t X t d R T τττ→∞⋅⋅-=⎰ （6.20）以概率1成立的充要条件为2111||1lim1()|()|0T X T T C R d T T ττττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ （6.21）若()X t 为实随机过程，则上式变为 211101lim 1()()0.T X T C R d T T ττττ→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 例6.7 （续例6.2）考虑例6.2中随机电报信号过程()Y t 均值的各态历经性.因为它是实平稳过程，且2||()0,(),Y EY t R e λττ-==因此22||01lim 1002T T e d T T λτττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 由（6.13知，()Y t 是均值具有各态历经性的平稳过程.例6.8 讨论随机过程()X t Y =的各态历经性，其中Y 是方差不为0的随机变量. 解容易知道()X t Y =是平稳过程，事实上，()X EX t EY m ==（常数），22(,)X XR t t EY DY m τ-==+（与t 无关），但此过程不具有各态历经性，因为 1()l i m2TTT X t Ydt Y T-→∞=⋅⋅=⎰Y 不是常数，不等于()EX t ，因此，()X t Y =的均值不具有各态历经性.类似地可证相关函数也不具有各态历经性.实际应用中，要严格验证平稳过程是否满足各态历经性条件是比较困难的，但各态历经性定理的条件较宽，工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足. 因此，通常的处理方法是：先假设平稳过程是各态历经过程，然后由此假定出发，对各种数据进行分析处理，在实践中考察是否会产生较大的偏差，如果偏差较大，便认为该平稳过程不具有各态历经性.各态历经性定理的重要意义在于它从理论上给出了如下的结论：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即01l i m()T X T m x t dt T →∞=⋅⋅⎰；01()l i m ()()TX T R x t x t dt Tττ→∞=⋅⋅+⎰ 若样本函数()x t 只在有限区间[0,]T 上给出，则对于实平稳过程有下面的估计式1ˆ()TX X m mx t dt T≈=⎰(6.22) 01ˆ()()()().T X XR R x t x t dt T τττττ-≈=+-⎰(6.23)(6.23) 式取积分区间[0,]T τ-是因为()x t τ+只对t T τ+≤为已知，即0.t T τ≤≤-习题六6.1 设12,,X X 是独立同分布随机变量，证明：随机序列{,1}n X n ≥是严平稳时间序列.6.2 设随机过程()cos sin ,X t U t V t t =+-∞<<∞，其中U 与V 相互独立，且都服从(0,1)N .（1） ()X t 是平稳过程吗？为什么？（2） ()X t 是严平稳过程吗？为什么？6.3 设随机过程()cos(),X t A t t ω=+Θ-∞<<∞，其中，ω为正常数，随机变量A 与Θ相互独立，且A 的密度函数为2222exp{},0,0()a a a f a σσ-⎧⎪⎨⎪⎩>=其它，Θ服从区间[0,2]π上的均匀分布，求()X t 的均值函数与相关函数，并由此证明()X t 是平稳过程.6.4设随机过程()sin ,X t Ut t T =∈，其中U 服从区间[0,2]π上的均匀分布.（1）如果{0,1,2,}T = ，试求()X t 的均值函数与相关函数，并由此证明()X t 是平稳时间序列.（2）如果[0,]T =+∞，试求()X t 的均值函数，并由此证明()X t 不是平稳过程. 6.5 在习题6.2中，试求()X t 〈〉与()()X t X t τ〈+〉，并由此证明平稳过程()X t 的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.6.6在习题6.3中，试求()X t 〈〉与()()X t X t τ〈+〉，并由此证明平稳过程()X t 的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.6.7 证明相位周期过程()()X t t ϕ=+Θ是各态历经过程，其中，ϕ是有界函数.[提示：利用高等数学中周期函数的积分性质计算()X t 〈〉与()()X t X t τ〈+〉.6.8 设平稳过程{(),}X t t -∞<<∞的均值具有各态历经性，记随机过程()()Y t X t U =+，其中，U 是与()X t 不相关的随机变量，且,1EU c DU ==.（1）试求()Y t 函数与协方差函数，并由此证明()Y t 是平稳过程；（2） ()Y t 函数是否具有各态历经性？为什么？6.9 设有随机过程()X t 和()Y t 都不是平稳过程，且()()cos ,X t A t t =()()sin Y t B t t =，其中()A t 和()B t 是均值为0的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证：()()()Z t X t Y t =+是平稳过程.6.10 设1()X t ，2()X t ，1()Y t ，2()Y t 都是均值为0的实随机过程，定义复随机过程111()()()Z t X t iY t =+，222()()()Z t X t iY t =+求在下列情况下1()Z t 和2()Z t 的互相关函数.（1）所有实随机过程是相关的；（2）所有实随机过程互不相关.6.11 设()X t 是具有相关函数为()X R τ的平稳过程，令()a TaY X t dt +=⎰，其中0,T a >为实数，证明：2||(||)().TX TE Y T R d τττ-=-⎰6.12 设有随机过程()sin()cos()X t A t B t λλ=+，其中,A B 是均值为0，方差为2σ的相互独立的正态随机变量.问：（1）()X t 的均值是否具有各态历经性？（2）()X t 的均方值是否具有各态历经性？（3）若sin ,cos ,A B =Φ=Φ Φ是(0,2)π上均匀分布的随机变量，此时2[()]E X t 是否具有各态历经性？。

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1、修理一个机器所需要的时间T 是均值为1/2（小时）的指数随机变量（a ）问修理时间超过1/2小时的概率是多少？
（b ）已知修理持续时间超过12小时，问修理时间至少需要12.5小时的概率是多少？
2、考察一个由两个办事员经营的邮局。

假设当甲进入邮局的时候，他发现乙正在接受一个办事员的服务，丙正在接受另一个办事员的服务。

甲被告知，只要乙或丙中的一个离开，他的服务就可以立刻开始。

如果一个办事员用在一个顾客上的时间是以均值为1/λ指数地分布的，那么在这3个顾客中，甲是最后一个离开邮局的概率是多少？
3、若X1和X2是独立的非负连续随机变量，证明：
)()()(}),min(|{2112121t r t r t r t X X X X P +==<
其中)(t r i 是Xi 的失效率函数。

4、某种理论假设细胞分裂的错误按速率每年2.5个的泊松过程发生，而人体在发生了196个这种错误后死亡。

假设该理论成立，求
（1）人的平均寿命
（2）人在67.2岁前死亡的概率
（3）人活到90岁的概率
（4）人活到100岁的概率
5、令{N(t)，t ≥0}是速率为λ的泊松过程，以Sn 记第n 个事件发生的时间。

求
（1）][4S E
（2）]2)1(|[4=N S E
（3）]3)1(|)2()4([=-N N N E
6、事件按速率为每小时λ=24的泊松过程发生。

（1）在下午8：00到9:00没有事件发生的概率是多少？
（2）从正午开始，到第四个事件发生的期望时间是多少？
（3）在下午6:00到8:00有两个或两个以上事件发生的概率是多少？
7、顾客按速率为λ的泊松过程进入银行。

假设两个顾客在第一小时内到达。

下面的概率分别是多少？
（1）两个顾客都在前20分钟内到达
（2）至少一个顾客在前20分钟内到达
8、某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天内平均达到率为8的泊松过程，他们分别以概率1/2、1/3和1/6订阅1季、2季和3季的杂志，其选择是相互独立的。

每次订阅1季时，该负责人可得1元钱手续费。

令X（t）表示在[0,t)内此人的全部手续费，试求E[X(t)]。