等差数列的证明
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等差数列证明
[针对训练] Sn 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，bn＝ n (n∈N*)．求证：数
列{bn}是等差数列．
证明：设等差数列{an}的公差为 d， 1 Sn＝na1＋2n(n－1)d， Sn 1 ∴bn＝ n ＝a1＋2(n－1)d， 1 1 bn＋1－bn＝a1＋2nd－a1－2(n－1)d d ＝2(常数)，∴数列{bn}是等差数列．
3 为首项，1 为公差的等差数列．
Sn (2)由(1)知 n ＝3＋(n－1)×1，∴Sn＝n2＋2n.
[针对训练]
已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn>1，且 6Sn＝ (an＋1)(an＋2)，n∈N*，求{an}的通项公式．
1 解：由 a1＝S1＝6(a1＋1)(a1＋2)， 解得 a1＝1 或 a1＝2， 由已知 a1＝S1>1，因此 a1＝2.
1 1 1 1 1 1 31－2＋2－3＋„＋n－n＋1 1 5 1－ ＞ ＝3· n＋1 2
∴n＞5 n 的最小值为 6.
2．(2013· 北京宣武一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝3，点 n＋1 (Sn，Sn＋1)在直线 y＝ x＋n＋1(n∈N*)上． n
对n=1的验证很 重要哦！
Sn－1 若将条件改为“a1＝2，Sn＝ (n≥2)”， 2Sn－1＋1 如何求解.
Sn－1 解：(1)∵Sn＝ ， 2Sn－1＋1 1 2Sn－1＋1 1 ∴S ＝ ＝ ＋2. Sn－1 Sn－1 n 1 1 ∴S － ＝2. Sn－1 n
1 1 ∴ S 是以2为首项，以 n
因为 an＞0，所以 an＋1＋an＞0，所以 an＋1－an－2＝0，即 an＋1 a1＋12 a1＋12 －an＝2.当 n＝1 时，有 S1＝ ，即 a1＝ ，整理得 a2 1－ 4 4 2a1＋1＝0，解得 a1＝1. 所以数列{an}是一个首项 a1＝1，公差 d＝2 的等差数列，其通项 an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 答案：A
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法：
公差相等法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。
通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，则该数列为等差数列。
前后项差值法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。
证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 - an = d，则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。
判断等比数列的四种方法：
公比相等法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。
通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，则该数列为等比数列。
前后项比值法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。
证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 / an = r，则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。
以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法，它们都比较简单易行，可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。
同时，在具体应用中，我们还可以根据题目要求选择合适的方法，从而更好地解决问题。
数学中证明等差数列的常用方法
数学中证明等差数列的常用方法数学中证明等差数列的常用方法等差数列是数学的现象，这类的现象该怎么证明呢?证明的`公式是的呢?下面就是店铺给大家整理的如何证明等差数列内容，希望大家喜欢。
等差数列证明一设等差数列 an=a1+(n-1)d最大数加最小数除以二即[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2{an}的平均数为Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2得证1 三个数abc成等差数列，则c-b=b-ac^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差数列等差：an-(an-1)=常数(n≥2)等比：an/(an-1=常数(n≥2)等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).等差数列二我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明：1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k+1)=a(k+1)+Sk而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1) 所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1时，推测仍成立。
证明等差数列的方法
证明等差数列的方法一、数学归纳法。
数学归纳法是证明数学命题的一种常用方法，对于等差数列的性质也同样适用。
首先，我们可以证明等差数列的首项和公差分别为$a_1$和$d$的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$。
接着，我们可以利用数学归纳法来证明这个通项公式对于任意正整数$n$都成立。
假设当$n=k$时通项公式成立，即$a_k=a_1+(k-1)d$，那么当$n=k+1$时，$a_{k+1}=a_1+kd$，根据等差数列的性质，$a_{k+1}=a_k+d$，代入$k$时的通项公式，得到$a_{k+1}=a_1+kd+d=a_1+kd+1d=a_1+(k+1)d$，由此可见通项公式对于任意正整数$n$都成立。
二、通项公式的推导。
另一种证明等差数列的方法是通过推导通项公式。
我们知道，等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示数列的第$n$项，$a_1$表示数列的首项，$d$表示数列的公差。
我们可以通过对数列的前$n$项进行求和，然后利用等差数列的性质进行变形推导，最终得到通项公式。
三、几何法。
几何法是一种直观的证明方法，对于等差数列也同样适用。
我们可以将等差数列的项表示在坐标系中的点，然后通过观察这些点的位置关系，来证明数列的性质。
例如，我们可以将等差数列的前$n$项表示在坐标系中的点，然后观察这些点的连线是否平行且等距，从而得出等差数列的结论。
四、数学推理法。
数学推理法是一种严谨的证明方法，对于等差数列的证明也同样适用。
我们可以利用数学推理的方法，通过严格的逻辑推导和推理，来证明等差数列的性质。
例如，我们可以利用数学推理法证明等差数列的通项公式，首先假设通项公式成立，然后通过严格的推导和推理，最终得出结论。
综上所述，证明等差数列的方法有很多种，包括数学归纳法、通项公式的推导、几何法和数学推理法等。
每种方法都有其独特的优势和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明。
证明等差数列的方法
证明等差数列的方法方法一，利用通项公式证明。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，其通项公式可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$d$表示公差。
我们可以利用通项公式来证明等差数列。
首先，我们可以计算出相邻两项之间的差，$a_2 a_1 = (a_1 + d) a_1 = d$，$a_3 a_2 = (a_1 + 2d) (a_1 + d) = d$，以此类推，可以得到$a_{n+1} a_n = d$。
因此，我们可以利用通项公式来证明等差数列的性质。
方法二，利用数学归纳法证明。
数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，可以用来证明等差数列的性质。
首先，我们可以证明当$n=1$时，等差数列成立，即$a_2 a_1 = d$。
然后，假设当$n=k$时等差数列成立，即$a_{k+1} a_k = d$，我们需要证明当$n=k+1$时等差数列也成立，即$a_{k+2} a_{k+1} =d$。
通过数学归纳法的证明，我们可以证明等差数列的性质。
方法三，利用等差数列的性质证明。
等差数列有许多性质，比如任意三项$a_i, a_j, a_k$满足$a_j = \frac{a_i + a_k}{2}$，我们可以利用这些性质来证明等差数列。
例如，我们可以利用等差数列的性质来证明其前n项和的公式，$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。
通过对等差数列的性质进行分析和推导，可以证明等差数列的性质。
综上所述，我们可以利用通项公式、数学归纳法和等差数列的性质来证明等差数列。
通过这些方法的证明，我们可以更加深入地理解等差数列的性质和特点。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解等差数列的相关知识。
证明等差数列的方法
证明等差数列的方法
一、数学归纳法。
数学归纳法是证明等差数列的常用方法之一。
首先，我们可以假设对于任意的正整数n，等差数列成立，即a(n+1) a(n) = d，其中a(n)表示等差数列的第n项，d表示公差。
然后我们需要证明当n = k+1时，等差数列也成立。
即证明a(k+2) a(k+1) = d。
通过数学归纳法可以证明等差数列的成立。
二、通项公式。
等差数列的通项公式是非常重要的，它可以用来表示等差数列的第n项。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的第n 项可以表示为a(n) = a + (n-1)d。
我们可以通过代入不同的n值来验证通项公式的成立，从而证明等差数列的性质。
三、求和公式。
等差数列的求和公式也是证明等差数列的重要方法之一。
假设等差数列的首项为a，末项为l，共有n项，则等差数列的和可以表
示为S(n) = (a+l)n/2。
我们可以通过代入具体的数值来验证求和
公式的成立，从而证明等差数列的性质。
四、几何法。
在几何中，等差数列可以用等差数列的图形来进行证明。
我们
可以将等差数列的每一项表示为平面上的点，然后通过连接这些点，可以得到一条直线。
通过几何的方法，可以证明这条直线是一条等
差数列。
以上是几种常见的证明等差数列的方法，当然还有其他一些方
法可以用来证明等差数列。
在实际问题中，证明等差数列的方法可
以根据具体的情况选择合适的方法进行证明。
希望以上内容对你有
所帮助。
怎么证明等差数列
怎么证明等差数列怎么证明等差数列等差：an-(an-1)=常数(n≥2)等比：an/(an-1=常数(n≥2)等差：an-(an-1)=d 或2an=(an- 1) (an 1),(n≥2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an 1)(n≥2).2我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明：1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)则Sk=a1 a2 …ak=5*(1 2 … k)-4k=5k(k 1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k 1)=a(k 1) Sk而由题意知：(5k-8)S(k 1)-(5k 2)Sk=-20k-8即：(5k-8)*[a(k 1) Sk]-(5k 2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k 1)-10Sk=-20k-8即：(5k-8)a(k 1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k 1)所以a(k 1)=5k 1=5(k 1)-4即知n=k 1时，推测仍成立。
3在新的数列中An=S[4n-(4n-4)]=a(4n-4) a(4n-3) a(4n-2) a(4n-1) a(4n)A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]=a(4n-8) a(4n-7) a(4n-6) a(4n-5) a(4n-4)An-A(n-1)=a(4n-4) a(4n-3) a(4n-2) a(4n-1) a(4n)-a(4n-8) a(4n-7) a(4n-6) a(4n-5) a(4n-4)=4d 4d 4d 4d 4d=20d(d为原数列公差)20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。
4A(n 1)-2An=2(An-2An-1)A(n 1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n 1)得[A(n 1)/2^(n 1)]-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列5那么你就设直角三角形地三条边为a，a b,a 2b于是它是直角三角形得到a感谢您的阅读，欢迎下载使用。
等差数列的推理与证明
等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。
二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。
三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。
3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。
四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。
4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。
五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。
总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。
在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。
习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
如何证明等差数列
如何证明等差数列设等差数列 an=a1+(n-1)d最大数加最小数除以二即[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2{an}的平均数为Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2得证1 三个数abc成等差数列，则c-b=b-ac^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差数列等差：an-(an-1)=常数 (n≥2)等比：an/(an-1=常数 (n≥2)等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明：1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k+1)=a(k+1)+Sk而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1时，推测仍成立。
3在新的数列中An=S[4n-(4n-4)]=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+ a(4n-4)=4d+4d+4d+4d+4d=20d(d为原数列公差)20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。
证明等差数列(7篇)
证明等差数列（7篇）第1篇：等差数列证明[推荐]设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=n(a1+an)/2,求证：｛an｝是等差数列解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n －1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Skk(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22(k1)(a1ak1)k(a1ak)+ak+1又Sk+1=Sk+ak+1，所以将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k （k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1(n1)(a1an1)n(a1an),Sn所以an Sn Sn1n(a1a2)(n1)(a1an1)22(n1)(a1an1)n(a1an)同理有an1从而an1an(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)n(a1an)整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.第2篇：等差数列的证明等差数列的证明1三个数abc成等差数列，则c-b=b-ac^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列等差：an-(an-1)=常数(n≥2)等比：an/(an-1=常数(n≥2)等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明：1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k+1)=a(k+1)+Sk而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1时，推测仍成立。
等差数列证明方法
等差数列证明方法等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
常见的等差数列的通项公式为an=a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d 为公差。
等差数列的证明方法有很多，下面我们将介绍三种常用的证明方法。
一、数学归纳法证明数学归纳法是证明数学命题的一种常见方法。
证明等差数列的通项公式可以使用数学归纳法。
首先，假设数列的首项是a1，公差是d，项数是n。
1.基础情形当n=1时，数列的首项就是a1，显然成立。
2.归纳假设假设当n=k时，数列的通项公式成立，即ak=a1 + (k-1)d。
3.归纳证明当n=k+1时，数列的通项公式是否成立？根据等差数列的定义，ak+1=ak + d。
代入归纳假设可得ak+1=a1 + (k-1)d + d=a1 + kd。
所以，数列的通项公式对于n=k+1也成立。
根据数学归纳法原理，数列的通项公式对于任意正整数n都成立。
二、等差数列求和公式证明等差数列的求和公式是数列前n项和Sn=n/2(a1+an)，其中Sn为数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
我们可以通过等差数列的求和公式来证明等差数列的通项公式。
首先，根据求和公式可得Sn=n/2(a1+an)。
又an=a1 + (n-1)d，代入求和公式可以得到Sn=n/2(a1+a1+(n-1)d)=n/2(2a1+(n-1)d)=n(a1+(n-1)d)/2所以，Sn=n(a1+(n-1)d)/2，即等差数列的求和公式。
再根据逆向思维，将等差数列的通项公式代入求和公式进行计算也可以得到相同的结果。
三、差分公式证明差分公式是指等差数列的n项与n-1项之差等于常数d。
可以使用差分公式来证明等差数列的通项公式。
设等差数列的n项为an，n-1项为an-1根据差分公式可得an-an-1=d。
即a1+(n-1)d-(a1+(n-2)d)=d。
整理得a1+d(n-1)-a1-(n-2)d=d。
化简得d(n-1-d)=d。
如何证明等差数列(精选多篇)
如何证明等差数列(精选多篇)第一篇：如何证明等差数列如何证明等差数列设等差数列an=a1+(n-1)d最大数加最小数除以二即/2=a1+(n-1)d/2{an}的平均数为sn/n=/n=a1+(n-1)d/2得证1三个数abc成等差数列，则c-b=b-ac (a+b)-b (c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b (c+a)-a (b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c (a+b)-b (c+a)=b (c+a)-a (b+c)所以a (b+c),b (c+a),c (a+b)成等差数列等差：an-(an-1)=常数(n≥2)等比：an/(an-1=常数(n≥2)等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明：1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是s(k+1)=a(k+1)+sk而由题意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k -35k-8=(5k-8)(5k+1)所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1时，推测仍成立。
3在新的数列中an=s=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)a(n-1)=s=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+差数列5那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b于是它是直角三角形得到a²+(a+b)²=(a+2b)²所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²化简得a²=2ab+3b²两边同时除以b²解得a/b=3即a=3b所以三边可以写为3b，3b+b。
等差数列的判定方法
判断一个数列为等差数列的方法一． 定义法1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d（1）R d ∈（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N +）则此数列是等差数列，d ——此方法可以求d 或者证明该数列是等差数列，即n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n例1 在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+设,21-=n n n a b 证明{}n b 是等差数列; [解析] 由已知n n n a a 221+=+得1122222111+=+=+==-++n n n n n n n n n b a a a b ， 又111==a b∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。
例2 存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列． 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x = 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！二． 等差中项法定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13n n n a a a 211=+-+（n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+推广2：若数列{}n a 为等差数列，2n m +=k ，则有k n m a a a 2=+ （3）若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a λ（其中λ为常数）也为等差数列，其公差是λd若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +（其中b 为常数）也为等差数列，其公差是d若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +λ（其中λ、b 为常数）也为等差数列，其公差是λd（4）若数列{}n a 为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项),(,,,...2*++∈N m k a a a m k m k k 组成了公差为md 的等差数列（5）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为公差是t 的等差数列，则{}n n b a ±和{}n n b ka +(k 为常数)也是等差数列，其公差分别为d ±t ，kd+t（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。
证明等差数列前n项和的方法
证明等差数列前n项和的方法
我们要证明等差数列的前n项和的公式。
首先，我们需要理解等差数列的定义和性质。
等差数列是一个序列，其中任何两个连续的项之间的差都是常数。
假设等差数列的首项是 a_1，公差是 d，项数是 n。
等差数列的通项公式是：a_n = a_1 + (n-1) × d
等差数列的前n项和公式是：S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1) × d)
我们将使用数学归纳法来证明这个公式。
证明步骤如下：
1. 基础步骤：当 n = 1 时，S_1 = a_1，与公式一致。
2. 归纳假设：假设当 n = k 时，公式成立，即S_k = k/2 × (2a_1 + (k-1) × d)。
3. 归纳步骤：我们需要证明当 n = k + 1 时，公式也成立。
S_{k+1} = S_k + a_{k+1}
= k/2 × (2a_1 + (k-1) × d) + a_1 + k × d
= (k+1)/2 × (2a_1 + k × d)
所以，当 n = k + 1 时，公式也成立。
由1和3，我们可以得出结论：等差数列的前n项和公式对任何正整数n都成立。
等差数列四种证明方法
等差数列四种证明方法等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
在数学中，有四种常见的证明等差数列的方法，分别是递推法、数学归纳法、微积分法和矩阵法。
一、递推法递推法是一种基于递推关系的证明方法。
对于等差数列，我们可以通过递推公式来推导出数列中任意一项与前一项之差的规律。
假设等差数列的公差为d，首项为a1，则其递推公式为an = a1 + (n-1)d。
通过递推公式，我们可以计算出数列中任意两项之差，从而证明该数列是等差数列。
二、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
对于等差数列，我们可以利用数学归纳法证明其性质。
首先，我们证明当n=1时，等差数列成立。
然后，假设当n=k（k为正整数）时等差数列成立，即an = a1 + (n-1)d。
接下来，我们证明当n=k+1时等差数列也成立。
由递推公式可知，an+1 = a1 + ((k+1)-1)d = a1 + kd + d = (a1 + (k-1)d) + d = ak + d。
因此，根据数学归纳法的原理，等差数列对于任意正整数n都成立。
三、微积分法微积分法可用于证明某种函数的导数。
对于等差数列，我们可以通过求导的方法证明其导数恒为常数。
假设等差数列的公差为d，首项为a1，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
对通项公式进行求导，有d(an)/dn = d。
由此可得到等差数列的导数恒为常数d，也就是说它是一个常数函数。
这表明等差数列的变化率保持不变，符合等差数列的定义。
四、矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的证明方法。
对于等差数列，我们可以利用矩阵运算推导出其通项公式。
假设等差数列的公差为d，首项为a1，则该等差数列可以表示为列向量a = [a1, a2, a3, ...]。
通过矩阵运算，我们可以得到等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d。
这种方法通常用于证明等差数列的性质和特点。
综上所述，递推法、数学归纳法、微积分法和矩阵法是四种常见的证明等差数列的方法。
等差数列
1．等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；【例1】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。
2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项为1a ，公差为d ，末项为n a 推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=；总结：等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
【例1】等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51【例2】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 【例3】设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11+a 12+a 13等于（ ）A.120B.105C.90D.75【例4】若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2-10n(n ＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________；数列{na n }中数值最小的项是第_______项。
3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项及其延展【例1】如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么【例2】已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则等差数列的公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3【例3】在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）A 、5B 、6C 、8D 、10【例4】已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______.【例5】等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项：()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）【例1】）设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.24【例2】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 【例3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则【例4】设{}n a 是公差为-2的等差数列，如果a 1+a 4+….. + a 97 =50，那么a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-82【例5】（1）已知等差数列{}n a 的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项。
等差数列的判定方法
判断一个数列为等差数列的方法一． 定义法1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d（1）R d ∈（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N +）则此数列是等差数列，d ——此方法可以求d 或者证明该数列是等差数列，即n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n例1 在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+设,21-=n n n a b 证明{}n b 是等差数列; [解析] 由已知n n n a a 221+=+得1122222111+=+=+==-++n n n n n n n n n b a a a b ， 又111==a b∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。
例2 存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列． 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x = 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！二． 等差中项法定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13n n n a a a 211=+-+（n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+推广2：若数列{}n a 为等差数列，2n m +=k ，则有k n m a a a 2=+ （3）若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a λ（其中λ为常数）也为等差数列，其公差是λd若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +（其中b 为常数）也为等差数列，其公差是d若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +λ（其中λ、b 为常数）也为等差数列，其公差是λd（4）若数列{}n a 为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项),(,,,...2*++∈N m k a a a m k m k k 组成了公差为md 的等差数列（5）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为公差是t 的等差数列，则{}n n b a ±和{}n n b ka +(k 为常数)也是等差数列，其公差分别为d ±t ，kd+t（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。
证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d =0时，显然命题成立 当d ≠0时，∵111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅1111n n n na a a a ++++=⋅⋅ ………①∴122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++=⋅⋅⋅ ………②②﹣①得：12121111n n n n n na a a a a a +++++=-⋅⋅⋅ 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是)(,2)(*1N n a a n S n n ∈+=。
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＝－＝－＝1.又b1＝＝－.
∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，
易知f(x)在区间和内为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋.
∴＝＋，解得λ＝－1.
事实上，bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列．
例：(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
等差数列与等比数列的证明方法
1、 ＝常数， { }为等差数列。其本质意义是证数列任意后一项减前一项的差为常数，但不一定是 ,例如证数列{ }为等差数列，需证 ＝常数。
例2 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．
例：已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值．
(2)是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列．
(1)证明数列{}是等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数列；(2)求数列{an}的通项；
(3)若λan＋≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
(1)证明 将3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．
所以数列{}为以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝
(3)解 若λan＋≥λ对n≥2的整数恒成立，即＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．
整理得λ≤，令cn＝
cn＋1－cn＝－＝.