数乘向量优秀教案
《空间向量的数乘运算》教案
《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景通过前面的学习，我们已经了解了空间向量的基本概念和线性运算。
本章我们将进一步学习空间向量的数乘运算，这是空间向量的一种重要运算，它在几何和物理中有着广泛的应用。
1.2 教学目标通过本章的学习，使学生理解空间向量的数乘运算的定义和性质，掌握数乘运算的计算方法，并能够应用数乘运算解决实际问题。
第二章：空间向量的数乘运算2.1 数乘运算的定义定义：对于空间向量a和实数k，它们的数乘运算定义为新的空间向量ak，即ak = k a。
2.2 数乘运算的性质性质1：交换律，即对于任意实数k和空间向量a，有ak = ka。
性质2：结合律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a，有(k1 k2) a = k1 (k2 a)。
性质3：分配律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a、b，有(k1 + k2) a = k1 a + k2 a。
2.3 数乘运算的计算方法计算方法：对于空间向量a = (a1, a2, a3)和实数k，数乘运算ak = k a的结果为新的空间向量ak = (ka1, ka2, ka3)。
第三章：数乘运算的应用3.1 数乘运算在几何中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)和实数k，求向量ak的长度。
解：由数乘运算的定义，得到ak = k a = (k, 2k, 3k)。
由向量长度的计算公式，得到|ak| = √(k^2 + (2k)^2 + (3k)^2) = √(14k^2)。
3.2 数乘运算在物理中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)表示一个物体的位移，求该物体位移的2倍。
解：由数乘运算的定义，得到2a = 2 a = (2, 4, 6)。
即该物体位移的2倍为向量(2, 4, 6)。
本章总结：通过本章的学习，我们掌握了空间向量的数乘运算的定义、性质和计算方法，并了解了数乘运算在几何和物理中的应用。
第四章：空间向量数乘运算的图形直观4.1 数乘运算的图形表示通过几何图形的直观展示，让学生理解数乘运算对向量大小和方向的影响。
2.1.4数乘向量
2.1.4 数乘向量(1课时)第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时数乘向量【教学目标】1、知识目标（1）掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；（2）掌握实数与向量的积的运算律.2．能力目标能熟练地运用数乘运算的定义、运算律进行有关计算.3、情感目标通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力.【重点难点】1、重点数乘向量的定义、运算律。
2、难点正确运用法则、运算律，进行向量的线性运算.案例（一）板书设计教学设计1、直观感知向量的数乘意义.教师――已知非零向量a ，作出a+a+a 和（－a ）+（－a ）+（－a ），你能说明它们的几何意义吗？以问题引入，突出问题，同时明确了探究方向.学生――首先完成作图，再探究它们的几何意义. 师生――讨论，交流.如图：因为BC AB OA OC ++=＝a+a+a ，类似数的乘法，我们把a+a+a 记作3a ，这时，3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍.同样，++=＝（－a ）+（－a ）+（－a ）＝3（－a ）.这是3（－a ）的方向与a 的方向相反，3（－a ）的长度是a 的长度的3倍，这时3（－a ）＝－3a .2、总结归纳向量数乘运算及其几何意义.教师――从前面实例发现，我们可以规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这个积向量的方向、大小如何规定呢？学生――结合实例尝试合情给出结论. 师生――讨论，交流总结.设λλ,R ∈ a 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，它的长度与方向规定如下： （1）λ=（2）当λ＞0时，a λ的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，a λ的方向与a 的方向相反.当0λ= 时，0a λ= ．3、类比发现向量数乘运算律.教师――引入向量数乘运算后，同样考察这种运算的运算律是一个自然的问题，请结合实数的乘法运a a a a-a-a -a O AC P Q M N算律，类比向量数乘的运算律，并画图加以验证.学生――探讨，讨论，交流，并画图验证. 师生――讨论，交流总结.设μλ、为实数，那么我们把向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 4、例题与练习.教师――出示P88例1，例2投影片，要求学生完成例题. 学生――完成例题.师生――交流答案，规范解题格式.（1）向量的线性运算，与代数的多项式运算类似. （2）向量方程与代数方程类似。
高一数学向量的数乘运算教案
高一数学向量的数乘运算教案教案标题：高一数学向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念及其性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学重点：1. 向量的数乘运算的概念及性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。
教学难点：1. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学实例、教学素材；2. 学生准备：教材、练习册。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入向量的数乘运算的概念，通过实例说明数乘运算的意义和作用。
2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？Step 2：向量的数乘运算的性质1. 介绍向量的数乘运算的性质，如数乘运算的交换律、结合律等。
2. 通过示例演示和讲解，帮助学生理解和掌握这些性质。
Step 3：向量的数乘运算的计算方法1. 讲解向量的数乘运算的计算方法，即将向量的每个分量与数相乘。
2. 通过例题演示，引导学生掌握向量的数乘运算的计算方法。
Step 4：练习与巩固1. 给学生提供一些练习题，让学生在课堂上进行练习。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
Step 5：拓展与应用1. 引导学生应用向量的数乘运算解决实际问题，如力的合成、速度的计算等。
2. 提供一些实际问题的例子，让学生思考并运用向量的数乘运算解决。
Step 6：归纳总结1. 通过讨论和总结，归纳向量的数乘运算的要点和注意事项。
2. 教师对本节课的内容进行总结，并展示相关的课堂笔记。
Step 7：作业布置1. 布置一些练习题作为课后作业，巩固学生对向量的数乘运算的理解和掌握。
2. 鼓励学生自主学习，提出问题并及时解答。
教学反思：1. 教学过程中，要注意与学生的互动，引导学生积极思考和参与讨论；2. 针对学生的不同理解程度，灵活调整教学方法和策略，确保每个学生都能够理解和掌握向量的数乘运算；3. 给予学生充分的练习机会，加强对向量的数乘运算的巩固训练；4. 鼓励学生运用向量的数乘运算解决实际问题，提高学生的应用能力。
北师大版高中必修43.1数乘向量课程设计
北师大版高中必修43.1数乘向量课程设计一、课程设计目的和意义“数乘向量”是高中数学的重要内容，对于学习线性代数等数学课程的后续铺垫有着重要的作用。
本次课程设计旨在帮助学生全面了解数乘向量的概念与性质，掌握数乘向量的基本计算方法，能够应用数乘向量进行实际问题的计算与解答。
二、教学内容和基本要求（一）教学内容1.向量的基本概念2.向量的加法、减法及其性质3.向量的数乘及其性质4.向量的数量积5.向量的夹角及其性质6.数乘向量的应用（二）基本要求1.理解向量的概念及其基本性质2.熟练掌握向量的加减法运算3.掌握向量的数乘运算及其性质4.了解向量的数量积，并能应用于实际问题5.了解向量夹角的概念及其性质6.能够应用数乘向量进行实际问题的计算与解答三、教学方法本次课程设计采用“探究式教学法”与“实践教学法”相结合的教学方式，通过让学生自主探究向量的加减法与数乘运算的规律，深入理解向量的概念与性质；通过实际案例让学生掌握数乘向量的应用方法。
四、教学过程（一）引入通过引导学生通过生活实例、动画视频等方式观察向量的概念与性质，激发学生学习本课程的兴趣。
同时介绍向量的基本概念与符号表示等基础知识。
（二）探究向量的加减法1.教师引导学生通过举例分析向量的加减法规律，结合PPT等多媒体教学工具进行示范。
2.学生在理解规律的基础上，通过小组合作自主演示，加深对向量加减法的掌握。
（三）探究向量的数乘运算1.教师通过生活案例等方式，引导学生自主探究向量的数乘规律，并进行示范。
2.学生结合课堂例题，自主完成探究任务，并向全体同学进行展示与交流。
（四）向量的数量积、夹角1.教师通过实际案例等方式，引导学生了解向量数量积的概念，并进行数学符号表示。
2.结合向量的夹角知识，进行相关计算与例题讲解。
（五）应用数乘向量1.教师提出实际问题，引导学生运用数乘向量的知识进行分析与探讨。
2.学生在小组内讨论并解决问题，向全体同学交流与总结。
向量数乘运算及其几何意义教案
向量数乘运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量数乘的概念及其运算规则。
2. 掌握向量数乘的几何意义。
3. 能够运用向量数乘解决实际问题。
教学重点：1. 向量数乘的概念及其运算规则。
2. 向量数乘的几何意义。
教学难点：1. 向量数乘的运算规则。
2. 向量数乘的几何意义的理解。
教学准备：1. 向量知识的基础。
2. 数乘知识的基础。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，复习向量的基本运算。
2. 引入数乘的概念，复习数乘的基本运算。
二、向量数乘的概念及其运算规则（10分钟）1. 介绍向量数乘的概念：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
2. 讲解向量数乘的运算规则：对于两个向量a和b，以及一个实数c，有ca = (ca1, ca2)，其中a1和a2分别是向量a的两个分量。
三、向量数乘的几何意义（10分钟）1. 介绍向量数乘的几何意义：将一个向量进行数乘，相当于将这个向量按比例放大或缩小。
2. 讲解向量数乘的几何意义：如果将一个向量进行正数数乘，这个向量的大小会放大，方向不变；如果将一个向量进行负数数乘，这个向量的大小会缩小，方向不变。
四、向量数乘的运算性质（10分钟）1. 介绍向量数乘的运算性质：向量数乘满足交换律、结合律和分配律。
2. 讲解向量数乘的运算性质：交换律：ca = ac；结合律：(ca)b = ca(b)；分配律：c(a + b) = ca + cb。
五、向量数乘的应用（10分钟）1. 介绍向量数乘在实际问题中的应用：如在物理学中，力的大小和方向可以通过向量数乘来表示；在工程学中，向量数乘可以用来计算物体的位移等。
2. 讲解向量数乘在实际问题中的应用：通过举例，说明如何运用向量数乘解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，使学生掌握了向量数乘的概念及其运算规则，理解了向量数乘的几何意义，并能运用向量数乘解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生主动参与，通过讲解和实际例子的结合，使学生更好地理解和掌握向量数乘的知识。
数乘向量教案
数乘向量教案教案标题：数乘向量教案教案目标：1. 理解数乘向量的概念及其在几何和代数上的意义。
2. 掌握数乘向量的计算方法。
3. 能够应用数乘向量解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算机、教学PPT、白板、黑板、彩色粉笔、教学素材。
2. 学生准备：笔记本、铅笔、直尺、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数乘的概念：回顾学生已学过的数的概念，向学生提问：“你们知道什么是数吗？数可以用来做什么？”2. 引入向量的概念：向学生解释向量的概念，并与数进行比较，强调向量具有方向和大小的特点。
3. 引入数乘向量的概念：向学生解释数乘向量的意义，即用一个数去放大或缩小一个向量的大小，同时保持其方向不变。
二、探究与讨论（15分钟）1. 数乘向量的计算方法：通过几何和代数两个方面进行讲解，引导学生理解数乘向量的计算方法。
a. 几何方法：通过示意图让学生观察数乘向量的效果，引导学生发现数乘向量的特点。
b. 代数方法：通过具体的向量坐标进行计算，让学生掌握数乘向量的代数计算方法。
2. 数乘向量的性质：让学生通过实际计算验证数乘向量的性质。
a. 0与向量的关系：0乘以任何向量都等于零向量。
b. 负数与向量的关系：负数乘以向量相当于将向量反向。
三、拓展应用（20分钟）1. 实际问题解决：通过实际问题的引导，让学生应用数乘向量解决实际问题。
a. 速度与位移的关系：给出一个速度向量和时间的问题，让学生计算位移向量。
b. 力与位移的关系：给出一个力向量和位移向量的问题，让学生计算功的大小。
2. 数乘向量的几何意义：通过几何图形的展示，让学生理解数乘向量在几何上的意义。
a. 数乘向量的放大与缩小：通过示意图展示数乘向量的放大和缩小效果。
b. 数乘向量的方向：通过示意图展示数乘向量的方向与原向量的关系。
四、总结与评价（10分钟）1. 总结数乘向量的概念及计算方法。
2. 回顾数乘向量的性质和应用。
3. 学生自主评价：让学生自主评价本节课的学习效果，并提出问题和建议。
数乘向量教案
学科：数学上课日期：2014年12月15—12月19日班级或专业：13秋数学模块D本课主题：数乘向量一、条件分析学情分析本节课是在学生已经学习了向量的加、减法的基础上进行学习的，虽然学生已经了解了向量的一些基本运算，但在本节课中出现了符号的判断和向量的证明，是本节课的重点也是学生的难点。
教材分析学生已学习了向量的加、减法运算，知道用作图的方法来求两个向量的和向量和差向量，在本节课的学习中，学生会遇到的困难有：数乘向量运算时的符号确定；数乘向量的证明，为此在教学中要注重数形结合的学习方法。
二、教学结构化一）三维目标知识与能力目标1.通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
2.熟练运用定义、运算律进行有关计算。
3.能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
过程与方法目标理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
情感态度与价值观通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
三、 教学过程一、知识回顾问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的运算法则？二、新知探究 我用的力的大小记为【探究1】 已知非零向量a ，作出a 21，aa 3-2和和向量a 的积叫做数乘向量。
a k 。
0=a k ；a k a k k a a k .=倍，即的模的的模是；方向相同；与a a k 方向相反；与a a k 课堂练习已知非零向量a ，作出a 31，aa 23-和（1）)().(a n m a n m =；练习册P113、114页。
《向量的数乘运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.3 向量的数乘运算》教案【教材分析】实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
【教学目标与核心素养】 课程目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【教学过程】 一、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.aaa ()()()a a a二、预习课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、定义实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．λaλa||||||λaλaλλa a0λλa a 0λ0a0λaa bλμ()λμaλaμa()()λμaλμa()λa bλaλbb aλbλa【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y .【答案】1、－53i －5j . 2、⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .．【解析】1、原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .2、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .题型二 向量线性运算的应用例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －12c .【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .解题技巧： (用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→＝14a －b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .题型三 共线定理的应用例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.【解析】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.【解析】1、证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2、解 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题. 【教学反思】向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A 和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.《6.2.3 向量的数乘运算》导学案【学习目标】 知识目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.核心素养l aa1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本13-16页，填写。
数乘向量教案
数乘向量教案数乘向量教案一、教学目标：1.了解数乘向量的概念和性质；2.能够进行数乘向量的计算；3.能够应用数乘向量解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重点：1.理解数乘向量的含义；2.掌握数乘向量的运算规律。
三、教学难点：1.掌握数乘向量的运算性质；2.能够正确应用数乘向量解决问题。
四、教学准备：白板、黑板、投影仪、教学课件、习题手册、学生练习册。
五、教学过程：1.导入（5分钟）引导思考：你知道什么是向量吗？向量有哪些性质？向量能够进行哪些运算？激活前期知识，为本节课的学习做铺垫。
2.概念讲解（10分钟）向量的数乘：数乘向量，即将一个实数与一个向量相乘的运算。
具体表达式为：k·A，其中k为实数，A为向量。
数乘向量的含义：数乘向量就是将一个向量的大小进行伸缩或缩小。
性质：a) 零向量的数乘：0·A=0；b) 数与向量的乘法分配律：(k+m)·A=k·A+m·A；c) 数与向量的乘法结合律：k·(m·A)=(km)·A；d) 数的加法与向量的乘法交换律：k·(A+B)=k·A+k·B。
3.计算例题（15分钟）通过例题的演示，引导学生进行数乘向量的计算。
例题一：计算2·(3,4)。
解：2·(3,4)=(2·3,2·4)=(6,8)。
例题二：计算(-1)·(2,5)。
解：(-1)·(2,5)=(-1·2,-1·5)=(-2,-5)。
4.练习（10分钟）让学生进行练习，巩固数乘向量的计算。
练习一：计算3·(1,2,3)。
练习二：计算(-2)·(-1,3)。
5.实际应用（15分钟）通过实际问题进行应用，激发学生的思维和创新能力。
问题一：小明去市场买柠檬，他买了2斤柠檬，每斤价格为3元。
向量的数乘运算-1教案
教案2． 特例的点明(1) 当λ＝0时，|||0||0|||0||0a a a a λ====，所以，0a ＝0．这说明0与任意向量数乘运算的结果均为零向量．(2) 当a ＝0时，||||||||||00a λλλλ===⋅=00，所以，λ0＝0．这说明零向量与任意实数数乘运算的结果均为零向量．3． 小练习：已知向量a 如图所示，求作向量b ＝0.5a ，向量c ＝－2a ．关辨析以及定理的推倒过程都有着重要的作用．3． 这个练习一方面是对定义的直接应用．另一方面也为后面对几何意义进行理解所做的铺垫．环节2 加深向量数乘运算的几何意义的理解 1． 给定非零向量a ，并分别对λ＞1，λ＝1，λ∈(0,1)， λ＝0， λ∈(－1,0)， λ＝－1， λ＜－1几种情况下，λa 的长度与方向进行分析．2． 模拟λ连续变化时，数乘向量随λ变化而变化的情况，从几何直观上感受数乘运算的效果：非零向量的数乘运算，相当于对向量a ，延其所在直线方向的拉伸或压缩，其中，当 λ＜0时，可以看作是反向的伸缩． 本环节的意图是帮助学生从形上加深对向量数乘运算的理解．其中第2小部分如果用动画展示，更容易看出“伸缩”．环节3 猜想并验证向量数乘运算的运算律 1． 类比数量乘法的运算律，写出向量数乘运算可能满足的运算律．2． 通过几何作图的方式逐一验证上述运算律．3． 总结3条运算律并点明特例向量数乘运算律：(1) λ(μa )＝(λμ)a ＝(μλ)a ＝μ(λa )； (2) (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3) λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 特别的，λ(－a )＝(－λ)a ＝－(λa )；(λ－μ)a ＝λa ＋(－μ)a ＝λa －μa ； λ(a －b )＝λa ＋λ(－b )＝λa －λb ．定义了新的运算以后，考察它的运算律是一个自然的问题．希望学生经历并内化研究运算的一般过程． 1． 通过类比的方式猜想向量数乘的运算律，类比是发现和提出问题的重要方法．2． 运算律的证明难度较大，故本课只对运算律进行简单的作图验证．这也相当于运算律的几何意义． 作图验证的过程也是对向量数乘运算定义的再巩固．3．验证运算律之后，还需要对运算律进行再认识．“特别的”是从一般再到特殊的过程，特殊的结论也有特殊的价值．第一条结论使得我们对负号的处理更加灵活，最后两条说明向量数乘运算对于数量和向量的减法也都满足分配律．这些都与数量的乘法类似．环节4 定义向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量．对于任意向量a与b，以及任意实数λ, μ1, μ2，λ(μ1a ±μ2b)＝λμ1a ±λμ2b .体会向量线性运算与数量运算之间的相似性．例题例1点C在线段AB 上，且52=ACBC，则_____=AC AB，_____=BC AB．分析：作出图形，依照向量数乘运算的定义，即可得到答案．第一个空应填57，第二个空应填27-．例1本题是对定义的逆向应用，通过两向量长度和方向的关系，找到二者的运算关系．例2判断下列结论的正误：①0a＝0；②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；③若λa＝λb，则a＝b；④若λa＝μa，则λ＝μ．分析：①题目是数量0乘以向量a，属于数乘运算，结果应为向量，而等号右边却是数量0，因此是错误的．例2第1小题的设计意图是使学生明确两件事：一是向量数乘运算的结果是一个向量；二是数量0与向量0在表示上的区别．后三个小题，一方面加深对数乘运算的理解，另一方面可以与数量乘法运算的相关ABCD 的两条对角a =AB ，b =AD ，表示向量MA 和MB ．和点Q 分别在线段BD ＝6DP ，AQ ＝2QC ，用表示向量AP 和PQ ．在□ABCD 中，a =+=+AC AB AD a =-=-DB AB AD 121()21122a b a b =-=-+=--MA AC ，11(22a ==-MB DB (2) 在△ADP 中，161()61566b b a b a b =+=+=+-=+.AP AD DP DB在△APQ 中， 2321()(361126a b a a b =-=-=+-+=-.PQ AQ APAC AP 这节课，我们类比数量的乘法定义了向量14 AD AB ，DE 相交于点 E ，△ ABC 的中线N ．设AB ＝a ，AC ＝分别表示向量AE ，BC ，DE ，DB ，EC ，DN ，AN ．。
教学设计(数乘向量)
《数乘向量》教学设计一、教材分析：向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.引进向量运算后才使显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分表达了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量a表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、学情分析：学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经慢慢适应了高中的课程和高中的教学方式。
只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。
同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。
三、教学目标：1、知识与技能掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；了解实数与向量积的运算律；会利用向量共线定理证明点共线或线平行。
2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。
3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法〔从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等〕；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。
四、教学重难点教学重点：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；2．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。
教案平面向量的数乘运算
教案：平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入向量的概念，回顾向量的定义和表示方法。
2. 引入数乘运算的概念，解释数乘运算的含义。
二、平面向量的数乘运算规则1. 展示平面向量的数乘运算例子，引导学生总结数乘运算的规律。
2. 讲解平面向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘法以及向量的数乘。
三、数乘运算的性质1. 引导学生思考数乘运算的性质，如交换律、结合律等。
2. 讲解数乘运算的性质，并通过示例进行说明。
四、数乘运算在实际问题中的应用1. 给出实际问题，引导学生运用数乘运算进行解决。
2. 讲解数乘运算在实际问题中的应用方法，如速度和加速度的合成等。
五、巩固练习1. 提供练习题，让学生独立完成，巩固对数乘运算的理解和应用。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示向量和数乘运算的示例和性质。
2. 练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对数乘运算的理解程度和应用能力。
3. 学生练习题的完成情况。
教学时间安排：1. 第一节课：介绍平面向量的数乘运算概念。
2. 第二节课：讲解平面向量的数乘运算规则。
3. 第三节课：讲解数乘运算的性质。
4. 第四节课：讲解数乘运算在实际问题中的应用。
5. 第五节课：巩固练习和解答学生问题。
教案：平面向量的数乘运算（续）六、数乘运算与向量长度的关系1. 回顾向量长度的定义和计算方法。
2. 讲解数乘运算与向量长度的关系，引导学生理解数乘运算对向量长度的影响。
七、数乘运算与向量方向的关系1. 讲解数乘运算与向量方向的关系，包括数乘运算对向量方向的影响。
2. 引导学生通过示例理解数乘运算对向量方向的影响。
八、数乘运算的逆元素1. 引入逆元素的概念，解释数乘运算的逆元素。
数乘向量教案
【教学目标】
1.知识目标：
(1)理解数乘向量的定义及其几何意义；
(2)掌握数乘向量的运算律；
(3)理解向量的线性运算的概念，并能够进行向量的线性运算；
(4)理解向量平行基本定理。
2.能力目标：
通过设置问题情景，培养学生的判断、归纳和推理能力
3.情感目标
（1）通过自主探究，激发学生学习数学的兴趣；
（2）通过对数学问题的讨论，培养学生严谨的科学态度；（3）通过本节课的学习，培养学生善于探索的思维品质。
【教学重点】
数乘向量运算及运算律，平行向量基本定理。
【教学难点】
平行向量基本定理的理解及应用。
【教学方法】
问题探究式；训练与实践式；基于信息技术的教学方法
【教学过程设计】
1.复习回顾：
（1）向量的加法的三角形法则
（2）向量的加法的平行四边形法则。
《空间向量的数乘运算》教案
《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景在高中数学中，向量是描述物理运动、几何图形等方面的重要工具。
数乘运算作为向量运算的基础，对于学生理解和掌握向量的性质和运算规律具有重要意义。
1.2 教学目标通过本章学习，使学生了解数乘运算的概念，掌握数乘运算的性质和运算规律，能够运用数乘运算解决实际问题。
第二章：数乘运算的定义及性质2.1 数乘运算的定义定义：对于向量a和实数λ，数乘运算定义为λa，记作λa。
2.2 数乘运算的性质性质1：交换律对于任意实数λ和μ，有λa = μa。
性质2：结合律对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
性质3：分配律对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
第三章：数乘运算的运算规律3.1 数乘运算与向量长度的关系数乘运算不改变向量的长度，即|λa| = |a|。
数乘运算不改变向量的方向，即λa与a同向或反向。
第四章：数乘运算的应用4.1 数乘运算在几何中的应用数乘运算可以用来放大或缩小向量，例如，在几何作图中，可以通过数乘运算来构造特定长度的向量。
4.2 数乘运算在物理中的应用在物理学中，数乘运算可以用来表示向量的速度、加速度等物理量的倍数。
第五章：小结与练习5.1 数乘运算的概念和性质本章学习了数乘运算的定义及性质，包括交换律、结合律和分配律。
5.2 数乘运算的运算规律本章学习了数乘运算与向量长度和方向的关系。
5.3 数乘运算的应用本章学习了数乘运算在几何和物理中的应用。
1. 判断下列命题的正确性：(1) 对于任意向量a和实数λ，λa = μa。
(2) 对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
(3) 对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
2. 判断下列命题的正确性：(1) 数乘运算会改变向量的长度。
高中数学 2.2.3数乘向量教案
2.3从速度的倍数到数乘向量一、教学目标： 1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 二.教学重、难点重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】1．思考: （引入新课）已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )−→−OC =−→−−→−−→−++BC AB OA =a +a +a =3a−→−PN =−→−−→−−→−++MN QM PQ =(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：① 3a 与a 方向相同且|3a |=3|a | ② -3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λaaaa aO A B C a -a -a -a-N MQP①|λa |=|λ||a|②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =（请学生自己解释其几何意义）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）例1.（见P96例1）略 [展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
向量的数乘教案
向量的数乘教案教案：向量的数乘教学目标：1. 了解向量的数乘的概念和性质。
2. 掌握向量的数乘的计算方法。
3. 能够应用向量的数乘解决简单的几何问题。
教学重点：1. 向量的数乘的概念和性质。
2. 向量的数乘的计算方法。
教学难点：1. 向量的数乘的性质的理解与运用。
2. 向量的数乘与几何问题的联系。
教学准备：白板、黑板笔、教学课件、练习题。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）1. 向学生展示一个重量物品的图像，并询问学生这个图像代表的是什么，并引导学生思考一个问题：如果这个重量物品增加2倍重量，该如何表示？2. 引导学生思考数乘概念，引出向量的数乘的概念。
Step 2：向量的数乘的概念与性质（10分钟）1. 讲解向量的数乘的概念：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个实数。
2. 引导学生思考数乘的性质：数乘的结果仍然是一个向量，数乘后的向量与原向量的方向相同或相反，数乘后的向量的大小是原向量的大小的乘积。
Step 3：向量的数乘的计算方法（15分钟）1. 讲解向量的数乘的计算方法：将实数分别乘以向量的每个分量。
2. 在黑板上进行示范演示，引导学生逐步理解向量的数乘的计算方法。
Step 4：向量的数乘的应用（15分钟）1. 引导学生思考数乘在几何问题中的应用。
例如，一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，经过3小时，汽车行驶的距离如何表示？2. 让学生独立思考并解答应用题，加深对向量的数乘的应用理解。
Step 5：练习与巩固（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成，再进行学生讲解答案。
2. 在学生出现错误或不理解的地方进行解答和讲解。
Step 6：小结与反思（5分钟）1. 总结向量的数乘的概念、性质和计算方法。
2. 引导学生思考向量的数乘在几何问题中的应用。
教学延伸：1. 调查与讨论向量的数乘在实际生活中的应用，例如速度、力和功等。
2. 深入研究向量的数乘的性质和计算方法，并解决更复杂的几何问题。
教学设计1：2.1.4 数乘向量
必修四第二章 平面向量2．1.4 数乘向量教学目的：知识目标：掌握向量加减法的混合运算，并理解其几何意义通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：向量数乘的定义及运算教学难点：向量数乘的定义及运算教学过程：导入新课Ⅰ.复习回顾前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.Ⅱ.讲授新课在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.1.一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当 时，λa a λ||||||a a λλ=0λ>a λa 0λ<a λa 0λ=0a λ=2.实数与向量的积的运算律：（1）（结合律）；（2）（第一分配律）；（3）（第二分配律）．特别地，（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－a ）λ（a －b ）＝λa －λb说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.3.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .说明：(1)推证过程引导学生自学；(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.应用示例例1 计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1）原式＝(－3⨯4) a ＝－12a ；（2）原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b（3）原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c 。
高中数学向量乘法教案
高中数学向量乘法教案
一、教学目标
1. 理解向量的乘法定义及性质。
2. 掌握向量的数量积和叉积的计算方法。
3. 能够应用向量的乘法解决实际问题。
二、教学重点和难点
1. 向量的数量积和叉积的定义和性质。
2. 向量乘法的计算方法。
三、教学准备
1. 教材《高中数学》相关知识点。
2. 讲义、PPT等教学工具。
3. 实例题和习题。
四、教学过程
1. 导入：通过一个与向量有关的实际问题引入向量乘法的概念，激发学生对向量乘法的兴趣。
2. 讲解：分别介绍向量的数量积和叉积的定义、性质和计算方法，重点强调向量的乘法的几何意义。
3. 实例演示：通过多个实例题演示向量乘法的具体计算过程，帮助学生掌握计算方法。
4. 练习：让学生在黑板上计算几道习题，巩固所学的知识。
5. 拓展：讲解向量乘法在几何和物理问题中的应用，引导学生思考如何应用向量乘法解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调向量乘法的重要性和应用。
五、课堂作业
1. 完成课后习题。
2. 思考如何应用向量乘法解决一个真实的问题，并进行写作。
六、教学反思
通过本节课的教学，学生对向量的乘法有了初步的了解，但是在实际问题的应用中还存在很多困难，需要进一步训练和指导。
下节课可以继续深入向量的乘法应用，帮助学生更好地掌握相关知识。
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2.1.4数乘向量
教学目标：
1.掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义；
2.掌握实数与向量地积地运算律
教学重点：掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义
教学过程
一、复习引入：
1.向量地概念
2.向量地表示方法
3.向量地加法，减法及运算律
二、讲解新课：
1．实例引入：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a
) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a
PN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a
（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a | 2．实数与向量地积地定义：实数λ与向量a 地积是一个向量，记作：λa ，λa 地长定义为|λa |=|λ||a |，λa 地方向定义为：λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反.λ=0或a =0时规定：λa =0
3．数乘地几何意义就是把向量a 沿向量a 地方向或反方向放大或缩小.
4．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a
① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa
② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③
例1
（1）;2
1)4(a ⨯
- （2）);(3)(2b a b a +-- （3）);)(())((b a b a +---+μλμλ
变式训练：计算 8（2a -b +c ）-6（a -2b +c ）-2（2a +c ）=
例2设x 是未知向量，解方程0)(3)(5=-++b x a x
例3凸四边形ABCD 地边AD 、BC 地中点分别为E 、F ，求证EF ＝
2
1(AB +DC ).
变式训练：已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=.作图判断A 、B 、C 三点之间地位置关系？
小结：实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义；实数与向量地积地运算律
课堂练习：第89页练习A 、B。