2.7勾股定理的应用(2)

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勾股定理的应用 (2)

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少？
D
C
B
10尺 11尺 10尺
A
例1.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少？
如图，某隧道的3.6m，宽3m满载货物的货车能通过该隧道吗？
C
B
A
没办法，完全通不过
例2 .如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m，宽3m的货车能通过该隧道吗？
（必做）1、一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m，若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，求梯子的长度。
1m
4m
（选做）2、小英想用一条36cm长的绳子围城一个直角三角形，其中一条边的长度为12cm，求另外两条边的长度。
水面D C
B
水池
A
有一个水池，水面是一个边长为6尺的正方形，在水面正中央有一根9尺长的芦苇，芦苇部分折断，尖端恰好落在池边的底部,求折断处离水池底部有多高？
例2 .如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m，宽3m的货车能通过该隧道吗？
太好了，顺利通过了
可惜，刚好通不过

2.7 勾股定理的应用

2.7 勾股定理的应用[趣题导学]你知道吗？勾股定理从被发现至今已有五千多年的历史了.东方的几个文明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组.古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理.我国也是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中.相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理.国外人通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.[双基锤炼]一、选择题1、等腰直角三角形三边长度之比为（）A.1：1：2B. 1：1：2C. 1：2：3D.不确定2、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）A.18 cmB.20 cmC.24 cmD.25 cm3、一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是（）A. 1.5mB. 0.9mC. 0.8mD. 0.5m4、如图2.7-1，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC的长分别为6和8，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A.2B.3C.4D.55、一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为（）A.440 mB.460 mC.480 mD. 500 mACBDE图二、填空题6、如图2.7-2，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，AD=12，AC=13，BC=14. 则AB=_____.7、如图2.7-3是一个育苗棚，棚宽a=6m ，棚高b=2.5m ，棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m 2、 8、在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图2.7-4所示，地毯的长度至少需要___________m 、9、小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m.1610、王刚的身高为1.70m ，现想摘取高5.70m 处的一个椰子，为了安全需要，使梯子底端离椰树根部3m ，那么梯子较合适的长度是__________m. 三、解答题11、如图2.7-5，△ABC 中，AB=15cm ，AC=24cm ，∠A=60°，求ABCD图bd a 图135m图BC 的长.CBA图2.7-512、甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1小时，甲往东走了4km ，乙往南走了6km 、⑴这时甲、乙两人相距多少km ？⑵按这个速度，他们出发多少小时后相距13km ？DCBA[能力提升] 一、综合渗透1、如图2.7-6，AD ⊥CD,AB=10,BC=20, ∠A=∠C=30°,求AD 、CD 的长.2、第七届国际数学教育大会的会徽如图2.7-7.它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积.OA 1OA 2OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8二、应用创新1、如图 2.7-8,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到图A ·32 2B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？2、如图2.7-9，在正方形ABCD 中，E 为AD 的三等分点，且AE=13AD ，G 为DC 上一点，且DG ：GC=2：7，那么BE 与EG 垂直吗？为什么？GED CBA图2.7-93、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米.今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）4、如图2.7-10所示的一块土地，经测量可知AD=12m，CD=9 m，∠ADC=90°，AB=39 m，BC=36 m，根据测量出的数据，你能求出这块土地的面积吗？ADC B图2.7-10三、探究发散1、一块长4m，宽2.18m的薄木板能否从一个宽1m、高2m的门框内通过？试说明理由、2、如图2.7-11，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)[链接中考]1、如图2.7-12是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）图图A.cm85 B. cm97 C. 109cm D. cm92、如图2.7-13，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和3㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是㎝、参考答案[双基锤炼]一、选择题1、B2、D3、C4、B5、C二、填空题6、157、658、179、16 10、5三、解答题11、解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠A=60°，图A D∴∠ACD=90°—∠A=90°—60°=30°. ∴AD=()112412.22AC cm =⨯=222222412432,1512 3.CD AC AD DB AB AD =-=-==-=-=在Rt △BDC 中，()22223432441,21.BC DB CD BC cm =+=+=∴= 12、（1）13（2）132[能力提升] 一、综合渗透1、解：过点B 分别向作两边AD 、CD 的垂线BE 、BF.在Rt △ABE 中，∵∠A =30°，∴BE=12AB=5.∴22221057553AB AE -=-= 在Rt △CBF 中，∵∠C =30°，∴BF=12BC=10.∴22222010300103BC BF -=-== 在矩形BEDF 中，DF=BE=5，DE=BF=10. ∴AD=AE+ED==53＋10；CD=CF+DF ＝103＋5.2、F图2.1-2CBOA 1OA 2 OA 3 OA 4 OA 5OA 6OA 7 OA 8232567223这82325672237270=二、应用创新 1、25dm2、解：连接BG ，设2,DG a =则7,9.GC a DC a AD =∴==∴1193.33AE AD a a ==⨯=则936.ED a a a =-= ∴在Rt△ABE 中，()()2222229390;BE AB AE a a a =+=+=在Rt △EDG 中，()()2222226240;EG ED DG a a a =+=+=在Rt△BC G 中，同理可得()()222297130.BG a a a =+= ∴222.BG BE EG =+∴△BEG 是以BG 为斜边的直角三角形，即∠BEG=90°，∴BE ⊥EG.3、如右图所示，作DE ⊥AB 于E ，则DE=BC=12，128312BDE第3题BDA GE 第4BE=CD=3 ，∴AE=8—3=5. 在Rt△A DE 中，222251213.AD AE DE =+=+=∴小鸟飞行的最短距离是13米. 4、解：连结AC.在Rt △ADC 中，22222129225,15.AC CD AD AC =+=+=∴=在△ABC 中，222221521,15361521.AB AC BC =+=+= ∴2220,90AB AC BC ACB =+∴∠=， ∴1122ABC ACD S S AC BC AD CD ∆∆-=-()21115361292705421622m =⨯⨯-⨯⨯=-=. 答：这块土地的面积是216平方米. 三、探究发散15 2.236≈.因为2.18 2.236<，所以木板能从门框内通过. 2、19.5m [链接中考] 1、B 2、5BD第4。

八年级数学 2.7勾股定理的应用课件2

图2
沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些无理数?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
利用图2你们能在数轴上画出表示 5 的点吗?请动手试一试！
怎样在数轴上画出表示 5 的点呢?
2z 3y
5
x2 1
6
1
图2
在数轴上表示 6, 7 ， 6, 7 的点怎样画出?
图2中的图形的周长和面积分别是多少?
∴ BD1BC163
22
在Rt△ABC中，
B
D
C
图4
A D A2 B B2D 6 2 3 22 7 5 .196
∴ S C 1 2 BA C D 1 2 6 5 .1 9 1.5 6 5 1 8.6 5
1、如图5，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，求△ABC的面积。
2 、如图 6 ，在 △ ABC 中，
2.7 勾股定理的应用(2)
把勾股定理送到外星球,与
外星人进行数学交流！
——华罗庚
看一看,想一想
这些图形有什么共同特征?
a
b
c
问题
• 你知道与下图的等腰三角形有关的哪些数据信息呢？
周长为
面积为
１.２
仔细想想!
图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少?
2x
1
1
图1
2z 3y
x2 1 1
周长是6
2z 3y
5
x2 1
6
1
面积是 1 2 3
图2
22 2
你们能说出 1 2 的实际意义吗？2 2
如图，求四边形ABCD的周长和面积。Biblioteka A1216

数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图

学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。

2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。

3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。

学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。

教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。

活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。

活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。

a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。

（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。

设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。

2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。

活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。

活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。

2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。

勾股定理的应用(2)

2.7勾股定理的应用(二) --- [ 教案] 班级姓名学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。

发展学生的分析问题能力和表达能力。

3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。

积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。

重难点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数.3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；.图1中的x 等于多少?图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；图1x 11z y 11x图2例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。

（五）尝试应用，反馈矫正2如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。

如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。

（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？（七）尝试应用，反馈矫正1如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。

勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高（九）布置作业D CBA图6图9D CBA。

勾股定理的应用-课件

02
在实际应用中，可以利用勾股定理来检验一个三角形是否为直角三角形，从而确定角度和边长之间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的一组边长满足勾股定理，则这个三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判断一个三角形的角度和边长是否满足直角三角形的条件，从而确定其是否为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是否为直角三角形，只需验证三边关系是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三角形的稳定性，因为只有直角三角形满足勾股定理，所以只有直角三角形是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于计算气象气球上升的高度和速度，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确到达目的地。

2.7.2勾股定理的应用

2.7．2勾股定理的应用【学习目标】能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．【重难点】在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值【预习指导】一、学前准备1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（）．（A）4 （B）4或34 （C）16或34 （D）42．以下列各组数线段a、b、c为边的三角形中，不是直角三角形的是（）．（A）a=1．5，b=2，c=3 （B）a=7，b=24，c=25（C）a=6，b=8，c=10 （D）a=3，b=4，c=53．若三角形的三边长a、b、c满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）．（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）何类三角形不能确定4.如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？二、合作探究CD=12cm，BC=13cm，且∠A=90°，请你提出一个合理问题，让同学来解决。

C【典题选讲】1、如图，是一块由边长为20cm 的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处，•它想先后吃到小朋友撒在B 、C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？2、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，22，5；（3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4．【学习体会】从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略．【课堂练习】1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 对的边是a ，∠B 对的边是b ，∠C 对的边是c ．若a=5，b=12，则c=_______；若a=15，c=25，则b=_______；若c=61，b=60，则a=_______；若a ：b=3：4，c=10则S △ABC =________．2．已知直角三角形的两直角边长分别为9和12，则它斜边上的高为_______．3．已知2条线段的长分别为3cm 和4cm ，当第三条线段的长为_______cm 时，这3条线段能组成一个直角三角形4、在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2=________．5、已知一个三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm ，你能计算出这个三角形的面积吗？6、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积．CBA D（编写者：花颖）。

勾股定理的应用计算斜边长度及角度

勾股定理的应用计算斜边长度及角度勾股定理是数学中的一条基本定理，它提供了计算直角三角形中边长关系的方法。

根据勾股定理，斜边的长度可以通过另外两边的长度来计算，同时也可以利用已知的边长计算出两个角的大小。

本文将介绍勾股定理的应用，以及如何计算斜边长度及角度。

一、勾股定理概述勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它由古希腊数学家毕达哥拉斯提出。

勾股定理的表达式为：c² = a² + b²。

其中，c表示直角三角形的斜边，a和b分别表示直角三角形的两条直角边。

根据勾股定理，我们可以通过已知的两边长度来计算出斜边的长度，或者通过已知的斜边长度计算出两个角的大小。

二、计算斜边长度假设我们已知直角三角形的两个直角边a和b的长度，下面是计算斜边c的步骤：1. 将已知的两个直角边长度代入勾股定理的表达式，得到c² = a² +b²。

2. 对上述等式两边开方，得到c = √(a² + b²)。

通过以上步骤，我们可以得到直角三角形斜边的长度。

三、计算角度大小如果我们已知直角三角形的斜边c和一个直角边a的长度，下面是计算另一个直角边b以及两个角的大小的步骤：1. 将已知的斜边长度和直角边长度代入勾股定理的表达式，得到c²= a² + b²。

2. 先求解另一个直角边的长度b。

移项后得到b² = c² - a²，再开方得到b = √(c² - a²)。

3. 通过已知两边的长度，我们可以计算出直角三角形中另外两个角的正弦、余弦和正切值。

a. 正弦：sinθ = 对边长度/斜边长度b. 余弦：cosθ = 临边长度/斜边长度c. 正切：tanθ = 对边长度/临边长度通过求解上述三个公式，我们可以得到两个角的大小。

四、实例演示以一个直角三角形为例，已知直角边a = 3，直角边b = 4，我们来计算斜边c的长度以及两个角的大小。

勾股定理的应用及方法

勾股定理的应用及方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表述为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a 和b，斜边的长度为c，则有a²+ b²= c²。

勾股定理的应用非常广泛，在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。

下面我将介绍一些常见的勾股定理的应用及解题方法。

1. 求解三角形的边长和角度：勾股定理可以用于求解三角形的边长和角度。

当我们已知两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边长。

而已知两边长和夹角时，可以利用勾股定理计算出第三边长或者求解夹角的大小。

例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可以利用勾股定理计算出另一条直角边的长度：3²+ b²= 5²9 + b²= 25b²= 16b = 4同样地，已知直角三角形的两条直角边长度为3和4，可以利用勾股定理计算斜边的长度：3²+ 4²= c²9 + 16 = c²c²= 25c = 52. 解决实际问题：勾股定理也可以应用于解决实际问题。

例如，在测量中，我们经常需要通过已知的边长计算其他未知边长的问题。

有一道经典的应用题是“房子问题”：如果一个房子的两堵墙的长度分别为6米和8米，房子的对角线长度是多少？根据勾股定理可知，对角线的长度即斜边的长度c，可以通过勾股定理求解：6²+ 8²= c²36 + 64 = c²c²= 100c = 10因此，房子的对角线长度为10米。

3. 判断三角形的形状：勾股定理还可以用来判断三角形的形状。

根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a²+ b²= c²，那么这个三角形就是直角三角形。

例如，如果一个三角形的三条边长分别为3、4和5，我们可以通过勾股定理验证这个三角形是否为直角三角形：3²+ 4²= 5²9 + 16 = 2525 = 25由此可见，三角形的三条边满足勾股定理，所以这个三角形是一个直角三角形。

勾股定理的应用

勾股定理的应用勾股定理是数学中的一条基本定理，它帮助我们解决了很多实际问题。

下面我将介绍一些勾股定理的应用，并解释为什么它在我们的日常生活中如此重要。

首先，让我们回顾一下勾股定理的定义。

勾股定理说的是，对于一个直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用公式表示就是a² + b² = c²，其中c代表斜边，a和b分别为两条直角边。

这个定理被公认为古代中国数学之巅之一，由中国古代数学家印知何及发现并证明。

勾股定理的第一个应用是求解直角三角形的边长。

假设我们已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理来求出斜边的长度。

根据勾股定理，c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度c等于5。

这种方法在测量地图中的距离时特别有用，我们可以利用直角三角形的特性来估算两点之间的距离。

勾股定理的第二个应用是求解多边形的边长。

如果我们在一个四边形中已知三条边长，我们可以使用勾股定理来计算第四条边的长度。

假设已知三条边分别为a、b和c，我们可以通过勾股定理的变形来计算第四条边d的长度。

根据勾股定理，d² = c² - (a² + b²)。

这种方法在解决棱镜和其他多边形的测量问题时很有用。

除了几何形状的应用之外，勾股定理还在物理学中起着重要作用。

在牛顿定律中，勾股定理被用来计算施加在物体上的力和物体加速度之间的关系。

例如，当一个物体受到斜向的力时，我们可以使用勾股定理来分解这个力成水平和竖直方向的分量。

这样就能更容易地计算物体的运动轨迹和速度。

另一个重要的应用是在电路中的计算。

在电子学中，我们经常需要计算电阻、电压和电流之间的关系。

勾股定理可以帮助我们计算复杂电路中不同元素之间的相对大小和关联性。

这对于设计和调整电路来说非常重要。

此外，勾股定理还在计算机图形学中得到广泛应用。

勾股定理在实际生活中的应用

勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理是古希腊数学家勾股所提出的，它表明了一个有三个正整
数组成的三角形的三条边（a,b,c）之间的关系，即a^2+b^2=c_2，主要
用于计算三角形中各边的长度，这个定理应用广泛。

1. 三棱锥和其他几何体
勾股定理在解决三角形问题的同时也有助于计算立体几何图面的表面
积和体积，特别是可以用来计算三棱锥的表面积和体积，对于任何一
个具有两个边长的三棱锥，可以使用勾股定理来求解它的底面和顶面
之间的距离，从而算出它的表面积和体积。

2. 建筑计算
勾股定理在建筑计算中也有用到，它可以帮助计算建筑物外墙和屋顶
坡度的高度，或者确定其他三角形形状建筑物的高度。

同时，屋面的
坡度也可以使用勾股定理来计算，因为屋面的坡度也是一个三角形，
勾股定理可以用来确定屋面的高度和角度。

3. 水利
建纳水利也是勾股定理的常用应用，它可以用来计算水渠或水坝底开
口的高度。

由于受水库底部和上部水平面之间的水头高度受到引水渠
容积受限，进一步受到引水渠斜度限制，那么可以使用勾股定理来求
解引水渠底开口高度。

因此，可以用勾股定理确定引水渠中水的流量，从而计算出正确的储水渠的容积。

4. 导航测量
导航测量中也使用到勾股定理，比如用它来计算从某一特定点到特定方位的垂直距离。

对角线距离也可以通过使用勾股定理来进行计算，这是由于当测量站和要测量的点之间存在着三角形关系，用勾股定理就可以求出两点之间的距离。

勾股定理的应用(二)

所以卡车能通过隧道.
书本P62复习题第4题
分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OD,必先求
OC,最先求出OA.
在Rt△AOB中，
AB2 BO2 2.52 0.72 2.4 OA _______________________ . C 2.5
A
在Rt△COD中， OC=OA-AC=2.4-0.4=2
分析只需利用勾股定理看哪一
个矩形的对角线满足要求．
A
图1
B
解 (1) 图1中AB长度为2 2 ．
练习：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） A
3
B
4
12
E
5
G
C
6
F
8
D
4．如图所示，公路MN和公路PQ在P处交汇， ∠QPM=30°，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上以每秒8米的速度从 N往M方向行驶时，学校是否受到噪声影响？若受到影响，影响的时间有多长？并说明理由． [提示：直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。]
A
D
？
CD OD OC
2 2
2
CD OD 2 OC 2
2.5 1.5
2 2
1.5m C 2(m) 分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能否通过，只要看卡车位于隧道中线一因为2＞1.8，高侧时，其右侧高度是否小于（ CD ）. 度上有0.2米的余量，如何求CD呢？
O
.
连接OD，得到RtΔOCD
点C重合在一起,EF为折痕,若AB=8,BC=4.

第10课时勾股定理的应用(2)

第10课时勾股定理的应用(2)预学目标l．初步了解在研究等腰三角形、梯形等问题时，通常通过作底边上的高等辅助线转化为直角三角形，利用勾股定理解决．2．尝试探索解决立体图形中两点间最短路线的问题，体会将立体图形展开转化为平面图形的数学思想方法．3．熟悉利用勾股定理解决拼接、折叠问题的方法：设未知数构造方程求解．知识梳理1．勾股定理在研究等腰三角形问题中的应用如图1，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且ADBD＝______(三线合一)．设BD＝x，则DC＝_______，AB＝BC＝______．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＋AD2＝AB2，即______2＋______2＝______2，解得x＝______，则BC＝2BD＝______，所以S△ABC＝12·BC·AD＝12×______×______＝______．2．勾股定理在研究折叠问题中的应用如图2，有一张直角三角形纸片，两直角边分别为AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，由题意，得△ACD≌_______，则AE＝_______＝_______cm，DE＝_______．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝_______cm，则BE＝______cm．设DE＝x，则DC＝_______，BD＝_______．在Rt△BDE中，由勾股定理，得_______2＋_______2＝_______2，解得x＝_______，所以DE＝_______，BD＝______．例题精讲例1 如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．(1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．提示：第(1)题需展开成平面图形，分三类讨论蚂蚁行走的路线，第(2)题即求AG的长度．锯答：(1)蚂蚁从点A爬到点G可能经过长方体的前面和右面，也可能经过长方体的前面和上面，还可能经过长方体的下面和右面，展开成平面图形如图②．由勾股定理计算出AG55；12(2)如图③，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2．在Rt △ACG 中，由勾股定理，得AG 2＝AC 2＋CG 2＝AB 2＋BC 2＋CG 2＝42＋22＋12＝21，则AG点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为例2 如图，在△ABC 中，若AB>AC ，AE 为BC 边上的中线，AF 为BC 边上的高，试说明AB 2－AC 2＝2BC ·EF ．提示：利用勾股定理将AB 2和AC 2分别表示为另两条线段的平方和．解答：∵AF ⊥BC ，∴在Rt △AFB 中，由勾股定理，得AB 2＝AF 2＋BF 2．在Rt △AFC 中，由勾股定理，得AC 2＝AF 2＋FC 2，∴AB 2－AC 2＝BF 2－FC 2＝(BF ＋FC)(BF －FC)＝BC ·(BF －FC)．∵BF ＝BE ＋EF ，FC ＝EC －EF ，BE ＝EC ，∴BF －FC ＝2EF ．∴AB 2－AC 2＝B C ·2EF ＝2BC ·EF ．点评：此题是勾股定理和乘法公式的综合，当题目中出现线段的平方时，要有主动运用勾股定理的意识，题目中若没有垂直条件，则应尝试作垂线构造直角三角形．热身练习1．一个直角三角形的斜边长比一直角边长长2，另一直角边长为6，则斜边长为 ( )A ．6B ．8C ．10D ．122．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 ( )A ．42B ．32C ．42或32D ．37或333．如图，AB ＝BC ＝DC ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，CD ⊥AC ，DE ⊥AD ，则AE 的长为_______．4．如图，在高5米、长13米的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少为______米．5．在棱长为1的正方体木箱中放入一根细长的直钢管，则钢管的最大长度是______．6．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( )A．5 B．25C．15 D．357．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽，它是由如图②所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…，OA25这些线段中，有______条线段的长度为正整数．8．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AD＝10 cm，AB＝8 cm．求：(1)FC的长．(2)EF的长．参考答案1．C 2．C 3．2 4．17 56．B 7．5 8．(1) FC=4 cm (2) EF =5 cm3。

勾股定理知识归纳勾股定理的应用

勾股定理知识归纳勾股定理的应用勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，以下是由店铺整理关于勾股定理知识归纳的内容，希望大家喜欢!一、勾股定理1、勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4、勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理1、逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b、2、利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数、四、勾股定理的一个重要结论由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。

五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。

江苏省仪征市第三中学八年级数学上册《2.7 勾股定理的

内容：2.7勾股定理的应用(2)学习目标：1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。

学习重点：实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中学习难点：“转化”思想的应用学习过程：一．学前准备：阅读课本第82页到83页，完成下列问题:1、讨论P82中的问题⑴如何求出图中的x 、y 、x ？⑵如何画出5、6、7的线段吗？2、学生看书（学生小组讨论）P83例3、 P84例4 思考：如何得到直角三角形的？二．自学、合作探究：（一）自学、相信自己：1、完成课本P83练习1、2、3及P83-84习题2.7 4、5、62、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米? （提示:画出图形建立直角三角形）3、已知等腰△ABC 的周长为26,AB=AC,且AB=BC+4,求:⑴底边BC 上的高。

⑵△ABC 的面积和一腰上的高。

（二）思索、交流：1、.已知：如图，在△ABC 中，D 为边BC 上的一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5.求△ABC 的面积.2、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？3、一块长4m ，宽2.1m 的薄木板能否从一个宽1m 、高2m 的门框内通过？试说明理由．（三）应用、探究：B A DC A ·· B 3 2 201、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)2、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？三．学习体会：A DE BC。

2.7勾股定理的应用(2)

图1x 11x 1z y1x 8上2.7勾股定理的应用（2）班级姓名学号学习目标能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．构造直角三角形及正确解出此类方程学习难点在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值.要善于运用直角三角形三边关系，关键是根据实际情形准确构造出直角三角形。

教学过程 1．情境创设把勾股定理送到外星球,与外星人进行数学交流！——华罗庚这些图形有什么共同特征?2．探索活动问题一在右图的直角三角形中，利用勾股定理可知 x=2，根据已有的知识，你还知道哪些与这个三角形有关的数据信息吗? 两个锐角都是45°，这个三角形的面积是21，周长是2+2，斜边上的高、中线是22．问题二你知道与下图的三角形有关的哪些数据信息呢?问题三如果要知道一个等边三角形的有关信息，你认为至少需要哪些信息?与同学交．3．例题教学图1中的x 等于多少? 图2中的x 、y 、z 等于多少?沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些无理数?1)利用图2你们能在数轴上画出表示的点吗?请动手试一试！ 2)怎样在数轴上画出表示 5 的点呢? 3)在数轴上表示76，的点怎样画出?例1 如图，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。

1、如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积2、如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。

注: 例1的教学中可以根据教学的实际情况，变换问题的条件(比如等边三角形的角平分线是6cm)，以利于学生进一步认识等腰三角形、直角三角形的基本性质及相互关系；例2 交流材料材料1：如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？材料2：如图8，在△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线AD=24，求AC. 材料3: 如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。

勾股定理的应用

析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路．
D
C
A
B1m2mFra bibliotek做一做
例2 如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4米．（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
练习卷第16题
想一想
八年级
下册
17.1 勾股定理（2）
勾股数 1．在Rt△ABC中，∠C=90°， 1 2 ； 1 1 ； 3 4 8 10 ； 5 13 ； 10 24 9 12 ； 7 25； 15 20
；；；
3 7 1.5
4； 17； 2.5；
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则：a=2，b= ；c= ；b=3，a= ； 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则：a=2，b= ；c= ；b=4，c= ；
B
C
练习卷第15题
A
巩固练习
课本第28页第2题
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？
课堂小结
（1）利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？（2）你觉得解决实际问题的难点在哪里？你有什么好的突破办法？利用勾股定理解决实际问题的注意点是什么？请与大家交流．（3）本节课体现出哪些数学思想方法，都在什么情况下运用？
想一想
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= 5 ≈2.24．因为 5 大于木板的宽2.2 m，所以将实际问题转化为数学问木板能从门框内通过．题，建立几何模型，画出图形，分

2.7勾股定理的应用(2)

勾股定理的应用 (2)

2.7 勾股定理的应用

八年级数学 2.7勾股定理的应用课件2

数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图

勾股定理的应用(2)

勾股定理的应用-课件

2.7.2勾股定理的应用

勾股定理的应用计算斜边长度及角度

勾股定理的应用及方法

勾股定理的应用

勾股定理在实际生活中的应用

勾股定理的应用(二)

第10课时 勾股定理的应用(2)

勾股定理知识归纳勾股定理的应用

江苏省仪征市第三中学八年级数学上册《2.7 勾股定理的

2.7勾股定理的应用(2)

勾股定理的应用

第10课时勾股定理的应用(2)