2013高考文科数学函数压轴题

合集下载

2013年湖北高考文科数学压轴题

2013 年湖北高考文科数学压轴题18．（本小题满分12 分）在△ ABC 中，角 A ， B ，C对应的边分别是 a ， b ， c . 已知 cos2 A 3cos( B C) 1 .（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积 S 5 3 ， b 5 ，求 sin B sin C 的值 .19．（本小题满分13 分）已知 S n是等比数列 { a n } 的前 n 项和， S4， S2， S3成等差数列，且 a2a3a418 .（Ⅰ）求数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）能否存在正整数n ，使得 S n2013 ？若存在，求出切合条件的全部n 的会合；若不存在，说明原因．20．（本小题满分13 分）如图，某地质队自水平川面A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再持续下钻到 A2处后下边已无矿，进而获得在 A 处正下方的矿层厚度为A1 A2 d1．相同可得在 B，C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 d 2， C1C2d3，且 d1 d 2d3 . 过AB，AC 的中点 M ， N 且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2 B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一此中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ ABC 中，记BC a ，BC边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 地区内正下方的矿藏储量（即多面体A1 B1C1 A2 B2 C2的体积 V ）时，可用近似公式V估 S中 h 来估量 . 已知 V 1与 V 的大小关系，并加( d1 d 2 d3 ) S，试判断 V估3以证明 .第 20题图21．（本小题满分13 分）设 a0 ， b0 ，已知函数 f ( x)ax b .x 1（Ⅰ）当a b 时，议论函数 f ( x) 的单一性；（Ⅱ）当 x0 时，称 f (x) 为 a 、b对于x 的加权均匀数.（i ）判断 f (1) , f (b ) ,a f (b ) 能否成等比数列，并证明af ( b )af (b )a；（ ii ） a 、 b 的几何均匀数记为G. 称2ab为 a 、 b 的调解均匀数，记为H .若a bH f ( x)G ，求x 的取值范围.22．（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆C1与 C2的中心在座标原点 O ，长轴均为MN且在 x 轴上，短轴长分别为 2m ，2n ( m n) ，过原点且不与x 轴重合的直线 l 与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A，B，C，D．记m，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为S1和S2. n（Ⅰ）当直线 l 与y轴重合时，若 S1S2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l，使得 S1S2？并说明原因．yABM O N xCD第22题图答案及分析18．（Ⅰ）由 cos2 A 3cos( B23cos A20 , C ) 1 ，得 2cos A即 (2cos A1)(cos A2)0 ，解得 cos A1或 cosA 2 （舍去）.2由于 0Aπ，所以πA. 3（Ⅱ）由 S 1bc sin A1bc33bc53,得 bc20. 又b 5 ，知 c 4 . 2224由余弦定理得 a2b2c22bc cos A25162021,故 a21 .又由正弦定理得sin Bsin C bsin Acsin Abc2A2035a a a2 sin214.719．（Ⅰ）设数列 { a n } 的公比为q，则 a10 ， q0 . 由题意得S2S4S3S2 ,即a1q 2a1q3a1q 2 ,a2a3a418,a1q (1q q2 )18,解得a13, q 2.故数列 { a n } 的通项公式为 a n3(2) n 1 .（Ⅱ）由（Ⅰ）有S n3[1 (2) n ]1(2)n .1(2)若存在 n ，使得 S n2013 ，则1(2) n2013，即 ( 2)n2012.当 n 为偶数时， (2) n0 ，上式不建立；当 n 为奇数时，(2)n2n2012，即n2012 ，则n 11.2综上，存在切合条件的正整数n ，且全部这样的n 的会合为 { n n 2k1, k N , k 5} .20．（Ⅰ）依题意 A1 A2平面 ABC ，B1B2平面 ABC ，C1C2平面 ABC ，所以 A1A2∥ B1B2∥C1C2. 又 A1 A2d1， B1B2d2， C1C2d3，且 d1 d 2 d3 .所以四边形 A1 A2 B2 B1、 A1 A2C2C1均是梯形 .由 AA2∥平面MEFN， AA2平面 AA2 B2 B ，且平面 AA2 B2 B平面 MEFN ME ，可得 AA 2∥ ME，即 A1A2∥DE. 同理可证 A1A2∥FG ，所以 DE∥FG .又 M 、 N分别为 AB、 AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.所以 DE 1111( A1 A2 B1B2 )(d1 d2 ) ， FG( A1 A2 C1 C2 )(d1 d3 ) ，2222而 d1 d2d3，故DE FG ，所以中截面DEFG 是梯形.（Ⅱ）V 估 V. 证明以下：由 A 1A 2 平面 ABC ， MN 平面 ABC ，可得 A 1 A 2MN .而 EM ∥ A 1A 2，所以 EM MN ，同理可得 FN MN .由 MN 是 △ ABC 的中位线，可得 MN 1 1a 即为梯形 DEFG 的高， BC22 所以 S 中 S 梯形 DEFG 1 ( d 1 d 2 d 1 d3 ) aa(2 d 1 d 2d 3 ) ，2 22 2 8 即 V 估 S 中 h ah (2d 1 d 2 d3 ) .8又 S1ah ，所以 V1(d 1d 2 d 3 ) Sah(d 1 d 2 d 3 ) .2 36于是 V V估ah (d 1d 2d 3 ) ah(2 d 1d 2d 3 ) ahd 1) ( d 3 d 1 )] .68[( d 224 由 d 1 d 2d 3 ，得 d 2 d 1 0 ， d 3 d 1 0，故 V 估 V .21．（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (, 1) ( 1,) ，f ( x)a( x 1) ( ax b) a b(x2( x2.1) 1)当 ab 时， f ( x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1)， ( 1, ) 上单一递加；当 a b 时， f ( x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1)， ( 1,) 上单一递减 .（Ⅱ）（ i ）计算得 f (1)a b0 ， f ( b 2ab 0 ， f (b ab0 .2) ab)aa故 f (1) f ( b) a b 2ab ab [ f ( b )] 2 , 即a 2 ab af (1) f (b)[ f (b)]2 .①aa所以 f (1), f (b), f ( b) 成等比数列 .aa因a b ab ，即 f (1)f ( b由①得f ( bf (b .2) . ))a aa（ ii ）由（ i ）知 f ( b)H ， f (b ) G.故由 Hf ( x) G ，得aaf ( b) f ( x)f ( b) .②aa当ab 时， f ( b) f ( ) f ( b )a .a xa这时， x 的取值范围为 (0,) ；当 ab 时， 0b 1 ，进而b b ，由 f (x) 在 (0,) 上单一递加与②式，a aa得bxb，即x 的取值范围为b , b ；aaa a当 ab 时，b1 ，进而bb，由 f ( x) 在 (0,) 上单一递减与②式，aaa得b xb，即 x 的取值范围为b , b .a aa a22．依题意可设椭圆 C 1 和 C 2 的方程分别为x 2y 2x 2 y 21 . 此中 a m n 0m1.C 1 ：22 1，C 2：2 2，a m ann（Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线l 的方程为 x 0 ，则S 11 |BD | |OM |1， S 21|ON | 1S 1 |BD| 2a | BD ||AB|a | AB | ，所以.222S 2|AB|在 C 1 和 C 2 的方程中分别令 x 0 ，可得 y Am ， y Bn ， y Dm ，于是 | BD | | y By D | m n 1 .| AB | | y Ay B | m n1若S 1，则1 ，化简得221 0 . 由1，可解得2 1 .S 21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S 1S 2 ，则2 1 .解法 2：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，则| BD | | OB | | OD | m n ， | AB | | OA | | OB | mn ； S 11 |BD | |OM |1 ， S 211a | AB |.2a | BD ||AB| |ON|222所以 S 1|BD | m n 1 .S 2 |AB| m n 1若S 1，则1 ，化简得2 21 0 . 由1，可解得2 1 .S 21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S 1S 2 ，则21 .yyAA BBMON xMO NxCCDD第 22 题解答图 1第 22 题解答图 2（Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： y kx (k 0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak 0|ak ， d 2| ak 0 | ak，所以 d 1 d 2 .1 k1 k 21 k 221 k 2又S 11| BD | d 11| AB | d 2 ，所以S 1 |BD|，即|BD||AB|.2 ， S 2S 2|AB|2由对称性可知 | AB | |CD |，所以 |BC | |BD||AB | (1)| AB |，|AD | |BD| |AB| (1)| AB |，于是|AD|1①|BC |.1将 l 的方程分别与 C 1， C 2 的方程联立，可求得x Aam ， x Ban.a 2k 2 m 2a 2k 2n 2依据对称性可知 x Cx B ， x D x A ，于是|AD|2x D | 2x A2221 k | x Am a kn2 .②|BC |2x C |2x B2k 2m1 k | x B n a进而由①和②式可得a 2 k 2 n 21. ③a 2 k 2m 2( 1)令t( 1，则由 mn ，可得t 1，于是由③可解得2n 2 ( 2t 2 1)1)ka 2 (1 t 2 ) .由于 k 0 ，所以 k 20 . 于是③式对于 k 有解，当且仅当n 2 ( 2t 2 1) 0 ，a 2 (1 t 2 )等价于 2210 . 由1，可解得1t 1 ，(t1)(t2 )即1( 1 1，由1，解得12 ，所以1)当 112 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 ；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得 S 1S 2 .解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1 S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： ykx (k0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak0|ak ， d 2| ak 0 |ak ，所以 d 1d 2 .1 k21 k21 k21 k2又S 1 1| BD | d 1 ， S 21| AB | d 2 ，所以 S 1|BD| .2 2 S 2|AB|由于 |BD|2，所以x A1 1 k | x B x D | x A x B.|AB|1 k2 | x A x B | x A x Bx B1由点 A(x A , kx A ) ， B( x B , kx B ) 分别在 C 1， C 2 上，可得x A 2 k 2 x A 2 x B 2 k 2 x B 21 ，两式相减可得 x A2 x B 2k 2 ( x A 22x B2 )，a 2m 21 ，n 2a 2m 2a 2依题意 x Ax B 0 ，所以 x A2x B 2 . 所以由上式解得 k 2m 2 (x A 2 x B 2 ) .a 2 (2 x 2x2 )B A由于 k 20，所以由m2 (x A2x B2 )0 ，可解得 1x A.a2 ( 2 x B2x A2 )xB进而11，解得1 2 ，所以1当 11 2 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得 S1S2；当1 2 时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得 S1S2 .。

2013年湖南省高考压轴卷数学(文)试题

2013年湖南省高考压轴卷数学文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。

时间120分钟，满分150分。

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)1.复数()231i i +-的共轭复数是A ．－3－4iB ．－3+4iC ． 3－4iD ． 3+4i2．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（） A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤ 3.已知数列}{n a 满足: )(12,1*11N n a a a n n ∈+==+，则=12a （） A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-14.对x ∈R ，“关于x 的不等式f(x)>0有解”等价于 ( )(A) R x ∈∃0，使得f(x 0)>0成立（B) R x ∈∃0，使得f(x 0）≤0成立(C) R x ∈∀，f(x)>0 成立（D) R x ∈∀，f(x)≤0 成立5．过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 且倾斜角为60o 的直l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF= （）A ．5B ．4C ．3D ．26．给出30个数：1，2，3，5，8，13,……要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋iD ．i ≤30？和p ＝p ＋i7．已知,A B 是单位圆上的动点，且AB 单位圆的圆心为O ，则O A A B ∙= （）A ．BC ．32-D ．328．在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，aα，则a ∥β9．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为 ( )A ．y ＝e xB ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z=X-y 的最小值等于______.11.已知,x y R +∈，且满足22x y xy +=，那么+4x y 的最小值是 12.在极坐标系中，点A 的坐标为曲线c 的方程为，则0A (O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为____.13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为．14.已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则|MF|=_____. 15. 给出下列四个命题： ①命题，则,②当时,不等式的解集为非空；③当X>1时，有④设有五个函数.，其中既是偶函数又在上是增函数的有2个.其中真命题的序号是_____.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。

上海市2013届高考压轴卷数学文试题

上海市2013届高三下学期高考压轴卷数学文试题考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数2log (1)y x =-的定义域为 .2.复数z 满足2)1(=-i z （其中i 为虚单位），则=z .3.已知||1a = ,||2b = ,向量a 与b的夹角为60︒,则||a b += . 4.直线0x y +=被圆2240x x y ++=截得的弦长为．5.在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = .6.若函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -= .7.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 .8.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是 . 9.直线l 的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .10.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是 .11.在ABC ∆中，若2,60,a B b ︒=∠==c = .12.设1111221010)2()2()2()32)(2(+++++++=++x a x a x a a x x ，则+++210a a a11a + 的值为 ..13.平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自ABE ∆内部的概率为 . 14.给出定义：若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-；②点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心，其中k Z ∈；③函数()y f x =的最小正周期为1；④ 函数()y f x =在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则下面结论中正确的是（）A.()f x 是奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 是偶函数D.()f x 的值域是[2-16.已知ax x x x f +-=2331)(在区间]2,1[-上有反函数，则实数a 的取值范围为（） A.]3,(--∞ B.),1[+∞ C.)1,3(- D.),1[]3,(+∞--∞17.已知锐角,A B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为（）A.22B.2C.22 D.42 18.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A.12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y x D.152022=+y x三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a . ①22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+-； ②22sin 15cos 15sin15cos15︒︒︒︒+-；③22sin 18cos 12sin18cos12︒︒︒︒+-； ④22sin (18)cos 48sin(18)cos48︒︒︒︒-+--； ⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55︒︒︒︒-+--.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出常数a ；（Ⅱ）根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分. 如图,在长方体1111ABCD A BC D -中, 111,2AD A A AB ===,点E 在棱AB 上. （Ⅰ）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（Ⅱ）若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到平面1D EC 的距离.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.某药厂在动物体内进行新药试验．已知每投放剂量为m 的药剂后，经过x 小时该药剂在动物体内释放的浓度y (毫克/升) 满足函数()y mf x =，其中2125,(04)()2lg 10,(4)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--+>⎩．当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4(毫克/升)时，称为该药剂达到有效．（Ⅰ）若2m =，试问该药达到有效时，一共可持续多少小时（取整数小时）?（Ⅱ）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）达到有效，求应该投放的药剂量m 的最小值（m 取整数）.22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，焦距为.设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证12x x ⋅为一定值；（Ⅲ）设T A B ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ⋅≤，求2212S S - 的取值范围.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的n N *∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在集合{|2,,10001500}M m m k k Z k ==∈≤<且中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S ->对一切满足n m >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．2013上海市高考压轴卷文科数学试题答案及解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.【答案】}1|{>x x . 【解析】由10x ->得1x >. 2.【答案】i +1【解析】i i i z +=+==12)1(22 3.4.【答案】【解析】圆的标准方程为22(2)4x y ++=，圆心坐标为(2,0)-，半径为2，圆心到直线+0x y =的距离d=5.【答案】4025【解析】在等差数列中，51542555102S a d d ⨯==+=+，解得2d =，所以2013120121201224025a a d =+=+⨯=. 6.【答案】3-【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以2(8)(8)(8)log 83f g f -=-=-=-=-，即(8)3g -=-。

2013年高考数学压轴题训练及详细的解析

2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，精选其中有代表性的题目。

非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。

1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x ac a P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x ac a xab bc x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 .||1x ac a P F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a由椭圆第二定义得ac cax P F =+||||21，即.||||||21x ac a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a yx =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20cby ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cba 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，③ ④22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cby ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=cba cba cb a x于是，当cba 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记cx y k k cx y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan212121=+-=∠k k k k MF F (14)分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.③ ④0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y=相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='ax x a x 得φ当30-<<ax 时;0)(<'x φ当3->ax 时，0)(>'x φ，所以，当3-=ax 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)nn n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦① 当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nnn nn n nn C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线A B 恒过定点，并求出该定点的坐标.yA xoB,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭MN2p x =-解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x pp==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①（1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y k x P k =+，即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk kk 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----6．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得 121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+（1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a an n n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n nn n n b a b 即。

山东省2013届高考压轴卷数学文试题

2013山东省高考压轴卷文科数学考试时间：120分钟满分：150分本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 12N =（ A 或4}x ≥37a ++=( )4( )A .，+∞) C . (0，1) D . (0，1)(1，+∞)5．若实数x ，y 满足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( ) A ．3 B.52C ．2D ．2 26．设sin2θ=（）A D D ．7. a 取值范围是（） A ．B ，3]C ．[－3,l ]D ．（－∞，－3] ⋃ [1．+∞）8.（2013青岛市一模）已知m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出以下命题： ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若l m l n m ⊥=⋂⊥⊂⊂,,,,βαβαβα，则n m ⊥；③若//n m ，m α⊂，则//n α；④若//αγ，//βγ，则//αβ．其中正确命题的序号是（） A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③9．（2013日照市一模）右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为形.则该几何体的表面积是（）C.8D.1610. 已知函数()f x 是R 上的奇函数，若对于0x ≥，都有()2()f x fx +=，[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时，()()20132012f f -+的值为（）A.2-B.1-C.1D.211．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为 ( )．12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m ，n ），b=（p ，q ），令a ⊙b= mq －np ，下面说法错误的是（）A ．若a 与b 共线，则a ⊙b =0B ．a ⊙b =b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b =λ（a ⊙b ）D ．（a ⊙b ）2+（a·b ）2= |a|2|b|2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分． 13．执行如右图的程序框图，那么输出S 的值是． 14.（2013滨州一模）已知抛物线28y x =-的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 . 现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为n ∈*N ，2(1)n n n ++++17. (分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-. （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若4BC BA ⋅=，，求边a ，c 的值. 18．AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE .19.（本小题满分12分）某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）.(Ⅰ)分别求出频率分布表中a 、b 的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率； (Ⅱ）设321、A 、A A 是月用水量为[0，2)的家庭代表.21、B B 是月用水量为[2，4]的家庭代表.若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表21、B B 至少有一人被选中的概率.20. (本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的所有项均为正数，首项1a ＝1，且435,3,a a a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{1n n a a λ+-}的前n 项和为n S ，若n S ＝21(*)nn N -∈，求实数λ的值.21．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)B -，且其右焦点到直3.，与椭圆交于两个不同的点M N 、，且满足 22．成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．B所以虚部为1-，故应选B .2．A【解析】2{|540}{| 1 4}{|01}N x x x x x or x MN x x =-+≥=≤≥⇒=<≤ 3．C【解析】因为34512a a a ++=，所以44a =，所以1274728a a a a +++==.4.B，即0(1)0x x x ≥⎧⎨->⎩，所以解得1x >，即定义域为(1，+∞)，故应选B .5．C【解析】可行域为直角三角形，其面积为S ＝12×22×2＝2.6．A7. C有公共点，所以圆心(,0)a 到直线10x y-+=的距8．A.【解析】①中直线还可能异面；③中需指明直线n 不在平面内。

2013年高考-湖北省高考压轴卷数学(文)试题

2013年高考-湖北省高考压轴卷文科数学本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集(){}(){}2,21,ln 1x x U A x B x y x -==<==-R ，则如图所示阴影部分表示的集合为（）{}.1A x x ≥{}.12B x x ≤<{}.01C x x <≤{}.1D x x ≤2.下列四个命题中真命题的个数是（）①“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；②命题“2,0x x x ∃∈->R ”的否定是“2,0x x x ∀∈-≤R ”；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真； ④命题[]:0,1,21x p x ∀∈≥，命题2:,10q x x x ∃∈++<R ，则p q ∨为真. .0A .1B .2C .3D3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示.他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为（）.9A .6B .3C .0D 4.已知函数()ln 1xf x ex x =--（其中e 为自然对数的底数），则函数()1y f x =+的大致图象为（）5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是（）.3A .4B .6C .8D6.已知变量,x y 满足240,2,20,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则32x y x +++的取值范围是（）5.2,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 55.,42B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 45.,52C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.,24D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得88cos108AC =- ，乙同学在Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72 的值所在区间为（）().0.1,0.2A().0.2,0.3B().0.3,0.4C().0.4,0.5D8.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，点F 为边AD 的中点，AE 和BF 相交于点O ，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABO ∆内部的概率等于（）1.10A 1.8B 1.5C 1.4D9.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上的一点()00,P x y到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为165，则双曲线的离心率为（）5.2A 5.2B 6.2C 5.4D10.在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+,其中01,01x y ≤≤≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（）106.3A 56.3B10.3C 20.3D 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在题中横线上．11.已知复数121,1z i z bi =+=+（i 是虚数单位），若12z z 为纯虚数，则实数b 的值是_______________________.12. 已知函数()xe x F =满足()()()x h x g x F +=，且()x g ，()x h 分别是R 上的偶函数和奇函数，若[]2,1∈∀x 使得不等式()()02≥-x ah x g 恒成立，则实数a 的取值范围是13.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是________________.14.如图为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_______________. （第13题图）15.记123k k kk S =+++ k n +，当1,2,3,k =…时，观察下列等式：（第14题图）21322432354346542511,22111,326111,4241111,5233015,212S n n S n n n S n n n S n n n n S An n n Bn =+=++=++=++-=+++…可以推测A B -=_____________________. 16.已知不等式2342x x a-+-<.（1）若1a =，则不等式的解集为_______________;（2）若不等式的解集不是空集，则实数a 的取值范围为________________.17.已知函数()()()1,0,x f x x C ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩R Q Q 则（1）()()f f x =______________;（2）下列三个命题中，所有真命题的序号是__________. ①函数()f x 是偶函数；②任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立；③存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本小题满分12分）已知()()cos sin ,2cos ,cos sin ,sin m x x x n x x x =+=--.（1）求()f x m n=⋅ 的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移8π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()20,,222A f g B b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求a 的值.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且35,a a 是方程214450x x -+=的两根，数列{}nb 的前n 项和为()1,2nn n b S S n N *-=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求证：1n n c c +<；（3）求数列{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，1DE CBB ⊥平面.（1）证明：//DE ABC 平面；（2）求四棱锥11C ABB A -与圆柱1OO 的体积比；（3）若1BB BC =，求直线1CA 与平面1BBC 所成角的正弦值.21. （本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率22e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知函数()22ln f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 与()ag x x x =+有相同极值点，①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围.2013湖北省高考压轴卷文科数学答案1.B【解析】：对于()221x x -<，等价于()20x x -<，解得02x <<，所以()0,2A =集合B表示函数()ln 1y x =-的定义域，由10x ->，得1x <，故()[),1,1,B C B =-∞=+∞R ，则阴影部分表示()[)1,2A C B = R .故选B . 2.D【解析】：命题①中，{}1x x <是不等式2320x x -+>的解集{}12x x x <>或的真子集，∴“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，∴①正确.命题②显然正确.命题③中，当0m =时，其逆命题不成立，故③错.命题④中，p 为真，q 为假，所以p q ∨为真，故④正确.综上所述，真命题的个数为3.故选D . 3. D【解析】：本题考查茎叶图、平均数.甲的平均分为991001011021031015++++=，设看不清楚的数字为x ，则乙的平均分为939497110110+1015x++++<，解得1x <，因为0x ≥，x N ∈，所以0x =，看不清楚的数字为0.故选D .4.A【解析】据已知关系式可得()()()ln ln 101,111,x x e x x x x f x e x x x x -⎧⎛⎫+-=<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--=> ⎪⎪⎝⎭⎩作出其图象，再将所得图象向左平移1个单位即得函数()1g f x =+的图象.故选A . 5.D【解析】：第一次循环结束时，4,2S k ==；第二次循环结束时，22,3S k ==；第三次循环结束时，103,4S k ==，此时103100>，不满足100S <，则输出8x =.故选D . 6.B【解析】：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即ABC ∆的边界及其内部，又因为31122x y y x x +++=+++，而12y x ++表示可行域内一点(),x y 和点()2,1P --连线的斜率，由图可知12PB PC y k k x +≤≤+，根据原不等式组解得()()2,0,0,2B C ,所以0112111322202422y y x x ++++≤≤⇒≤≤++++535422x y x ++⇒≤≤+.故选B . 7.C【解析】：因为188c o s 108c o s 72-=，令c o s 72t =，则188t t+=，所以328810t t +-=.令()32881f t t t =+-，则当0t >时，()224160f t t t '=+>，所以()32881f t t t =+-在()0,+∞上单调递增.又因为()()0.30.40f f ⋅<，所以()32881f t t t =+-在()0.3,0.4上有唯一零点，所以cos 72 的值所在区间为()0.3,0.4.故选C . 8. C【解析】：设矩形ABCD 的长AB x =，宽BC y =，涉及相关图形的面积问题，那么矩形A B C D 的面积为A B C D S x y=矩形.如图所示，过O 点作OG //AB 交AD 于点G ，则有OG AGDE AD=,即12OG AGy x=，亦即2OG AG x y =.又OG FG AB FA =,即1212y AG OG x y -=，可得12122y AG AG y y -=，解得25AG y =.那么ABO ∆的面积为121255ABO S x y xy ∆⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 由几何概型的概率公式，得所求的概率为1155ABO ABCDxyS P S xy ∆===矩形.故选C . 9. A【解析】：因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上的一点()00,P x y ()0x a ≥到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8，所以28,4a a ==，又因为点()00,P x y ()0x a ≥到两条渐近线的距离之积为165，双曲线的两渐近线方程分别为0x ya b+=和0x y a b-=，所以根据距离公式得220000002222222222111111111x y x y x y a b a b a b a b a b a b a b -+-⋅==++++22222165a b ab a b c ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，所以45ab c =，即55c b =，又因为2222165c c a b =+=+，所以25c =，离心率52c e a ==.故选A .10. A【解析】：根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以,OA OB 为邻边的平行四边形，其面积为A O B ∆的面积的2倍.在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，代入数据解得5c =，设ABC ∆的内切圆的半径为r ，则()11sin 22bc A a b c r =++，解得263r =，所以11265652233AO BS A B r ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故动点P 的轨迹所覆盖的面积为10623AOB S ∆=.故选A . 二、填空题11.1-【解析】：()()()()()()122111111111i bi b b i z iz bi bi bi b +-++-+===++-+，因为12z z 为纯虚数，则10b +=且10b -≠，解得1b =-. 12. 22≤a .【解析】：()()()x e x h x g x F =+=，得()()()x e x h x g x F -=-+-=-，即()()()xe x h x g x F -=-=-，解得()2x x e e x g -+=，()2xx e e x h --=，()()02≥-x ah x g 即得02222≥--+--xx x x e e a e e ，参数分离得()xx xx x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e a -------+-=-+-=-+≤22222，因为222≥-+---x x x x e e e e （当且仅当xx xxee ee ---=-2，即2=--xx e e 时取等号，x 的解满足[]2,1），所以22≤a . 13.1【解析】：如图所示，作抛物线24y x =的准线1x =-，延长PE 交准线于点N ，由抛物线的定义可得11PM PE PM PN PM PF +=+-=+-1F d ≥-（F d 表示焦点F 到直线1l 的距离）()22406121143-+=-=-=+-.14.223π+【解析】：由三视图知，该几何体由两个共底面的半圆锥构成（如图所示），两个半圆锥侧面积的和为2π，四边形ABCD 由两个等边三角形构成，其面积为324234⨯⨯=，故该几何体的表面积为223π+.15.14【解析】：本题考查归纳推理问题.根据各式的规律，显然16A =.令1n =，则5511S ==，代入得511511621212S B B =+++=⇒=-，所以1116124A B ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭. 16.（1）843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】：（1）当1a =时，2342x x -+-<.①若4x ≥，则3102,4x x -<<，∴舍去；②若34x <<，则22x -<，34x ∴<<；③若3x ≤，则81032,33x x -<∴<≤.综上，不等式的解集为843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）设()234f x x x =-+-，则()()()()()3104,234,11033,x x f x x x f x x x -≥⎧⎪=-<<∴≥⎨⎪-≤⎩，若不等式2342x x a -+-<的解集不是空集，则121,2a a >∴>，即a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 17.（1）1（2）①②③【解析】：（1）依题意可知，当x Q ∈时，()()()11ff x f ==；当x CQ ∈R时，()()()01f f x f ==.因此()()1f f x =.（2）对于①，当x Q ∈时，x Q -∈，此时()()1f x f x -==；当x CQ ∈R时，x C Q -∈R ，此时()()0f x f x -==，因此对任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，①正确.对于②，任取一个不为零的有理数T ，当x Q ∈时，x T Q +∈,()()1f x T f x +==；当x C Q ∈R 时，()(),0x T C Q f x T f x +∈+==R ，因此对任意的x ∈R ，都有()()fx T f x +=，②正确.对于③，取点()330,1,,0,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知点,,A B C 均在函数()f x 的图象上，且ABC ∆是等边三角形，③正确.综上所述，所有真命题的序号是①②③.三、解答题18.（1）()()()cos sin cos sin 2sin cos f x m n x x x x x x =⋅=+--22cos sin sin 2x x x =--cos 2sin 2x x =-32sin 22sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期T π=. （3分）又由()33222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的单调递减区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （6分）（2）由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得32si n 04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()34A k k Z ππ+=∈，因为0A π<<，所以4A π=，将函数()y f x =的图象向右平移8π个单位，得到32s i n 22s i n 22c o s 2842y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2cos y g x x ==的图象，因为()22g B =，所以22cos 2B =，即1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=，由正弦定理sin sin a b A B =，得2sinsin 264sin 3sin 3b Aa Bππ===. （12分）19.（1）因为35,a a 是方程214450x x -+=的两根，且数列{}n a 的公差0d >，所以355,9a a ==，公差53253a a d -==-.所以()5521n a a n d n =+-=-. （2分）又当1n =时，有11112b b S -==，所以113b =.当2n ≥时，有()1112n n n n n b S S b b --=-=-，所以()1123n n b n b -=≥. 所以数列{}n b 是首项为13，公比为13的等比数列，所以1111333n n nb -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. （4分）（2）由（1）知112121,33n n n n n n n n c a b c ++-+=⋅==，所以()1114121210333n n n n n n n n c c +++-+--=-=≤，所以1n n c c +≤. （8分）（3）因为213n n n nn c a b -=⋅=，则123135333n T =+++ 213n n -+，①23411353333n T =+++ 1232133n n n n +--++，② 由①-②，得2321223333n T =+++ 122133n n n +-+-231131112123333n n n +-⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭+ ，整理，得113n n n T +=-. （12分） 20.（1）如图，连接.E OA O O E 、、分别为1CB BC 、的中点，EO ∴是1BB C ∆的中位线，1//EO BB ∴且112EO BB =.又111//,DA BB AA BB =,故11,2DA BB EO DA ==∴//EO 且DA EO =，∴四边形AOED 是平行四边形，即//DE OA ,又,,//DE ABC OA ABC DE ABC ⊄⊂∴平面平面平面. （4分）（2）如图，连接CA .由题知1DE CBB ⊥平面,且由（1）知//DE OA ， 1,AO CBB AO BC ∴⊥∴⊥平面, 2AC AB OA ∴==.BC 是底面圆O 的直径，CA AB ∴⊥.又1AA 是圆柱的母线，1AA ABC ∴⊥平面，11,AA CA AA AB A ∴⊥= 又,11CA AA B B ∴⊥平面,即CA 为四棱锥11C ABB A -的高. （7分）设圆柱高为h ,底面半径为r ，则()()112212=,2233C ABB A V r h V hr r hr π-=⋅=圆柱，1122223:3C ABB A hrV V r h ππ-∴==圆柱. （9分）（3）如图，作过C 的母线1CC ,连接11B C ,则11B C 是上底面圆1O 的直径，连接11AO ,则11//AO AO ,又111111,AO CBBC AO CBBC ⊥∴⊥平面平面,连接1CO ,则11ACO ∠为直线1CA 与平面1BBC 所成的角. （11分） ()()22221111226,A C AC AA rr r A O r =+=+== ，∴在11Rt AO C ∆中，111116sin 6AO ACO AC ∠==. ∴直线1CA 与平面1BBC 所成角的正弦值为66. （13分） 21.（1）依题意可设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>，离心率22,22c e a ==，又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,2,1c a b ===，∴椭圆C 的方程是2212y x +=. （5分）（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩ 即两圆相切于点()1,0.因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. （7分）事实上，点()1,0T 就是所求的点.证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()1,0T .当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩（10分）又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-， ()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+()()()()()21212222121222222221111331111139122119311123290,x x k x x k x x k x x k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭=TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. （14分） 22.（1）()()()()211220x x f x x x x x+-'=-+=->，（1分）由()0,0f x x '⎧>⎨>⎩得01x <<；由()0,0f x x '⎧<⎨>⎩得1x >.()f x ∴在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. （3分） ∴函数()f x 的最大值为()11f =-. （4分）（2）()()2,1a ag x x g x x x'=+∴=- .①由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点，∴()110g a '=-=，解得1a =. （7分）经验证，当1a =时，函数()g x 在1x =时取到极小值，符合题意. （8分）②()()2112,11,392ln 3f f f e e ⎛⎫=--=-=-+ ⎪⎝⎭，易知2192ln 321e -+<--<-，即()()131f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭. ()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤∴∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦. （9分）由①知()()211,1g x x g x x x'=+∴=-.当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]1,3x ∈时，()0g x '>.故()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在(]1,3上为增函数.()()11110,12,3333g e g g e e ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭ ，而()()11012,133e g g g e e ⎛⎫<+<∴<< ⎪⎝⎭.()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ⎡⎤∴∀∈====⎢⎥⎣⎦. （10分）1 当10k ->，即1k >时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ⇔-≥-⎡⎤⎣⎦()()12max 1k f x g x ⇔≥-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1211123f x g x f g -≤-=--=- ，312,1,1k k k ∴≥-+=->∴> 又. （12分）2 当10k -<，即1k <时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12min 1k f x g x ⇔-≤-⎡⎤⎣⎦()()12min 1k f x g x ⇔≤-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1210373392ln 32ln 333f xg x f g -≥-=-+-=-+ ， 34342ln 3,1,2ln 333k k k ∴≤-+<∴≤-+ 又. 综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦. （14分）。

2013年高考数学文科押题试卷(附答案)

2013年高考数学文科押题试卷（附答案）数学（文）试题本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={}，下图中阴影部分所表示的集合为A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1}C．{0，1}2．复数，在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第二象限D．第四象限3．在用二分法求方程的一个近似解时，已将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为A．（1，4，2）B．（1，1，4）C．（1，）D．4．已知命题使得命题，下列命题为真的是A．pqB．（C．D．5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．6．设函数是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数7．如图是计算函数的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是A．y=ln（一x），y=0，y=2xB．y=0，y=2x，y=In（一x）C．y=ln（一x），y=2z，y=0D．y=0，y=ln（一x），y=2x8．如果数列是首项为1，公比为的等比数列，则等于A．B．—32C．D．329．在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是10．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）•（b一c）=0，则|c|的最大值是A．1B．C．2D．11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为A．16B．24C．32D．4812．过双曲线的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013江西省高三高考压轴卷数学文试题

2013江西省高考压轴卷数学（文）试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：棱台的体积公式 121()3V Sh S S =+ 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示梭台的高球的表面积公式24R S π=球的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径第I 卷一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合{1,2},{,},aA B a b ==若1{}2AB =,则A B 为A ．1{,1,}2bB ．1{1,}2-C ．1{1,}2D ．1{1,,1}2-（）(2) 已知2ii(,)ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则a b +=(A)1- (B)1 (C)2 (D)3 (3)在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行（C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3-(5) 已知a<0,b<0,a+b=-2若ba c 11+=，则c 的最值为 ( ) A ．最小值-1 B ．最小值-2C ．最大值-2D ．最大值-1（6）样本中共有5个个体，其值分别为,0,1,2,3a .若该样本的平均值为1，则样本方差为（A 65(D)2(7)已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25x + y 2=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的面积是（）A ．2B ．3C ．1D ．4(8)设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的(A)充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为(A)3,11- (B)3,11-- (C)11,3- (D)11,3 (10)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a b=mq-np ，下面说法错误的是（）A.若a 与b 共线，则a b=0B.ab=b aC.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b)D. 2222(ab)+(ab)=|a||b| 第II 卷二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分． (11) 函数()sin sin()3f x x x π=-的最小正周期为．(12) 右程序框图中，当n ∈N *（n>1）时，函数()n f x 表示函数1n-f x ()的导函数.若输入函数1sin cos =+()f x x x ，则输出的函数()n f x 可化为___ __。

2013陕西省高考压轴卷数学(文)试题百名特级教师押题押中一分改变一生

2013年普通高等学校招生全国统一考试（·陕西卷·压轴卷）
文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈，则A B 中的元素的个数为 A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2
2.复数i 1i
31-+的共轭复数是
A.
22
B.
.22-
C. 22+
D. 22-
3.下列函数一定是偶函数的是
A. cos(sin )y x =
B. sin cos y x x =
C. ()cos ln y x =
D. cos sin y x x =-
4．已知向量b a ,
满足||1,(1,a b ==- ，且()b a a +⊥，则a 与b 的夹角为
A ． 60
B ． 90
C ． 120
D ． 150
5.已知q 是等比数列{}n a 的公比，则“1q <”是“数列{}n a 是递减数列”的
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124，则判断框①处应填入的条件是
A.2n >
B. 3n >
C. 4n >
D. 5n >。

福建省2013高考数学压轴卷试题文

周长(cm)2013某某省高考压轴卷数学文试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的某某、某某号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的体积公式：343V Rπ=其中R为球的半径第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1、设集合*{|4}U x N x=∈≤，{}2,1=A,{}4,2=B，则()UA B=（）A．{1,2}B．{1,2,3,4}C．{3,4}D．{2,3,4}2、为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm的株数是（）A．70 B．60C．30 D．803、若01x y<<<,则（）A．log3log3x y<B．33y x<C．44log logx y<D．11(()44x y<4、右边程序执行后输出的结果是S=（）A．3B．6C．10D．15第4题图5、已知函数4log ,()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1[()]16f f =（） A ．19B ．9C ．19-D ． 9- 6、将函数sin 2y x =的图像向左平移4π个单位长度，所得函数是（） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 7、“函数2()2f x x x m =++存在零点”的一个必要不充分条件是（） A ．1m ≤B ．2m ≤C ．0m ≤ D ．12m ≤≤8、过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ，MB (A ，B 为切点），则MA MB ⋅=（）A 532B ．52C 332．329、角θ的终边经过点A (3,)a -，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin θ=（） A ．12-B ．12C ．32-D ．3210、函数13y x x =-的图象大致为（）11、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个圆，尺寸如图，那么这个几何体的外接球的体积为（）A 42B 82C 5D 5512、非空数集{}*123n A a a a a n =∈N ，，，，()中，所有元素的算术平均数记为E A ()，即123na a a a E A n++++=()．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆；②E B E A =()()，则称B为A 的一个“保均值子集”．据此，集合{}12345，，，，的“保均值子集”有（） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答卷相应位置上） 13、在复平面上,若复数1()bi b R +∈对应的点恰好在实轴上,则b =_______. 14、焦点在y 轴上，渐近线方程为2y x =±的双曲线的离心率为_______.15、已知函数164(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +=_______. 16、定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数．．．对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =； ②若n m >，(,)0f m n =； ③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-；则(,2)f n =_______.三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答） 17．（本题满分12分）函数()sin()4f x M x πω=-(0,0M ω>>)的部分图像如右图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()328A f π+= 其中(0,)2A π∈，且222a cb ac ，求角,,A B C 的大小.DCBA E F M NPF EA BCD18．（本题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知373,7S S =-=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设42n an b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本题满分12分）已知向量),(),1,2(y x b a ==（Ⅰ）若{1,0,1},{2,1,2}x y ∈-∈--，求向量a b ⊥的概率；（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组(,)x y 构成区域Ω：1122x y -<<⎧⎨-<<⎩，求二元数组(,)x y 满足22y x +≥1的概率.20．（本题满分12分）如图（1），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使EF//AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）所示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面BCF ；（Ⅱ）求证：AP ⊥平面DAE . 图（1）图（2）21．（本题满分12分）已知函数321()13f x x ax =-+()a R ∈．（Ⅰ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值X 围；（Ⅱ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 22．（本题满分14分）已知抛物线24y x =的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，直线m 垂直于x 轴（垂足为T ），与抛物线交于不同的两点P 、Q ，且125F P F Q ⋅=-. （Ⅰ）求点T 的横坐标0x ；（Ⅱ）若椭圆C 以F 1,F 2为焦点，且F 1,F 2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1.① 求椭圆C 的标准方程；② 过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，设22F A F B λ=，若[]2,1,TA TB λ∈--+求的取值X 围.2013某某省高考压轴卷数学文试题答案一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分．）1、D2、C3、C4、B5、A6、B7、B 8、D 9、B 10、A 11、D 12、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，16分．）13、0 14、6 16、22n - 三、解答题（本大题有6小题，共74分．） 17.解：（Ⅰ）由图像可知2M =………2分且34824T πππ=-=∴T π=………4分 ∴22Tπω==………5分故函数()f x 的解析式为()2sin(2)4f x x π=-………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin 28A f A π+==sin A =………7分(0,)2A π∈3A π∴=………8分由余弦定理得：2221cos 222ac b ac Bacac ………9分 (0,)B π∈3B π∴=………10分从而()3C A B ππ=-+=∴3A B C π===………12分18. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d依题意得11133232177672a d a d ⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩………2分解得121a d =-⎧⎨=⎩. ………5分∴2(1)13n a n n =-+-⨯=-………6分MNPFE ABCD（Ⅱ）由（Ⅰ）得31422n n n b n n --=⋅+=+………7分∴123n n T b b b b =++++0121(2222)(123)n n -=+++++++++………9分12(1)122n n n -+=+-………11分 (1)212n n n +=-+………12分19. 解：（Ⅰ）从{1,0,1},{2,1,2}x y ∈-∈--取两个数,x y 的基本事件有(1,2),(1,1),(1,2),(0,2),------(0,1),(0,2),(1,2),(1,1),(1,2)---，共9种 …………2分设“向量a b ⊥”为事件A若向量a b ⊥，则20x y +=…………3分∴事件A 包含的基本事件有(1,2),(1,2)-，共2种 …………5分 ∴所求事件的概率为2()9P A =…………6分（Ⅱ）二元数组(,)x y 构成区域Ω={(,)|11,22}x y x y -<<-<< 设“二元数组(,)x y 满足22y x +≥1”为事件B则事件B =22{(,)|11,22,1}x y x y x y -<<-<<+≥如图所示…………9分∴所求事件的概率为21()11248P B ππ⨯=-=-⨯…………12分20.解：（Ⅰ）证明：连结AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点，在ACF ∆中，M 为AF 中点 ∴//MN CF∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF//MN ∴平面BCF …………4分（Ⅱ）证明：依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =∴AD ⊥平面ABFE …………6分 ∵AP ⊂平面ABFE ∴AP AD ⊥…………7分∵P 为EF 中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形…………9分 ∴//AP BF ，2AP BF ==而2,AE PE ==∴222AP AE PE +=∴90EAP ∠=，即AP AE ⊥…………11分又ADAE A =∴AP ⊥平面ADE …………12分21.解：（Ⅰ）由已知2()2(2)f x x ax x x a '=-=-令()0f x '=，解得0x =或2x a =0a >0x ∴=不在(a ，a 2-3)内要使函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，只需223a a a <<-解得3a >…………6分（Ⅱ）2a >24a ∴>()0f x '∴<在（0，2）上恒成立，即函数数y =f (x )在（0，2）内单调递减又1112(0)10,(2)03af f -=>=< ∴函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点…………12分22. 解：（Ⅰ）由题意得)0,1(2F ，)0,1(1-F ，设),(00y x P ，),(00y x Q -则),1(001y x P F +=，),1(002y x Q F --=. 由521-=⋅Q F P F ，得512020-=--y x 即42020-=-y x ，①…………………3分又),(00y x P 在抛物线上，则0204x y =，② 联立①、②易得20=x ……………………5分（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意得1=c ，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由1212c b ⋅⋅=，解得1b =…………………6分从而2222a b c =+=故椭圆C 的标准方程为1222=+y x ……………………7分（ⅱ）方法一：容易验证直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ky =+将直线l 的方程代入2212x y +=中得：22(2)210k y ky ++-=.………………8分设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且，则由根与系数的关系，可得：12222ky y k +=-+⑤12212y y k =-+⑥ …………………9分因为B F A F 22λ=，所以12yy λ=，且0λ<.将⑤式平方除以⑥式，得：221222214142222y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由[]51112,1+22022λλλλλ∈--⇒-≤≤-⇒-≤++≤2214022k k ⇒-≤-≤+所以 7202≤≤k ……………………………………………………………11分因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，又12222ky y k +=-+，所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+，故2222221212222216(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++2222222216(2)28(2)828816(2)2(2)k k k k k +-++==-++++，令212t k =+，因为2207k ≤≤ 所以27111622k ≤≤+，即71[,]162t ∈，所以222717||()828168()42TA TB f t t t t +==-+=--. 而71[,]162t ∈，所以169()[4,]32f t ∈.所以||[2,8TA TB +∈.……………………………………………………14分方法二：1）当直线l 的斜率不存在时，即1-=λ时，)22,1(A ，)22,1(-B ，又T )0,2(，所以((1,2TA TB +=-+-=…………8分 2）当直线l 的斜率存在时，即[)1,2--∈λ时，设直线l 的方程为)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1222y x kkx y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k设()()1122,,,A x y B x y ，显然120,0y y ≠≠，则由根与系数的关系，可得：2221214k k x x +=+，22212122k k x x +-=⋅……………………9分221212122)(k kk x x k y y +-=-+=+⑤ 22212122121)1)((k k x x x x k y y +-=++-=⋅⑥因为B F A F 22λ=，所以12yy λ=，且0λ<.将⑤式平方除以⑥式得：221421k+-=++λλ 由[)1,2--∈λ得⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+2,251λλ即⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈++0,2121λλ 故0214212<+-≤-k ，解得272≥k ………………………………………10分因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，又222121)1(44k k x x ++-=-+，2222222221221)21(4)21()1(16)()4(k k k k y y x x ++++=++-+=+22222222)21(221104)21(2)21(10)21(4k k k k k ++++=+++++=…………………11分word 令2211k t +=，因为272≥k 所以8121102≤+<k ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈81,0t ，所以22251721042()22TA TB t tt+=++=+-1694,32⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.⎥⎦⎤ ⎝⎛+8213,2……………………13分综上所述：||[2,8TA TB +∈.……………………14分。

2013 新课标高考压轴卷文科数学

绝密*启用前2013 新课标高考考前压轴卷文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ） B=A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<2. i 是虚数单位，复数ii+12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3.已知函数f(x)=20082cos(2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f[f （2013）]= A ．3B ．-3C ．1D ． -14．已知椭圆方程22143x y +=，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 A.2B.3C.2D.35.从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a 从{}2,3,4中随机选取一个数b ，则b a >的概率是A.45B.35C.25D.156.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．2B ．3C ．4D ．57. 已知动点P(m,n)在不等式组400x y x y x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则35n z m -=-的最小值是 A.4B.3C.53D.138. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是A ．π12B ．π24C ．π32D ．π489. 设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-= ，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.310. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（）A ．32B ．5C ．32或5 D ．3522或11. 已知函数()()()1222,log ,log x f x x g x x x h x x x =+=-=-的零点分别为123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系是 A.123x x x >>B.213x x x >>C.132x x x >>D.321x x x >>12. 已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数，且),2()2(,1)1('-=+=x f x f f 则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）篮球组书画组乐器组高一 45 30 a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为 . 14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2223s i n As i n C s i n B s i n A s i n C+-=，则角B 为 15. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b + 与a 的夹角为16.已知函数，给出下列四个说法： ①若，则；②的最小正周期是； ③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．其中说法正确的序号为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24siny x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1．（Ⅰ）求,,x y z 的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .第一批次第二批次第三批次女教师 86 xy男教师94 66z（1）求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若PA =AB =1，AD =3，CD =2，∠CDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积.20.（本小题满分12分）给定抛物线2:4C y x =，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；（Ⅱ）设2FA BF =，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知322()2f x x ax a x =+-+．（Ⅰ）若1a =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）若0,a ≠ 求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE 、CFD 都是⊙O 的割线，AC =AB . （1）证明：AC 2=AD ·AE （2）证明：FG ∥AC23. (本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB .24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =++-- （I ）当5=m 时，求()0f x >的解集；（II ）若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围．参考答案1.【答案】B【解析】(){1}R A x x =≤ð，所以(){11}R A B x x =-<≤ ð,选B. 2.【答案】C【解析】222(1)221+21(1)(1)2i i i i i i i i i --===++-，所以实部是1，选C.3.【答案】D【解析】201320085(2013)2232f -===，所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-，选D. 4.【答案】C【解析】由题意知双曲线的焦点在x 轴上.椭圆的一个焦点为(1,0)，椭圆实轴上的一个顶点为(2,0)，所以设双曲线方程为22221x y a b-=，则1,2a c ==，所以双曲线的离心率为2ce a ==，选C. 5.【答案】C【解析】从两个集合中各选1个数有15种，满足b a >的数有，(1,2),(1,3),(2,3),(1共有6个，所以b a >的概率是62155=，选C. 6.【答案】C【解析】第一次循环，63,22n i ===，第二次，3354,3n i =⨯-==，第三次循环44,22i n ===满足条件输出4i =，所以选C. 7.【答案】D【解析】做出不等式组对应的平面区域OAB .因为35n z m -=-，所以z 的几何意义是区域内任意一点(,)P x y 与点(5,3)M 两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点AM 时，斜率最小，由40x y x y +=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ,此时321523AM k -==-,所以35n z m -=-的最小值是13，选D. 8.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为3443⨯=，即球的半径为23，所以该球的表面积是24(23)48ππ=.选D. 9.【答案】B【解析】因为a b ⊥ ，所以2c o s s i n a b αα=-=，即t a n 2α=.所以t a n 1211t a n ()41t a n 123πααα---===++，选B. 10.【答案】C【解析】因为m 是2和8的等比中项，所以216m =，所以4m =±，当4m =时，圆锥曲线为椭圆2214y x +=，离心率为32，当4m =-时，圆锥曲线为双曲线2214y x -=，离心率为5，所以综上选C. 11.【答案】D 【解析】由()()()12220log 0log 0x f x x g x x x h x x x =+==-==-=，，得1222,log ,log x x x x x x =-==.在坐标系中分别作出2,,x y y x ==-12,log ,y x y x ==2log ,y x y x ==的图象，由图象可知110x -<<，201x <<，31x >，所以321x x x >>，选D.12.【答案】D【解析】由(2)(2),f x f x+=-得(4)(),f x f x+=可知函数的周期为4，又函数)(xf为偶函数，所以(2)(2)=(2)f x f x f x+=--，即函数的对称轴为2x=，所以(5)(3)(1)f f f-==，所以函数在5-=x处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f=-=-=-，选D.13.【答案】30【解析】由题意知，12304515120a=++，解得30a=.14.【答案】6π【解析】由正弦定理可得2223a cb ac+-=，所以22233cos222a cb acBac ac+-===，所以6Bπ=.15.【答案】3π【解析】由a b a b+=-得，222222a ab b a a b b+⋅+=-⋅+，即0a b⋅=.由2a b a+=，得22224a ab b a+⋅+=，即223b a=，所以3b a=，所以22()a b a a a b a+⋅=+⋅=，所以向量a b+与a的夹角的余弦值为2()1cos22a b a aa b a a aθ+⋅===+⋅⋅，所以3πθ=.16.【答案】③④【解析】函数1()sin cos sin22f x x x x==，若12()=()f x f x-，即1211sin2=sin222x x-，所以12sin 2=sin 2x x -，即12sin 2=sin(2)x x -，所以122=22x x k π-+或122=22,x x k k Z ππ-+∈，所以①错误；2,ω=所以周期2T ππω==，所以②错误；当44x ππ-≤≤时，222x ππ-≤≤，函数递增，所以③正确；当34x π=时，313131()s i n 2)=s i n =424222f πππ=⨯-（为最小值，所以④正确，所以说法正确的序号为③④. 17.【答案】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）…………………………………………………………………5分所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分（Ⅱ）21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯2cos 22x π=-+其最小正周期为212ππ=，故首项为1；……………………………………………………7分因为公比为3，从而13n n b -= ……………………………………………………………8分所以123n n n a b n --=-故()()()011234323n n S n -=-+-++-()2213213n n n +-=--211322nn n =++-⋅………………………………………………12分 18. 【答案】（Ⅰ）3600.1554,3600.136x y =⨯==⨯=360865436946624z =-----= -----------3分（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是180,120,60，所以被选取的人数分别为3,2,1.-------------5分（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为123,,A A A ,第二批次的教师为12,B B ,第三批次的教师设为C ，则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为{1213111212321222313231212,,,,,,,,,,,,,,}A A A A AB AB AC A A A B A B A C A B A B A C B B BC B C Ω=共15个 ------------8分“来自两个批次”的事件包括{111121212223132312,,,,,,,,,,}AB AB AC A B A B A C A B A B A C BC B C Ω=共11个，---10分所以“来自两个批次”的概率1115p =． -----12分 19.【答案】(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA ⊥CE,因为AB ⊥AD,CE ∥AB,所以CE ⊥AD,又PA ⋂AD=A,所以CE ⊥平面PAD …………5分 (2)解:由(1)可知CE ⊥AD,在直角三角形ECD 中,DE=CD cos 451⋅= ,CE=CD sin 451⋅= . 又因为AB=CE=1,AB ∥CE,所以四边形ABCE 为矩形,所以ABCD ABCE BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=15121122⨯+⨯⨯=,又PA ⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于115513326ABCD S PA ⋅=⨯⨯=………….12分20. 【答案】（Ⅰ）解：()24,1,0, y x F =∴又直线l 的斜率为1，∴直线∴l 的方程为：1y x =-，代入24 y x =，得：2610x x -+=，由根与系数的关系得：121261x x x x +=⎧⎨⋅=⎩，易得AB 中点即圆心的坐标为()3,2，又128,4AB x x p r =++=∴=，∴所求的圆的方程为：()()223216x y -+-=.^……………………4分（Ⅱ）2,2, F A B F F A B F =∴=而()()11221,,1,FA x y BF x y =-=--，()12121212x x y y -=-⎧∴⎨=-⎩，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为： ()1y k x =-，代入24 y x =，得：()2222240k x k x k -++=，由根与系数的关系得：212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩， ()12121x x -=-，∴1211x x =⎧⎨=⎩或12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴22k =±， ∴直线l 的方程为：()221y x =±-.……………………12分21．【答案】解：（Ⅰ） ∵ 1=a ∴2)(23+-+=x x x x f ∴ 123)(2-+='x x x f (1)分∴ =k 4)1(='f ，又3)1(=f ，所以切点坐标为)3,1(∴ 所求切线方程为)1(43-=-x y ，即014=--y x . …………3分（Ⅱ）22()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+-由()0f x '= 得x a =- 或3ax =…………4分 (1)当0a >时，由()0f x '<，得3aa x -<<．由()0f x '>，得x a <-或3ax >此时()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a+∞.…………5分 (2)当0a <时，由()0f x '<，得3ax a <<-．由()0f x '>，得3ax <或x a >- 此时()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)3a-∞和(,)a -+∞.综上：当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,)3aa -，单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a+∞当0a <时，()f x 的单调递减区间为(,)3aa -单调递增区间为(,)3a-∞和(,)a -+∞.…………7分（Ⅲ）依题意),0(+∞∈x ，不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立, 等价于123ln 22++≤ax x x x 在(0,)+∞上恒成立可得xx x a 2123ln --≥在(0,)+∞上恒成立 ………………9分设()x x x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-=………………10分令0)(='x h ，得11,-3x x ==（舍）当10<<x 时，0)(>'x h ；当1>x 时，0)(<'x h当x 变化时，)(),(x h x h '变化情况如下表：x)1,0(1),1(+∞)(x h '+ 0- )(x h单调递增-2单调递减∴ 当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2 2-≥∴a ∴a 的取值范围是[)+∞-,2. ………12分22.【答案】（Ⅰ）∵AB 是⊙O 的一条切线，∴AE AD AB ⋅=2．又∵AB AC =，∴AE AD AC ⋅=2…… 5分（Ⅱ）∵AE AD AC ⋅=2，∴ACAEAD AC =，又∵CAE DAC ∠=∠， ∴CAD ∆∽EAC ∆ ∴AEC ACD ∠=∠. 又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形， ∴AEC CFG ∠=∠ ∴CFG ACD ∠=∠∴AC FG //. …… 10分 23.【答案】解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为01=--y x ，曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x ．……5分（Ⅱ）曲线P 可化为1)2(22=+-y x ，表示圆心在)0,2(，半径=r 1的圆，则圆心到直线C 的距离为2221==d ，所以2222=-=d r AB ．……10分 24.【答案】解：（I ）由题设知：5|2||1|>-++x x ，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥5212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤52121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<5211x x x ，解得函数)(x f 的定义域为),3()2,(+∞--∞ ； …………（5分）（II ）不等式()2f x ≥即2|2||1|+>-++m x x ，∵R ∈x 时，恒有3|)2()1(||2||1|=--+≥-++x x x x ，不等式2|2||1|+≥-++m x x 解集是R ，∴32≤+m ，m 的取值范围是]1,(-∞． …………（10分）。

2013高考数学压轴题

2013高考数学选择填空解答压轴题1.（四川卷）设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（）（A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1[,1]e e -+2.（四川卷）(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．3.（四川卷）(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．4.（江西卷）(如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC 夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点。

设弧FG 的长为x(0＜x ＜π),y=EB+BC+CD ，若ι从ι1平行移动到ι2，则函数y=f(x)的图像大致是5.（江西卷）（本小题满分14分）已知函数f （x ）=a （1-2丨x-错误！未找到引用源。

丨），a 为常数且a ＞0. （1）证明：函数f （x ）的图像关于直线x=错误！未找到引用源。

(新课标)2013年高考数学压轴卷试题(二)文

（新课标）2013年高考数学压轴卷试题（二）文参考公式：柱体的体积公式S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= .第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =.集合{}3|<=x x A ，{}0log |2<=x x B ，则U A C B ⋂=（）A.B.{}310|<≤≤x x x 或 C.D.．设1z i =-（i ．2 B ．2i + C ．2i - D ．22i +3. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240 4．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+⊥b a c ，A 5.已知直线01)2(:,02)2(:21=-+-=--+ay x a l y a x l ，则“1-=a ”是“21l l ⊥的（） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6.标缩短到原来的，再将图A7.已知函数①x x y cossin +=，②（A （B ）①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2（C （D ）两个函数的最小正周期相同8、春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：参照附表，得到的正确结论是(A)有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”(B)在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”(C)在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”(D)有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”9．现有四个函数：①x x y sin =②x x y cos =③④xx y 2=的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 10、（理）已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为 0.95y x a =+，则a =( ) A, 3.2， B. 2.6 C, 2.8 D. 2.0.11．过左焦点1F 作斜率为曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段P F 1,则双曲线的离心率为（）AC12、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f e x f -=+（其中 7182.2=e ），且在区间[]e e 2,上是减函数，令） A 、)()()(c f b f a f << B 、)()()(a f c f b f << C 、)()()(b f a f c f << D 、)()()(a f b f c f <<21世纪教育网第∏卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2013届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编12：算法初步

2013届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编12：算法初步2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编12：算法初步一、选择题1 ．（2013届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）某程序框图如图所示,该程序运行后输出的x 值是.3A .4B .6C .8D【答案】D 【解析】:第一次循环结束时,4,2S k ==;第二次循环结束时,22,3S k ==;第三次循环结束时,103,4S k ==,此时103100>,不满足100S <,则输出8x =.故选D .2 ．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）执行右面的程序框图,若输出结果为3,则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】由题意知221,2log ,2x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩.当2x ≤时,由213x-=,得24x=,解得2x =±.当2x >时,由2log3x =,得8x =,所以输入的实数x 值的个数为3个,选 C ．3 ．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）右边程序执行后输出的结果是S =（） A ．3B ．6C ．10D ．15【答案】B4 ．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）如图给出的是计算1111 (3529)++++的值的一个程序框图,则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是）A ．i ≤30?和p =p +i -1B ．i ≤31?和p =p +i +1C ．i ≤31?和p =p +ID ．i ≤30?和p =p +i【答案】D5 ．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是124,则判断框①处应填入的条件是（）A ．2n >B ．3n >C ．4n >D ．5n >【答案】C 【解析】由框图的顺序,()()0,1,0111,s n s s n n ===+=+⨯=依次循环()1226s =+⨯=,3n =,注意此刻33>仍然为否,() 633274s n =⨯+==，注意到44>仍然为否,此刻输出()2744124,s =+⨯= 5.n =6 ．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】第一次循环,63,22n i ===,第二次,3354,3n i =⨯-==,第三次循环44,22i n ===满足条件输出4i =,所以选 C ．7 ．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】第一次循环得0=+==;第二次循环得021,1S k13211,3=+==,第四次循环S k=+==;第三次循环得3S k123,2得11S k=+==,但此时1001122059,4S<,不满足条件,输出4k=,所以选B．C．8 ．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）执行如图所示的程序框图.则输出的所有点(,)x y（）A ．都在函数1y x =+的图象上B ．都在函数2y x =的图象上C ．都在函数2xy =的图象上D ．都在函数12x y -=的图象上【答案】解析:C二、填空题9．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）如图在下面的框图输出的S 是363,则条件①可以填______.(答案不唯一)【答案】5n ≤(或6n <)【解析】由3nS S =+知,程序的作用是求是和,12345033333363S =+++++=,循环5次,所以条件可以填5n ≤(或6n <).10．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出的结果为_______________.【答案】3【解析】第一次循环有2,3,211n x y ===-=;第二次循环有4,9,413n x y ===-=;第三次循环有6,27,633n x y ===-=;此时满足条件,输出3loglog 273yx ==.11．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）右程序框图中,当n ∈N *(n>1)时,函数()nf x 表示函数1n-f x ()的导函数.若输入函数1sin cos =+()f x x x ,则输出的函数()nf x 可化为________.【答案】sin(2)412．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）执行如图所示的程序框图,输出的s 值为________.【答案】-213．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）执行右面的框图,若输出结果为21,开始输入f 1(x )f n (x )=f ＇n-1(x )是否n=2n=n+1n>2013？输出f n (x )结束第12题图则输入的实数x 的值是____.【答案】答案:2【解析】若执行1y x =-,则(]3,12x =∉-∞,所以不成立, 若执行2log y x =,则()21,x =+∞,成立。

2013年高考数学压轴题训练三及解析

2013年高考数学压轴题训练三注:试题均为历年高考试题和模拟试题，精选其中有代表性的题目。

非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。

1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C ：x a y ba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：OM MF →⊥→；（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足AP AQ →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.解：（I ）右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y bax =∴=+M a c ab c F c c a b ()()22220，，，，，∴→=OM a c ab c ()2， MF c a c ab c b c abc →=--=-()()22，， OM MF a b c a b cOM MF →⋅→=-=∴→⊥→2222220……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=621222222，， ||()MF b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分（III ）由题意可得01<<λ……8分证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kxl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k……11分AP AQ x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x k k k k k k ，-<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1）……13分2．（本小题满分13分）已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n ->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞+++12 存在，并求出这个极限值.解：（I ） n N ∈*∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1……1分∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()()-=++++=+012312f f n n n ()()()0012=∴=+ ∴=+∈a n n n N n ()(*)12……3分（II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，， ∴=N 201020122998，，……，均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分（IV ）设b a n n =1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313*********+++=-+-+-++-+=-+ [()()()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-+=122112 ……10分注：b c a n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n an n n==<<++()(||)12012121，等都能使lim()n n b b b →∞+++12 存在.19. （本小题满分14分）设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ） e c a =∴=2422， c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+=∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3. （本小题满分13分）已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.（I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()()S m ma n n =+-()1 （2）由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*都成立{} m m a a mm a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m ma 111=+-()∴====+∴==+≥∈---a b I q f m m m b f b b b n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()*∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n ，即为等差数列，分()()*a m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-lim (lg )lim lg lg lim ()lim n b a n n n m m mm n b b b b b b n n n n n n n 121133131414151112112231·……由题意知lgm m +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'，)0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++ d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分 )2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++ )3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分)2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111bb a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分 ∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（本小题满分12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x + （Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为 2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分 11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分 7．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g xx 得由,0)(),0(32),0(],,0[ .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( xf x f fg x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ（Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分。

辽宁省2013届高考压轴卷数学文试题

2013年辽宁省高考压轴卷数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么棱柱体体积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥的高P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k nn P P C k P --=)1()( 球的表面积公式其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，24R S π= h 表示梭台的高球的体积公式其中R 表示球的半径第I 卷一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．(1)i (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2(3) 已知正数x 、y 满足20350{x yx y -≤-+≥，则）)(A 1 )(C （4）函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数(6)设554a log 4b log c log ===25，（3），，则(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c(7)设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是 (A){}a |0a 6≤≤ (B){}|2,a a ≤≥或a 4 (C){}|0,6a a ≤≥或a (D){}|24a a ≤≤（8，则方程2(2)f x x a +=（2a >）的根的个数不可能为（） )(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 3（9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，1AD =，则AC AD ⋅=（A（B（C（D（10）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A （B ）[0,)+∞（CD第Ⅱ卷二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．（11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。

数学_2013年北京市高考数学压轴卷(文科)(含答案)

2013年北京市高考数学压轴卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A(1, 2)，B(−1, 3)，则z2z 1=( )A 1+iB iC 1−iD −i2. 已知A ={y|y =log 2x ，x <1}，B ={y|y =(12)x ，x >1}，则A ∩B =( ) A ⌀ B (−∞, 0) C (0,12) D (−∞,12)3. 下列命题的否定为假命题的是（）A ∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0B 任意一个四边形的四个顶点共圆C 所有能被3整除的整数都是奇数D ∀x ∈R ，sin 2x +cos 2x =1 4. 设曲线y =x+1x−1在点(3, 2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a =( )A 2B 12C −12D −25. 执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A 1B 2C 3D 46. 已知l ，m ，n 为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A 若l ⊥m ，l ⊥n ，且m ，n ⊂α，则l ⊥αB 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α // βC 若m ⊥α，m ⊥n ，则n // αD 若m // n ，n ⊥α，则m ⊥α7.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积为（） A 1+√2 B 2+2√2 C 13 D 2+√2 8. 已知抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点F 与双曲线x 24−y 25=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则A 点的横坐标为（）A 2√2B 4C 3D 2√3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知等差数列{a n }中，a 3+a 5=32，a 7−a 3=8，则此数列的前10项和S 10=________． 10. 若|a →|=2，|b →|=4，且(a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是________． 11. 已知cosα=35，0<α<π，则tan(α+π4)=________．12. 已知函数y =x −3+9x+1(x >−1)，当x =a 时，y 取得最小值b ，则a +b =________． 13. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，f(x −2)=f(x +2)，且x ∈(−2, 0)时，f(x)=2x +12，则f(2013)=________．14. 下列命题：（1）若函数f(x)=lg(x +√x 2+a)为奇函数，则a =1；（2）函数f(x)=|1+sinx +cosx|的周期T =2π；（3）方程lgx =sinx 有且只有三个实数根；（4）对于函数f(x)=√x ，若0<x 1<x 2，则f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2．以上命题为真命题的是________．（将所有真命题的序号填在题中的横线上）三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sinB+sinC sinA=2−cosB−cosCcosA，函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3，2π3]上单调递减．（1）证明：b +c =2a ；（2）若f(π9)=cosA ，证明：△ABC 为等边三角形．16. 某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1．（1）求x ，y ，z 的值；（2）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（3）若从（2）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．17. 已知点(1, 2)是函数f(x)=a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n =f(n)−1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）将数列{a n}前2013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{a n}前2013项中剩余项的和．18. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF // 平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其中左焦点F(−2, 0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．20. 已知函数f(x)=lnx+ax；（1）若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；（2）若f(x)在[1, e]上的最小值为32，求a的值；（3）若f(x)<x2在(1, +∞)上恒成立，求a的取值范围．2013年北京市高考数学压轴卷（文科）答案1. A2. A3. D4. D5. C6. D7. D8. C9. 19010. 2π311. −712. 413. −114. （1）（2）（3）．15. 解：（1）∵ sinB+sinCsinA =2−cosB−cosCcosA∴ sinBcosA+sinCcosA=2sinA−cosBsinA−cosCsinA ∴ sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA…所以sinC+sinB=2sinA…所以b+c=2a…（2）由题意知：由题意知：2πω=4π3，解得：ω=32，…因为f(π9)=sinπ6=12=cosA，A∈(0, π)，所以A=π3…由余弦定理知：cosA=b 2+c2−a22bc=12…所以b2+c2−a2=bc因为b+c=2a，所以b2+c2−(b+c2)2=bc，即：b2+c2−2bc=0所以b=c…又A=π3，所以△ABC为等边三角形．…16. 解：（1）由题意可得x=360×0.15=54，y=360×0.1=36，z=360−86−54−36−94−66=24−−−−−−−−−−−（2）由题意知，三个批次的人数分别是180，120，60，乘以160可得3，2，1，所以被选取的人数分别为3，2，1．-------------（3）第一批次选取的三个教师设为A1，A2，A3，第二批次的教师为B1，B2，第三批次的教师设为C，则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为Ω={A1A2, A1A3, A1B1, A1B2, A1C, A2A3, A2B1, A2B2, A2C, A3B1, A3B2, A3C, B1B2, B1C, B2C}共15个------------其中“来自两个批次”的事件包括Ω1={A1B1, A1B2, A1C, A2B1, A2B2, A2C, A3B1, A3B2, A3C, B1C, B2C}共11个，---所以“来自两个批次”的概率p=1115．-----17. 解：（1）把点(1, 2)代入函数f(x)=a x，得a=2．…∴ S n=f(n)−1=2n−1，…当n=1时，a1=S1=21−1=1；…当n≥2时，a n=S n−S n−1=(2n−1)−(2n−1−1)=2n−1…经验证可知n=1时，也适合上式，∴ a n=2n−1．…（2）由（1）知数列{a n}为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2013项也为等比数列，首项a3=23−1=4，公比q=23，a2013=22012为其第671项…∴ 此数列的和为4(1−8671)1−8=4(22013−1)7…又数列{a n }的前2013项和为S 2013=1×(1−22013)1−2=22013−1，…∴ 所求剩余项的和为(22013−1)−4(22013−1)7=3(22013−1)7…18.证明：（1）连接BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则 EF // D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF 不包含于平面ABC 1D 1}⇒EF // 平面ABC 1D 1；（2）根据题意可知： B 1C ⊥AB B 1C ⊥BC 1AB,B 1C ⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1=B }⇒ B 1C ⊥面ABC 1D 1BD 1⊂面ABC 1D 1} ⇒ B 1C ⊥BD 1EF // BD 1}⇒EF ⊥B 1C ．19. 解：(1)由题意，得{ca =√22，c =2，a 2=b 2+c 2，解得{a =2√2，b =2.∴ 椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，线段AB 的中点为M(x 0, y 0)，由{x 28+y 24=1，y =x +m ，消y 得，3x 2+4mx +2m 2−8=0，Δ=96−8m 2>0， ∴ −2√3<m <2√3． ∴ x 0=x 1+x 22=−2m 3，y 0=x 0+m =m3．∵ 点M(x 0, y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴ (−2m 3)2+(m3)2=1，∴ m =±3√55．20. 解：（1）由题意f(x)的定义域为(0, +∞)，且f′(x)=x−ax2…∵ a>0，∴ x>a，f′(x)>0；0<x<a，f′(x)<0；故f(x)在(a, +∞)上是单调递增函数；(0, a)上是单调递减函数…（2）由（1）可知，f′(x)=x−ax2．①若a≤1，则f(x)在[1, e]上为增函数，∴ [f(x)]min=f(1)=−a=32，∴ a=−32（舍去）…②若a≥e，则x+a≤0，即f′(x)≤0在[1, e]上恒成立，此时f(x)在[1, e]上为减函数，∴ [f(x)]min=f(e)=1−ae =32⇒a=−e2（舍去）…③若1<a<e，令f′(x)=0得x=a，∴ f(x)在(1, a)上为减函数，f(x)在(a, e)上为增函数，∴ [f(x)]min=f(a)=ln(a)+1=32，∴ a=√e∴ a=√e．…综上所述，a=√e．（3）∵ f(x)<x2∴ lnx−ax<x2又x>0，∴ a>xlnx−x3…令g(x)=xlnx−x3，ℎ(x)=g′(x)=1+lnx−3x2，∴ ℎ′(x)=1x −6x=1−6x2x∵ x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上是减函数，…∴ ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0即g′(x)<0∴ g(x)在(1, +∞)上也是减函数，∴ g(x)在(1, +∞)上是减函数∴ g(x)<g(1)=−1∴ 当a≥−1时，f(x)<x2在(1, +∞)上恒成立．…。

2013年高考数学最后压轴大题1

2013年高考数学最后压轴大题1、解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立又11≤x1≥∴a 为所求。

（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f b b a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b b a 即ba b b a +>+1ln另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即bba b b a +>+ln综上所述，.ln 1bba b b a b a +<+<+ 2．解：（1=1c ∴=…………………1分由题意1,b a =∴=所以椭圆方程为2212x y +=………………………3分（2）容易验证直线l 的斜率不为0。

故可设直线l 的方程为 1x k y =+，2212x y +=代入中，得.012)2(22=-++ky y k设 1122(,),(,),A x y B x y则22221+-=+k k y y .21221+-=k y y ……………………………5分 ∵λ= ∴有.021<=λλ，且y y 222122212()414222y y k k y y k k λλ+∴=-⇒++=-++ 由021212125]1,2[≤++≤-⇒-≤+≤-⇒--∈λλλλλ.72072024212222≤≤⇒≤⇒≤+-≤-⇒k k k k …………7分∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x TB TA y x TB y x TA +-+=+∴-=-=又.2)1(42)(4,22222121221++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y 故2212212)()4(||y y x x TB TA ++-+=+222222222222)2(8)2(28)2(16)2(4)2()1(16+++-+=++++=k k k k k k k 222)2(822816+++-=k k ……………………………………………………8分令720.2122≤≤+=k k t ∴21211672≤+≤k ，即 ].21,167[∈t ∴.217)47(816288)(||222--=+-==+t t t t f 而 ]21,167[∈t ， ∴169()[4,]32f t ∈ ∴].8213,2[||∈+………………………………………………………10分 3．解：（1）01212)(2'≤-+=-+=xax x x a x x f 在[]2,1上恒成立，令 12)(2-+=ax x x h ，有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,271⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a a ……………………… 4分得27-≤a …………………………………………………………………………… 5分（2）假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，x a x g 1)('-=xax 1-= ……………………………………………6分当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去）， ②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 ∴3ln 1)1()(min =+==a ag x g ，2e a =，满足条件.③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去），综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时)(x g 有最小值3. ……………………10分（3）令x x e x F ln )(2-=，由（2）知，3)(min =x F .令25ln )(+=x x x ϕ，2'ln 1)(x xx -=ϕ，当e x ≤<0时，0)('≥x ϕ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴32521251)()(max =+<+==e e x ϕϕ ,25ln ln 2+>-∴x x x x e 即x x e 2522-x x ln )1(+>.………14分4.解：（1）当1a =时32()f x x x x m =+-+，因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32()0f x x x x m =+-+=，即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1、已知函数2()x f x x e -=。

（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。

2、设函数f(x)=x^3-kx^2+x (1).当k=1时，求f(x)得单调区间（2）当K ＜0时，求函数f(x)在［k,-k ］上的最小值m 和最大值n
3、设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2
x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩ (Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(
1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313
x x x ++>.
4、已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .
(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．
5、已知函数f(x)＝
22,0,
ln,0,
x x a x
x x
⎧++<
⎨
>
⎩
其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该
函数图象上的两点，且x1＜x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；
(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
6、已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．
(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．
7、已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.
(1)当2a =-时，讨论f (x )的单调性；
(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．
8．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝
2
11x x -+e x . (1)求f (x )的单调区间；
(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.
9．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝1,0,11, 1.1x x a a x a x a
⎧≤≤⎪⎪⎨⎪(-)<≤⎪-⎩a 为常数且a ∈(0,1)．
(1)当12a =时，求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为f (x )的二阶周期点．证明函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；
10．(2013福建，文22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x －1＋e
x a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值；
(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．。