相关分析及其原理(全)

相关原理
一、两个随机变量的相关系数
通常，两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者存在着函数关系。

当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一变量数值的确定，另一却可能取许多不同的值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。

下图表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。

左图中个点分布很散，可以说变量x和变量y之间是无关的。

右图中x和y虽无确定关系，但从统计结果、从总体看，大体上具有某种程度上的线性关系，因此说他们之间有着相关关系。

变量x和y之间的相关程度常用相关系数ρxy表示
ρxy=E[(x−μx)(y−μy)]
σxσy
式中E-------数学期望；
μx-------随机变量x的均值，μx=E[x]；
μy-------随机变量y的均值，μx=E[y]；
σxσy-------随机变量x、y的标准差
σx2=E[(x−μx)2]
σy2=E[(y−μy)2]
利用柯西-许瓦兹不定式
E[(x−μx)( y−μy)]2≤E[(x−μx)2] E[(y−μy)2]
故知｜ρxy｜≤1。

当数据点分布愈接近于一条直线时，ρxy的绝对值愈接近1，x,y的线性关系度愈好，ρxy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增或减。

当ρxy接近于零，则可认为x,y两变量之间完全无关，但仍可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数关系。

二、信号的自相关函数
假如x（t）是某各态历经随机过程的一个样本记录，x（t+τ）是x（t）时移τ后的样本，在任何t=t i时刻，从两个样本上分别得到两个值x(t i)和x(t i+τ)，而且x（t）和x（t+τ）具有相同的均值和标准差。

例如把ρ
简写成ρx(τ),那么有，
x（t）x（t+τ）
ρx(τ)=lim
T→∞
1
T
∫[x(t)−μx][x(t+τ)−μx]dt
T
σx2
将分子展开并注意到
lim T→∞1
T
∫x(t)dt
T
=μx
lim T→∞1
T
∫x(t+τ)dt
T
=μx
从而得
ρx(τ)=lim
T→∞1
T ∫x(t)x(t+τ)dt−μx2 T
σx2
对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数R X(τ)为
R X(τ)=lim
T→∞1
T
∫x(t)x(t+τ)dt
T
则
ρx(τ)=R X(τ)−μx 2
σx2
显然ρx(τ)和R X(τ)均随τ而变化，而两者成线性关系。

如果该随机过程的均值μx=0，则ρx(τ)=R X(τ)
σx2。

自相关函数具有下列性质：
1）由ρx(τ)=R X(τ)−μx2
σx2
可得R X(τ)= ρx(τ) σx2+μx2
又因为｜ρxy｜≤1，所以μx2−σx2≤R X(τ)≤μx2+σx2 2）自相关函数在τ=0时为最大值，并等于该随机信号的均方值φx2
R X(0)=lim
T→∞1
T
∫x(t)x(t)dt
T
=φ
x
2
证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即
E{[X(t)±X(t+τ)]2}≥0
E{X2(t)±2X(t)X(t+τ)+X2(t+τ)}≥0
而E[X2(t)]= E[X2(t+τ)]= R X(0)
带入前式可得2R X(0) ±2R X(τ) ≥0
于是R X(0) ≥｜R X(τ)｜
需要注意的是
因为R X(0) ≥｜R X(τ)｜，所以并不排除在其他τ≠0的地方R X(τ)也有可能出现同样的最大值。

例如：随机相位正弦函数x（t）=x0sin(ω0t+φ)的自相关函数
R X(τ)=x02
2
cosω0τ
在τ=2nπ
ω0
,n=0,±1, ±2,⋯⋯时，均出现最大值
x02
2。

取随机相位正弦波为x（t）=4sin(π
2
t+θ)
其中θ是在(0,2π)上均匀分布的的随机变量。

求自相关函数：
R X(t1t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[4sin(π
2t1+θ)∗4sin(π
2
t2+θ)]
=16E[sin(π
2t1+θ)∗sin(π
2
t2+θ)]
=16∫sin(π
2t1+θ)
2π0sin(π
2
t2+θ)1
2π
dθ
=4
π
∫[cosπ
2
(t1−t2)
2π
−cos(π
2
(t1+t2)+2θ)]
=8 cosπ
2
(t1−t2)
syms t1 t2 k y1=4*sin((pi/2)*t1+k); y2=4*sin((pi/2)*t2+k); y=y1*y2; R=1/(2*pi)*int(y,k,0,2*pi); ezmeshc(R)
3）当τ足够大或τ→∞ 时，随机变量x（t）和x(t+τ)之间不存在内在联系，彼此无关，故
ρX(τ)τ→∞→0ρX(
τ)
τ→∞
→R X2
4）自相关函数为偶函数，即
R X(τ)= R X(−τ)
证明: R X(τ)=E[X(t)X(t+τ)]= E[X(t+τ)X(t)] = R X(−τ)
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。