05弯曲应力材料力学(刘鸿文)PPT课件
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社《材料力学》课件全套
解： 用截面m-m将钻床截为两部分，取上半 部分为研究对象，
受力如图：
列平衡方程:
M
Y 0 FN P
Mo(F) 0
FN
Pa M 0
M Pa
目录
§1.4 内力、截面法和应力的概念
为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,
即应力的概念。
F A
pm
F A
—— 平均应力
C
p lim F A0 A
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1 cos 45 FN2 0
x
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
2、轴力：截面上的内力
F
由于外力的作用线
与杆件的轴线重合，内
力的作用线也与杆件的
轴线重合。所以称为轴
力。 F 3、轴力正负号：
拉为正、压为负
4、轴力图：轴力沿杆 件轴线的变化
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1
A
F1
若：构件横截面尺寸不足或形状
不合理,或材料选用不当
___ 不满足上述要求,
不能保证安全工作.
若：不恰当地加大横截面尺寸或
选用优质材料
___ 增加成本,造成浪费
}均 不 可 取
研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在 进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和 手段。
受力如图：
列平衡方程:
M
Y 0 FN P
Mo(F) 0
FN
Pa M 0
M Pa
目录
§1.4 内力、截面法和应力的概念
为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,
即应力的概念。
F A
pm
F A
—— 平均应力
C
p lim F A0 A
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1 cos 45 FN2 0
x
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
2、轴力：截面上的内力
F
由于外力的作用线
与杆件的轴线重合，内
力的作用线也与杆件的
轴线重合。所以称为轴
力。 F 3、轴力正负号：
拉为正、压为负
4、轴力图：轴力沿杆 件轴线的变化
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1
A
F1
若：构件横截面尺寸不足或形状
不合理,或材料选用不当
___ 不满足上述要求,
不能保证安全工作.
若：不恰当地加大横截面尺寸或
选用优质材料
___ 增加成本,造成浪费
}均 不 可 取
研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在 进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和 手段。
材料力学ppt刘鸿文版
目录
§2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.5
AC为50×50×5的等边角钢，AB为10 号槽钢，〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。
解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆 为2杆）用截面法取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
F
y
0
FN1 sin F 0
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1
A
1 B
11=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。
F1 F1 F1
FN kN
F3
3
F4
解：1、计算各段的轴力。 AB段
FN1 FN2 F2
F F
x
x
0
FN1 F1 10kN
在图示结构中，设横梁AB的 变形可以省略，1，2两杆的横截 面面积相等，材料相同。试求1， 2两杆的内力。 解： 1、列出独立的平衡方程
1
例题2.8
2
l
3F 2FN 2 cos FN1 0
2、变形几何关系
A
B
a
l1
a
l2
a
l2 2l1 cos
3、物理关系
4、补充方程
b ｝ F n
例题3-2
FS
h
nn
n
b
l
O Me
Fbs Abs bs
d
O
Me
0.5h
(a)
(b)
nF n S
(c)
目录
§2-13 剪切和挤压的实用计算
解：（1）校核键的剪切强度
Fs A bl d d 由平衡方程 M o 0 得 Fs bl M e
§2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.5
AC为50×50×5的等边角钢，AB为10 号槽钢，〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。
解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆 为2杆）用截面法取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
F
y
0
FN1 sin F 0
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1
A
1 B
11=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。
F1 F1 F1
FN kN
F3
3
F4
解：1、计算各段的轴力。 AB段
FN1 FN2 F2
F F
x
x
0
FN1 F1 10kN
在图示结构中，设横梁AB的 变形可以省略，1，2两杆的横截 面面积相等，材料相同。试求1， 2两杆的内力。 解： 1、列出独立的平衡方程
1
例题2.8
2
l
3F 2FN 2 cos FN1 0
2、变形几何关系
A
B
a
l1
a
l2
a
l2 2l1 cos
3、物理关系
4、补充方程
b ｝ F n
例题3-2
FS
h
nn
n
b
l
O Me
Fbs Abs bs
d
O
Me
0.5h
(a)
(b)
nF n S
(c)
目录
§2-13 剪切和挤压的实用计算
解：（1）校核键的剪切强度
Fs A bl d d 由平衡方程 M o 0 得 Fs bl M e
刘鸿文材料力学第五版课件
Fl 2 2 Fl 2 5Fl 2 = + = 2 EI EI 2 EI
（顺时针） 顺时针）
北京交通大学工程力学研究所
柯燎亮
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁 截面的挠度和转角以 由叠加原理求图示弯曲刚度为 的外伸梁C截面的挠度和转角以 的外伸梁 截面的挠度。 及D截面的挠度。 截面的挠度
qa(2a ) qa(2a ) wD1 = θ B1 = − 48EI 16 EI 截面的挠度和B截面右端的转角为 图d中D截面的挠度和 截面右端的转角为： 中 截面的挠度和 截面右端的转角为：
3 2
wD 2
2qa =− 16 EI
4
θ B2
qa 3 = 3EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形将相应的位移进行叠加，即得： 将相应的位移进行叠加，即得：
q B
(θ B )q
θ A = (θ A)q + (θ A)Me
Mel ql =( + ) ( 24EI 3EI
3
(wC )q
l
) Me
B
(θ B ) M e
θB = (θB)q + (θB)Me A (c) (θ A ) C (wC )M ql 3 Mel ( ) = − + l 24EI 6EI 北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮
qa 4 wCq = 8EI
θ Cq
qa 3 = 6 EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得， 原外伸梁 端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 端的挠度和转角也可按叠加原理求得
材料力学+第四版+刘洪文+第五章 弯曲应力
Hooke’s Law 所以 σ = E
σ = Eε
y
?
M
O
z x
ρ
?
y
应力分布规律： 应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴 的距离成正比. 的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
?
(Stresses in Beams) relationship） 四、静力关系 (Static relationship）
2.强度条件的应用 2.强度条件的应用(Application of strength condition) 强度条件的应用(Application （1） 强度校核
Mmax ≤ [σ] W
Mmax （2）设计截面 W ≥ [σ]
（3）确定许可载荷 Mmax ≤ W[σ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] ≠ [σc ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的 中性轴一般也不是对称轴
三、强度条件（Strength condition) 强度条件（
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式 1.数学表达式（Mathematical formula) 数学表达式（
Mmax σmax = ≤ [σ] W
(Stresses in Beams)
Miz = ∫ dMz = ∫ yσdA= M 3） （
A A
dFN= σdA
dMy = z σdA dMz = y σdA
(Stresses in Beams)
将应力表达式代入（ 将应力表达式代入（1）式，得
σ = Eε
y
?
M
O
z x
ρ
?
y
应力分布规律： 应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴 的距离成正比. 的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
?
(Stresses in Beams) relationship） 四、静力关系 (Static relationship）
2.强度条件的应用 2.强度条件的应用(Application of strength condition) 强度条件的应用(Application （1） 强度校核
Mmax ≤ [σ] W
Mmax （2）设计截面 W ≥ [σ]
（3）确定许可载荷 Mmax ≤ W[σ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] ≠ [σc ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的 中性轴一般也不是对称轴
三、强度条件（Strength condition) 强度条件（
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式 1.数学表达式（Mathematical formula) 数学表达式（
Mmax σmax = ≤ [σ] W
(Stresses in Beams)
Miz = ∫ dMz = ∫ yσdA= M 3） （
A A
dFN= σdA
dMy = z σdA dMz = y σdA
(Stresses in Beams)
将应力表达式代入（ 将应力表达式代入（1）式，得
材料力学(刘鸿文)第五章-弯曲应力
关于中性层的历史
1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层； 英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题； 法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴 过截面形心。
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；
（4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
σmax
σmax
M y max max
M
Iyz
max max
Iz
σ
b 但对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此：
强度条件可以表示为
σmax
M max wz
σ
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh 3 12
材料力学刘鸿文第六版最新课件第五章 弯曲应力
:
FN2
M
dM Iz
A1 y1dA
pp1 : dFs' 'bdx
§5-4 弯曲切应力
X方向合力为0
X 0, M dM
Iz
M A1 y1dA Iz
A1 y1dA 'bdx 0
m m1
FN1
p p1
n
τ’ q τ
z
y q1 y1
dx n1
σdA
y FN2
' dM ( 1 )
dx Izb
腹板上的剪力FS1=(0.95~0.97)FS
§5-4 弯曲切应力
三、圆形截面* Izb
在中性轴上，切应力最大，此时b=2R，
max
4Fs
3 R2
IZ
d 4
64
§5-4 弯曲切应力
细长梁的控制因素通常是弯曲正应力，但是有些情况必须 考虑弯曲切应力
梁的跨度较短（l / h < 5）； 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）； 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、
M
max
Mymax IZ
WZ
IZ ymax
抗弯截面系数
max
M WZ
*******注意拉应力和压应力的区分。
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ ※ IZ y2dA A
Wz
IZ ymax
圆截面
IZ
d 4
64
Wz
d3
32
矩形截面
IZ
bh3 12
Wz
bh2 6
空心圆截面
空心矩形截面
§5-4 弯曲切应力
q=3.6kN/m
A
材料力学刘鸿文第5章第3次课
τ max
Fs max 1.5 × 5400 = 1.5 = A 120 × 180 = 0.375MPa < 0.9MPa = [τ ]
10:42
材料力学
第五章 弯曲应力
例题5 例题5-4-2 一简易起重设备如图所 示.起重量(包含电葫芦自重)F = 30 起重量(包含电葫芦自重) kN. 跨长l = 5 m. 吊车大梁AB由20a 跨长l 吊车大梁AB由 工字钢制成. 工字钢制成.其许用弯曲正应力 [σ]=170MPa,许用弯曲切应力[τ]= ]=170MPa,许用弯曲切应力 许用弯曲切应力[ 100MPa ，试校核梁的强度. 试校核梁的强度. 解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在 此吊车梁可简化为简支梁， 梁中间位置时有最大正应力 .
b=
h=
据此校核梁的切应力强度
+
= F Smax = 24.9MPa < [τ ] τ max bh
10:42
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的. 以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
材料力学
第五章 弯曲应力
例题5 例题5-4-3 简支梁AB如图所示. l＝2m，a＝0.2m. 梁上的载荷为 简支梁AB如图所示 如图所示. 2m， q为10kN/m，F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa，[τ]＝ 10kN/m， 200kN.材料的许用应力为 ]=160MPa， 材料的许用应力为[ a F a q F 100MPa，试选择工字钢型号. 100MPa，试选择工字钢型号. FRA （2）根据最大弯矩选择工字钢型号 解：（1）计算支反力做内力图. ：（1 计算支反力做内力图.
第五章 弯曲应力
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 在计算最大切应力时，应取荷载F 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 处所示，因为此时该支座的支反力最大，
刘鸿文版材料力学课件4-5章.(1)
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
M (kN.m)
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
建立 FS－x 和 M－x
FBY
坐标系
＝1.11 kN
4．应用截面法确定控
x 制面上的剪力和弯矩
值，并将其标在
FS－ x和 M－x 坐标
系中。
O (-)
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
例题4-3
图示简支梁C点受集中力作用。
B
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
MA＝0， MB＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC FS x1＝Fb / l 0 x1 a
ql
ql 2 2
M y 0 M y qy y / 2 qly 0
M y qly qy2 / 2 0 y l
目录
平面刚架的内力
B
y
x
ql 2 2
ql
ql 2 2
M(x)
B FN(x)
x ql 2 2
FS(x)
横杆CB：C点向左为x
Fx 0
FN x 0 0 x l
Fy 0 FS x ql / 2 0
1/2×9qa/4×9a/4 =81qa2/32
B点的弯矩为
-1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2
刘鸿文版材料力学课件全套5ppt课件
尺寸因数
1 试样的疲劳极限
3.表面加工质量的影响——表面质量因数
( 1 ) 1
1 磨削加工（试样） 1 其他加工
一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。
看表11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数
6E I
B
1 EI
ml 2
2 3
ml
逆时针
3E I
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
CL12TU35
解：
wB
1 EI
l 3
ql 2 2
3l 4
ql 2
ql4
2
8E I
B
1 EI
l
3
ql 2 2
1
ql 2
ql3 顺时针
2
6E I
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的 铅垂位移。
ql 3 12
a 2
0
F ql 3 8a(l a)
(2) ql 2 / 8
C
1 EI
Fal 2
2 3
Fa2 2
1
ql 3 12
1 2
0
F ql 3 4a(2l 3a)
例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的 铅垂位移。
CL12TU38
解：
C
3 EI
Pa2 2
2a 3
Pa 3 EI
例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两 截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的 相对线位移 ΔAB 。
定理：
Fi i F11 F2 2 Fi i
所以：V Fi i
1 试样的疲劳极限
3.表面加工质量的影响——表面质量因数
( 1 ) 1
1 磨削加工（试样） 1 其他加工
一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。
看表11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数
6E I
B
1 EI
ml 2
2 3
ml
逆时针
3E I
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
CL12TU35
解：
wB
1 EI
l 3
ql 2 2
3l 4
ql 2
ql4
2
8E I
B
1 EI
l
3
ql 2 2
1
ql 2
ql3 顺时针
2
6E I
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的 铅垂位移。
ql 3 12
a 2
0
F ql 3 8a(l a)
(2) ql 2 / 8
C
1 EI
Fal 2
2 3
Fa2 2
1
ql 3 12
1 2
0
F ql 3 4a(2l 3a)
例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的 铅垂位移。
CL12TU38
解：
C
3 EI
Pa2 2
2a 3
Pa 3 EI
例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两 截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的 相对线位移 ΔAB 。
定理：
Fi i F11 F2 2 Fi i
所以：V Fi i
材料力学刘鸿文第五版课件第五章弯曲应力.
8
纯弯曲时梁的正应力
横截面对称轴为y 轴，向下为正
中性轴为z轴，位 置待定 x轴暂时认为是通 过原点的横截面的 法线
讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形
9
m a o b m
n a o b y
dx
n
中性层曲率半径
纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
10
二、物理关系：
由胡克定律及
E
任意纵向纤维的正应力与
动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线 变形后仍正交。
7
设想梁是由无数层 纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不 变－－中性层 中间层与横截面的交 线－－中性轴
推 论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
空心圆截面
IZ
矩形截面
D 4
64
(1 4 )
WZ
D 3
32
(1 4 )
bh 3 IZ 12
3
bh 2 WZ 6
16
空心矩形截面
b0 h0 bh IZ 12 12
3
3
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
横力弯曲正应力
距离成正比； 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
•
•
中性轴上，正应力等于零
Mymax max IZ
IZ WZ ymax
max
M WZ
15
抗弯截面模量
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y dA
2 A
IZ WZ y max
纯弯曲时梁的正应力
横截面对称轴为y 轴，向下为正
中性轴为z轴，位 置待定 x轴暂时认为是通 过原点的横截面的 法线
讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形
9
m a o b m
n a o b y
dx
n
中性层曲率半径
纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
10
二、物理关系：
由胡克定律及
E
任意纵向纤维的正应力与
动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线 变形后仍正交。
7
设想梁是由无数层 纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不 变－－中性层 中间层与横截面的交 线－－中性轴
推 论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
空心圆截面
IZ
矩形截面
D 4
64
(1 4 )
WZ
D 3
32
(1 4 )
bh 3 IZ 12
3
bh 2 WZ 6
16
空心矩形截面
b0 h0 bh IZ 12 12
3
3
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
横力弯曲正应力
距离成正比； 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
•
•
中性轴上，正应力等于零
Mymax max IZ
IZ WZ ymax
max
M WZ
15
抗弯截面模量
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y dA
2 A
IZ WZ y max
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平面假定
物理关系
变形
应变分布
应力分布
静力 方程
应力公式
03.12.2020
6
1、变形几何关系
建立坐标系：
x——截面外法线
y
y——截面对称轴
z——中性轴
线段 aa 正应变
oo aa
dx
r dq
M
yo a
M
o a
＝(ry)qdrdq＝y
rdq
r
表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截
面高度线性分布。
第五章 弯曲应力
基本要求
1．掌握梁弯曲时横截面上的分布规律及相应的 强度条件；
2．了解弯曲时横截面上切应力的分布规律； 3．了解提高梁弯曲强度的一些措施。
03.12.2020
1
§5-1 基本概念
1．中性层和中性轴
M
M
03.12.2020
2
2．横弯曲和纯弯曲
F
F
A
B
CD
a
a
F
F
F
Fs
+
-
F
Fa
M
+
l
方向，可以判断：1点受拉应力，2
点受压应力。
于是弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为
1 M my a 1 x0.2 m 5 13 3 0 7 .N 5 1 3 0 m 0 .4 2 18 2 P 0 a 42.2M
Iz
4 .1 5 -8m 04
2 M my a 2 x0.2 m 5 13 3 0 1N 1 5 3 0 m 0 .8 4 13 2 P 0 a 84.2M
20 y
B 解：1、确定形心位置
yC 45mm
2、计算惯性矩
Iz8.8 410 6m 4
B
3、计算B截面的应力
MBF0.46KNm
tmaxMIBZyC 30.5MPa
cma xM B(0.1IZ 40.04)56.5 4MP
18
例 圆轴在A、B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座；轴
的外伸部分BD是空心的。轴的直径和其余尺寸以及轴所承受 的载荷都标在图中。已知的拉伸和压缩的许用应力相等。试分 析：圆轴的强度是否安全。
03.12.2020
4
二．弯曲正应力公式 基本假设：①纵向纤维间互不挤压（无挤压应力）；
② 平面假设
需讨论：①正应力沿高度方向的分布规律； ②各点正应力的大小。
03.12.2020
5
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上 各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。 由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看 见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情 形推知梁横截面上的正应力分布。
Wy
Wz＝W
I d
64 d
d3
32
d
22
y
z
d D
03.12.2020
D414
WyWz＝ WD I
64 D
D314
32
2
2
＝ d D
12
二．弯曲强度条件
塑性材料 脆性材料
max
Mmax Wz
[]
tmax[ t]
cmax[c]
强度计算步骤：（1）求支反力并画内力图。（2） 判断梁的危险截面和危险点。（3）求截面图形的静矩和 惯性矩等。（4）计算危险点的应力。（5）列出强度条 件，进行强度计算。
纯弯曲：（CD段）
Fs = 0，M≠0
横弯曲：（AC、DB段） Fs≠0， M≠0
03.12.2020
3
§5-2 纯弯曲时的正应力
一．试验与假设
变形现象：（1）横线仍是直 线，只是发生相对转动，但仍与 纵线正交。 （2）纵线弯曲成曲 线，且梁的一侧伸长，另一侧缩 短。
平面假设：梁变形后，横截面 仍保持平面，并垂直于变形后梁 的轴线，只是绕着梁上某一轴转 过一个角度。
2. 计算惯性矩
Iz b 1 3 h 2 2 m 0 1 m - 3 0 1 ( 3 m 2 0 1 m -) 3 3 0 4 .5 1 8 m 0 4
03.12.2020
15
均布载荷作用在纵向对称面内，
因 此 横 截 面 的 水 平 对 称 轴 (x) 就 是 中
性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的
M
1.17
+
(KNm)
-
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0.9
19
解：1. 确定约束力
FRA＝2.93kN
FRB=5.07 kN
2. 画弯矩图，判断可
能的危险截面
MC＝1.17 kNm MB＝0.9 kNm
FRA
10
§5-3 横力弯曲时正应力
一．最大弯曲正应力
maxMmIazyxmaxIM z ym maaxxM Wm z ax
Wz
Iz y max
——抗弯截面系数
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11
抗弯截面系数
y z
h
bh3
W
＝
z
Iz h
12 h
bh2 6
22hb3Wຫໍສະໝຸດ ＝yIy b
12 b
hb2 6
22
b
y z
d4
FRA
l
FRB
F R A F R B q 2 1 lk0 N 1 3 2 / 0 4 m 5 1 0 -3 0 m 2 .2 1 5 m 3 N 0
M m a q 8 x 2 l 1 k0 N 1 3 8 ( 0 / 4 m 5 1 0 -) 3 2 0 m 0 .2 1 5 m 3 N 0 3 m
心，并且垂直于对称轴。
My zdA0
A
Mz ydAM
A
1M
r EI z
EIz——截面的抗弯刚度。
9
纯弯曲时正应力计算公式
＝ E y r
1M r EI z
＝ My Iz
实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直 接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和 y 的正负。
03.12.2020
03.12.2020
7
2、物理关系
＝ y r
对于线弹性材料，有胡克定律
＝E
＝ E y r
表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到 中性轴的垂直距离 y 成正比，即正应力沿着截面高度按 线性分布。
03.12.2020
8
3、静力关系
03.12.2020
dA＝FN＝0
A
Sz＝ ydA＝0
A
表明：中性轴 z 通过截面形
Iz
4 .1 5 -8m 04
03.12.2020
16
例 图示悬臂梁，自由端承受集中载荷 F=15kN
作用，试计算截面B－B的最大弯曲拉应力与最大弯
曲压应力。
F 400
B
截面B－B
120
z
yC 120
20
B
20
y
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17
yC 120 20
F 400
截面B－B
120
z
03.12.2020
利用强度条件，可进行强度校核、截面设计、确定许 可载荷。
03.12.2020
13
例 矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：
矩形的宽度b=20mm，高度h＝30mm；均布载荷集度 q＝10 kN/m ；梁的长度l＝450mm。求：梁最大弯矩
截面上1、2两点处的正应力。
l
03.12.2020
14
解：1. 计算最大弯矩