高中数学必修5 均值不等式

均值不等式复习（学案）

基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)均值不等式成立的条件：_______________.

(2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式

(1)a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b

≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)

a 2＋

b 22≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )． 注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2

，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的

算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题

已知x ＞0，y ＞0，则

(1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和

最小)

(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测

1．函数y ＝x ＋1

x

(x ＞0)的值域为( )．

A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2

＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )．

A.1a ＋1

b

有最大值4

B ．ab 有最小值1

4

C.a ＋b 有最大值 2

D ．a 2

＋b 2

有最小值

22

4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b

a

33+的最小值是( )

A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 6.若+

∈R y x ,,且12=+y x ，则

y

x 1

1+的最小值为 . 典型例题

类型一 利用均值不等式求最值

1．若函数f (x )＝x ＋1

x －2

(x ＞2)的最小值为____________.

2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t

的最小值为________．

3. 当x ＞0时，则f (x )＝

2x

x 2

＋1

的最大值为________． 4. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y

的最小值为________； 5. 若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．

6. 已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2

的最大值为________．

7. 已知

53

2,(0,0)x y x y

+=>>,则xy 的最小值是_____________ 8．已知x ，y ∈R ＋

，且满足x 3＋y

4＝1，则xy 的最大值为________．

类型二. 证明题

1.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1

c

≥9.

2.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

类型三. 恒成立问题 1.若对任意x ＞0，

x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

2.已知不等式1()()9a

x y x y

++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 巩固练习

1．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2

()a b cd

+的最小值是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )．

A.13

B.12

C.34

D.23

3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )．

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

4. 设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4

y

)的最小值为（ ）

A ．15

B ．12

C ．9

D ．6

5. 已知,x y R +

∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .

6. 已知54x <，则函数14245

y x x =-+-的最大值为 7. 已知x 、y 为正实数，且12

1+=x y

，则x+y 的最小值 。

8. 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，则xy 的最大值 ．

9. 已知lg lg 1x y +=，则52

x y +的最小值是 .

10.若x ，y 是正数，则22)21

()21(x

y y x +++的最小值是

11. 函数1(01)x

y a

a a -=>≠，的图象恒过定点A ，

若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11

m n

+的最小值为 ．

12. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则1a ＋2

b

的最小值 ．

13.（1）求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

（2）求函数2

y =的值域。

14．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

231(1),(0)x x y x x

++=>

1

(2)2,(3)3

y x x x =+

>-