勾股定理 公开课教学设计

《勾股定理》的教学设计“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化涵。

勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题．那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢?教学设计不仅仅是课堂教学设计，还应包括设计的依据、理念、思路剖析和相应的安排意图等。

下面就以勾股定理一课的教学设计加以浅析。

一、教学设计依据1 知识本身：任何教学设计如若离开相应的知识内容，那么无论设计如何精妙，那也只是一句空谈。

是无本之木、无水之源。

设计只会因知识的内涵而精彩。

2 学生：教学是师生双边及多边活动，离开了学生而凭空想象，只会喧宾夺主，给人以空城之感。

只有结合学生实际，因材施教，针对不同层次，作到点面结合，教学设计才能达到一石多鸟的效果。

二、教学设计理念：一节课的好坏标准尽管不一，也没有成文的规定，但最基本的应有以下几点：1、能激发学生的学习兴趣。

兴趣是最好的老师。

没有兴趣学生无疑是在听天书，而教师也只是对牛弹琴，收效甚微。

2、学生自觉主动参与其中，而且表现活跃，讨论热列，交流深入。

让他们自己去探究知识的形成过程，以及知识的应用价值。

因此，学生的参与度和表现欲，是衡量一节课的一项重要指标。

3、学生的学习效果：归根结底，精妙的教学手段，积极的学生参与，再加上良好的学习效果，那么这节课则是一节成功之作。

否则这节课则是一败笔，至少说不算成功。

三、教学目标设计：1.知识目标： 掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。

2.能力目标： 通过勾股定理的发现与证明，渗透数形结合的思想方法，增强逻辑思维能力，操作探究能力。

3.情感目标：通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．通过定理的探索，培养学生的探索精神和和合作交流的能力。

四、教学内容设计：勾股定理内容及其简单应用及在实际生活中的应用。

将本节的教学模式分为五步：情境引入——定理探索——定理应用——定理证明——课堂拓展的模式展开。

教师引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题并与学生共同探索、讨论。

让学生经历知识的形成与应用的过程，为了提高课堂教学的效益，本节课拟以《几何画板》软件为平台，能更好地理解勾股定理的意义。

五、教学过程的设计（1）、情境引入——创设情境，激发冲突1.一个美丽的故事：世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。

早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。

我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。

2.一个著名的问题：《九章算术》有一勾股定理名题:“今有池方一丈，葭(ji ā)生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。

问水有多深，该植物有多长？图1图2教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题，从而出示课题——勾股定理。

【设计意图】通过“一个美丽的故事”的阅读，创设一个遐想的情境，诱发学生发挥想象，初步感受勾股定理的神秘，从而调动学生的情绪，使学生以饱满的热情进入学习探究状态。

通过“一个著名的问题”初步探究，了解勾股定理的古老与神奇。

问题本身具有极大的挑战性，这样无形中激发了学生的强烈的求知欲，为学生主动探究课题做好了心理准备。

（2）、定理探索——自主操作，引导探索（一）定理探索1：等腰直角三角形的三边数量关系出示如图2所示图形，说明图中每个小方格代表一个单位面积。

引导学生根据三个问题进行个体主动探究与思考。

问题1：你能说出正方形P ，Q ，R 的面积及其数量关系吗？问题2：你能说出正方形P ，Q ，R 的面积和直角三角形三边a ，b ，c 之间的关系？问题3：你能说出等腰直角三角形三边之间的数量关系吗？教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的不同研究方法进行全班交流。

（二）定理探索2：直角三角形的三边数量关系出示如图3所示图形，说明图中每个小方格代表一个单位面积。

引导学生根据两个问题进行个体主动探究与思考。

问题1：你能说出正方形P ，Q ，R 的面积及其数量关系吗？问题2：你能说出等腰直角三角形三边之间的数量关系吗？教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的不同研究方法进行全班交流。

（三）定理探索3：验证猜想引导学生操作：在《几何画板》的格点中画出直角边为5cm 、12cm 的直角三角形，验证你刚图3图4才的猜想是否成立。

（图中每个小方格的边长为1cm ）教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的研究结果进行全班交流。

（四）定理探索4：得出结论引导学生思考问题：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？如图4，学生利用《几何画板》的动态演示，在运动过程中注意观察各个正方形面积的变化及其关系，从而得出勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

如图5，即：若△ABC 中， ∠ACB ＝90° ，则.222.a b c +=变形：若∠ACB ＝90°，则a b c ===教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。

【设计意图】八年级学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中逐渐完善自己的观点。

故本段设计遵循“构建主义”的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。

教师只是给学生提供一定的学习“情景”，在此“情景”中，学生通过“协作”、“会话”和“意义建构”进行有效学习。

定理的探索按照由“特殊”到“一般”的思想方法进行，在思想认识上循序渐进，学生容易接受。

学生在走完一步时，自然想到下一步是否可行。

在得到猜想后自然会设法验证自己的猜想的正确性，借助于《几何画板》顺利“得出正确结论”。

（3）、定理应用——实际应用、巩固新知（一）定理应用1：一个著名问题的解决例：有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。

问水有多深，该植物有多长？解　由题意得：在Rt △ABC 中，∠ACB=90゜，BC=5，　CD=1，设植物长AB ＝x ，则水深AC ＝x －1，根据勾股定理得AB 2＝AC 2＋BC 2，所以x 2＝（x －1）2＋52，所以x ＝13，x －1＝12。

图5答：水深12尺，植物长13尺.【设计意图】本段内容主要通过教师启发引导，学生共同探究完成，一方面让学生感受解决问题的愉悦与强烈的成就感，加强对勾股定理的理解。

另一方面教师作为教学的组织者，很有必要通过适当的讲解让学生知道：（1）勾股定理应用的前提条件（在直角三角形中）；（2）勾股定理应用的方式（构造方程）。

如例具有较大的难度，用传统的方法很难把题意弄清，更不用说是让学生听明白。

但利用《几何画板》的动态演示，学生很快明白题意，顺利将此问题转化成纯数学问题，再通过添加适当的辅助线将此问题转化成直角三角形的问题，从而正确进行数学建模。

（二）定理应用2：这节课的内容掌握得怎么样？同学们很想检验一下本节课的学习效果吧。

请同学们根据需要选择下面不同难度的题目，（1）轻松过关；（2）略加思考；（3）勇于挑战。

【设计意图】本段遵循“因材施教”，“人人学有价值的数学”，“让不同的人得到不同的发展”的教学理念。

尝试进行分层练习，以适合不同层次的学生的需要，让所有学生都能体验成功，有利于调动学生的学习积极性，对优秀学生则通过较难的具有挑战性的练习体现他们的“价值”。

练习提供查看答案，及时反馈学生的学习效果。

对练习全部正确的同学，给出“祝贺”，否则，给出鼓励，强化学生的情感体验。

（4）、定理证明——分组学习，集体交流定理证明：勾股定理的证明方法有数百种之多，现列举典型证法。

请根据老师分组研究，并将结果与其他小组进行交流。

证法：拼图法——藏与拼图游戏中的巧妙的证明方法，如图8。

1.操作：请将下面8个全等的直角三角形和3个正方形拼入下面的两个边长为a+b 的大正方形中。

2.请根据拼图结果证明勾股定理。

证明：由左图可知：；()22142a b c ab +=+⨯由右图可知：；()222142a b a b ab +=++⨯所以。

222a b c +=【设计意图】本段采用小组合作学习方式进行，学生按教师事先分好的小组以小组为单位进行合作学习，每个小组进行研究。

小组成员之间相互依赖、相互沟通、相互合作，共同图8负责，从而达到共同的目标。

在集体学习的基础上，每组推选一位同学代表本组进行学习交流，主要时将本组证法的思路讲清，同时同组同学可以补充或纠错。

（5）课堂小结这节课你有哪些收获？你能谈谈你对这节课的感受吗？【设计意图】一个好的小结，不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想、方法的总结，学生通过自己的总结，不仅促进了对知识的理解，培养了数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思，能有效地把握知识的脉搏，找到知识之间的内在联系，这对于学生主动构建良好的认知结构大有裨益，也让学生从中学会感悟数学。

六、教学后记与教学体会基于网络的教学带来的几个积极转变：1.学生地位的转变传统教学是建立在“传递——接受”教学理论和“刺激——反应”的学习理论基础上的，其特征是以教师为中心，教师利用讲解、板书和各种媒体作为教学的方法、手段，向学生单向传授知识；学生则被动地接受教师传授的知识。

本节课则是基于“构建主义”的学习理论，在网络环境下的数学课堂教学，学生是信息加工的主体，是知识意义的主动建构者，实现了真正意义上的个性化学习。

学生之间是协作者，通过交流相互学习，共同进步。

学生还可以根据自己的实际水平自主选择选段进行学习（这一点本节课未能很好体现）。

2.教师地位的转变在网络环境下的数学课堂教学，教师是课堂教学的组织者、指导者，是学生主动建构知识的帮助者、促进者。

教师只是适时就学生学习的难点、易错点进行必要的解释，对学习有困难的学生进行个别辅导，利用广播系统帮助同学进行思想、方法的交流。

3.媒体地位的转变基于网络环境下的数学课堂教学，媒体将由原来作为辅助教师讲解的演示工具，转变为促进学生自主学习的认知工具，既作为学生感知的工具．又作为学生认知的途径。