第10章 能量法题解

第10章 习题解答
10-1 两根材料相同的圆截面直杆，其形状和尺寸如图所示。

试比较两杆的变形能。

解：22222d E l
F EA l F U a a π== 2222222287283241286d E l F d E l F d E l F EA l
F EA l F U a b b π=π+π=⋅+⋅=
7
16
8
72==b a U U
10-2 已知图示等截面外伸梁的抗弯刚度EI ，试求梁的变形能及A 截面的转角。

解：1. 支反力 l M F F C B 0
2==
2. 弯矩
AB 段：01
M x M =）
（ （0≤x 1≤l /2）
CB 段：20
22x l M x M =）（ （0≤x 2≤l /2） 3. 变形能 EI l
M dx x l M dx M EI U l
l 34212
020
2222
20
20
1
20=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡+
=
⎰
⎰
4. 位移 EI l M U M A 321
200==θ ，EI
l M A 320=θ（）
10-3 图示桁架各杆抗拉压刚度EA 均相等，试求桁架的变形能及C 点的水平位移。

（a ）
（b ）
（a ）
（b ） 3 （c ）
B
F D
B
解：1. 支反力 F F Ax = ，2
F F F B Ay =
= 2. 各杆长度 l l l 231== ，l l l l ===542
3. 各杆轴力 由节点B 的平衡条件得F N 223=（压），2
5F N =（拉）； 由节点 D 的平衡条件得02=N ，2
4F
N =
（拉）；由节点C 的平衡条件得F N 221=（拉）。

4. 变形能 EA l F EA l F l F l F EA U 2222957
.0412222222221=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= 5. 位移 EA l F F CH 2957.021=∆ ，EA
Fl
CH 914.1=∆（→）
10-4 图示等截面曲杆为1/4圆周，其抗弯刚度EI 已知，试求曲杆的变形能及B 点的铅垂位移。

解：1 弯矩 θ=θs i n FR M ）
（ （0≤θ≤π/2）
变形能 ⎰
ππ=
θ⋅θ=
20
3
22
2
2
8sin 21
EI
R F Rd R F EI
U 位移 EI R F F BV 8213
2π=∆
EI
FR BV
43
π=∆（↓） 10-5 图示阶梯形变截面圆轴两端承受扭矩M n 作用，d 2 = 1.5d 1，材料的切变模量G 已知，试求圆轴的变形能及圆轴两端的相对扭转角。

解：1. 圆轴扭矩 M n = T
2. 变形能 ⎰=2011
221l P n
dx I M G U ⎰
+
2022221l P n dx I M G 124P GI l T =224P GI l
T +4
1281776Gd l T π= 3. 位移 ϕT 21
4
1281776Gd l T π= ， 41811552Gd Tl πϕ=
B的弹簧刚度k，试求截面C的挠度。

解：1. 支反力
3
2F
F A=，
3
F
F B=
2. 内力梁的弯矩：
AC段
1
13
2
Fx
x
M=
）
（（0≤x1≤l/3）
BC段
2
23
1
Fx
x
M=
）
（（0≤x2≤2l/3）
弹簧轴力：
3
F
N=
3. 在C点施加单位力，单位力引起的内力
梁的弯矩：AC段
1
1
3
2
x
x
M=
）
（（0≤x1≤l/3）
BC段
2
2
3
1
x
x
M=
）
（（0≤x2≤2l/3）
弹簧轴力：
3
1
0=
N
4. 莫尔积分
⎰
=3
1
2
1
9
4
1l
C
dx
Fx
EI
v⎰
+3
2
2
2
2
9
1
1l
dx
Fx
EI k
F
EI
Fl
F
k9
243
4
3
1
3
13
+
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
+（↓）
10-7图示简支梁B端悬吊在直杆CB上，已知梁的抗弯刚度EI和杆的抗拉刚度EA，试求梁中点D的挠度。

解：1. 载荷引起的内力杆：
2
ql
N=
梁：AD段2
2
1
2
qx
x
ql
x
M-
=
）
（（0≤x≤l/2）
2. 在D点施加单位力，单位力引起的内力
杆：
2
1
=
N
梁：AD段x
x
M
2
1
0=
）
（（0≤x≤l/2）
3. 莫尔积分
EA
qla
EI
ql
ql
EA
a
xdx
qx
x
ql
EI
v
l
D4
384
5
2
1
2
2
1
2
1
2
24
2
2+
=
⋅
⋅
+
⋅⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=⎰（↓）
10-8 试求图示简支梁A 截面的转角，已知梁的抗弯刚度EI 。

解：1. 支反力 qa F A 41= ，qa F B 4
3
=
2. 弯矩 AC 段：1141
qax x M =）（ （0≤x 1≤a ）
BC 段： 2
2
222
143qx qax x M -=）（ （0≤x 2≤a ） 3. 在A 截面施加单位力偶，单位力偶引起的支反力和内力
支反力 a F A 210
=
（↓），a
F B 210
=（↑） 弯矩 AC 段： 110
1
1x 2a
x M -
=）（ （0≤x 1≤a ） BC 段： 2201
x 2a
x M =
）（ （0≤x 2≤a ） 4. 莫尔积分 ⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛-
⎪⎭⎫ ⎝⎛=
θa A dx x a qax EI
0111211411
⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a dx x a qx qax EI 0
222222121431
EI
qa 4873
=）
10-9 试求图示变截面梁A 截面转角和B 截面的挠度，已知材料的弹性模量E 。

解：1. 支反力 a M F A 20=（↓），a
M
F C 20=（↑）
2. 弯矩 AC 段：101
2x a
M x M =）（ （0≤x 1≤2a ） BC 段： 01M x M =）
（ （0≤x 2≤a ） 3. 计算A 截面转角
在A 截面施加单位力偶，单位力偶引起的弯矩 AC 段： 11110
-=x 2a x M ）（ （0≤x 1≤2a ）
BC 段： 020
=）（x M （0≤x 2≤a ）
莫尔积分 ⎰
-=⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
θa A EI a M dx x a x a M EI
20
011106121221
）（
4. 计算B 截面挠度 在B 截面施加单位力，单位力引起的弯矩
q
AC 段： 110
1
x 2
x M =
）（ （0≤x 1≤2a ） BC 段： 220
x x M =）（ （0≤x 2≤a ）
莫尔积分 120
210421dx x a M EI
v a B ⎰
=
EI
a M dx x M EI
a 651
2
020
20=+⎰
（↓）
10-10 已知图示组合梁的抗弯刚度EI ，试求中间铰B 左右两截面的相对转角。

（提示：在中间铰B 两侧加一对单位力偶，分别写出两边弯矩方程，并注意到中间铰处的弯矩为零。

） 解：1. 载荷引起的弯矩
BA 段： 2
1qx 2
x M =
）（ （0≤x ≤l ） 2. 在中间铰B 的两边施加一对单位力偶，单位力偶
引起的弯矩
BA 段： l
x
x M +
=10）（ （0≤x ≤l ） 3. 莫尔积分 EI ql dx l x qx EI
l
24712
11
302=⎪⎭⎫
⎝⎛+=
θ⎰
10-11 外伸梁受力如图所示，M = Fl/4，已知抗弯刚度EI ，试用图乘法求D 点的铅垂位
移和B 截面的转角。

解：分别画出集中力F 和力偶M 引起
的弯矩图，在D 点施加铅垂单位力，在B 截面施加单位力偶，并分别画出单位力和单位力偶引起的弯矩图。

1. D 点的铅垂位移 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-=84211l l Fl EI v DV ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+4324211l l Fl EI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+8441l l Fl EI EI Fl 38453=（↓）
2. B 截面的转角
M 1
4 Fl 4 Fl l （M F ） （M M ） （M 0）
（M 0）
D
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=θ3128211l Fl EI B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+41281l Fl EI EI
Fl l Fl EI 9661282112
-
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+
10-12 图示外伸梁由于温差变化产生弯曲变形，已知梁顶面温度为t 1℃，梁底面温度为t 2℃（t 2＞t 1），设温度沿梁高h 为线形变化，材料的线膨胀系数为α，试求自由端C 的挠度。

解：用单位载荷法求解。

1. 由于温差引起微段梁两端相对转角（参阅例10-7）
h
dx
t t d ）（12-=αθ
2. 在C 端施加单位力，单位力引起弯矩
AB 段： 110x l
a
x M -
=）（
（0≤x 1≤l ） CB 段： 220
x x M -=）（ （0≤x 2≤a ）
3. 自由端C 的挠度 101211dx h t t x l
a EI
v l C ⎰-⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-=
）
（α h
l a a t t dx h
t t x EI
a
21
1220
122）
（）（）
（）
（+--
=--+
⎰
αα
计算结果为负， C 点的挠度向上。

10-13 图示刚架由于沿截面高度线性变化的温差而弯曲变形（不计杆的拉压变形），设外表面温度为t 1℃，内表面温度为t 2℃（t 2＞t 1），AB 杆和BC 杆截面相同，高度均为h ，材料的线膨胀系数为α，试求自由端C 的水平位移、铅垂位移及转角。

解：用单位载荷法求解。

1. 由于温差引起微段杆两端相对转角（参阅例10-7）
h
dx
t t d ）（12-=
αθ
2. 在C 端施加向上铅垂单位力，单位力引起弯矩
CB 段： 110
x x M =）（ （0≤x 1≤l ）
C C
BA 段： l x M =）（20
（0≤x 2≤l ）
10
121
dx h
t t x l CV ⎰
-=
∆）
（αh
t t l dx h
t t l
l 23122
20
12）（）
（-=-+
⎰
αα 3. 在C 端施加向左水平单位力，单位力引起弯矩
CB 段： 010
=）（x M （0≤x 1≤l ）； BA 段： 220x x M =）（ （0≤x 2≤l ）
h
t t l dx h
t t x l CH 2122
20
122
）（）
（-=-=
∆⎰
αα 4. 在C 端施加单位力偶，单位力偶引起弯矩
CB 段： 110
=）（x M （0≤x 1≤l ） BA 段： 120=）（x M （0≤x 2≤l ）
）
（）
（）（h
t t l dx h t t l C 1220
12
22
-=-=⎰
ααθ
10-14 图示桁架各杆抗拉压刚度均为EA ，试求节点B 的水平位移和BC 杆的转角。

解：1. 载荷引起各杆的轴力
由节点B 的平衡条件得 N 1 = F （拉） ，N 2
= F （压）
由节点C 的平衡条件得 N 3 = F /2 （拉） 2. 在节点B 施加向右水平单位力，单位力引起的轴力
由节点B 的平衡条件得 3302
01
==N N （拉），由节点C 的平衡条件得6
30
3=N （压）。

B 点的水平位移 EA
Fl EA Fl EA Fl EA Fl BH 1231233333-=--=
∆ （←） （↑）
（←）
F
3. 在BC 杆两端节点B 和C 各施加一垂直杆轴线的单位力，单位力引起的轴力 由节点B 的平衡条件得 33201=
N （拉），3
30
2=N （压），由节点C 的平衡条件得
3
3
03
=N （压）。

B ，C 点的相对位移 EA
Fl
EA Fl EA Fl EA Fl BC 6356333332=-+=∆ BC 杆的转角 EA
F l BC BC 635=∆=
θ（
10-15 图示桁架各杆抗拉压刚度均为EA ，试求节点A
的铅垂位移。

解：1. 各杆的长度 l l l 241==，l l l l ===532 2. 载荷引起各杆的轴力
由节点A 的平衡条件得 F N
21=（压），F N =2（拉） 由节点B 的平衡条件得 F N 24=（拉），F N =3（压） 由节点C 的平衡条件得
F N =5（压）
3. 在A 点施加铅垂单位力，单位力引起各杆的轴力
由节点A 的平衡条件得 20
1=N （压）
，102=N （拉）
由节点B 的平衡条件得 20
4=N （拉），103=N （压） 由节点C 的平衡条件得 10
5
=N （压） 4. A 点的铅垂位移 EA
Fl
EA Fl EA Fl AV ）（2433222+=⨯+⨯
=∆ （↓）
10-16 刚架受力如图所示，抗弯刚度EI 已知，试求D 点铅垂位移。

解：1.载荷引起的弯矩
DB 段： 11Fx Fa x M +=）
（
（0≤x 1≤a ）
BC 段： 2
2
2212
qx Fa x M +=）（
（0≤x 2≤2a ）
2. 在D 点施加单位力，单位力引起的
弯矩
DB 段：110x x M =）（ （0≤x 1≤a ）； BC 段：a x M =）（20
（0≤x 1≤2a ）
3. D 点的铅垂位移 ⎰
+=∆a
DV
dx x Fx Fa EI
1111
）（EI qa EI Fa adx qx Fa EI a 346292121
4320222+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++
⎰
（↓）
10-17 图示刚架抗弯刚度EI 已知，试求A 点铅垂位移和C 处转角。

解：1. 在A 点施加单位力，在C 截面施加单位力偶，分别画出载荷和单位力的弯矩图。

2. A 点的铅垂位移
EI
Fa a a Fa EI AV 31-=⨯⨯⨯-=∆）（（↑）
3. C 处的转角
EI
Fa a Fa EI C 211=⨯⨯⨯=θ）（）
10-18 图示刚架抗弯刚度EI 已知，试求A ，B 两点相对位移。

A
A B B
M 图
M 0图
解：1.在A ，B 两点施加一对单位力，分别画出载荷和单位力的弯矩图。

2. A ，B 两点的相对位移 EI Fa a a Fa EI AB
32232222123
=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=∆（←→）
10-19 图示刚架抗弯刚度EI 已知，试求B 点水平位移。

解：（a ） 1. 支反力 ql F F C 21
+=
2. 在B 点施加水平单位力，载荷和单位力弯矩分别为：
21112121qx x ql F x M -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=）（，110
)(x x M = （0≤x 1≤l ） )(2
12
12222x l F Fx ql l ql F x M -=--⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+=）（ （0≤x 2≤l ）
220)(x l x M -=
3. B 点水平位移
⎰
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=∆l BH dx x qx x ql F EI 01121121211 ⎰
-⋅+
l
dx x l F EI
22
21
）（EI Fl 24173
= （→）
（ 1. 支反力 l
M F B 0=
2. 在B 点施加水平单位力，载荷和单位力弯矩分别为：
BC 段： 101x l
M
x M =）（
1
10
x x M =）（
（0≤x 1≤l ） CA 段： 02=）（x M
220
x x M =）（ （0≤x 2≤l ）
3. B 点水平位移
⎰
=∆l BH
dx x l
M EI
12
101EI l M 320=（→）
q = F/l
10-20 图示刚架抗弯刚度EI 已知，试求A 点水平位移。

解：1.在A 点施加水平单位力，分别画出载荷和单位力的弯矩图。

2. A 点的水平位移
EI l Fh EI Fh h l Fh h h Fh EI AH 233232
2121+
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯
⨯=∆）（（→）
10-21 图示半径为R 的等截面半圆曲杆，C 已知，试求B 点的线位移。

解：1. 载荷引起的弯矩
BA 段：θ=θcos FR M ）（ （0≤θ≤π/2） 2. B 点的水平位移 在B 点施加水平单位力，单位力 引起的弯矩 BA 段：θ-=θsin 0
R M ）（
（0≤θ≤π/2） EI
FR Rd R FR EI
BH
2sin cos 1
20
-=θ⋅θ⋅θ-
=∆⎰
π2. B 点的铅垂位移 在B 点施加铅垂单位力，单位力引的弯矩
BA 段： ）（）（θ--=θcos 10
R M （0≤θ≤π/2） EI
FR
Rd R FR EI
BV 3
20
41cos 1cos 1⎪
⎭⎫ ⎝⎛π--=θ⋅θ-⋅θ-
=∆⎰
π）（（↑）
10-22 半径为R 的半圆拱如图所示，在中央点C 受铅垂集中力F 作用，已知抗弯刚度
EI ，试求C 点的铅垂位移。

解：
1. 支反力 2
F
F F B A =
= 2. 在C 点施加铅垂单位力， 载荷和单位力弯矩分别为：
M 图M 图
84 ）
（）（θ-=
θcos 12
R F
M （0≤θ≤π/2） ）
（）（θθcos 120
-=R M
EI FR
Rd R R F EI
BV
3
20
883cos 12cos 122⎪⎭
⎫ ⎝⎛-π=θ⋅θ-⋅θ-=∆⎰
π）（）（
10-23 等截面曲杆BC 是半径为R 的四分之三圆周，抗弯刚度EI 已知，AB 为刚性杆，
试求B 点的线位移。

解：1. 载荷引起的弯矩
θ=θcos FR M ）
（ （0≤θ≤3π/2）
2. B 点的水平位移 在B 点施加水平单位力，单位力引起
的弯矩
θ=θsin 0
R M ）（
（0≤θ≤3π/2） EI
FR Rd R FR EI
BH
2sin cos 13
230
=θ⋅θ⋅θ=∆⎰
π（→） 3. B 点的铅垂位移 在B 点施加铅垂单位力，单位力引起的弯矩
）（）（θ--=θcos 10
R M （0≤θ≤3π/2）
EI FR EI FR
Rd R FR EI
BV
3
3230
36
.3431cos 1cos 1=⎪⎭
⎫ ⎝⎛π-=θ⋅θ-⋅θ-
=∆⎰
π）（（↓）
*10-24 图示半径为R 的半圆形曲杆A 端固定，自由端B 作用有扭转力偶矩M 0 。

曲杆横截面为圆形，其直径为d ，已知材料弹性常数E ，μ。

试求B 截面扭转角。

解：1. 载荷引起的内力 将力偶用矢量表示，θ截面的内力为 弯矩 θ=θsin 0M M ）
（ （0≤θ≤π） 扭矩 θ=θcos 0M M n ）
（ （0≤θ≤π） 2. 在B 截面施加单位扭转力偶，单位力偶引起的内力
（↓）
B 0
85
弯矩 θ=θsin 0
）（
M （0≤θ≤π） 扭矩 θ=θcos 0
）
（n M （0≤θ≤π） 3. B 截面扭转角 ⎰
πθ⋅θ⋅θ=
ϕ0
0sin sin 1
Rd M EI
B ⎰
πθ⋅θ⋅θ+
0cos cos 1Rd M GI p
400
232112
Ed RM GI EI RM p ）（μ+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+π=
10-25 图示等圆截面刚架，抗弯刚度EI 和抗扭刚度GI P 均为已知，试求自由端A 的铅垂位移。

解：1. 在自由端A 施加铅垂单位力，分别列出载荷和单位力引起的内力方程 AB 段：（0≤x 1≤a ）
弯矩 11Fx x M =）（ ； 110
x x M =）（
BC 段：（0≤x 2≤b ）
弯矩 22Fx x M =）
（ ； 220
x x M =）（ 扭矩 Fa x M n =）（2 ； a x M n =）
（20 CD 段：（0≤x 3≤c ）
弯矩 ）（）（a x F x M -=33 ； a x x M -=330）（ 扭矩 Fb x M n =）（3 ； b x M n =）
（30 2. 自由端A 的铅垂位移 ⎰
⋅=
∆a AV dx x Fx EI
1111
⎰
⋅+
b dx x Fx EI
2221⎰
-⋅-+
c dx a x a x F EI
3331）（）（
86 ⎰
⋅+
b p
adx Fa GI 0
2
1⎰
⋅+
c p
bdx Fb GI 0
3
1
()
c b b a GI F c a ac c b a EI F p 2222333
333++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++=（↓）
10-26 图示开口平面刚架，刚架横截面为圆形，抗弯刚度EI 和抗扭刚度GI P 均为已知，在A ，B 两点作用一对与刚架平面垂直的集中力F ，试求A ，B 两点沿载荷作用方向的相对线位移。

解：1. 在A ，B 两点施加一对单位力，分别列出载荷
和单位力引起的内力方程（由于对称，只需分析一半
结构） BC 段：（0≤x 1≤l /2）
弯矩 11Fx x M =）
（ ； 110
x x M =）（ CD 段：（0≤x 2≤l ）
弯矩 22Fx x M =）
（ ； 220x x M =）（ 扭矩 2
2Fl x M n =）（ ； 22
l x M n =）（ DE 段：（0≤x 3≤l /2） 弯矩 332
Fx Fl x M -=
）（ ； 330
2x l x M -=）（
扭矩 Fl x M n =）（3 ； l x M n =）
（30
2. A ，B 两点沿载荷作用方向的相对线位移 ⎰
⋅=∆20
1112
l AB
dx x Fx EI
⎰
⋅+
l
dx x Fx EI
2222
⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+
20
32
322
l
dx x l F EI ⎰
⋅+
l p
dx l Fl GI 0
2222
⎰
⋅+20
32l
p
ldx Fl GI p
GI Fl EI Fl 23653
3+=
10-27 图示半径为R 的圆环放置在水平平面内，圆环横截面为圆形，抗弯刚度EI 和抗扭刚度GI P 均为已知，在圆环微小开口的两侧作用一对铅垂集中力F ，试求A ，B 两点沿铅垂方向的相对线位移。

解：在A ，B 两点施加一对单位力，分别
列出载荷和单位力引起的内力方程为（由于对称，只需分析一半结构）
87
1. 弯矩方程
θ=θsin FR M ）
（ （0≤θ≤π） θθsin 0
R M =）（
2. 扭矩方程 ）（）（θ-=θcos 1FR M n （0≤θ≤π）
）（）
（θθcos 10
-=R M n 3. A ，B 两点沿铅垂方向的相对线位移。

⎰
πθ⋅θ⋅θ=∆0sin sin 2
Rd R FR EI
AB
⎰
πθ⋅θ-⋅θ-+
cos 1cos 12
Rd R FR GI p
）（）（
p
GI FR EI FR 3
33π+
π=
10-28 试用位移互等定理求图示简支梁上载荷F 移动至何处时，截面C 的挠度最大。

梁的抗弯刚度EI 已知。

解：由位移互等定理可知，载荷F 作用于任一x 截面时，C 截面的挠度v Cx 等于载荷F 作用于C 截面时x 截面的挠度v xC ，且v xC 取极值时，v Cx 也取极值。

查附录B 得 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2
22424l x l EI Fx v xC
v xC 对x 极值等于零得 l l
l l x 559.04
53
42
2
==
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=
即当载荷F 移动至距左端0.559l 时，C 截面的挠度最大。

*10-29 图（a ）所示半径为R 的圆球承受一对径向集中力F 作用，圆球材料的E ，μ已知。

试求其体积改变量。

88 解： 在圆球表面施加均布压力q ，如图b 所示。

对于圆球的（a ），（b ）两种受力状态，由 功的互等定理可知：（a ）状态的力在（b ）状态 力所引起相应位移上所作的功，等于（b ）状态 的力在（a ）状态力引起相应位移上所作的功，即 ()()F q AB V q F ∆=∆⋅
式中()q AB ∆为在均布压力作用下，一对F 力作用
点A 与B 之间距离的改变量；()F V ∆为在一对F 力作用下，圆球体积的改变量。

在（b ）状态下，圆球内任一点所有方向都受均匀压缩，应变为q E
z y x ）
（μ
--=ε=ε=ε21，这样，A
，B
两点间距离的改变量为
()qR E
l AB q AB 221）（μ-=ε=∆
代入上式
()F V q qR E
F ∆=μ-⋅221）
（
得到圆球体积的改变（减少）量为
()FR E
V F 221）
（μ-=∆
（a ） （b ）。