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2014丰台区高三一模理科数学试题含答案

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2014年北京市丰台区高三数学一模理试题及答案(word版)

2014年北京市丰台区高三数学一模理试题及答案(word版)

q :函数g(x)在区间(a,b)内有最值.则命题 p 是命题q 成立的丰台区2012年高三年级第二学期统一练习(一)2012.3数学(理科)第一部分(选择题共40 分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.21.已知集合 A={x I x <1}, B={a}，若A n B=._ ,则a 的取值范围是(A) ( -：：， (C) (-1,1)(D) [-1,1]2.若变量x ,卄 八0,卄y 满足约束条件{x-2yX1,则z=3x+5y 的取值范围是X —4層 3,(B) [-8,3](D) [-8,9]的二项展开式中，常数项是(C) 201I4.已知向量 a = (sin ,cosR , b = (3,4)，若 a _ b ，则 tan2二等于(A) 10(B) 15(D) 3024 6 24 (A)(B)(C)77255•若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是24(D)(A) 4 (B) 4 4,10 (C) 8(D) 4 4116.学校组织高一年级 4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁 四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有 (A) (B) A A 2 种(C)2 2(D) C 4 A 3 种7.已知 a :: b ，函数 f(x)二sin X ， g(x)=cos X .命题 p ： f (a) f(b) ：： 0，命题(A)充分不必要条件(C)充要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件8.已知定义在R 上的函数y=f(x)满足 f(x+2)= f(x),当-1<x < 1 时,f(x)=x 3.若函数 g(x) = f (x) _ log a x 恰有6个零点，贝U a114.定义在区间［a,b ］上的连续函数y 二f(x)，如果 ［a,b ］，使得f (b) - f (a)二f'( J(b - a)，则称 为区间［a,b ］上的"中值点”.下列函数：① f (x) =3x 2 :②f (x) = x 2 -x • 1 :③f (x)二ln(x 1):④f (x) ^(x-1)3中，在区间［0,1］上“中值点”多于一个的函数序号为2(A) a= 5 或 a=—(B) a (0,：)U ［5,：：)5 1 1(D) a 匕,匚山［5,7)7 5二、填空题共6小题，每小题 第二部分(非选择题共110分)5分，共30分.9.已知双曲线的中心在原点,3焦点在x 轴上，一条渐近线方程为 y x , 4则该双曲线的离心率是10.已知等比数列{a n }的首项为1，若4a i , 2a 2,觅成等差数列，则数列 {-} 的前5项和为 a n11.在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程是y 占 x=1 旦，2 (t 为参数)1. -2，.以O 为极点，x 轴正方向极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程是 p -4 pcos 肝3=0 .则圆心到直线的距离是12.如图所示，Rt △ ABC 内接于圆，• ABC =60；, PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于E ,交圆于 D .若 FA=AE , PD=、3 , BD=3.3 , 贝UAF= ____13.执行如下图所示的程序框图，则输出的 i 值为.(写出所有.满足条件的函数2 的菱形，侧面 FAD 丄底面 ABCD ，/ BCD=60o, FA=PD=、2 ,E 是BC 中点，点Q 在侧棱FC 上.（I ）求证：AD 丄FB ;（n ）若Q 是FC 中点，求二面角 E-DQ-C 的余弦值；FQ（川）若，当FA //平面DEQ 时，求入的值.FC17.（本小题共13分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示. （I ）请根据图中所给数据，求出a 的值；（n ）从成绩在［50,70）内的学生中随机选 3名学生，求这3名学生的成绩都在［60,70）内的概率；的序号）三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题共13分）在厶ABC 中，角A , B, C 所对的边分别为 （I ）判断△ ABC 的形状； 12 1f （x ） cos2x cosx ,2 32(n)若16.（本小题共14分）a ,b ,c ,且 a sin B _bcosC =ccosB . 求f （A ）的取值范围.四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是边长为AB（川）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在［50,70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在［60,70）内的人数，求X的分布列和数学期望.即 sin As in B = si n C cos B cosCs in B ,......................... 2分 所以 sin(C B) = sin Asin B .................... 4分因为在△ ABC 中，A • B • C 二二， 所以 sin A =sinAsinB 又sinA = 0,................... 5分JI所以 sin B = 1 , B =— 2所以△ ABC 为B的直角三角形.2................... 6分(法 2)因为 asin B —bcosC =ccosB ,2.2 2 2 a ____ —j- rq a由余弦疋理可得 asin B = bc2abc 2- b 22ac '................... 4分即 a sin B = a . 因为a = 0,所以sin B =1 ................... 5分所以在△ ABC 中，B =~ .2所以△ ABC 为B的直角三角形.2................... 6分1 2 1 2 2n)因为 f (x) cos2x cosxcos xcosx......2 3 23................... 8分 = (cosx _丄)2.3 9................ 10分所以 0 :： A ，且 0 :：: cos A ：1 ,........................ 11 分211所以 当cos A 时，f(A)有最小值是.............. 12分391 1所以f (A)的取值范围是［-1,1) ......................... 13分9 316.证明：(I)取AD 中点O ,连结OP , OB , BD .因为PA=PD , 所以PO 丄AD . ........................... 1分因为菱形 ABCD 中，/ BCD=60o,所以AB=BD , 所以BO 丄AD . ........................... 2分 因为 BO n PO=O ,........................... 3 分 所以AD 丄平面POB. ................................. 4分 A所以AD 丄PB. ........................... 5分(H)由(I)知 B0 丄 AD , PO 丄 AD . 因为 侧面PAD 丄底面ABCD ,且平面 PAD n 底面 ABCD=AD , 所以PO 丄底面ABCD ............................以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 O.......................... 7分则 D(-1,0,0) , E(-1,、3,0)，P(0,0,1),C （-2八 3,0）,因为Q 为PC 中点，所以Q (_1，乜，丄).2 2所以"DE =（0^3,0）, DQ =（0,^」）,2 2所以平面DEQ 的法向量为m = (1,0,0).因为 DC=（-1八 3,0） , DQ^。

2014北京市丰台区高三(一模)数学(文)

2014北京市丰台区高三(一模)数学(文)

2014北京市丰台区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x∈R|﹣1≤x≤1}，B={x∈R|x（x﹣3）≤0}，则A∩B等于（）A．{x∈R|﹣1≤x≤3} B．{x∈R|0≤x≤3} C．{x∈R|﹣1≤x≤0} D．{x∈R|0≤x≤1}2．（5分）已知等比数列{a n}中，a2+a3=1，a4+a5=2，则a6+a7等于（）A．2 B．2 C．4 D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数．则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（﹣3）＞f（2） C．f（﹣1）＞f（3） D．f（﹣2）＜f（﹣3）5．（5分）设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．18B．36C．12D．248．（5分）在同一直角坐标系中，方程ax2+by2=ab与方程ax+by+ab=0表示的曲线可能是（）A．B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanα=2，则的值为．10．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．11．（5分）以点（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为．12．（5分）已知函数f（x）=2x，点P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，那么f（a）?f（b）的最小值是．13．（5分）A，B两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务．A机到达甲地完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回．如图中折线分别表示A，B两架直升机离甲地的距离s与时间t之间的函数关系．假设执行任务过程中A，B均匀速直线飞行，则B机每小时比A机多飞行公里．14．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率为P．①当t=1时，P= ；②P的最大值是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值．16．（13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 34 1380岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．17．（14分）如图，四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，AN⊥AB，F为线段BN的中点，E为线段BC上的动点．（Ⅰ）当E为线段BC中点时，求证：NC∥平面AEF；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥BCMN平面；（Ⅲ）设=λ，写出λ为何值时MF⊥平面AEF（结论不要求证明）．18．（13分）已知曲线f（x）=ax﹣e x（a＞0）．（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）若存在实数x0使得f（x0）≥0，求a的取值范围．19．（14分）如图，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（﹣，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得四边形AOBC为平行四边形？若存在求出k的值，若不存在说明理由．20．（13分）从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）设{a n}是无穷等比数列，首项a1=1，公比为q．求证：当0＜q＜1时，数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】B={x∈R|x（x﹣3）≤0}={x∈R|0≤x≤3}，则A∩B={x∈R|0≤x≤1}，故选：D．2．【解答】设等比数列{a n}的公比为q，则q2==2，∴a6+a7=（a4+a5）q2=2×2=4故选：C3．【解答】由程序框图知：程序第一次运行i=0+1=1，x=1+=2；第二次运行i=1+1=2，x=1+=；第三次运行i=2+1=3，x=1+=；第四次运行i=3+1=4，x=1+=．满足条件i≥4，输出x=．故选：A．4．【解答】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数；∴当0＜6时，f（0）＞f（6），∴命题A错误；又∵f（﹣3）=f（3），且3＞2，∴f（3）＜f（2），命题B错误；又∵f（﹣1）=f（1），且1＜3，∴f（1）＞f（3），即f（﹣1）＞f（3），∴命题C正确；又∵f（﹣2）=f（2），f（﹣3）=f（3），且2＜3，∴f（2）＞f（3），即f（﹣2）＞f（﹣3），∴命题D错误；故选：C．5．【解答】当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A6．【解答】有茎叶图中的数据可知，甲的数据主要集中85以下，乙的数据主要集中在86以上，∴根据数据分布可知＜，乙比甲成绩稳定，故选：乙参加比较，故选：D．7．【解答】由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的高为6，底面三角形的底边长为3+3=6，高为3，∴几何体的体积V=××6××6=18．故选：A．8．【解答】方程ax2+by2=ab 即；方程ax+by+ab=0，即y=﹣x﹣a．考察A选项，椭圆的焦点在x轴上，即b＞a＞0，直线的斜率小于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，符合题意；考察B选项，椭圆的焦点在y轴上，即a＞b＞0，直线的斜率大于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，不符合题意；考察C选项，双曲线的焦点在y轴上，则a＞0，b＜0，直线的斜率大于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，但截距﹣a＜0，不符合题意；考察D选项，双曲线的焦点在x轴上，则b＞0，a＜0，直线的斜率小于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，不符合题意；故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵tanα=2，∴===，故答案为：．10．【解答】=．∴复数在复平面内对应的点的坐标是．故答案为：．11．【解答】设点（﹣1，1）为圆心的圆的半径为r，依题意知，圆心（﹣1，1）到直线x﹣y=0的距离d=r==，∴所求的圆的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．12．【解答】∵P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，∴b=，即ab=1，∴f（a）?f（b）==22=4，即f（a）?f（b）的最小值是4，故答案为： 413．【解答】设机场到甲地的距离为s，则A机的速度是（公里/小时），B机的速度是：（公里/小时），B机每小时比A机多飞行=20公里．故答案为：20．14．【解答】①不等式组表示的平面区域为M，则对应三角形的面积S M=．不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为矩形，则对应的矩形面积为2t（4﹣t）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8，当t=1时，对应的面积S1=2×3=6，此时对应的概率P=．②当t=2时，区域N的面积最大为8，此时区域N的最大面积为8，则由几何概型的概率公式可知P的最大值是，故答案为：①，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴函数的周期为T==π．（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣1，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为．16．【解答】（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵F为线段NB的中点，E为线段BC中点，∴NC∥EF，又NC不包含平面AEF，EF?平面AEF，∴NC∥平面AEF．（4分）（Ⅱ）证明：四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，∴AD⊥NA，AD⊥AB，NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，AF?平面NAB，故AD⊥AF，AD∥BC，∴BC⊥AF，由题意NA=AB，F为线段NB的中点，∴AF⊥NB，NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，∵AF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCMN．（11分）（Ⅲ）解：λ=时，MF⊥平面AEF．（14分）18．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣e x（a＞0），∴f（0）=﹣1，则切点为（0，﹣1）．f′（x）=a﹣e x，f′（0）=a﹣1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y=（a﹣1）x﹣1；（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，由f′（x）＜0得，x＞lna，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（lna）=alna﹣a．∵存在x0使得f（x0）≥0，∴alna﹣a≥0，∴a≥e．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，c=，于是a=2，∴．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y1），M（x0，y0），由，即．，，，于是．∵，∴M在直线l上；（Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M为OC中点，设点C的坐标为（x3，y3），则．∵，解得．于是，解得，即．∴当时四边形AOBC的对角线互相平分，即当时四边形AOBC是平行四边形．20．【解答】（Ⅰ）解：数列{3n﹣1}中的2，8，32是一个等比数列，∵，，a3=32=22×3﹣1，由此猜想，∴数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列为{22n﹣1}．（若只写出2，8，32三项．给满分）．（5分）（Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列{b n}，∵a1=1，0＜q＜1，∴，且数列{a n}是递减数列，∴{b n}也为递减数列且b n∈（0，1]，d＜0，令b1+（n﹣1）d＜0，得n＞1﹣，即存在n∈N*（n＞1），使得b n＜0，这与b n∈（0，1]矛盾．∴数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．（13分）。

北京市丰台区2014学年度高三年级第一学期期末考试理科数学

北京市丰台区2014学年度高三年级第一学期期末考试理科数学

丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科） 2014.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数1i i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 函数11(0)=++>y x x x的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 已知命题p: ∀21x x >,22x >12x ，则p ⌝是（A ）∀21x x >,22x ≤12x （B ）∃21x x >,22x ≤12x（C ）∀21x x >,22x <12x （D ）∃21x x >,22x <12x4. 过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是 （A ） 3(5)4y x =±- （B ） 4(5)3y x =±- （C ） 3(5)4y x =±+ （D ） 3(5)4y x =±+5.如图，已知曲边梯形ABCD 的曲边DC 所在的曲线方程 为1(0)y x x=>，e 是自然对数的底，则曲边梯形的面积是 （A ）1 （B ）e （C ）1e （D ）126. 已知平行四边形ABCD 中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且⋅AC AB uu u r uu u r 等于（A ）1 （B （C ）2 （D ）7.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图象如图所示,那么()f x 的表达式为（A ）5()2sin(2)6π=+f x x （B ）5()2sin(2)6π=-f x x （C ）()2sin(2)6f x x π=+（D ）()2sin(2)6f x x π=-8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（00090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o 时，这个椭圆的离心率为 （A ）12 （B（C（D ）23第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2014年北京市各区高三一模试题汇编理科解析几何

2014年北京市各区高三一模试题汇编理科解析几何

2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，， 得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==， 解得m =.……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形． 解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分 得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分 化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，， 于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值． 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分 从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分 又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分 故kk MN 216||+=，………………12分 又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分 当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。

2014年北京高考预测—理科数学试题及答案

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为偶函数”
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
n≤ 3
否
是
4. 执行如图所示的程序框图，若输出 x 的值为 23，则输入 的 x 值为（ ） A． 0 B．1 C． 2 D．11
2
输出x 结束
y
1 2
5 ．如果存在正整数 和实数 使得函数 f ( x) cos (x ) （ ， 为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0） ） ，那么 的 值为 （ ） A． 1 6. 已知椭圆 B． 2
k1 , k 2 ,试证明
1 1 为定值,并求出这个定值； kk1 kk2
（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作 F2 Q F2 P ，设 F2 Q 交 l 于点 Q ， 证明:当点 P 在椭圆上移动时，点 Q 在某定直线上.
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20． （本小题满分 13 分） 已知数列 {cn } 满足（i） cn cn 2 ≤ cn 1 ,(ii)存在常数 M ( M 与 n 无关)，使得 cn M 恒成立，则称 数列 {cn } 是和谐数列. （1） 已知各项均为正数的等比数列 {an } ， S n 为其前 n 项和；且 a3 4 ， S3 28 ，求证：数列
1 AD=1，CD= 3 ． 2
P
M D Q
C B
A
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18． （本小题满分 13 分） 已知 P x, y 为函数 y 1 ln x 图象上一点， O 为坐标原点，记直线 OP 的斜率 k f x ． (Ⅰ)若函数 f x 在区间 a, a
2
A． 0,
B． ( , )

北京市丰台区2014届高三下学期统一练习(二)数学(理)(无答案)

北京市丰台区2014届高三下学期统一练习(二)数学(理)(无答案)

丰台区2014年高三年级第二学期统一练习(二)数学(理科)第一部分(选择题 共40分)一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)若复数(1)(2)m m -+-i(m ∈R)是纯虚数,则实数m 等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)1或2(2) 已知数列{}n a 是等差数列,且394a a +=,那么数列{}n a 的前11项和等于(A)22 (B)24 (C)44 (D)48(3)直线1:0l x y +-=与直线2,:(2x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)的交点到原点O 的距离是 (A)1(C)2(D)2(4)将函数2()log (2)f x x =的图象向左平移1个单位长度,那么所得图象的函数解析式为(A)2log (21)y x =+ (B)2log (21)y x =- (C)2log (1)1y x =++ (D)2log (1)1y x =-+ (5)已知sin()cos 2y x x π=+-,则y 的最小值和最大值分别为(A)9,28- (B)-2,98 (C)3,24- (D)-2,34(6)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 (A)m ⊥α,n ⊂β,m ⊥n ⇒α⊥β (B)α⊥β,α∩β=m ,n ⊥m ⇒n ⊥β (C)α⊥β,m ⊥α,n ∥β⇒m ⊥n (D)α∥β,m ⊥α,n ∥β⇒m ⊥n(7)已知抛物线C :)0(22>=p px y 的焦点为F ,过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一､四象限分别交于A ､B 两点,则||||BF AF 的值等于 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(8)定义在R 上的函数()f x 和()g x 的导函数分别为'()f x ,'()g x ,则下面结论正确的是①若'()'()f x g x >,则函数()f x 的图象在函数()g x 的图象上方;②若函数'()f x 与'()g x 的图象关于直线x a =对称,则函数()f x 与()g x 的图象关于点(a ,0)对称;③函数()()f x f a x =-,则'()'()f x f a x =--; ④若'()f x 是增函数,则1212()()()22x x f x f x f ++≤. (A)①② (B)①②③ (C)③④ (D)②③④第二部分(非选择题 共110分)二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分｡(9)已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-,那么该数列的通项公式为n a =_______. (10)已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示, 那么样本数据落在[40,60)内的样本 的频数为 ____ ; 估计总体的众数为_________.(11)已知圆C :(x +1)2+(y -3)2=9上的两点P ,Q 关于直线x+my+4=0对称,那么m =_________. (12)将6位志愿者分配到甲､已､丙3个志愿者工作站,每个工作站2人,由于志愿者特长不同,A不能去甲工作站,B 只能去丙工作站,则不同的分配方法共有__________种.(13)已知向量(1,2)a =-,M 是平面区域0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩内的动点,O 是坐标原点,则a OM ⋅的最小值是 .(14)数列}{n a 的首项为1,其余各项为1或2,且在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2,即数列}{n a 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列}{n a 的前n 项和为n S ,则20S = __ ;2014S ___ .样本数据三､解答题: 本大题共6小题,共80分｡解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程｡ (15)(本小题满分13分)已知△ABC 中,∠A , ∠B , ∠C 的对边长分别为,,a b c ,且223a b ab +=+,60o C =. (Ⅰ)求c 的值;(Ⅱ)求a b +的取值范围. (16)(本小题满分13分)某超市进行促销活动,规定消费者消费每满100元可抽奖一次.抽奖规则:从装有三种只有颜色不同的球的袋中随机摸出一球,记下颜色后放回,依颜色分为一､二､三等奖,一等奖奖金15元,二等奖奖金10元,三等奖奖金5元.活动以来,中奖结果统计如图所示:消费者甲购买了238元的商品,准备参加抽奖.以频率作为概率,解答下列各题. (Ⅰ)求甲恰有一次获得一等奖的概率; (Ⅱ)求甲获得20元奖金的概率;(Ⅲ)记甲获得奖金金额为X ,求X 的分布列及期望EX . (17)(本小题满分14分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD =AB ∠BAD =90o ,∠BCD =45o ,E 为对角线BD 的中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位 置,使平面PBD ⊥平面BCD ,如图2. (Ⅰ)求证直线PE ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求异面直线BD 和PC 所成角的余弦值;(Ⅲ) 已知空间存在一点Q 到点P ,B ,C ,D 的距离相等,写出这个距离的值(不用说明理由).(18)(本小题满分13分)已知函数21()()2xf x xe a x x =-+(e=2.718---). (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的极值; (Ⅱ)求函数在区间[-1,1]上的最小值. (19)(本小题满分13分)已知椭圆E:22184x y +=与直线l :y kx m =+交于A ,B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线l 椭圆的左焦点,且k =1,求△ABC 的面积;(Ⅱ)若OA OB ⊥,且直线l 与圆O :222x y r +=相切,求圆O 的半径r 的值. (20)(本小题满分14分)已知函数()f x 的定义域为D ,若它的值域是D 的子集,则称()f x 在D 上封 闭.(Ⅰ)试判断()2x f x =,2()log g x x =是否在()1,+∞上封闭;(Ⅱ)设1()()f x f x =,1()(())(N*,2)n n f x f f x n n -=∈≥, 若()n f x (*N n ∈)的定义域均为D ,求证:()n f x 在D 上封闭的充分必要条件是1()f x 在D 上封闭; (Ⅲ)若0a >,求证:)()sin cos 2h x x x x x =+在[]0,a 上封闭,并指出值域为[]0,a 时a 的值.图2图1。

2014年北京高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)

2014年北京高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)

2014年北京高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）【2014年北京卷（理01）】已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵A={x|x 2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A ∩B={0，2}故选C【2014年北京卷（理02）】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x ﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log 0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件， 故选：A【2014年北京卷（理03）】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x 上，【2014年北京卷（理04）】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k 的值，当m=7，n=3时，m ﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k 值为4， ∴输出S=7×6×5=210．【2014年北京卷（理05）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n }”不是递增数列，充分性不成立．若a n =﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q ＞1”是“{a n }”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D【2014年北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D【2014年北京卷（理07）】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠【答案】D 【解析】设A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），D （1，1，），则各个面上的射 影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S 1=．在yOz 坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S 2=.在zOx 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S 3=，则S 3=S 2且S 3≠S 1，故选：D【2014年北京卷（理08）】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 得也最多只有一个，得C 最多只有一个，因此学生最多只有3人， 显然（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多有3个．故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）【2014年北京卷（理09）】复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】﹣1 【解析】（）2=．故答案为：﹣1【2014年北京卷（理10）】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.【答案】【解析】设=（x ，y ）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R ），∴=λ（x ，y ）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：【2014年北京卷（理11）】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 【答案】y=±2x 【解析】与﹣x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x 2=m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x 2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x ，故答案为：，y=±2x【2014年北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8＞0，∴a 8＞0，又a 7+a 10=a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n }的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n }的前8项 和最大，故答案为：8【2014年北京卷（理13）】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.【答案】36【解析】根据题意，分3步进行分析：①、产品A 与产品B 相邻，将AB 看成一个整体，考虑AB 之间的顺序，有A 22=2种情况，②、将AB 与剩余的2件产品全排列，有A 33=6种情况，③、产品A 与产品C 不相邻，C 有3个空位可选，即有3种情况， 故不同的摆法有12×3=36种【2014年北京卷（理14）】 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在学科网区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】由f （）=f （），可知函数f （x ）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f （）=﹣f （），且f （x ）在区间[，]上具有单调性，∴x=离最近对称轴的距离也为．函数图象的大致形状如图，∴．则T=π．故答案为：π三．解答题（共6题，满分80分）【2014年北京卷（理15）】如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。

2014年北京理科数学试卷及其内容规范标准答案

2014年北京理科数学试卷及其内容规范标准答案

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件.B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B -1.2C 1.2D -在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ （D ）23S S =且13S S ≠有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.已知向量a r 、b r 满足1a =r ，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论） 17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈， 求证：()0f x ≤；若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.（本小题14分）已知椭圆22:24C x y +=，求椭圆C 的离心率. 设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）-1 （10）5（11）221312x y -= 2y x =± （12）8（13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。

北京市丰台区高三年级第二学期统一考试数学理(一)试卷

北京市丰台区高三年级第二学期统一考试数学理(一)试卷

丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（理科）答案 2014.3一、选择题二、填空题9．13 10. 9 11. 12.13. 2 14.2π三、解答题 15.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =++32cos 22x x =+1sin 22)2x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+--------------------------------------------------------------5分 所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x 取，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-.所以，函数()f x 在区间[0,]2π，最小值为32-.--------------13分16.解：（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为2502606523250260652524++=+++， 所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为2324.--------------5分（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X 的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计 概率)：E X =270210(1)700700700700⨯+⨯+⨯+-⨯=1.15 因为E X <1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分 17. 解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0）， B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯= 所以DA 1⊥ED 1.-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设平面CED 1的一个法向量为(,,)v x y z =,则10v CD v CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =-所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，所以1sin 45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||2||||DA v DA v ⋅=⋅=m=12.-----11分（Ⅲ）点E 到直线D 1CE 在A 点处.------14分 18.解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y =(a -1)x -1.-------------------4分 （Ⅱ）（1）当a>0时，令()0f x '=，则ln x a =. 因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 19. 解：（Ⅰ）由题意可知c e a ==c =2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22(14y k x xy ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)1240k x x k +++-=.所以，12x x +=，1202x x x +==，00(y k x =+=于是M ∴.40k +=，所以M 在直线l 上. --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等， 若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM |=3|CM |，因为|OD |=|OC |，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =.=218k =，所以k =±.----------------14分 20. 解：（Ⅰ）212n n a -=（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分 （Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{}n b ，通项公式为1(1)n b b n d =+-.因为11a =，所以1n n a q -=.（1）当01q <<时，1n n a q -=∈（0，1]，且数列{}n a 是递减数列，所以{}n b 也为递减数列且n b ∈（0，1]，0d <, 令1(1)0b n d +-<，得111b n d>->， 即存在*(1)n N n ∈>使得0n b <，这与n b ∈（0，1]矛盾. （2）当1q >时，1n n a q -=≥1，数列{}n a 是递增数数列，所以{}n b 也为递增数列且n b ≥1，0d >. 因为d 为正的常数，且1q >，所以存在正整数m 使得11(1)m m m a a q q d -+-=->. 令()k p b a p m =>，则11k p b a ++≥，因为111(1)(1)p m p p a a q q q q d --+-=->->=1k k b b +-，所以1p p a a +->1k k b b +-，即11p k a b ++>，但这与11k p b a ++≥矛盾，说明假设不成立.综上，所以数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分。

2014年北京市各区高三一模试题分类汇编03立体几何

2014年北京市各区高三一模试题分类汇编03立体几何

2014年北京市各区高三一模试题分类汇编03立体几何(理科)1 (2014年东城一模理科)2 (2014年西城一模理科)如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ C ）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个3 (2014年西城一模理科)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是__4 (2014一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__96__．5 (2014某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______，表面积为______）6 (2014年朝阳一模理科)如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是__2_7 (2014年丰台一模理科)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（B ） （A ）143（B ）4 （C ）103 （D ）38 (2014年石景山一模理科)右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（B ） A ．12 B ．3 C ．4 D ．69 (2014年顺义一模理科)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_________1 正视图 侧视图 俯视图111 侧视图俯视图主视图1主视图左视图俯视图BADC. P俯视图主视图侧视图10 (2014年延庆一模理科)右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)A ．3B ．34C ．1D ．3211 (2014年东城一模理科)12 (2014年西城一模理科)如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度. 13 (2014年海淀一模理科) 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由．14 (2014年朝阳一模理科)如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面A B C D ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．15 (2014年丰台一模理科)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 是棱AB 上的动点.（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1 ；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o ，求AEAB的值； （Ⅲ）写出点E 到直线D1C 距离的最大值及此时点E 的 位置（结论不要求证明）.主视图侧（左）视图俯视图34主视图左视图俯视图1E BCAD FA E BCDPF16 (2014年石景山一模理科)如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，D 是AC 的中点．（Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ， 使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在， 求出AE 的长；若不存在，说明理由．17 (2014年顺义一模理科) 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=， 平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上一点，且13PM PC =. （Ⅰ）求证：PQ ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）证明：PA ∥平面BMQ （Ⅲ）求二面角M BQ C --的度数.18 (2014年延庆一模理科) 在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ， 底面ABCD 是正方形，且2==AD PA ，F E ，分别是棱PC AD ,的中点． （Ⅰ）求证：//EF 平面PAB ； （Ⅱ）求证：⊥EF 平面PBC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．2014年北京市各区高三一模试题汇编--立体几何(理科)答案1． ；2．C ；3．；4．96 ；5．13，；6．2 ；7．B ；8． B ；9． ；10．A ；11.吧A1A1B1CCDBFA BEPDPM Q ABCD12（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形， 所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又因为 1=CDCC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ， 所以1BC D E ⊥. …………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C .……………6分 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ，所以 1//BC 平面1BED . ………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BCCD C =，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED如图建立空间直角坐标系， 设1D E a =，则1(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), E B D a C 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 令1x =，得(1,1,0)=-n . …………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得(0,,1)a =-m .…………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 得 ||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ……………13分 解得1a =. ………………14分13（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD ．————————————————3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥． 由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD ．如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -——4分 不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==． 由图1条件计算得，AE =BC =BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(3E D B AF C -———————5分(3,1,0),(0,1,DC AD ==．由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ．———————6分设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0.y y +==⎪⎩ 令1z =，则1y x ==，所以(11)=-n ．——————————8分平面DCB 的法向量为EA 所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ，所以二面角A DC B --—————————————9分 （Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈．由于3(AF =， 所以(AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈————————————10分所以3,0,(13EM EA AM λ⎛=+=-⎝————————————11分由0EM ⋅=n ，即03λ=-(1-———12分 解得3=(0,1)4λ∈．————13分 所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =．————————14分 14（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG 是△PCD 的中位线． 所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ．所以AE ∥FG ，且AE FG =．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ．…………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面PAD ⊥平面A B C D ，PA AD ⊥，且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =uu u r ，，(022)PD =-u u u r ，，，(200)CD =-uu u r ，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r，， (0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ．…………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-uu r ，，，(0,22)PD =-u u u r,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu u r n n 所以20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =uu u r，， 所以cos ,EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r uu u r n n n E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --．…………14分 15.解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A （1，0，0）， B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以DA1⊥ED1. ----4分 （Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为(,,)v x y z =,则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =-所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA1与平面CED1成角为45o ，所以1sin45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||2||||DA v DA v ⋅=⋅2=，解得m=12.-----11分 （Ⅲ）点E 到直线D1C E 在A 点处.------14分 16（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形，所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点，M1B1CBCD所以MD 是三角形1AB C 的中位线，…………………………2分 所以MD ∥1B C ．…………………………3分因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ．……………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -． 因为2AB =，1AA D 是AC 的中点． 所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C，1(10)A …………5分所以1(02D，3(02BD =，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即30220x z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量．……………6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量，………7分 所以121cos 2n AA <>==，．………………8分 所以二面角1A BD A --的大小为3π．…………………………9分 （Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1C E x =-，11(10C B ，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11111)00x x y x ，，⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩ 令1z =13x =，1y =，1(3n =，…………………12分 又10n n ⋅=，即0--=，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且AE =．…………………………14分结BD ，Q 底面ABCD 是菱形，且060BAD ∠=，∴BAD 是等边三角形，∴BQ AD ⊥由（Ⅰ）PQ ⊥平面ABCD . ∴PQ AD ⊥.以Q 为坐标原点，,,QA QB QP 分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0),(1,0,0),Q A B P .————10分设平面BMQ 的法向量为(,,)m x y z =，∴0m QB m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，注意到MN ∥PAx∴0m QB m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,0,1)m =是平面BMQ 的一个法向量——12分 （Ⅰ）证明：设G 是PB 的中点，连接GF AG , ∵F E ,分别是PC AD ,的中点，∴BC GF 21//，BC AE 21// ∴AE GF //，∴AEFG 是平行四边形，∴AG EF //………………2分 ∵⊄EF 平面PAB ⊂AG 平面PAB ，∴//EF 平面PAB ………………3分 （Ⅱ）∵AB PA =，∴PB AG ⊥，………………4分∵ABCD PA ⊥，∴BC PA ⊥，又∵AB BC ⊥，∴⊥BC 平面PAB ， ∴AG BC ⊥，………………6分∵PB 与BC 相交，∴⊥AG 平面PBC ， ∴⊥EF 平面PBC ．………………7分（Ⅲ）以AP AD AB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，…8分 ∵2==AD PA ，∴)0,1,0(E ，)0,2,2(C ，)2,0,0(P ，)1,1,1(F 设H 是PD 的中点，连接AH ∵⊥AG 平面PBC ，∴同理可证⊥AH 平面PCD ，∴是平面PCD 的法向量，)1,1,0(=………………9分)0,1,2(=，)2,1,0(-=设平面PEC 的法向量),,(z y x m =，则0,0=⋅=⋅m∴02,02=+-=+z y y x 令2=y ，则1,1=-=z x ∴)1,2,1(-=m…………12分∴23263||||,cos =⋅=>=<AH m m．………………13分∴二面角D PC E --的大小为︒30………………14分。

2014年高考真题——理科数学(北京卷)解析版 Word版含解析

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课标理数【2014·北京理卷】一、选择题1. [2014•北京理卷]1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0== B A . 2.[2014•北京理卷]下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D. 3.[2014•北京理卷] 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B【解析】曲线方程消参化为()()12122=-++y x ，其对称中心为()2,1-，验证知其满足x y 2-=.4.[2014•北京理卷]当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】2105671=⨯⨯⨯=S . 5.[2014•北京理卷]设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当01<a 时，1>q 数列{}n a 递减；01<a 时，数列{}n a 递增，10<<q . 理数6.E5[2014•北京理卷]若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.[2014•北京理卷]在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.[2014•北京理卷]有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件. 二、填空题9.[2014•北京理卷]2=-+y x 02=+-y kx A=-x y复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.[2014•北京理卷]已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.[2014•北京理卷]设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=. 12.[2014•北京理卷]若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大. 13.[2014•北京理卷]把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A . 14.[2014•北京理卷]设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .15.[2014•北京理卷] 如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠=1433237121734=⨯-⨯. （Ⅱ）在ABD ∆中，由正弦定理得AA-6π2π32π8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=, 所以7AC =.16.[2012•北京理卷]李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）.解：(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。

北京市丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习(一) (理科Word版含答案)

北京市丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习(一) (理科Word版含答案)

丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一） 2015.3高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为 (A) (1,1)-(B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或23．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 7 (B)10 (C) 11(D) 16俯视图侧视图正视图5．在极坐标系中，曲线26cos 2sin 60ρρθρθ--+=与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于(A)(B)(C) (D) 46．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是(A) 4 (B) 5(C)(D)7．将函数1cos()26y x π=-图象向左平移3π个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) cos(+)6y x π=(B) 1cos4y x = (C) cos y x =(D) 1cos()43y x π=-8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ︒∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的(A) 最大值是，最小值是4 (B) 最大值是8，最小值是4(C) 最大值是，最小值是2 (D) 最大值是8，最小值是2第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．定积分(cos )x x dx π+=⎰____．10．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则n =____，展开式中的常数项是____．11．若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， 2()2f x x x =-， 如果函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点，则m 的取值范围 是____．13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB =8，BC =1，则 CD=____；AD=____．14．已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A =____；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为____．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()coscos2222xxx f x ωωω=-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16. （本小题共13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250， C ：R ≥250．甲从A ，B ，C 三类车型中挑选，乙从B ，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310. （Ⅰ）求p ，q 的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和．为X ，求X 的分布列．17. （本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =P A =4，BE =2．（Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值； 如果不存在，说明理由．PEDCBA18.（本小题共13分）设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >； （Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．20.（本小题共13分）如果数列A ：1a ，2a ，…，m a (Z m ∈，且3)m ≥，满足：①Z i a ∈，22i m ma -≤≤(1,2,,)i m =； ②121m a a a +++=，那么称数列A 为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．22π 10．4，24 11．612．(1,0)- 13．3 14．1，6π+ 注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．二、解答题：15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）21()coscos2222xxx f x ωωω=+-21sin 232cos 1-++=x x ωω x x ωωc o s 21s i n 23+=)6s i n (πω+=x ． 因为πωπ==2T ，0>ω，所以2=ω．因为)62sin()(π+=x x f ，R x ∈，所以1)62sin(1≤+≤-πx ．所以函数()f x 的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分（Ⅱ）令226222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈， 得322322ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈， 所以63ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈．所以函数()f x 的单调递增区间为3[ππ-k ，]6ππ+k )(Z k ∈．……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为33410115q p q =⎧⎪+=⎨+⎪⎪⎪⎩所以25p =，25q =． ……………………4分 （Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则121233()554545P A ⨯+⨯=+=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35． ……………………7分 （Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．111(7)5420P X ==⨯=， 13211(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232(9)54545P X ==⨯+⨯=； 233(10)5410P X ==⨯=．……………………13分17.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA //BE ，且4PA =，2BE =， 所以BE //AG 且BE AG =，所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE //平面PAD ． ……………………4分（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =-，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩．令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m =．设PD 与平面PCE 所成角为α，则sin cos ,6m PD m PD PD mα⋅=<>===． 所以PD与平面P C 所成角的正弦值是． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-，(4,4,2)DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩．令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以)4,2,2(-=a a n ．因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=，即08222=-++a a，所以4512<=a ， 点12(,0,0)5F ． 所以35AF AB =． ……………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，所以()2x f x e '=-．因为0(0)21f e '=-=-，即切线的斜率为1-， 所以切线方程为1(0)y x -=--，即10x y +-=． ……………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()2x f x e '=-．令()0f x '=，则0ln 2x =．当(,ln 2)x ∈-∞时，0)('<x f ，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减， 当(ln 2,)x ∈+∞时，0)('>x f ，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当ln 2x =时，函数最小值是ln 2(ln 2)2ln 222ln 20f e =-=->．命题得证． ……………………8分（Ⅲ）因为()x f x e ax =-，所以()x f x e a '=-．令()0f x '=，则ln 0x a =>．当1a >时，设()ln M a a a =-，因为11()10a M a a a-'=-=>， 所以()ln M a a a =-在(1,)+∞上单调递增，且(1)1ln11M =-=，所以()ln 0M a a a =->在(1,)+∞恒成立，即ln a a >． 所以当(0,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a a ∈，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a a 上单调递增． 所以()f x 在[0,]a 上的最大值等于{(0),()}max f f a ， 因为0(0)01f e a =-⋅=，2()a f a e a =-，不妨设2()()(0)1a h a f a f e a =-=--(1a >)， 所以()2a h a e a '=-．由（Ⅱ）知()20a h a e a '=->在(1,)+∞恒成立，所以2()()(0)1a h a f a f e a =-=--在(1,)+∞上单调递增． 又因为12(1)1120h e e =--=->，所以2()()(0)10a h a f a f e a =-=-->在(1,)+∞恒成立，即()(0)f a f >． 所以当1a >时，()f x 在[0,]a 上的最大值为2()a f a e a =-． ……………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=， 所以椭圆C的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-，22(2,)AQ x y =-，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-， 所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>），得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++． 设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++，因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得2k =±． ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列． 证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由121m a a a +++= 得12m a a Z m+=∉，与i a Z ∈矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分 （Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：设n S 为重新排列后所得数列的前n 项和（n Z ∈且1n m ≤≤），任取大于0的一项作为第一项，则满足1122m mS -+≤≤， 假设当2,n m n N ≤≤∈时，1122n m mS --+≤≤若10n S -=，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证122n m mS -+≤≤，若10n S -≠，则剩下的项必有0或与1n S -异号的一项，否则总和不是1， 所以取0或与1n S -异号的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤． 如果按上述排列后存在0n S =成立，那么命题得证；否则1S ，2S ，…，m S 这m 个整数只能取值区间[1,]22m m -+内的非0整数， 因为区间[1,]22m m -+内的非0整数至多m -1个，所以必存在i j S S =(1)i j m ≤<≤，那么从第1i +项到第j 项之和为0i j S S -=，命题得证．综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2014年北京市各区一模试题题型汇编--函数与导数(理科)附答案

2014年北京市各区一模试题题型汇编--函数与导数(理科)附答案

2014年北京市各区高三一模试题题型汇编—函数与导数(理科) 1 (2014年东城一模理科)2 (2014年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x（B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x3 (2014年西城一模理科)如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是________.4 (2014年海淀一模理科)下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是（）．A B C D5 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线D CP1:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >6 (2014年海淀一模理科)函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于______．7 (2014年朝阳一模理科) 已知集合1{|()1}2x A x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =U （A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|1}{|0}x x x x ><UD ．∅8 (2014年朝阳一模理科)已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④9 (2014年丰台一模理科)已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中一定成立的是)（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > 10 (2014年丰台一模理科) “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件11 (2014年石景山一模理科)下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =12 (2014年石景山一模理科)若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为________．13 (2014年顺义一模理科)已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）（A ）()0,1（B ）()1,+∞ （C ）51,3⎛⎤⎥⎝⎦（D ）5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭14 (2014年延庆一模理科)对于函数x e x f axln )(-=，（a 是实常数），下列结论正确的一个是()A ．1=a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)1,21(0∈x B ．2=a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)41,0(0∈x C ．21=a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈x D ．0<a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x 15 (2014年东城一模理科)16 (2014年西城一模理科)已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.17 (2014年海淀一模理科) 已知曲线:e axC y =．（Ⅰ）若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；（Ⅱ）对任意实数a ，曲线C 总在直线l ：y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围．18 (2014年朝阳一模理科)已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．19 (2014年丰台一模理科)已知曲线()xf x ax e =-(0)a ≠.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程；（Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围. 20 (2014年石景山一模理科)设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明：切点的横坐标为1．21 (2014年顺义一模理科)已知函数21()ln 2f x ax x x =-+（,0a R a ∈≠） （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[)1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，求a 的取值范围21()()ln 2g x f x ax ax x x ax =-=-+-定义域(0,)+∞ 在区间[)1,+∞上，函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，22 (2014年延庆一模理科)已知函数b ax x x f +-=3)(3，),(R b a ∈． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为023=-+a y ax ，且)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点，求a 的取值范围．12D3_○2,○34 D5 B61 6_7A）8C9(C 10(A) 11C12_22 y x=-13C 14C 1516（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >… 2分所以 (1)1f '=，又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ………… 4分 （Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则 ()ln 1h x x '=+， 令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h … 11分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立， 所以 1e≥a . …… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e [1].…………… 13分 17解（Ⅰ）e ax y a '=，——————————————————2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=—4分 解得1m =，2a =—————————————————5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于 ∀x ，a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ，a ∈R ，e 0ax ax b -->恒成立，————6分 令()e ax g x ax b =--，————————————————————7分 ①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <；————8分 ②若0a ≠，()(e 1)ax g x a '=-，由'()0g x =得0x =，———————9分'(),()g x g x 的情况如下：————————————————————————11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-，—————————————————————12分 所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <．——————13分 法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ，a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ，a ∈R ，e ax b ax <-恒成立，——————6分 令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e t b t <-恒成立，令()e t g t t =-，则()e 1t g t '=-，—7分 由'()0g t =得0t =，———————————9分'(),()g t g t 的情况如下：——————————————————————11分所以()e t g t t =-的最小值为(0)1g =， ————————————12分 实数b 的取值范围是1b <．————————————————————13分 18解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()f x ax x '=-21ax x-=． （Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．……7分（Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减， 所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <，即211ea <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =．…………………………13分19解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-------------------4分（Ⅱ）（1）当a>0时，令()0f x '=，则ln x a =.因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 20解：（Ⅰ）1a =时，2()ln (0)f x x ax xx =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝，…………………………1分11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，，增区间1()2+∞，．…………………………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x+-≤对任意(01]x ∈，恒成立，…………5分12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立，令1()2g x x x=-，min ()a g x ∴≤，……7分 易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-．1a ∴≤-．…………………8分 （Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t=， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：， 存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根．…11分 再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．综上，切点的横坐标为1．…………………………13分 2122解：（Ⅰ）a x x f 33)(2-='，………………1分（1）当0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，此时)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，……2分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x ±=；令0)(>'x f ，得a x -<或a x >令0)(<'x f ，得a x a <<-∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数，在],[a a -上是减函数．…………5 分（Ⅱ）∵a f 3)0(-='，b f =)0(，∴曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为ax b y 3-=-，即03=-+b y ax ，∴a b 2=，∴a ax x x f 23)(3+-=………………7 分由（Ⅰ）知，（1）当0≤a 时，)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增，所以题设成立………………8 分 （2）当0>a 时，)(x f 在a x -=处达到极大值，在a x =处达到极小值，此时题设成立等价条件是0)(<-a f 或0)(>a f ， 即：02)(3)(3<+---a a a a 或02)(3)(3>+-a a a a 即：023<++-a a a a a 或023>+-a a a a a ………………11 分 解得：10<<a ………………12 分由（1）（2）可知a 的取值范围是)1,(-∞．………………13分。

北京市2014届高三高考全真模拟数学理试题(一)含答案

北京市2014届高三高考全真模拟数学理试题(一)含答案

2014高考全真模拟卷（一）数学（理科）试卷第I 卷 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z=（ ） A ． i 2- B ．i 2 C ．i +1 D ．i -12.已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（ ）Ａ．{|1}x x >- Ｂ．{|1}x x < Ｃ．{|11}x x -<< Ｄ．∅3 ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =C ∠=（ ）6πB ．4π C ．34π D ．4π或34π4. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（ ） A.12π B ．CD ．4π5.设向量→a 与→b 的夹角为θ，→a =（2，1），3→b +→a =（5，4），则θcos =（ ）A.54B ．31C ．1010 D ．10103 6. 若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．400.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距 7．如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若3,2==AF BF BC 且，则此抛物线的方程为（ ） A ．x y 32= B ．x y 32= C ．x y 62=D ． x y 92=8．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且12)(,1)1(2+-≤-=-at t x f f 若函数对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（ ）A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-t C ．022=-≤≥t t t 或或 D ．02121=-≤≥t t t 或或第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.6(x 的展开式中的常数项是 （用数字作答） 10. 如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE ，若AEF ∆的面积等于1cm 2,则CDF ∆的面积等于 cm 2． 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）/月收入段应抽出 人.12．右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .AFE D CB13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为______.14．给出以下几个命题： ①由曲线y=x 2与直线y=2x 围成的封闭区域的面积为34.②已知点A 是定圆C 上的一个定点，线段AB 为圆的动弦，若)(21+=， O 为坐标原点，则动点P 的轨迹为圆；③把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为A 54·A 41=480种. ④若直线l //平面α，直线l ⊥直线m ，直线l ⊂平面β，则β⊥α，其中，正确的命题有 . （将所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. （本题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域. 16（本题满分13分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求证：BD PAC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.DPAC17. （本小题满分13分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).18．（本小题满分14分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.19. (本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.其中F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.20. (本题满分14分)已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)2(na n n nb λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．2014北京高中数学（理科）模拟答案及评分标准9．15 10. 9 11. 25 12.1320 13.（0，2）； 14. ①②三.解答题 15．解：（I ）()cos(2)2sin()sin()344f xx x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+ 221cos 22sin cos 22x x x x =++- 1cos 22cos 22x x x =- s i n (2)6x π=- ………………………………………… 4分2T 2ππ==周期∴.……………………………………………6分 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈.…………… 8分（II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- …………………………………9分 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1.又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取得最小值2-. 所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[.……………………………12分 16.（Ⅰ）在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD, ∴BD ⊥PA .∵,,AC PAC PA PAC AC PA A ⊂⊂⋂=平面平面, ∴BD PAC ⊥平面.………………………… 4分得332=d . ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系,则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P(2,2,0)BD =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r易求平面D P C 的法向量为()1,1,0=,平面PBD 的法向量为()1,1,1=n …………………………………………… 7分cos ,m n <>==r r ， 二面角B PD C --…………………………………………… 9分 （III ）因为Q 在DP 上，所以可设()10<<=λλ，又()2,2,0-=DP ,()()()λλλλλ2,22,02,2,00,2,0-=-+=+=+=∴DP AD DQ AD AQ()λλ2,22,0-∴Q ,()()λλλλ,,122,2,2--=--=∴.……………………… 10分由（Ⅱ）可知平面PBD 的法向量为()1,1,1=， 所以设CQ 与平面PBD 所成的角为θ，则有：22131cos sin λθ+===…………………………………… 11分所以有69221312=+λ，1612=λ，10<<λ ， 41=∴λ ………12分所以存在且DP DQ 41=. ……………………………………………………………13分 17．（I ）由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3,且03312322333321(0)(1),327222(1)(1),339224(2)()(1),33928(3)(),327P C P C P C P C ξξξξ==⨯-===⨯⨯-===⨯-===⨯=所以ξ的分布列为………………………………………………… 5分ξ的数学期望为12480123 2.279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………7分 （II ）用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，,AB C D =⋃,C D 互斥.22342221112111110()()(1),333323323323P C C ⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦…………9分54(),3P D =………………………………………………………………………… 11分 4551043434()()().333243P AB P C P D =+=+== ………………………… 13分18.解：（Ⅰ）因为()'2101a f x x x =+-+………………………………………… 2分 所以()'361004a f =+-=因此16a =. ………………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()216l n 110,1,fx x x x x =++-∈-+∞()()2'2431x x fx x-+=+.………………………………………………………… 6分当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >;当()1,3x ∈时，()'0f x <.所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞;()f x 的单调减区间是.()1,3……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0fx =.……………………………………………… 10分所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-.……………12分 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<.因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--.……………………………………… 14分19．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．……………………………………………1分 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以1513x +=， 得123x =，1y =．………………………………………………………………… 3分 M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a bb a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，………………………5分 消去2b 并整理得 4293740a a -+=， 解得2a =（13a =不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………… 7分 （Ⅱ）由12MF MF MN +=知四边形12MFNF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l的斜率323k ==．设l的方程为)y x m =-．……………………………………………………… 8分由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，………………………………………………………………… 9分消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．…………………………………… 10分设11()A x y ，，22()B x y ，，12169mx x +=，212849m x x -=.……………………11分因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=⋅-⋅+21(1428)09m =-=．……………… 12分所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l 的方程为y =-，或y =+． …………………… 14分 20.解：（I ）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， ………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=． ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分 （II ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………………………………………………………9分 （ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………14分。

2013-2014年第一学期期末理科考试试题答案

2013-2014年第一学期期末理科考试试题答案

2013-2014学年度丰台区高三第一学期期末数学(理科)试题答案一、选择题ACBB ACDA 二、填空题9. 2n-1 10.乙 11. 160 12. 13. 40 14.①②③分 注:14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若给出④均不得分. 三、解答题15.解：（Ⅰ）在△ABC 中sin sin c b C B =,∴sin sin C bB c=.--------------------------2分∵ sin 2sin C B =,∴sin 2sin CB=,-----------------------------------2分∴2c b =,--------------------------------------------------------5分 ∴c=4 .---------------------------------------------------6分（Ⅱ）在△ABC 中，222cos 2b c a A bc+-=，--------------------------------8分∵ 22a b bc -=，∴2cos 2c bcA bc-=.-------------------------------10分∵ 2c b =，∴222421cos 42b b A b -==.-------------------------------12分 ∴60oA =.-------------------------------------------------------13分 16. （Ⅰ）证明：O,E 分别是AB 和AC 的中点， ∴OE ∥BC .--------------2分又⊄OE 面VBC, ⊂BC 面VBC.----------------------------3分 //∴OE 面VBC. -----------------------------------------4分（Ⅱ）证明：VA=VB ，∵ △ABC 为等腰三角形，又 O 为AB 中点，∴ VO ⊥AB;--------------------------------------5分 在△VOA 和△VOC 中，OA =OC, VO=VO ，VA=VC, △VOA ≌△VOC;-----------6分∴ ∠V0A=∠VOC=90o. ∴ VO ⊥OC;--------------------------------------7分 AB ∩OC=O, AB ⊂平面ABC, OC ⊂平面ABC, ---------------------8分∴ VO ⊥平面ABC. ---------------------------------------------------9分（Ⅲ）解：在圆O 内，OA=OC ，∠CAO=45o ，所以CO ⊥AO.由（Ⅱ）VO ⊥平面ABC ，如图，建立空间直角坐标系.-------------------------10分 OA=OB=OC=OV=1,∴ C(1,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(11,22,0).-------------------------------------------11分CB =(-1，-1，0), CV =(-1，0，1)设(,,)m x y z =为平面VBC 的法向量，则0,0.CB m CV m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0.x y x z +=⎧⎨-=⎩令1x =，解得(1,1,1)m =-.----------------------12分同理，求得平面VOE 的法向量为(1,1,0)n =-.--------------------13分cos ,||||u vu v u v ⋅<>=⋅= 所以cos 3θ=.----------------------------------------------14分 17.解：（Ⅰ）设甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元为事件A.------------------ ---1分则3333343101()20C C C P A C ++== 答：甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率为120.-------------------6分 （没有答，不扣分）（Ⅱ）设甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元为事件B.----------7分则21211233343431022213()20C C C C C C P B C ++== 或111334310113()12020C C C P B C =--=答：甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率为1320.--------13分(没有答，不扣分)B18.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)+∞.当a =0时，()ln f x x x =，'()ln 1f x x =+.-----------------------1分令'()0f x =得1x=.------------------------------------------2分.------------5分∴()f x 的最小值为11()f e e=-.--------------------------------6 分（Ⅱ）∵'()ln x af x x x-=+∴21()(ln )2x ag x x ax x x-=+-+.-----------------------------7分21'()()ag x x a x x =+-+,--------------------------------------8分21()(1)x a x=+-,2(1)()(1)x x a x x +=+-.------------------------------------9分（1）当10a -<<时，在(0,)a -，(1,)+∞内'()0g x >；在(,1)a -内'()0g x <.∴ (),1a -为递减区间，()()0,,1,a -+∞递增区间.----------------11分 (2)当0a ≥时，在(0,1)内，'()0g x <；在()1,+∞内，'()0g x >.∴()0,1递减区间，()1,+∞递增区间.---------------------------13分 综上所述，当10a -<<时，()g x 单调递增区间为()()0,,1,a -+∞，递减区 间为(),1a -；当0a ≥时，()g x 单调递增区间为()1,+∞，减区间为()0,1.-----------------------------------------------------14分19. 解：（Ⅰ）∵焦点为F （1,0），∴2p =,∴抛物线方程为24y x =.-----3分 （Ⅱ）方法一：∵直线OA 、OB 的斜率之积为12-∴设直线OA 的方程为y kx =；直线OB 的方程为12y x k=-.------5分 联立24y kx y x =⎧⎨=⎩得244(,)A k k ，同理2(16,8)B k k -.-----------------9分由抛物线关于x 轴对称可知定点在x 轴上，那么当A ，B 横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标.-------------------------------11分 令22416k k =，解得212k =，则22416k k==8，点M （8,0）为直线AB 过的定点. ----------------------------------------------------------12分 下面证明直线AB 过M 点∵ 244(8,)MA k kuuu r =-，2(168,8)MB k k =--由2244(8)(8)(168)k k k k-⋅-=-⋅可知向量MA uuu r 与MB uuu r 共线.∴直线AB 过定点M ．----------------------------------------13分 方法二：设()()1122,,,A x y B x y .（1）若直线AB 斜率存在，设其方程为y kx b =+.---------------4分24y kx by x=+⎧⎨=⎩即222(24)0k x kb x b +-+=.----------------------7分 ∴2122b x x k =，124by y k=.----------------------------------9分∵直线OA 、OB 的斜率之积为12-，即121212y y x x ⋅=-,∴412k b =-，即8b k =-,带入直线方程，得直线AB 方程为8y kx k =-. ∴即直线AB 过定点（8,0）.-------------------------------11分 （2）若直线AB 斜率不存在，则1212,x x y y ==-， 由121212y y x x ⋅=-可得128x x ==， ∴直线AB 方程为8x =，过定点（8,0）.-------------------12分 综上，直线AB 过定点．---------------------------------13分20.解：（Ⅰ）排序数列为4,1,3,2.--------------------------------3分 （Ⅱ）证明：充分性：当数列{}n a 单调增时，∵12a a <<…n a <,∴排序数列为1,2,3，…，n.∴排序数列为等差数列.----------------------------------4分 当数列{}n a 单调减时，∵1n n a a -<<…1a <,∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 . ∴排序数列为等差数列.综上，数列{}n a 为单调数列时，排序数列为等差数列. ---------5分 必要性：∵排序数列为等差数列∴排序数列为1,2,3，...，n 或n,n-1,n-2，...，1.--------------7分 ∴12a a <<...n a <或1n n a a -<< (1)a <∴数列{}n a 为单调数列.-------------------------------------8分 （Ⅲ）∵数列{}n a 的排序数列仍为{}n a∴数列{}n a 是1,2,3，…，n 的某一个排序，----------------9分 假设不存在一项k a k =，即i a j =，(,1,2,3,,1,2,3,)i j i j ≠==…………则在各项从小到大排列后i a 排在第j 位--------------------11分 ∴排序数列{}n a 中j a i =，∴n 为偶数12分. ∴当n 为奇数时，一定存在一项k a k =,当n 为偶数时，不一定存在一项k a k =.-------------------13分。

2014丰台一模北京市丰台区2014届高三第二学期统一练习(一) 理科4份

2014丰台一模北京市丰台区2014届高三第二学期统一练习(一) 理科4份

2014丰台一模语文试卷 (1)英语试卷 (17)高三数学（理科） (40)理科综合 (50)语文试卷2014.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

本试卷满分共150分。

考试时间150分钟。

第Ⅰ卷（共14分）一、本大题共7小题，每小题2分，共14分。

要研究江南的文化历史，就不能不读江南的古镇。

假若把整个江南比作一曲委婉柔丽、行云流水般的乐章，那么古镇就是一个非常精彩．．的乐段。

当你参观了一座座江南的古镇后，就会惊异地发现：这些古镇的设置是那么的规整，（1）假如说长江黄河是孕育华夏文明的摇篮，那么一条条委婉曲流就是滋养古镇文明的清泉；（2）不绝如缕的舟舸，举帆落帆、扬桨收桨之间，就把一座古镇同整个江南人文大背景①得异常和谐熨帖．．．．；（3）一条清流从远方飘逸而来，又从这里委婉流去，缠绵缱绻处就是一座古镇。

街道一律临河铺筑，两排挤挤的房屋把天空夹出细长一条，有一排房屋干脆就是半间建在河面上的吊脚楼，足见其对水的依傍。

青石板铺成的街面，被千万双脚板打磨得发亮，把一段缈远．．的历史融凝进去，却不留一丝痕迹。

古街虽窄小，却并不失之于平直②，一条条幽深的小巷细弄，一头勾联着古街，一头曲曲折折地延伸过去，把整个一座古镇引宕得一波三折，有了音乐的节律。

小楼一夜听春雨，。

那绵长清丽．．．．的诗意就该由古镇的小巷里③出来。

而夜卧古镇的吊脚楼上，听“乃”橹音从远处飘来，又从你枕下飘向远方，载去你的遐想和幢憬。

一座座“如虹饮水”的古拱桥，巧连妙构，宛若一帧行草书法，将笔墨酣畅淋漓地挥洒，而其间又有一缕墨韵衔接着，构成了整体的韵律和完美。

1. 文中加点词语有错别字的一项是（2分）A. 精彩B. 和谐熨帖C. 缈远D. 绵长清丽2. 将下列词语依次填入文中横线①②③处，最恰当的一组是（2分）A. 勾织简约演绎B. 勾织简短演绎C. 构画简约演化D. 构画简短演化3. 文中黑体字熟语，运用不当．．的一项是（2分）A. 行云流水B. 不绝如缕C. 一波三折D. 酣畅淋漓4. 文中划横线的（1）（2）（3）句衔接不当，下列调整语序正确的一项是（2分）A. （1）（3）（2）B. （2）（1）（3）C. （2）（3）（1）D. （3）（1）（2）5. 将下列诗句填入文中波浪线处，与“小楼一夜听春雨”对仗最工整的一项是（2分）A. 多少楼台烟雨中B. 残花落尽见流莺C. 吹面不寒杨柳风D. 深巷明朝卖杏花6. 下列句中加点词的运用，不同于．．．其他三句的一项是（2分）A. 一条清流从远处飘逸．．而来，又从这里委婉流去B. 那么一条条委婉曲流就是滋养．．古镇文明的清泉C. 青石板铺成的街面，被千万双脚板打磨．．得发亮D. 又从你枕下飘向远方，载．去你的遐想和憧憬7. 下列概括江南古镇特点的词语，最恰当的一项是（2分）A. 整洁B. 雄丽C. 幽美D. 空蒙第Ⅱ卷（136分）二、本大题共6小题，共20分。

2014北京各区高考数学一模试题及答案解析.doc

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2014北京各区高考数学一模试题及答案解析2014年北京市各县区的高考一模对于测验高三考生的复习成果和接下来的高考志愿填报具有非常重要的参考价值。

本人特将一模试题进行整理汇总，以下是2014年北京各城区高考一模试题及答案汇总，供考生参考！2014北京海淀区高考数学一模试题及答案解析数 学 （理科） 2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种。

2014北京市丰台区高三(一模)数 学(文)

2014北京市丰台区高三(一模)数 学(文)

2014北京市丰台区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x∈R|﹣1≤x≤1}，B={x∈R|x（x﹣3）≤0}，则A∩B等于（）A．{x∈R|﹣1≤x≤3} B．{x∈R|0≤x≤3} C．{x∈R|﹣1≤x≤0} D．{x∈R|0≤x≤1}2．（5分）已知等比数列{a n}中，a2+a3=1，a4+a5=2，则a6+a7等于（）A．2 B．2 C．4 D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数．则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（﹣3）＞f（2） C．f（﹣1）＞f（3） D．f（﹣2）＜f（﹣3）5．（5分）设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．18B．36C．12D．248．（5分）在同一直角坐标系中，方程ax2+by2=ab与方程ax+by+ab=0表示的曲线可能是（）A．B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanα=2，则的值为．10．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．11．（5分）以点（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为．12．（5分）已知函数f（x）=2x，点P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，那么f（a）•f（b）的最小值是．13．（5分）A，B两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务．A机到达甲地完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回．如图中折线分别表示A，B两架直升机离甲地的距离s与时间t之间的函数关系．假设执行任务过程中A，B均匀速直线飞行，则B机每小时比A机多飞行公里．14．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率为P．①当t=1时，P= ；②P的最大值是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值．16．（13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 34 1380岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．17．（14分）如图，四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，AN⊥AB，F为线段BN的中点，E为线段BC上的动点．（Ⅰ）当E为线段BC中点时，求证：NC∥平面AEF；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥BCMN平面；（Ⅲ）设=λ，写出λ为何值时MF⊥平面AEF（结论不要求证明）．18．（13分）已知曲线f（x）=ax﹣e x（a＞0）．（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）若存在实数x0使得f（x0）≥0，求a的取值范围．19．（14分）如图，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（﹣，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得四边形AOBC为平行四边形？若存在求出k的值，若不存在说明理由．20．（13分）从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）设{a n}是无穷等比数列，首项a1=1，公比为q．求证：当0＜q＜1时，数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】B={x∈R|x（x﹣3）≤0}={x∈R|0≤x≤3}，则A∩B={x∈R|0≤x≤1}，故选：D．2．【解答】设等比数列{a n}的公比为q，则q2==2，∴a6+a7=（a4+a5）q2=2×2=4故选：C3．【解答】由程序框图知：程序第一次运行i=0+1=1，x=1+=2；第二次运行i=1+1=2，x=1+=；第三次运行i=2+1=3，x=1+=；第四次运行i=3+1=4，x=1+=．满足条件i≥4，输出x=．故选：A．4．【解答】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数；∴当0＜6时，f（0）＞f（6），∴命题A错误；又∵f（﹣3）=f（3），且3＞2，∴f（3）＜f（2），命题B错误；又∵f（﹣1）=f（1），且1＜3，∴f（1）＞f（3），即f（﹣1）＞f（3），∴命题C正确；又∵f（﹣2）=f（2），f（﹣3）=f（3），且2＜3，∴f（2）＞f（3），即f（﹣2）＞f（﹣3），∴命题D错误；故选：C．5．【解答】当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A6．【解答】有茎叶图中的数据可知，甲的数据主要集中85以下，乙的数据主要集中在86以上，∴根据数据分布可知＜，乙比甲成绩稳定，故选：乙参加比较，故选：D．7．【解答】由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的高为6，底面三角形的底边长为3+3=6，高为3，∴几何体的体积V=××6××6=18．故选：A．8．【解答】方程ax2+by2=ab 即；方程ax+by+ab=0，即y=﹣x﹣a．考察A选项，椭圆的焦点在x轴上，即b＞a＞0，直线的斜率小于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，符合题意；考察B选项，椭圆的焦点在y轴上，即a＞b＞0，直线的斜率大于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，不符合题意；考察C选项，双曲线的焦点在y轴上，则a＞0，b＜0，直线的斜率大于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，但截距﹣a＜0，不符合题意；考察D选项，双曲线的焦点在x轴上，则b＞0，a＜0，直线的斜率小于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，不符合题意；故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵tanα=2，∴===，故答案为：．10．【解答】=．∴复数在复平面内对应的点的坐标是．故答案为：．11．【解答】设点（﹣1，1）为圆心的圆的半径为r，依题意知，圆心（﹣1，1）到直线x﹣y=0的距离d=r==，∴所求的圆的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．12．【解答】∵P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，∴b=，即ab=1，∴f（a）•f（b）==22=4，即f（a）•f（b）的最小值是4，故答案为：413．【解答】设机场到甲地的距离为s，则A机的速度是（公里/小时），B机的速度是：（公里/小时），B机每小时比A机多飞行=20公里．故答案为：20．14．【解答】①不等式组表示的平面区域为M，则对应三角形的面积S M=．不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为矩形，则对应的矩形面积为2t（4﹣t）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8，当t=1时，对应的面积S1=2×3=6，此时对应的概率P=．②当t=2时，区域N的面积最大为8，此时区域N的最大面积为8，则由几何概型的概率公式可知P的最大值是，故答案为：①，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴函数的周期为T==π．（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣1，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为．16．【解答】（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵F为线段NB的中点，E为线段BC中点，∴NC∥EF，又NC不包含平面AEF，EF⊂平面AEF，∴NC∥平面AEF．（4分）（Ⅱ）证明：四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，∴AD⊥NA，AD⊥AB，NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，AF⊂平面NAB，故AD⊥AF，AD∥BC，∴BC⊥AF，由题意NA=AB，F为线段NB的中点，∴AF⊥NB，NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，∵AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCMN．（11分）（Ⅲ）解：λ=时，MF⊥平面AEF．（14分）18．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣e x（a＞0），∴f（0）=﹣1，则切点为（0，﹣1）．f′（x）=a﹣e x，f′（0）=a﹣1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y=（a﹣1）x﹣1；（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，由f′（x）＜0得，x＞lna，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（lna）=alna﹣a．∵存在x0使得f（x0）≥0，∴alna﹣a≥0，∴a≥e．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，c=，于是a=2，∴．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y1），M（x0，y0），由，即．，，，于是．∵，∴M在直线l上；（Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M为OC中点，设点C的坐标为（x3，y3），则．∵，解得．于是，解得，即．∴当时四边形AOBC的对角线互相平分，即当时四边形AOBC是平行四边形．20．【解答】（Ⅰ）解：数列{3n﹣1}中的2，8，32是一个等比数列，∵，，a3=32=22×3﹣1，由此猜想，∴数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列为{22n﹣1}．（若只写出2，8，32三项．给满分）．（5分）（Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列{b n}，∵a1=1，0＜q＜1，∴，且数列{a n}是递减数列，∴{b n}也为递减数列且b n∈（0，1]，d＜0，令b1+（n﹣1）d＜0，得n＞1﹣，即存在n∈N*（n＞1），使得b n＜0，这与b n∈（0，1]矛盾．∴数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．（13分）。

2014年北京市丰台区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年北京市丰台区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x∈R|﹣1≤x≤1}，B＝{x∈R|x（x﹣3）≤0}，则A∩B等于（）A．{x∈R|﹣1≤x≤3}B．{x∈R|0≤x≤3}C．{x∈R|﹣1≤x≤0}D．{x∈R|0≤x≤1}2．（5分）在极坐标系中，点A（1，π）到直线ρcosθ＝2的距离是（）A．1B．2C．3D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．B．C．D．4．（5分）f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（3）＞f（1），则下列各式一定成立的（）A．f（0）＜f（6）B．f（3）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（2）＞f （0）5．（5分）“m＞n＞1”是“log m2＜log n2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．38．（5分）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（）A．24个B．21个C．19个D．18个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanα＝2，则的值为．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a3+a5＝8，a1a5＝4，则＝．11．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF：FB：BE＝4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．12．（5分）已知点F，B分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是．13．（5分）已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，＝m，＝n （m•n≠0），若∥，则＝．14．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，﹣1表示“生活不能自理”．（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”．请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”．17．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．18．（13分）已知曲线f（x）＝ax﹣e x（a＞0）．（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）若存在实数x0使得f（x0）≥0，求a的取值范围．19．（14分）如图，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（﹣，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky＝0交椭圆E于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．20．（13分）从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若{a n}是无穷等比数列，首项a1＝1，公比q＞0且q≠1，则数列{a n}是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．2014年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x∈R|﹣1≤x≤1}，B＝{x∈R|x（x﹣3）≤0}，则A∩B等于（）A．{x∈R|﹣1≤x≤3}B．{x∈R|0≤x≤3}C．{x∈R|﹣1≤x≤0}D．{x∈R|0≤x≤1}【解答】解：B＝{x∈R|x（x﹣3）≤0}＝{x∈R|0≤x≤3}，则A∩B＝{x∈R|0≤x≤1}，故选：D．2．（5分）在极坐标系中，点A（1，π）到直线ρcosθ＝2的距离是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：点A（1，π）与直线ρcosθ＝2分别化为直角坐标系下的坐标与方程：A（﹣1，0），直线x＝2．∵点A（﹣1，0）到直线x＝2的距离d＝2﹣（﹣1）＝3，∴点A（1，π）到直线ρcosθ＝2的距离为3．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行i＝0+1＝1，x＝1+＝2；第二次运行i＝1+1＝2，x＝1+＝；第三次运行i＝2+1＝3，x＝1+＝；第四次运行i＝3+1＝4，x＝1+＝．满足条件i≥4，输出x＝．故选：A．4．（5分）f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（3）＞f（1），则下列各式一定成立的（）A．f（0）＜f（6）B．f（3）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（2）＞f （0）【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（1）＝f（﹣1），又f（3）＞f（1），∴“一定成立的”的选项为C．故选：C．5．（5分）“m＞n＞1”是“log m2＜log n2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：不等式log m2＜log n2等价为，若m＞n＞1，则log2m＞log2n＞0，∴成立，即log m2＜log n2成立．当0＜m＜1时，log m2＜0，当n＞1时，log n2＞0，满足“log m2＜log n2”，但m＞n＞1不成立，即“m＞n＞1”是“log m2＜log n2”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛【解答】解；有茎叶图中的数据可知，甲的数据主要集中85以下，乙的数据主要集中在86以上，∴根据数据分布可知＜，乙比甲成绩稳定，故选：乙参加比较，故选：D．7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．3【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V＝×23＝4．故选：B．8．（5分）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（）A．24个B．21个C．19个D．18个【解答】解：某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．∴从2000年到2999年中“七巧年”需要后面三个数之和为5，有0、1、4；0、0、5；2、3、0；2、2、1；1，1，3五个类型，后三个数字是0、1、4；2、3、0；各有A33＝6个，即12个．后三个数字是0、0、5；2、2、1；1、1、3各有3个，共有9个；共有12+9＝21．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanα＝2，则的值为．【解答】解：∵tanα＝2，∴＝＝＝，故答案为：．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a3+a5＝8，a1a5＝4，则＝9．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5＝a32＝4，解得a3＝2，或a3＝﹣2，当a3＝2时，可得a5＝8﹣a3＝6，q2＝＝3当a3＝﹣2，可得a5＝8﹣a3＝10，q2＝＝﹣5，（舍去）∴＝q4＝32＝9故答案为：911．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF：FB：BE＝4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【解答】解：设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF•FC＝AF•BF，得2＝8k2，即k＝，∴AF＝2，BF＝1，BE＝，AE＝，由切割定理得CE2＝BE•EA＝＝，∴CE＝．12．（5分）已知点F，B分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是．【解答】解：由题意可得点B（0，b）、点F（c，0），故线段FB的中点为（，）．再根据线段FB的中点M在双曲线C上，可得﹣＝1，解得＝5，∴＝，故答案为：．13．（5分）已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，＝m，＝n （m•n≠0），若∥，则＝2．【解答】解：由题意可得＝＝n﹣m，＝＝＝＝，∵∥，∴∃λ∈R，使＝λ，即n﹣m＝λ（），比较系数可得n＝λ，﹣m＝λ，解得＝2故答案为：214．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是．【解答】解：不等式组表示的平面区域为矩形，要使根式有意义，则1﹣t2≥0，即0≤t≤1，则对应的矩形面积为2t≤t2+1﹣t2＝1当且仅当t＝，即t2＝，即t＝时取等号，此时区域N的最大面积为1，∴在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是，故答案为：三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝cos2x cos+sin2x sin+cos2x＝cos2x+sin2x+cos2x＝sin2x+cos2x＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+）∴f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝sin（2x+），∴当x∈[0，]时，2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝时，函数f（x）取最大值，当2x+＝，即x ＝时，函数f（x）取最小值﹣，∴函数f（x）在区间[0，]上的最大值为，最小值为﹣．16．（13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，﹣1表示“生活不能自理”．（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”．请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”．【解答】解：（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为＝，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X的可能取值为2，1，0，﹣1，其分布列为（用频率估计概率）：EX＝2×+1×+0×+（﹣1）×＝1.15因为EX＜1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），设E （1，m，0）（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：＝（1，0，1），＝（﹣1，﹣m，1）∴•＝0∴DA1⊥ED1；（4分）（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为＝（x，y，z），则∵＝（0，﹣1，1），＝（1，m﹣1，0）∴．取z＝1，得y＝1，x＝1﹣m，得＝（1﹣m，1，1）．∵直线DA1与平面CED1成角为45°，∴sin45°＝|cos＜，＞|＝，∴＝，解得m＝．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（13分）已知曲线f（x）＝ax﹣e x（a＞0）．（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）若存在实数x0使得f（x0）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax﹣e x（a＞0），∴f（0）＝﹣1，则切点为（0，﹣1）．f′（x）＝a﹣e x，f′（0）＝a﹣1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝（a﹣1）x﹣1；（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，由f′（x）＜0得，x＞lna，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（lna）＝alna﹣a．∵存在x0使得f（x0）≥0，∴alna﹣a≥0，∴a≥e．19．（14分）如图，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（﹣，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky＝0交椭圆E于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，，于是a＝2，∴，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立，得．，，，∴M（）．∵，∴M在直线l上；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，若△BDM的面积是△ACM面积的3倍，则|DM|＝3|CM|，∵|OD|＝|OC|，于是M为OC中点，设点C的坐标为（x3，y3），则．联立，解得．于是，解得，∴．20．（13分）从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若{a n}是无穷等比数列，首项a1＝1，公比q＞0且q≠1，则数列{a n}是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）a n＝22n﹣1（若只写出2，8，32三项也给满分）．（Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{b n}，通项公式为b n ＝b1+（n﹣1）d．∵a1＝1，∴a n＝q n﹣1．（1）当0＜q＜1时，a n＝q n﹣1∈（0，1]，且数列{a n}是递减数列，∴{b n}也为递减数列且b n∈（0，1]，d＜0，令b1+（n﹣1）d＜0，得n＞1﹣，即存在n＞1使得b n＜0，这与b n∈（0，1]矛盾．（2）当q＞1时，a n＝q n﹣1≥1，数列{a n}是递增数数列，∴{b n}也为递增数列且b n≥1，d＞0．∵d为正的常数，且q＞1，∴存在正整数m使得a m+1﹣a m＝q m﹣1（q﹣1）＞d．令b k＝a p，（p＞m），则b k+1≥a p+1，∵a p+1﹣a p＝q p﹣1（q﹣1）＞q m﹣1（q﹣1）＞d＝b k+1﹣b k，∴a p+1﹣a p＞b k+1﹣b k，即a p+1＞b k+1，但这与b k+1≥a p+1矛盾，说明假设不成立．综上，∴数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．。

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丰台区2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（理科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 （A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）在极坐标系中，点A （1,π）到直线cos 2=ρθ的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138（4）已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中 一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > （5） “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）3（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个侧视图俯视图主视图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9） 已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.(10)已知等比数列{}n a 中, 358a a +=，154a a =，则139a a = . (11) 如图,已知圆的两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点, 且DF =CFAF :FB :BE =4：2：1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长 为 ．(12) 已知点F ,B 分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.(13)已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =u u u r u u u r，AN nAD =u u u r u u u r (0m n ⋅≠),若MN u u u r ∥BE uu u r ，则nm=______________.(14)设不等式组22100x y y ⎧+-≤⎨≥⎩，表示的平面区域为M，不等式组0t x t y -≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，表示的平面区域为N .在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值 是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.EA年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。

（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。

（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X 分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”. (17) (本小题共14分)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱AB 上的动点. （Ⅰ）求证：DA 1⊥ED 1 ；（Ⅱ）若直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，求AEAB的值； （Ⅲ）写出点E 到直线D 1C 距离的最大值及此时点E 的位置（结论不要求证明）.(18) (本小题共13分)已知曲线()x f x ax e =-(0)a ≠.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程； （Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.1A A如图，已知椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，过左焦点(F且斜率为k的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线l：40x ky+=交椭圆E于C,D两点.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(20) (本小题共13分)从数列{}na中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{}na的一个子列.（Ⅰ）写出数列{31}n-的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若{}na是无穷等比数列，首项11a=，公比0q>且1q≠，则数列{}na是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（理科）答案2014.3一、选择题二、填空题9．13 10. 9 11. 12.13. 2 14.2π三、解答题 15.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =+32cos 22x x =+13(sin 22)2x x =2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+--------------------------------------------------------------5分 所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x 取π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-.所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分16.解：（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为2502606523250260652524++=+++，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为2324.--------------5分（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X 的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计概率)：E X =270210(1)700700700700⨯+⨯+⨯+-⨯=1.15 因为E X <1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分 17. 解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0）， B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯= 所以DA 1⊥ED 1.-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设平面CED 1的一个法向量为(,,)v x y z =,则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =- 所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，所以1sin 45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||22||||DA v DA v ⋅=⋅=m=12.-----11分 （Ⅲ）点E 到直线D 1C E 在A 点处.------14分 18.解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y =(a -1)x -1.-------------------4分 （Ⅱ）（1）当a>0时，令()0fx '=，则ln x a =.因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 19. 解：（Ⅰ）由题意可知2c e a ==，c =2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22()14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)1240k x x k +++-=.所以，212241x x k -+=+，21202241x x x k +-==+，002(41y k x k =+=+，于是222(,)4141M k k -∴++.40k +=，所以M 在直线l 上. --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等， 若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM |=3|CM |，因为|OD |=|OC |，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =2|41k k =+，解得218k =，所以4k =±.----------------14分20. 解：（Ⅰ）212n n a -=（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分 （Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{}n b ，通项公式为1(1)n b b n d =+-.因为11a =，所以1n n a q -=.（1）当01q <<时，1n n a q -=∈（0，1]，且数列{}n a 是递减数列，所以{}n b 也为递减数列且n b ∈（0，1]，0d <, 令1(1)0b n d +-<，得111b n d>->， 即存在*(1)n N n ∈>使得0n b <，这与n b ∈（0，1]矛盾. （2）当1q >时，1n n a q -=≥1，数列{}n a 是递增数数列，所以{}n b 也为递增数列且n b ≥1，0d >. 因为d 为正的常数，且1q >，所以存在正整数m 使得11(1)m m m a a q q d -+-=->. 令()k p b a p m =>，则11k p b a ++≥，因为111(1)(1)p m p p a a q q q q d --+-=->->=1k k b b +-，所以1p p a a +->1k k b b +-，即11p k a b ++>，但这与11k p b a ++≥矛盾，说明假设不成立.综上，所以数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分。

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