二面角及其平面角完整PPT课件
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二面角ppt课件
1、定义法（练习）
1、定义法（练习）
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理 法求二面角的大小。
2、三垂线法
例1、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形， PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二 面角P-BC-A的大小。
面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是
A
B
2、已知P为二面角 内一点，
且P到两个半平面的距离都等于P到棱 的距离的一半，则这个二面角的度数
β
B
p
是多少？
60º
O
Aα
ι
1、定义法
例1、如图,已知二面角α-а-β等 120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
3、垂面法
3、垂面法
例3、如图在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC， AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E， 又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。
3、垂面法
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励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
《二面角的平面角求法》课件
二面角的平面角来解题．
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
高中新课标数学-二面角课件
设平面的一个法向量为 = (1 , 1 , 1 ),
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
二面角的有关概念-PPT课件
β
棱
面
l
α
10
知识探究（二）：二面角的平面角
思考1:把门打开，门和墙构成二面角； 把书打开，相邻两页书也构成二面角 .随着打开的程度不同，可得到不同 的二面角，这些二面角的区别在哪里？
11
思考2:我们设想用一个平面角来反映 二面角的两个半平面的相对倾斜度， 那么平面角的顶点应选在何处？角的 两边在如何分布？
2.3.2 平面与平面垂直的判定 第一课时
二面角的有关概念
1
问题提出
1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识.坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面 与水平面成适当的角度；修筑水坝时， 为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与 水平面成适当的角度，如何从数学的观 点认识这种现象？
β
l
α
12
思考3:在二面角α-l-β的棱上取一 点O，过点O分别在二面角的两个面内 任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB 来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
13
思考4:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
β
B
O
lA
α β
B
lO
A
α
14
思考5:上面所作的角叫做二面角的平
面角，你能给二面角的平面角下个定
义吗？
Bβ
lO
A
α
以二面角的棱上任意一点为顶点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所成的角叫做二
面角的平面角.
二面角PPT教学课件_1
3．“科学技术是第一生产力”的提出 1988年9月，邓小平第一次明确提出了“科学技术 是 第一生产力”的论断。这个重要论断，反映了20世纪七 八十年代科技和社会发展的鲜明特点，是对科学技术 在当代生产力和社会经济发展中的重大变革作用的理 论概括。它成为中国实施“科教兴国”战略的理论基础。
[教材P94“学习思考”] 你如何看待“科学技术是第一生产力”这个论断？ 提示： “科学技术是第一生产力”的重要论断，反映了20世 纪七八十年代科技和社会实践发展的鲜明特点，是对科学 技术在当代生产力和社会经济发展中的重大变革作用的理 论概括。它作为邓小平理论的重要组成部分，成为中国实 施“科教兴国”战略的理论基础。
[典例1] (2011·连云港模拟)我国第一颗原子弹爆炸成功
的作用和意义有
()
①加强了中国的国防力量 ②打破了美苏的核垄断 ③
有利于维护世界和平 ④提高了中国的国际地位
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
[解析] 中国第一颗原子弹爆炸成功之前，当时世界上只 有美苏两国掌握核武器技术，美国经常对中国进行核讹诈， 而中国第一颗原子弹爆炸成功之后，中国政府承诺，无论 遇到何种情况，中国都不会首先使用原子弹。 [答案] D
提示：在振兴科技的道路上，作为一个主权国家，首先 必须坚持独立自主、自力更生发展本国科技事业的方针， 否则一个国家学生永远无法在科技上立于自强之地。关 起门来进行科学研究也是行不通的，随着经济全球化步 伐的加快，中国应当走自力更生和与世界科技界加强交 流相结合的路子，不仅可以使我们在科技事业上少走弯 路，而且更有利于中国科技事业融入世界和走向世界。
飞行技术的国家
[典例2] 英国广播公司(BBC)在有关报道中指出，中国 是世界上第三个有能力独立进行载人航天的国家，同时 嫦娥工程也有很多技术和深度是开创性的。这是中国“大 国雄心”的展示，因为“一个普通的发展中国家，是不会试 图飞到月球的”。这说明 () A．中国已经是世界上的超级大国 B．当代科技发展是中国综合国力的重要展示 C．航天技术决定了一个国家的兴衰 D．中国科技在世界上已经处于领先地位
二面角(一)(PPT)4-3
要点·疑点·考点
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过ห้องสมุดไป่ตู้面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
长.%;年锗消费量为 金属吨，同比增长.%。砷，俗称砒，是一种非金属元素 [] ，在化学元素周期表中位于第4周期、第VA族，原子序数，元素符号As，单质 以灰砷、黑砷和黄砷这三种同素异形体的形式存在。砷元素广泛的存在于自然界，共有数百种的砷矿物是已被发现。砷与其化合物被运用在农药、除草剂、 杀虫剂，与许多； 足球直播：/ ； 种的合金中。其化合物 三氧化二砷被称为砒霜，是种毒性很强的物质。 7年月7日，世界卫生组 织国际癌症研究机构公布的致癌物清单初步整理参考，砷和无机砷化合物在一类致癌物清单中。 [] 年7月日，砷及砷化合物被列入有毒有害水污染物名录 （第一批）。 [] 化学百科-brh 中文名 砷 外文名 Arsenic 元素符号 As 原子量 74. 危险性 有毒 CAS号 744-- 发现人艾尔伯图斯·麦格努斯 目录 简述 发现简史 理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质 4 矿藏分布 应用领域 ? 工业用途 ? 生理功能 制取方法 ? 碳气相还原法 ? 质量标准 7 毒性危害 医护措施 ? 药物治疗 ? 慢性 暴露处理 ? 预防措施 简述编辑 砷块 砷块 符号As，原子序数。旧名“砒”。有灰、黄、黑褐三种同素异形体，具有金属性。原子量74. ，比重.7(4℃)，熔点 4℃，℃时升华。不溶于水，溶于硝酸和王水。在潮湿空气中易被氧化。主要以硫化物矿的形式(如雄黄As4S4，雌黄AsS等)存在于自然界。砷及其化合物主要 用于合金冶炼、农药医药、颜料等工业，还常常作为杂质存在于原料、废渣、半成品及成品中。在上述生产或使用砷化合物作业中，如防护不当吸入含砷空 气或摄入被砷污染的食物、饮料时，常有发生急、慢性砷中毒的可能。砷化合物可经呼吸道、皮肤和消化道吸收。 分布于肝、肾、肺及胃肠壁及脾脏。主要
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过ห้องสมุดไป่ตู้面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
长.%;年锗消费量为 金属吨，同比增长.%。砷，俗称砒，是一种非金属元素 [] ，在化学元素周期表中位于第4周期、第VA族，原子序数，元素符号As，单质 以灰砷、黑砷和黄砷这三种同素异形体的形式存在。砷元素广泛的存在于自然界，共有数百种的砷矿物是已被发现。砷与其化合物被运用在农药、除草剂、 杀虫剂，与许多； 足球直播：/ ； 种的合金中。其化合物 三氧化二砷被称为砒霜，是种毒性很强的物质。 7年月7日，世界卫生组 织国际癌症研究机构公布的致癌物清单初步整理参考，砷和无机砷化合物在一类致癌物清单中。 [] 年7月日，砷及砷化合物被列入有毒有害水污染物名录 （第一批）。 [] 化学百科-brh 中文名 砷 外文名 Arsenic 元素符号 As 原子量 74. 危险性 有毒 CAS号 744-- 发现人艾尔伯图斯·麦格努斯 目录 简述 发现简史 理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质 4 矿藏分布 应用领域 ? 工业用途 ? 生理功能 制取方法 ? 碳气相还原法 ? 质量标准 7 毒性危害 医护措施 ? 药物治疗 ? 慢性 暴露处理 ? 预防措施 简述编辑 砷块 砷块 符号As，原子序数。旧名“砒”。有灰、黄、黑褐三种同素异形体，具有金属性。原子量74. ，比重.7(4℃)，熔点 4℃，℃时升华。不溶于水，溶于硝酸和王水。在潮湿空气中易被氧化。主要以硫化物矿的形式(如雄黄As4S4，雌黄AsS等)存在于自然界。砷及其化合物主要 用于合金冶炼、农药医药、颜料等工业，还常常作为杂质存在于原料、废渣、半成品及成品中。在上述生产或使用砷化合物作业中，如防护不当吸入含砷空 气或摄入被砷污染的食物、饮料时，常有发生急、慢性砷中毒的可能。砷化合物可经呼吸道、皮肤和消化道吸收。 分布于肝、肾、肺及胃肠壁及脾脏。主要
二面角及二面角的平面角
二面角
二面角及面面垂直的判定
15:10
二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1
、半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
15:10
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 记作：
α
ι
β
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面 角 的平面角
O
15:10
10
A O
B
B
(1)
(2)
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
A B B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
15:10
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直 呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
例三.如图,四面体P-ABC中 PA 平面ABC BC AC
P
F
E
(1)问此图中有多少个直角三角形? C (2)过A作AE PC于E,过 A作 AF PB于 F，连接 EF
A
B
问此图形中有多少直角三角形？
15:10
小结
一.作二面角的平面角的常用方法
二面角及面面垂直的判定
15:10
二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1
、半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
15:10
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 记作：
α
ι
β
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面 角 的平面角
O
15:10
10
A O
B
B
(1)
(2)
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
A B B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
15:10
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直 呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
例三.如图,四面体P-ABC中 PA 平面ABC BC AC
P
F
E
(1)问此图中有多少个直角三角形? C (2)过A作AE PC于E,过 A作 AF PB于 F，连接 EF
A
B
问此图形中有多少直角三角形？
15:10
小结
一.作二面角的平面角的常用方法
高中数学人教B版选择性必修第一册第一章1.2.4二面角课件
关注作二面角的平面角的方法、三垂线定理及其逆定理 的使用.
3.灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角 放到三角形里求解.
课后练习
1.通读课本；
2.完成课本习题：第52页练习A1; 练 习B2,3.
0已知二面角P-AB-P '的大小为 垂 且PP'⊥ 面ABP',△ABP 的面积为3,求
△ABP'的面积.
θ=π-∠BOB,
tanθ=-tan∠BOB₁=-√2.
由同角关系得
即=面角DAG,蹦 余 磁 信 为
例题分析与讲授
(2)求二面角D-A,B-C的余弦值.
视察图形，正方体截面A,BC和截面DAB 均是正三角形.
例题分析与讲授
(2)求二面角D-AB-C的余弦值.
解：取A,B的中点E, 连接DE,C₁E,C₁D.
证明a⊥
例题分析与讲授
例1.如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC,
SA=SC=√3,AB=BC=2 且AB⊥BC.
求(1)二面角S-AB-C的大小； (2)二面角B-SA-C的大小.
例题分析与讲授
(1)求二面角S-AB-C 的大小. 解：取AC,AB的中点D,E.
连接SD,DE,SE.
因为SA=SC, 所 以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥ 面ABC, 所以SD⊥ 面ABC.
所以∠BFD=60°, 即二面角B-SA-C为60°.
例题分析与讲授
例2.已知正方体ABCD-A,BC₁D, 棱长为1. (1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值；
(2)求二面角D-A,B-C₁的余弦值.
例题分析与讲授
(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值 .
视察发现二面角D₁-AC₁-B是钝角， 与二面角B-AC₁-B互补.
3.灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角 放到三角形里求解.
课后练习
1.通读课本；
2.完成课本习题：第52页练习A1; 练 习B2,3.
0已知二面角P-AB-P '的大小为 垂 且PP'⊥ 面ABP',△ABP 的面积为3,求
△ABP'的面积.
θ=π-∠BOB,
tanθ=-tan∠BOB₁=-√2.
由同角关系得
即=面角DAG,蹦 余 磁 信 为
例题分析与讲授
(2)求二面角D-A,B-C的余弦值.
视察图形，正方体截面A,BC和截面DAB 均是正三角形.
例题分析与讲授
(2)求二面角D-AB-C的余弦值.
解：取A,B的中点E, 连接DE,C₁E,C₁D.
证明a⊥
例题分析与讲授
例1.如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC,
SA=SC=√3,AB=BC=2 且AB⊥BC.
求(1)二面角S-AB-C的大小； (2)二面角B-SA-C的大小.
例题分析与讲授
(1)求二面角S-AB-C 的大小. 解：取AC,AB的中点D,E.
连接SD,DE,SE.
因为SA=SC, 所 以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥ 面ABC, 所以SD⊥ 面ABC.
所以∠BFD=60°, 即二面角B-SA-C为60°.
例题分析与讲授
例2.已知正方体ABCD-A,BC₁D, 棱长为1. (1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值；
(2)求二面角D-A,B-C₁的余弦值.
例题分析与讲授
(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值 .
视察发现二面角D₁-AC₁-B是钝角， 与二面角B-AC₁-B互补.
高二立体几何第九章(二面角)课件(PPT 18页)
复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 1.在平面几何中" 是怎样定义的？ 在平面几何中 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, 直线a 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' O,分别引直线 b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 b,我们把相交直线a' b'所成的锐角 或直角） 我们把相交直线 面直线所成的角。 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 做这条直线和这个平面所成的角。 做这条直线和这个平面所成的角。
l
A
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面。
B
β
Q
B PαlOAA平面角由射线--点--射线构成。 射线构成。
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 1.在平面几何中" 是怎样定义的？ 在平面几何中 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, 直线a 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' O,分别引直线 b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 b,我们把相交直线a' b'所成的锐角 或直角） 我们把相交直线 面直线所成的角。 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 做这条直线和这个平面所成的角。 做这条直线和这个平面所成的角。
l
A
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面。
B
β
Q
B PαlOAA平面角由射线--点--射线构成。 射线构成。
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距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的
大小。 解：①过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得 AD⊥ l
② ∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
③∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=2 3 ，AD=4
在Rt △ADO中，
.
9
二面角的平面角的作法：
1、定义法
2、三垂线定理法
3、垂面法
P
B
O
A
l
.
10
练习：指出下列各图中的二面角的平面角：
A,Bl,AC,BD ,
ACl,BD l.
二面角--l--
Bl
C
D
AO
D’
C’
A’ D
B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
.
11
例1 已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的
复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
.
1
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 面直线所成的角。
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
D
O
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
.
12
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
.
13
例 2 如图 :河堤斜面与水平的面二所面成角 60为 ,堤面
.
16
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
l
B
C
D
AO
C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
在Rt △COD中，DO=AB=3
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
.
18
二面P角 lQ
二面 P角 AB Q
.
6
二面角的画法
F
E
l
A
二面角－ l－
B
D
C
C
B
D
A
.
二面角C－AB－7D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。 Nhomakorabea构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
上有一条C直D,它 道与堤脚的水 AB的 平夹 线角为 30,沿这条直道从堤行脚走向 1到 0m上 时人升高了 多少 (精确0到 .1m)?
ED
G
30
CF
.
14
练习
1。课本35页相交平面问题 2。课本36页练习题
.
15
小结
一、二面角的定义 二、二面角的表示方法 三、二面角的平面角 四、二面角的平面角的作法 五、二面角的计算
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
A
l
.
5
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
B
O
A
平面角由射线--点--射线构成。
二面角的表示
二面 角 l
二面 角 AB
Q B
l
P
A
二面角由半平面--线--半平面构成。
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做 这条直线和这个平面所成的角。
.
2
异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同 的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间 的角,即平面角。
.
3
.
4
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
.
17
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
E
l
B
C
D
解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
AO
表示法
∠AOB
.
二面角—l—
或二面角—AB—
8
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点为 端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
二面角的大小的范围: 0180
B
B D
O
l
A C
O
A
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
大小。 解：①过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得 AD⊥ l
② ∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
③∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=2 3 ，AD=4
在Rt △ADO中，
.
9
二面角的平面角的作法：
1、定义法
2、三垂线定理法
3、垂面法
P
B
O
A
l
.
10
练习：指出下列各图中的二面角的平面角：
A,Bl,AC,BD ,
ACl,BD l.
二面角--l--
Bl
C
D
AO
D’
C’
A’ D
B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
.
11
例1 已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的
复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
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1
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 面直线所成的角。
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
D
O
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
.
12
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
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13
例 2 如图 :河堤斜面与水平的面二所面成角 60为 ,堤面
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16
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
l
B
C
D
AO
C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
在Rt △COD中，DO=AB=3
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
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18
二面P角 lQ
二面 P角 AB Q
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6
二面角的画法
F
E
l
A
二面角－ l－
B
D
C
C
B
D
A
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二面角C－AB－7D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。 Nhomakorabea构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
上有一条C直D,它 道与堤脚的水 AB的 平夹 线角为 30,沿这条直道从堤行脚走向 1到 0m上 时人升高了 多少 (精确0到 .1m)?
ED
G
30
CF
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14
练习
1。课本35页相交平面问题 2。课本36页练习题
.
15
小结
一、二面角的定义 二、二面角的表示方法 三、二面角的平面角 四、二面角的平面角的作法 五、二面角的计算
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
A
l
.
5
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
B
O
A
平面角由射线--点--射线构成。
二面角的表示
二面 角 l
二面 角 AB
Q B
l
P
A
二面角由半平面--线--半平面构成。
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做 这条直线和这个平面所成的角。
.
2
异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同 的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间 的角,即平面角。
.
3
.
4
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
.
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练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
E
l
B
C
D
解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
AO
表示法
∠AOB
.
二面角—l—
或二面角—AB—
8
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点为 端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
二面角的大小的范围: 0180
B
B D
O
l
A C
O
A
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0