二面角及其平面角完整PPT课件
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复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
.
1
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 面直线所成的角。
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
D
O
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
.
12
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
.
13
例 2 如图 :河堤斜面与水平的面二所面成角 60为 ,堤面
二面P角 lQ
二面 P角 AB Q
.
6
二面角的画法
F
E
l
A
二面角－ l－
B
D
C
C
B
D
A
.
二面角C－AB－7D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做 这条直线和这个平面所成的角。
.
2
异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同 的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间 的角,即平面角。
.
3
.
4
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。
.
16
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
l
B
C
D
AO
C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
A
l
.
5
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
B
OBiblioteka Baidu
A
平面角由射线--点--射线构成。
二面角的表示
二面 角 l
二面 角 AB
Q B
l
P
A
二面角由半平面--线--半平面构成。
.
9
二面角的平面角的作法：
1、定义法
2、三垂线定理法
3、垂面法
P
B
O
A
l
.
10
练习：指出下列各图中的二面角的平面角：
A,Bl,AC,BD ,
ACl,BD l.
二面角--l--
Bl
C
D
AO
D’
C’
A’ D
B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
.
11
例1 已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的
大小。 解：①过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得 AD⊥ l
② ∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
③∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=2 3 ，AD=4
在Rt △ADO中，
上有一条C直D,它 道与堤脚的水 AB的 平夹 线角为 30,沿这条直道从堤行脚走向 1到 0m上 时人升高了 多少 (精确0到 .1m)?
ED
G
30
CF
.
14
练习
1。课本35页相交平面问题 2。课本36页练习题
.
15
小结
一、二面角的定义 二、二面角的表示方法 三、二面角的平面角 四、二面角的平面角的作法 五、二面角的计算
在Rt △COD中，DO=AB=3
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
.
18
表示法
∠AOB
.
二面角—l—
或二面角—AB—
8
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点为 端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
二面角的大小的范围: 0180
B
B D
O
l
A C
O
A
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
.
17
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
E
l
B
C
D
解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
AO
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
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2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 面直线所成的角。
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
D
O
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
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12
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
.
13
例 2 如图 :河堤斜面与水平的面二所面成角 60为 ,堤面
二面P角 lQ
二面 P角 AB Q
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6
二面角的画法
F
E
l
A
二面角－ l－
B
D
C
C
B
D
A
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二面角C－AB－7D
角
二面角
图形
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做 这条直线和这个平面所成的角。
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2
异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同 的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间 的角,即平面角。
.
3
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4
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。
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16
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
l
B
C
D
AO
C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
A
l
.
5
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
B
OBiblioteka Baidu
A
平面角由射线--点--射线构成。
二面角的表示
二面 角 l
二面 角 AB
Q B
l
P
A
二面角由半平面--线--半平面构成。
.
9
二面角的平面角的作法：
1、定义法
2、三垂线定理法
3、垂面法
P
B
O
A
l
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10
练习：指出下列各图中的二面角的平面角：
A,Bl,AC,BD ,
ACl,BD l.
二面角--l--
Bl
C
D
AO
D’
C’
A’ D
B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
.
11
例1 已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的
二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120，
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ，
∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴C 2 A O 2 A C 2 2 O A A O C C 1 O 2 7S 0
距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的
大小。 解：①过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得 AD⊥ l
② ∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
③∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=2 3 ，AD=4
在Rt △ADO中，
上有一条C直D,它 道与堤脚的水 AB的 平夹 线角为 30,沿这条直道从堤行脚走向 1到 0m上 时人升高了 多少 (精确0到 .1m)?
ED
G
30
CF
.
14
练习
1。课本35页相交平面问题 2。课本36页练习题
.
15
小结
一、二面角的定义 二、二面角的表示方法 三、二面角的平面角 四、二面角的平面角的作法 五、二面角的计算
在Rt △COD中，DO=AB=3
C D C2 O D 2 O 7 3 2 4
.
18
表示法
∠AOB
.
二面角—l—
或二面角—AB—
8
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点为 端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
二面角的大小的范围: 0180
B
B D
O
l
A C
O
A
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
.
17
练习 如图，已知A、B是120的二面
角—l—棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。
E
l
B
C
D
解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是
AO