第7章 现代归纳逻辑

频率Baidu Nhomakorabea率公式
一个事件A发生的频率概率为：
P(A) = fo no
其中，fo是所观察到的有利的结果的数量，no是所观察到的结 果的总数。
【思考】一名50岁的男子再活5年的概率是多少？ 【解析】为确定一名50岁的男子再活5年的概率，可以观察由 50岁男子组成的样本，比如1000名，如果有968人在5年之后 还活着，那么那位男子再活5年的概率就是968/1000。
（一）初始规则
概率演算有三条初始规则： 规则1 如果一个命题是重言式，那么它的概率等于1。 其中，重言式是指无论事实真假都为真的命题，也叫永真式。 规则2 如果一个命题是矛盾式，那么它的概率等于0。 其中，矛盾式是指无论事实真假它都为假的命题，也叫永假 式。 规则3 如果两个命题是逻辑等值的，那么它们有相等的概率。 其中，两个命题逻辑等值是指它们陈述的是同一事实。
概率与赔率
一个事件发生的概率与打赌其发生的投注赔率并不相同。 一个事件A（适用于古典概率理论）将会发生的公平的打赌投注 赔率为：
Odds(A) = f：u 其中，f是有利的结果的数目，u是不利的结果的数目。
【思考】从一副扑克牌中抽出一张红桃的公平打赌赔率是多少？ 【解析】从一副扑克牌中抽出一张红桃的公平的打赌投注赔率 是13:39（或1:3），因为有13张红桃，另有39张牌不是红桃。假 设孟芳和胡杨打一个公平的赌，孟芳押100块抽中红桃。如果孟 芳赢得赌局，那么胡杨就该支付孟芳300块钱。
否定规则
规则5 P(¬A) = 1-P(A)
证明： 根据特殊析取规则可知：P(A∨ ¬ A) = P(A) + P(¬ A)=1 等式两边减去P(A)得到：P(¬ A) = 1-P(A)
一般析取规则
【思考】从一副扑克牌中“抽出一张K牌或者抽出一张梅花”的概 率是多少？ 【解析】既然存在一张梅花K，那么“抽出K牌”和“抽出梅花” 这两个命题就不是相斥的。如何计算这个析取命题的概率？此时必 须减去“抽出一张K同时也是梅花”的概率。因此，这个析取命题 的概率如下：
P(K∨梅花) = P(K) + P(梅花) - P(K∧梅花) 这就是概率演算的一般析取规则： 规则6 P(A ∨ B) = P(A) + P(B) - P(A ∧ B) 注：不管析取命题的析取支是否互斥，一般析取规则都适用。
（三）条件概率和合取概率
在讨论合取规则之前，需要引入条件概率的概念。 已知A的条件下B的概率称为B的条件概率，记作P(B|A)，它可 以读作“在A条件下B的概率”、“基于A的B的概率”或者 “假设A时B的概率”。 以掷骰子为例，掷出偶数点的概率是1/2 。但在已经掷出2点或 4点的条件下掷出偶数点的概率就不是1/2而是1。在已经掷出1 点或3点的条件下掷出偶数点的概率是0。
（三）概率的主观主义理论
概率的古典理论和相对频率理论都不能把概率指派给单个的事 件，但现实世界中存在许多单个事件。例如，赵先生和周女士 在某年某月结婚，某位游泳运动员在下一届奥运会上获得自由 泳冠军，等。为了刻画这些事件的概率，我们需要主观主义理 论。
概率的主观主义理论用个人的信念这样的术语来说明概率的意 义。尽管这样的信念是不明确的、模糊的，但是通过一个人所 能接受的对某个赌博的投注赔率可以给出对信念的定量解释。 比如，如果张三相信某匹马会获胜，并且他愿意以8:5的赔率对 这一事件打赌，那么意味着他把8/(8+5)的概率指派给了这个事 件。
二、概率演算
前述三种概率理论为我们提供了把概率指派给某个事件的三 种方法，为计算复合事件的概率奠定了基础。计算复合事件 的概率需要概率演算作为工具。 概率演算规则的逻辑研究是以命题逻辑为基础的。因此以下 讨论将采用这样的命题逻辑符号：“¬”表示否定，“∨”表 示析取，“∧”表示合取，“→”表示实质蕴涵。
（一）概率的古典理论
概率的古典理论的起源可以追溯到17世纪数学家布莱斯•帕斯 卡和皮埃尔•费马确定机遇游戏的打赌投注赔率的工作。
古典概率公式
根据古典理论，一个事件A出现的概率用下面的公式计算：
P(A) = f n
其中：f是有利的结果的数目，n是可能的结果的数目。
【思考】从一副扑克牌中抽出一张红桃的概率是多少？ 【解析】从一副扑克牌中抽出一张红桃的概率，有利的结果 的数目是13（因为有13张红桃），而可能的结果的数目是52 （因为一副扑克中有52张牌）。因此，这一事件的概率是 13/52或1/4。
（二）析取规则和否定规则
当两个命题不能同时为真时，就说这两个命题互斥。例如： （1）刘蓓今天恰好25岁。 （2）刘蓓今天恰好30岁。 规则4 如果A和B是互斥命题，那么P(A∨B) = P(A) + P(B) 注：规则4也称为特殊析取规则。
【思考】假设从一副洗好的扑克牌（去掉大小王）中抽取1张 牌。请问“抽到梅花A或抽到方块A”的概率是多少？ 【解析】“抽到梅花A”和“抽到方块A”是互斥的。P(“抽 到梅花A”∨“抽到方块A”)=P(抽到梅花A)+P(抽到方块 A)=1/52+1/52=2/52
马克思主义理论研究 和建设工程重点教材
《逻辑学》（第二版）
第七章 现代归纳逻辑
目 第一节 概率和概率演算（任晓明 教授） 录 第二节 统计推理（李章吕 副教授）
第一节 概率和概率演算
一、概率和概率解释 二、概率演算 三、贝叶斯规则
一、概率和概率解释
考虑以下三个陈述句： ① 从一副扑克牌中抽出K牌的概率是1/13。 ② 一个20岁的女人将要活到75岁的概率是913/1000。 ③ 本月央行将下调人民币存贷款利率的概率是非常高的。 它们分别涉及三种不同的概率理论： 概率的古典理论 概率的相对频率理论 概率的主观主义理论
（二）概率的相对频率理论
概率的古典理论存在局限性。比如，当试图确定一位60岁的男 子在10年之内死于心脏病的概率时，要对所有可能的结果做出 描述几乎不可能。他可能死于癌症、肺炎、致命流感，也可能 死于意外事故等，且这些结果并非是等可能发生的。为了计算 此类事件的概率，我们需要概率的相对频率理论。 概率的相对频率理论起源于18世纪人寿保险公司所使用的死亡 表。与依赖于先验计算的古典理论相反，相对频率理论依靠的 是对某种事件发生的频率的实际观察。