习题解答
习题解答
( A B) AB D D (0001 ,0011 ,0101 ,0111 ,1001 ,1011 ,1101 ,1111 )
(3)F ( A AC)D ( A B)CD AD AC D AB C D AB C D C 0, D 0或AB为01时，F 1 即：0000，0001，0010，0100，0101，0110， 0111，1000，1001，1010，1100，1101，1110时
∴按从小到大顺序排序为：
(27)10 , (00111000)8421BCD ,(135.6)8,(11011001)2 (3AF)16,
第二章 逻辑代数基础
2.1 分别指出变量（A，B，C，D）在何种取值时，下列函数 的值为1？
(1)F BD ABC (0100,0111,1100,1101,1111)
1.12 将下列一组数按从小到大顺序排序 (11011001)2,(135.6)8,(27)10,(3AF)16,(00111000)8421BCD
(11011001)2=(217)10 (135.6)8=(93.75)10 (3AF)16=(431)10
(00111000)8421BCD=(38)10
2.2 用逻辑代数的公理、定理和规则证明下列表达式
(1)(AB AC) AB AC
证明：( AB AC) （A B）（A C） AB AC BC AB AC
(2) AB AB AB AB 1
证明：AB AB AB AB A A 1
∴537-846=-309
1.10 将下列8421BCD码转换成十进制数和二进制数 (1)011010000011 (2)01000101.1001
计算机系统(课后习题答案)
嵌入式系统：利用微控制器、数字信号处理器或通用微处理器，结合具体应用构成的 控制系统。
【1-6】冯·诺伊曼计算机的基本设计思想是什么？ [答案]
采用二进制形式表示数据和指令。指令由操作码和地址码组成。 将程序和数据存放在存储器中，计算机在工作时从存储器取出指令加以执行，自动完 成计算任务。这就是“存储程序”和“程序控制”（简称存储程序控制）的概念。 指令的执行是顺序的，即一般按照指令在存储器中存放的顺序执行，程序分支由转移 指令实现。 计算机由存储器、运算器、控制器、输入设备和输出设备五大基本部件组成，并规定 了 5 部分的基本功能。
【2-6】将下列压缩 BCD 码转换为十进制数： （1）10010001 （2）10001001 （3）00110110
[答案] （1）91 （2）89 （3）36 （4）90
（4）10010000
【2-7】将下列十进制数用 8 位二进制补码表示： （1）0 （2）127 （3）－127 （4）－57
“计算机系统基础”习题解答
第 1 章 计算机系统概述
【1-1】简答题 （1）计算机字长（Word）指的是什么？ （2）处理器的“取指－译码－执行周期”是指什么？ （3）总线信号分成哪 3 组信号？ （4）外部设备为什么又称为 I/O 设备？ （5）Windows 的控制台窗口与模拟 DOS 窗口有什么不同？ [答案] （1）处理器每个单位时间可以处理的二进制数据位数称计算机字长。 （2）指令的处理过程。处理器的“取指—译码—执行周期” 是指处理器从主存储器 读取指令（简称取指），翻译指令代码的功能（简称译码），然后执行指令所规定的操作 （简称执行）的过程。 （3）总线信号分成 3 组，分别是数据总线、地址总线和控制总线。 （4）因为外设以输入（Input）和输出（Output）形式与主机交换数据。 （5）Windows 的控制台窗口是基于 32/64 位 Windows 操作系统，模拟 DOS 窗口是基于 16 位 DOS 操作系统。
第5章习题解答
如果按指令执行周期结束（25μs）响应DMA请求，必然会 造成数据丢失；因此必须按每个机器周期结束响应DMA 请 求的方案。
解：打印机的打印动作只受打印机本身控制， 与CPU 无关，因此打印机正在打印时，虽然 有优先级别更高的磁盘请求中断，打印机也 不会停止打印。而如果CPU 正在执行打印机 的中断服务程序，即打印机正在接收数据， 此时若磁盘请求中断，CPU 就要中断正在运 行的打印机中断服务程序。
5.33 试从下面7个方面比较程序查询、程 序中断和DMA三种方式的综合性能。
程序查询方式 中断方式
DMA 方式
软件
软件
硬件
字
字
数据块
串行
宏观并行，微观串行
CPU主动查询
主动/被动
慢 最经济
最慢 经济
中低速实时处理设备 中低速I/5.19 在程序中断方式中，磁盘申请中断的优先权高于 打印机。当打印机正在进行打印时，磁盘申请中断，试 问是否要将打印机输出停下来，等磁盘操作结束后，打 印机输出才能继续进行？为什么？
例5.32 设磁盘存储器转速为3000 转/分，分8 个扇区，每扇区 存储1K 字节，主存与磁盘存储器传送的宽度为16 位。假设一 条指令最长执行时间是25μs ，是否可采用一条指令执行结束时 响应DMA 请求的方案，为什么？若不行，应采取什么方案？
解： 磁盘的数据传输速率=每一磁道容量×转速 = 1×8×50×3000/60
作业
❖ 5.2、5.10、 5.12、5.13、 ❖ 5.18、 5.29、5.32、5.33 ❖ 思考题 5.25
现代数学基础 习题与解答
现代数学基础习题解答目录现代数学基础习题解答 (1)1 集合与映射 (2)2 实数集的紧理论 (4)3 闭区间上连续函数性质 (6)4 Lebesgue可测集 (7)5 Lebesgue可测函数 (8)6 Lebesgue积分的定义及性质 (14)7 距离空间的基本概念 (16)8 距离空间中的点集 (25)9 距离空间的完备性 (25)10 赋范线性空间的基本概念 (26)11 群的基本概念 (33)12 环与域的基本概念 (39)1 集合与映射 -51 证明R ~)1,1(-，其中R 为实数集。
证明 ： 设R 11x x f ⨯-∈⊆)},(|{，()f y x ∈,当且仅当21xxy -=， 容易验证，f 是双射。
所以R ~)1,1(-。
2 证明：如果M 是无限集，A 是可数集合，则A M M ⋃~。
证明： 不失一般性，设Φ=⋂A M 。
由于M 是无限集，故M 存在可数子集，设M '是M 的可数子集， 则()M M M M '⋃'-=，()()A M M M A M ⋃'⋃'-=⋃，且 ()Φ='⋂'-M M M ，()()Φ=⋃'⋂'-A M M M ，于是A M ⋃'是可数集合，记{},,,,21n m m m M ='，{},,,,21n a a a A M =⋃'， 令A M M f ⋃→:为：若Φ='-M M ，()n n a m f =； 若Φ≠'-M M ()⎩⎨⎧'-∈==M M x xm x a x f n n ,,，易知f 为双射，故A M M⋃~。
3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ，证明：[]1,0~D 。
证明： 由于D 是无限集，故D 存在可数无线集，记为D '。
令[]Q Q ⋂='1,0，于是()D D D D '⋃'-=，[]()()Q D D D Q D '⋃'⋃'-='⋃=1,0，且()Φ='⋂'-D D D ，()()Φ='⋃'⋂'-Q D D D ，而且Q D '⋃'为可数集，记{},,,,21n d d d D ='，{},,,,21n q q q Q D ='⋃'，令[]1,0:→D f为：()⎩⎨⎧'-∈==D D x xd x q x f n n ,,，易知f 为双射，故[]1,0~D。
习题1及解答
习题一1．设n 为大于1的正整数．证明：44nn ＋是一个合数．【答案】当n 为偶数时，n 4＋4n 是大于2的偶数，从而它是合数．当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1，则 n 4＋4n ＝n 4＋4×(2k )4．利用 x 4＋4y 4＝(x 2＋2y 2) 2－4 x 2y 2＝(x 2－2xy ＋2y 2)( x 2＋2xy ＋2y 2)， 可得出n 4＋＋4×(2k )4为合数．2．求使得241227x x －－为素数的所有整数x ．【答案】由｜4x 2－12x －27｜＝｜(2x ＋3)(2x －9)｜，可知只有｜2x ＋3｜＝1或｜2x －9｜＝1时，数｜4x 2－12x －27｜才可能为素数．依此可得所求的x ＝－2，－1，4或5，对应的｜4x 2－12x －27｜分别为13，11，11或13，都是素数．3．设m 为大于1的正整数，且()|11m m －！＋． 证明：m 是一个素数．【答案】若m 为合数，则存在正整数p ，使2≤p ＜m ，且p ｜m ，此时有p ｜(m －1)！，但m ｜(m －1)！＋1，故p ｜(m －1)！＋1，这导致p ｜1，矛盾．4．是否存在3个不同的素数p 、q 、r ，使得下面的整除关系都成立？2|qr p d ＋，2|rp q d ＋，2|pq r d ＋，其中（1）d ＝10；（2）d ＝11．【答案】不妨设p ＜q ＜r ，则 q ≥p ＋1，r ≥q ＋2≥p ＋3． 对d ＝10的情形，由qr ｜p 2＋10，应有p 2＋10≥(p ＋1)( p ＋3)，这要求4p ≤7，即p ≤1，矛盾．故d ＝10时不存在符合要求的p 、q 、r ． 当d ＝11时，p ＝2，q ＝3，r ＝5满足条件．5．设p 为正整数，且21p－是素数．求证：p 为素数．【答案】若p 为合数，设p ＝qr ，2≤q ≤r ，则2p －1＝(2q )r －1＝(2q －1)(( 2q )r -1＋(2q )r -2＋…＋1) ， 这导致2q －1｜2p －1，与2p －1是素数矛盾．故p 为素数．6．设n 为正整数，且21n ＋是素数．证明：存在非负整数k ，使得2kn ＝． 【答案】由算术基本定理知，可写n ＝2k ·q ，k ≥0，q 为奇数．若q ＞1，则 2n ＋1＝2(2)kq ＋1＝(x ＋1)(x q -1－x q -2＋…－x ＋1)，是两个大于1的正整数之积，不是素数，其中x ＝22k．依此可知，由2n ＋1为素数可得q ＝1，即命题成立．7．求所有形如1nn ＋且不超过1910的素数，这里n 为正整数．【答案】当n ＝1时，n n ＋1＝2满足条件．当n ＞1时，设n ＝2k q ，q 为奇数，若q ＞1，同上题可知为n n ＋1不是素数，故n ＝2k ，k 为正整数．此时n n ＋1＝22k k -＋1＝2(2)kk ＋1， 进一步的分析，可知存在非负整数m ，使得k ＝2m ，故 n n ＋1＝222m m+＋1．当m ≥2时，2m ＋m ≥6，故22mm+≥26，因此n n ＋1≥622＋1＝264＋1＝16×(1024)6＋1＞16×(103)6＋1＞1019． 故由n n ＋1≤1019知m ≤1．分别令m ＝0，1，知n n ＋1＝5，257，这两个数都是素数． 综上，所求的素数为2，5和257．8．设a 、b 、c 、d 都是整数，且a ≠c ，|a c ab cd ＋－．证明：|a c ad bc ＋－．【答案】利用 (ad ＋bc ) －(ab ＋cd )＝d (a －c )－b (a －c )＝(d －b )(a －c )， 及a －c ｜ab ＋cd ，可得a －c ｜ad ＋bc ．9．设a 、b 、c 、d 为整数，且ac 、bc ＋ad 、bd 都是某个整数u 的倍数．证明：数bc 和ad 也是u 的倍数． 【答案】由恒等式(bc ＋ad )2＋(bc －ad )2＝4abcd ＝4(ac )(bd )， ① 结合条件，可知u 2｜(bc －ad )2，故u ｜bc －ad ．现在，我们设bc ＋ad ＝ux ，bc －ad ＝uy ，则由①知，x 2＋y 2＝4()ac u ()bdu， 故x 2＋y 2为偶数，进而x ＋y 与x －y 都是偶数，所以，由bc ＝2x y +·u ，ad ＝2x y-·u ， 可得bc 、ad 都是u 的倍数．10．设a 、b 、n 为给定的正整数，且对任意正整数k （≠b ），都有|nb k a k －－．证明：na b ＝．【答案】注意到，对任意正整数k (≠b )，都有b －k ｜b n －k n ，结合b －k ｜a －k n ，可知b －k ｜a －b n ，这表明a －b n ＝0，得a ＝b n ．11．已知正整数n 的正因数中，末尾数字为0，1，2，…，9的正整数都至少有一个．求满足条件的最小的n ．【答案】满足条件的最小的n ＝270．事实上，由条件知10｜n ，从n 的末尾数字为9的因数出发来讨论．若9｜n ，则90｜n ，此时直接验证可知90和180都不是某个末尾为7的数的倍数；若19｜n ，则190｜n ，而270分别是10，1，2，3，54，5，6，27，18，9的倍数，符合条件．故n 最小为270．12．求一个9位数M ，使得M 的数码两两不同且都不为零，并对m ＝2，3，…，9，数M 的左边m 位数都是M 的倍数． 【答案】设M ＝129a a a ⋯是一个满足条件的数，由条件可知a 5＝5，并且a 2、a 4、a 6 、a 8是2、4、6、8的一个排列，进而a 1a 2…a 9是1、3、7、9的排列．依此可知 a 4＝2或6(因为4｜34a a )， 而进一步，还有 8｜78a a ，因此 a 8＝2，6，故 (a 4，a 8)＝(2，6)( 6，2)．对这两种情况作进一步的分析，就可找到一个满足条件的M ＝381654 729．13．对于一个正整数n ，若存在正整数a 、b ，使得n ＝ab ＋a ＋b ，则称n 是一个“好数”，例如3＝1×1＋1＋1，故3为一个“好数”．问：在1，2，…，100中，有多少个“好数”？【答案】设n 是一个好数，则n ＋1＝(a ＋1)(b ＋1)为一个合数，反过来，若n ＋1为合数，则可写 n ＋1≤pq ，2≤p ≤q ，于是a ＝p －1，b ＝q －1，就有n ＝ab ＋a ＋b 是一个好数．所以，只需求1，2，…，100中使n ＋1为合数的n 的个数，依此可知恰好有74个好数．14．设素数从小到大依次为1p ，2p ，3p ，…．证明：当n ≥2时，数n p ＋1n p ＋可以表示为3个大于1的正整数（可以相同）的乘积的形式．【答案】当n ≥2时，p n 与p n ＋1都是奇数，于是，q ＝12n n p p ++是正整数，又p n ＜q ＜p n ＋1，p n 与p n ＋1是两个相邻的素数，故q 必为合数．从而q 可以写为两个大于1的正整数之积，依此可知命题成立．15．设n 为大于1的正整数．证明：n 为合数的充要条件是存在正整数a 、b 、x 、y ，使得n ＝a ＋b ，1xy a b＋＝． 【答案】若存在a 、b 、x 、y ，使得 n ＝a ＋b ，且x a ＋yb＝1． 我们记d ＝(a ，b )，若d ＝1，由x a ＋yb＝1， 知 bx ＋ay ＝ab ， 所以 a ｜bx ，b ｜ay ， 结合(a ，b )＝1，导出a ｜x ，b ｜y ，从而ab ＝bx ＋ay ≥ab ＋ba ＝2ab ，矛盾．所以d ＞1，这时n ＝a ＋b ＝d (a d ＋bd)为合数． 反过来，设n 为合数，设n ＝pq ，2≤p ≤q ，则令(a ，b ，x ，y )＝(p ，p (q －1)，1，(p －1)(q －1))，就有 n ＝a ＋b ，且x a ＋yb＝1．16．证明：数列10001，100010001,1000100010001，… 中，每一个数都是合数． 【答案】注意到10 001＝73×137为合数，而从第二项起，我们有a n ＝00011000100010001n 个＝104n ＋104(n -1)＋…＋104＋1＝41)4101101n +--（＝21)2(1)4(101)(101)101n n ++-+-（，由于n ≥2时，104－1＜102(n＋1)－1＜102(n＋1)＋1，所以，a n 是一个合数．17．设a 、b 、c 、d 都是素数，且a ＞3b ＞6c ＞12d ，22221749a b c d －＋－＝． 求2222a b c d ＋＋＋的所有可能值．【答案】a 2－b 2＋c 2－d 2＝1749为奇数，知a 、b 、c 、d 中必有一个数为偶数，这表明d ＝2．进而 a 2－b 2＋c 2＝1753． 再由 a ＞3b ＞6c ＞12d ， 可知c ≥5，b ≥2c ＋1，a ≥3b ＋1，所以a 2－b 2＋c 2≥(3b ＋1)2－b 2＋c 2＝8b 2＋6b ＋c 2＋1≥8(2c ＋1)2＋6(2c ＋1)＋1＝33c 2＋44c ＋15． 故 33c 2＋44c ＋15≤1735，于是，c ＜7，结合c ≥5及c 为素数，可知c ＝5，进而 a 2－b 2＝1728＝26×33． 利用 b ≥2c ＋1＝11，a ≥3b ＋1，可知 a －b ≥2b ＋1≥23，a ＋b ≥4b ＋1≥45， 由(a －b )( a ＋b )＝26×33及a 、b 都是奇素数，可知 (a －b ，a ＋b )＝(32，54)， 因此 (a ，b )＝(43，11) ． a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝1749＋2×(112＋22)＝1999．18．数列{}n a 的每一项都是正整数，1a ≤2a ≤3a ≤…，且对任意正整数k ，该数列中恰有k 项等于k ．求所有的正整数n ，使得1a ＋2a ＋…＋n a 是素数． 【答案】对正整数n ，设正整数k 满足(1)2k k +≤n ＜(1)(2)2k k ++，则 a 1＋a 2＋…＋a n ＝1×1＋2×2＋…＋k ×k ＋(k ＋1)×(1)2k k n +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦＝16k (k ＋1)(2k ＋1)＋2(1)2n k k -+(k ＋1) ＝16(k ＋1)[]6(2)n k k -+． 由于当k ≥6时，k ＋1＞6，有6n －k (k ＋2)≥3k (k ＋1)－k (k ＋2)＝2k 2＋k ＞6，所以，此时a 1＋a 2＋…＋a n 为合数，即只需考虑k ≤5的情形，考虑数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6 ，从第一项起求和得到的素数分别是：3，5，11，61，67，73，79，共7个．所以仅当n ＝2，3，5，61，17，18，19，时，a 1＋a 2＋…＋a n 为素数．19．由正整数组成的数列{}n a 满足：对任意正整数m 、n ，若|m n ，m ＜n ，则|m n a a ，且 m n a a ＜．求2000a 的最小可能值．【答案】由条件可知，当m ｜n ，且m ＜n 时，有a n ≥2a m ．所以，a 1≥1，a 2≥2，a 4≥2a 2≥22，类似地，a 8≥23，a 16≥24，a 80≥25，a 400≥26，a 2000≥27，即a 2000≥128． 另一方面，对任意正整数n ，设n 的素因数分解因式为n ＝1212k k p p p ααα，其中p 1＜p 2＜…p k 为素数，α1，α2，…αk 为为正整数，定义 a n ＝122k ααα+++， 则数列｛a n ｝符合题中的要求，并且a 2000＝24+3 ≤27． 所以，a 2000的最小值为128．20．设p 为奇数，正整数m 、n 满足11121m p n ＝＋＋…＋－．证明：|p m ．【答案】由条件，可知2m n ＝(1＋12＋...＋11p -)＋(11p -＋12p -＋ (1)＝(1＋11p -)＋(12＋12p -)＋…＋(11p -＋1) ＝1(1)p p ⨯-＋2(2)p p ⨯-＋…＋(1)1pp -⨯．上式将右边通分后，可知存在正整数M ，使得2mn ＝()1!pM p -，即pnM ＝2m (p －1)！，由p 为奇素数，可知p 2，p (p －1)！，所以，p ｜m ．21．设a 、m 、n 为正整数，a ＞1，且1|1m na a ＋＋．证明：|m n ． 【答案】若m n ，由a m ＋1｜a n ＋1及a ＞1，可知m ＜n ．故可设n ＝mq ＋r ，其中q 、r 为正整数，0＜r ＜m ．此时，利用a m ＋1｜a n ＋1，可知a m ＋1｜(a n ＋1)－(a m ＋1)，即 a m ＋1｜(a m －n ＋1)a m ， 而 (a m ＋1，a m )＝(1，a m )＝1，依次递推，可得 a m ＋1｜a n －2m ＋1，…，a m ＋1｜a n －mq ＋1， 即有 a m ＋1｜a r ＋1， 但a ＞1时，a m ＋1＞a r ＋1，矛盾． 所以，m ｜n ．22．证明：对任意正整数n 及正奇数m ，都有()211m n－1，2＋＝． 【答案】设d ＝(2m －1，2n ＋1)，则 d ｜2m －1， 故 d ｜(2m )n －1n ， 即 d ｜2nm －1， 另外d ｜2n ＋1，又m 为奇数，故2n ＋1｜(2n ) m ＋1m ， 所以， d ｜2mn ＋1．对比所得的两个式子，知d ｜2， 又2m －1为奇数，故d ＝1．23．费马数n F 定义为n F ＝221n＋．证明：对任意两个不同的正整数m 、n ，都有()1n m F F ，＝ 【答案】不妨设m ＜n ，利用平方差公式知F n －2＝22n－1＝(122n -－1)(122n -＋1)＝(222n -－1)(222n -＋1)(122n -＋1) ＝…＝(22m－1)(22m＋1)(122m +＋1)…(122n -＋1)，所以，F m ｜F n －2，从而(F n ，F m )＝(2，F m )，而F m 为奇数，故(2，F m )＝1，即(F n ，F m )＝1．24．已知正整数a 、b 、c 、d 的最小公倍数为a ＋b ＋c ＋d ．证明：abcd 是3或5的倍数． 【答案】由条件可知a 、b 、c 、d 不全相等，不妨设d 是其中最大的数，则 d ＜a ＋b ＋c ＋d ＜4d ， 又a ＋b ＋c ＋d 为a 、b 、c 、d 的最小公倍数，故d ｜a ＋b ＋c ＋d ，于是 a ＋b ＋c ＋d ＝2d 或3d ．如果a ＋b ＋c ＋d ＝3d ，那么由abcd 为a 、b 、c 、d 的公倍数，可知a ＋b ＋c ＋d ｜abcd ，即 3d ｜abcd ， 故 3｜abcd ．如果a ＋b ＋c ＋d ＝2d ，那么a ＋b ＋c ＝d ．不妨设a ≤b ≤c ，由a ＋b ＋c ＋d 为a 、b 、c 、d 的最小公倍数，可知 a ｜2d ，b ｜2d ，c ｜2d ． 设2d ＝ax ＝by ＝cz ，则x ≥y ≥z ≥3，并且2x ＋2y ＋2z ＝1，即1x ＋1y ＋1z ＝12． 又当z ＝3时，有3｜2d ，进而3｜d ，故abcd 为3的倍数，因此只需考虑z ＞3的情形． 而当z ≥6时，有 1x ＋1y ＋1z ≤16＋16＋16＝12，故只能是x ＝y ＝z ＝6，此时abcd 为3的倍数．所以，只需z ＝4或5的情形，注意到z ＝5时，有5｜2d ，可知abcd 为5的倍数，进而只需考虑z ＝4的情形，此时 1x ＋1y ＝14，即 xy －4x －4y ＝0，(x －4)(y －4)＝16．结合x ＞y ，可知 (x －4，y －4)＝(16，1)，(8，2)，(4，4)， 分别对应 2d ＝20a ＝5b ＝4c ，2d ＝12a ＝6b ＝4c ，2d ＝8a ＝8b ＝4c ，第一种情形要求5｜d ，第一种情形要求3｜d ，第一种情形要求a ＝b ，c ＝2a ，d ＝4a ，此时a 、b 、c 、d 的最小公倍数为d ，而不是a ＋b ＋c ＋d ，矛盾． 综上可知，abcd 是3或5的倍数．25．记n M 为正整数 1，2，…，n 的最小公倍数．求所有的正整数n （＞1），使得n M ＝ 1n M －．【答案】如果n 至少有两个不同的素因子，那么可记n ＝pq ，其中2≤p ≤q ，p 、q 为正整数，且(p ，q )＝1．此时，2≤p ＜q ＜n －1，从而n ｜M n -1．所以，当且仅当n 有至少两个不同的素因子时，M n ＝M n -1．26．设a 、m 、n 为正整数，a ＞1．证明：()()111m n m n a a a，－，－＝－．【答案】不妨设m ＞n ，则 (a m －1，a n －1)＝(a m －a n ，a n －1)＝(a n (a m －n －1)，a n －1)， 而 (a n ，a n －1)＝1，故 (a m －1，a n －1)＝(a m －n －1)，a n －1)， 依次递推，对指数进行“辗转相除”，可知结论成立．27．设a 、n 为正整数，a ＞1，且1na ＋是素数．证明：()1n d a n －≥．【答案】由a n ＋1为素数，可知a 为偶数，与第6题类似，可知存在非负整数k ，使得为n ＝2k ，于是 a n －1＝2ka －1＝(12k a -－1)(12k a -＋1)＝…＝(a －1)(a ＋1)(a 2＋1)…(12k a -＋1) ．进一步，(12k a -－1，12k a -＋1)＝(12k a -－1，2)＝1(最后一步用到a 为偶数)，依次倒推，可知a ＋1，a 2＋1，22a ＋1，…，12k a -＋1两两互素，从而它们中任取若干个数作乘积形成的2k 个数两两不同，当然，这2k 个数都是a n －1的因数，所以，d (a n －1)≥2k ＝n ．28．对怎样的正整数n （＞2），存在n 个连续正整数，使得其中最大的数是其余n －1个数的最小公倍数的因数？【答案】当n ＝3时，对任意三个连续正整数a －1，a ，a ＋1，若 a ＋1｜[]1,a a -，则 a ＋1｜a (a －1)， 而 (a ＋1，a )＝1，故 a ＋1｜a －1，矛盾．当n ＞3时，若n 为偶数，记n ＝2m ，则数2m －1，2m ，…，2(2m －1)中，最大的数2(2m －1)是其余2m －1个数(它们中有2m －1与2m )的最小公倍数的因数；若n 为奇数，记n ＝2m ＋1，则数2m －2，2m －1，…，2(2m －1)是n 个连续正整数(注意，这里用到m ＞1)，它们中最大的数是其余n －1个数的最小公倍数的因数．所以，n ＞3时，正整数n 符合条件．29．设正整数a 、b 、m 、n 满足：（a ，b ）＝1，a ＞1，且|mmnna b a b ＋＋．证明：|m n ．【答案】利用 a n ＋b n ＝(a n -m ＋b n -m )(a m ＋b m )－(a m b n -m ＋a n -m b m )， 知若n ≥2m ，则 a n ＋b n ＝(a n -m ＋b n -m )(a m ＋b m )－a m b m (a n -2m ＋b n -2m )， 于是 a m ＋b m ｜a m b m (a n -2m ＋b n -2m )． 得 (a ，b )＝1， 由 (a m ，b m )＝1，进而 (a m ＋b m ，a m )＝(a m ＋b m ，b m )＝1， 故 (a m ＋b m ，a m b m )＝1， 因此 a m ＋b m ｜a n -2m ＋b n -2m ．用n －2m 代替n ，重复上述讨论，最终可将n 变为小于2m 的正整数．此时，由a m ＋b m ｜a n ＋b n 及a ＞1，知n ≥m ．如果n ＝m ，那么命题已经成立；如果m ＜n ＜2m ，那么由a n ＋b n ＝(a n -m ＋b n -m )(a m ＋b m )－a n -m (a 2m -n ＋b 2m -n )，同上讨论，将有 a m ＋b m ｜a 2m -n ＋b 2m -n ， 而2m －n ＜m ，这在a ＞1时是不可能的．综上可知m ｜n (注意：事实上推出了n 为m 的奇数倍) ．30．证明：存在2012个不同的正整数，使得其中任意两个不同的数a 、b 都满足()2|a b ab －． 【答案】将命题一般化，可证：对任意n (≥2)，都存在n 个不同的正整数，使得齐总任意两个不同的数a 、b 满足(a －b )2｜ab ．证明如下：当n ＝2时，取a 1＝1，a 2＝2，则它们满足条件．现在设a 1＜a 2＜…＜a n 是n (≥2)个满足要求的正整数，即对1≤i ＜j ≤n ，都有(a i －a j ) 2｜a i a j ． 考虑下面的n ＋1个数 a n ！，a n ！＋a 1，a n ！＋a 2，…，a n ！＋a n ， 容易证明这n ＋1个正整数满足要求．31．设a 、b 为正整数，且（a ，b ）＝1．证明：对任意正整数m ，数列 a ，a ＋b ，a ＋2b ，…，a ＋nb ，… 中，有无穷多个数与m 互素．【答案】对任意正整数m ，由(a ，b )＝1，可写m ＝m 1m 2，使得m 1的素因子都是a 的素因子，且 (a ，m 2)＝1，(m 1，b )＝1，(m 1，m 2)＝1(这只需将m 、a 、b 作为素因数分解后，各部分予以恰当分配即可达到要求)．取正整数k ，使得(k ，m 1)＝1，这样的k 有无穷多个，令n ＝m 2k ，我们证明：(a ＋nb ，m 1)＝1． 事实上，设d ＝(a ＋nb ，m 1)，若d ＞1，取d 的素因子p ，则p ｜m 1，进而p ｜a ，所以，p ｜nb ． 但由 (m 1，k )＝(m 1，m 2)＝(m 1，b )＝1， 知p m 2kb ，即p nb ．矛盾．所以(a ＋nb ，m 1)＝1．又 (a ＋nb ，m 2)＝(a ＋m 2kb ，m 2)＝(a ，m 2)＝1， 从而 (a ＋nb ，m 1m 2)＝1，即 (a ＋nb ，m )＝1，命题获证．32．已知正整数数对（a ，b ）满足：数aba b •在十进制表示下，末尾恰有98个零．求ab 的最小值． 【答案】设a 、b 的素因数分解式中2、5的幂次分别为α1，β1和α2，β2，则 12129898a b a b ααββ⋅+⋅⎧⎪⎨⋅+⋅⎪⎩≥，①≥，②并且①与②中必有一个取等号．如果②取等号，即a ·β1＋b ·β2＝98，那么当β1与β2都是正整数时，左边为5的倍数，当β1或β2中有一个为零时，另一个必大于零，此时左边仍然是5的倍数，都导致矛盾．所以①取等号．由a ·α1＋b ·α2＝98，知若α1、α2中有一个为零，不妨设α2＝0，则α1＞0．此时α·α1＝98，若α1≥2，则4｜a ，矛盾．故α1＝1，进而a ＝98．代入②，由a ＝98知β1＝0，从而b ·β2＞98，结合α2＝0，求得b ·最小为75．如果α1与α2都是正整数，不妨设α1≥α2，若α2≥2，则有4｜a ，4｜b ，导致4｜98，矛盾，故α2＝1．进一步，若α1＝1，则a ＋b ＝98，但2a 与2b 都是奇数，故2a ＋2b为偶数，矛盾，故α1＞1．此时，若β1与β2都是正整数，则5｜a ，5｜b ，与a ·α1＋b ·α2＝98矛盾，故β1与β2中有一个为零．若β1＝0，则由②知b ·β2＞98，此时b b 的末尾零的个数大于98(因为，此时10｜b ．当β2＝1时，b ≥100，此时100100｜b b ．而当β2≥2时，50｜b ，若b ＞50，100100｜b b ；若b ＝50，则a ·α1＝48，这时当α1≥4时，25｜a ·α1，而α1≤3时，24a ·α1，都导致矛盾，所以，b b 的末尾零的个数大于98) ． 类似地，若β2＝0，则a ·β1＞98，同样可知a a 的末尾零的个数大于98，矛盾． 综上可知，ab 的最小值为7350(当(a 、b )＝(98，75)或(75，98)时取到) ．33．求所有的正整数m ，使得()4m d m ＝．【答案】由条件可知m 为一个4次方数，因此，可设m ＝357244442357αααα⋅⋅⋅， 其中α2，α3，α5，α7，…都是非负整数．而 d (m )＝(4α2＋1)( 4α3＋1)… 是一个奇数，故α2＝0，并且1＝33413αα+·55415αα+·77417αα+…＝x 3·x 5·x 7…， 这里 x 3＝33413αα+，x 5＝55415αα+，…． 当α3＝1时，x 3＝53；α3＝0或2时，x 3＝1；而α3≥3时，33α＞4α3＋1，故此时x 3＜1．当α5＝0或1时，x 5＝1；α5≥2时，55α≥12α5＋1，故55α≥259(4α5＋1)，即x 5＜925． 当p ＞5，p ＞为素数时，在αp ＝0时，x p ＝1，而αp ＝1时，pp α＞5＝4αp ＋1，故x p ＜1；而αp ＞1时，x p＜925． 上述讨论表明：若α3≠1，则x 3＝x 5＝x 7＝...＝1， 故 α3＝0或2，α5＝0或1， 而 α7＝α11＝ 0即 m ＝1，38，54或454． 若α3＝1，则3｜m ，此时，由m ＝d (m ) 4，知m ＝54×(4α5＋1) 4×(4α7＋1) 4…， 于是存在素数p ≥5，使得3｜4αp ＋1，这要求αp ≥2，从而x p ＜925．此导致 x 3x 5x 7…≤53×925＝35＜1，矛盾．所以 m ＝1，54，38，38·54．(直接验证，可知它们确实满足条件) ．34．证明：每一个正整数都可以表示为两个正整数之差，且这两个正整数的素因子个数相同．【答案】设n 为正整数，如果n 为偶数，那么表示n ＝(2n )－n 符合要求．如果n 为奇数，设p 是不整除n 的最小奇素数，那么表示n ＝pn －(p －1)n 中，pn 的素因子个数等于n 的素因子个数加上1；而p －1是偶数，且由p 的定义，知p －1的每个奇素因子都是n 的素因子，所以，(p －1)n 的素因子个数也等于n 的素因子个数加上1．命题获证．35．求所有的正整数a 、b 、c ，使得21a ＋和21b ＋都是素数，且满足 ()()222111a b c ＋＋＝＋．【答案】不妨设a ≤b ，由条件知a 2(b 2＋1)＝c 2＋1－b 2－1＝(c －b )( c ＋b )，故b 2＋1｜c －b 或者b 2＋1｜c ＋b (这里用到b 2＋1为素数) ． 若 b 2＋1｜c －b ，则 c －b ≥b 2＋1(注意c ＞b 是显然的)， 即 c ≥b 2＋b ＋1，此时 c 2＋1≥(b 2＋b ＋1)＋1＞(b 2＋1)2≥(a 2＋1)(b 2＋1)，矛盾． 若 b 2＋1｜c ＋b ， 则 c ＋b ≥b 2＋1， 即 c ≥b 2－b ＋1，于是 c 2＋1≥(b 2－b ＋1)2＋1＝(b 2＋1)2－2b (b 2＋1)＋b 2＋1＝(b 2＋1)((b －1)2＋1) ．注意到，若a ＝b ，则c 2＋1＝(a 2＋1)2，这在a 、c 都是正整数时不能成立(因为两个正整数的平方差至少为3)，所以，a ＜b ，即有a ≤b －1，因此c 2＋1≥(b 2＋1)((b －1)2＋1)≥(b 2＋1)( a 2＋1)，结合条件，可知 a ＝b －1，c ＝b 2－b ＋1．此时，由a 2＋1与b 2＋1都是素数，知b 2＋1为奇数，b 为偶数，从而a ＝b －1为奇数，a 2＋1为偶数，所以a ＝1，进而b ＝2，c ＝3．又当(a ，b ，c )＝(1，2，3)或(2，1，3)时，条件满足，它们就是要求的答案．36．用()p k 表示正整数的最大奇因数．证明：对任意正整数n ，都有()123nk p k n k ∑＝＜＜()213n ＋． 【答案】记S n ＝1()n k p k k=∑，则由p (k )的定义可知 S 2n ＝21()n k p k k =∑＝1(21)21n k p k k =--∑＋1(2)2nk p k k =∑＝n ＋11(2)2n k p k k =∑＝n ＋12S n ．① 类似可知 S 2n +1＝ n ＋1＋12S n ． ② 回到原题，当n ＝1时，命题显然成立．现设命题对1≤n ≤m 都成立，考虑n ＝m ＋1的情形． 如果m ＋1为偶数，那么，由①结合归纳假设，可知12m +＋12·12()23m +＜12m +＋1212m S +＝S m ＋1＜12m +＋12·12(1)23m ++．即有23( m ＋1)＜S m ＋1＜23( m ＋2)，知命题对m ＋1亦成立． 如果m ＋1为奇数，同上利用②亦可知命题对m ＋1成立．所以，结论成立．37．设a 、b 、c 都是大于1的正整数．求代数式[][][]2a b b c c a a b c a b c＋＋＋＋，，，－＋＋的最小可能值． 【答案】由对称性，不妨设a ≥b ≥c ，注意到，当(a ，b ，c )＝(2，2，2)，(3，2，2) ，(3，3，2) ，(4，2，2)时，所给代数式A 的值分别为2，32，178，114．这表明：当a ＋b ＋c ≤8时，A ≥32． 下证：当a ＋b ＋c ≥9时，有A ≥32． 事实上，A ≥32⇔(a ＋b ＋c ) 2－2([]a b ，＋[]b c ，＋[]c a ，)≥3(a ＋b ＋c ) ⇔ a 2＋b 2＋c 2＋2[]()ab a b -∑，≥3(a ＋b ＋c ) ．由于对正整数x 、y ，都有xy ≥[]x y ，，因此，只要证明：a 2＋b 2＋c 2≥3(a ＋b ＋c )． ①结合a ＋b ＋c ≥9，可知为证明①成立，只要证明：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c ) 2⇔3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2) ⇔2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca )≥0⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0．最后一式显然成立． 所以，所求代数式的最小值为32．38．对任意给定的素数p ，有多少个整数组（a ，b ，c ），使得（1）1≤a ，b ，c ≤22p ； （2）[][]2212a cbc p c a p •＋，＋，＝＋b ＋． 【答案】记u ＝(a ，c )，v ＝(b ，c )，则条件⑵变为ac bc u v a b ++＝2212p p ++·c ， 即 a u ＋b v ＝2212p p ++(a ＋b )． ① 由于12＜1－212p +＝2212p p ++＜1，结合①知2a b +＜a u ＋b v＜a ＋b ． ② 若u ，v 都不小于2，则②的左边不等式不成立；若u ＝v ＝1，则②的右边不等式不成立．因此u 、v 中恰好有一个等于1．由对称性，不妨设u ＝1，v ≥2．并记b 1＝b v，代入①得(p 2＋2)(a ＋b 1)＝(p 2＋1)(a ＋b 1v )，于是， a ＝b 1((p 2＋1)v －(p 2＋2))． ③若v≥3，则由③得a≥3(p2＋1)－(p2＋2)＝2p2＋1，与条件⑴不符，故v＝2．此时③式变为a＝p2b1，结合a≤2p2，知b1≤2．注意到，(a，c)＝u＝1，(b，c)＝v＝2，知c是一个偶数，且与p2b1互素．这表明p为奇素数，且b1为奇数，结合b1≤2，知b1＝1，进而为b＝2．所以，(a，b，c)＝(p2，2，c)，其中c为偶数但不是p的倍数，这样的数组共有p2－p组．综上可知，当p＝2时，不存在符合条件的数组；当p＞2时，满足条件的数组共有p2－p组．39．黑板上写着数1，2，…，33．每次允许进行下面的操作：从黑板上任取两个满足|x y的数x、y，将它们从黑板上去掉，写上数yx．直至黑板上不存在这样的两个数．问：黑板上至少剩下多少个数？【答案】考虑目标函数S＝黑板上所有数之积．最初S＝33！＝231·315·57·74·113·17·19·23·29·31，每一步操作针对x、y(x｜y)，记y＝kx，去掉x、y代之以k后，S变为Skxy⋅＝2Sx，这表明每次操作，S的每个素因子的幂次的奇偶性保持不变，特别地，2，3，5，11都整除每次操作后所得的S．而2×3×5×11＞33，因而，最后留下的数中，至少需要两个数，使得它们之积为2×3×5×11的倍数．又注意到，素数17，19，23，31的每一个大于自身的倍数都大于33，因而，任何一次操作都不能去掉其中的任何一个数．上述讨论表明：黑板上至少剩下7个数．下面的例子表明可以恰好剩下7个数：(32，16)→2，(30，15) →2，(28，14) →2，(26，13) →2，(24，12) →2，(22，11) →2；(27，9) →3，(21，7) →3，(18，6) →3；(25，5) →5，(20，4) →5；(8，2) →4．(5，5)→1；(4，2) →2；(3，3) →1，(3，3) →1，(2，2) →1，(2，2) →1，(2，2)→1，(2，2)→1．这样，黑板上留下10，17，19，23，29，31，33共7个数和7个1，而7个1再经与17搭配操作7次即可全部去掉．综上可知，至少有7个数被留下．40．设n是一个正整数．证明：数1＋5n＋25n＋35n＋45n是一个合数．【答案】当n为偶数时，设n＝2m，x＝5m，则A＝1＋5 n＋52n＋53n＋54n＝1＋x2＋x4＋x6＋x8＝10211xx--＝55(1)(1)(1)(1)x xx x-+-+＝(x4＋x3＋x2＋x＋1)(x4－x3－x2－x＋1) ．由于x＝5m＞1，可知上式右边两个式子中的数都大于1，因此，A为合数．当n为奇数时，设n＝2m＋1，x＝5m，z＝5y2，则A＝1＋z＋z2＋z3＋z4＝(1＋3z＋z2)2－5z3－10z2－5z＝(1＋3z＋z2)2－5z(z＋1)2＝(1＋5y2＋25y4)2－25y2(1＋5y2)2＝(1＋5y2＋25y4－5y(1＋5y2))(1＋5y2＋25y4＋5y(1＋5y2)) ．当m＞0，即y≥5时，上式右边两式都大于1，此时，A为合数，当m＝0时，A＝1＋5＋52＋53＋54＝11×71也是合数．所以，对任意正整数n，A为合数，命题获证．。
2-3-习题(含解答)
2-3 习题(含解答)目录第1章编译原理概述 (1)第2章PL/O编译程序的实现 (4)第3章文法和语言 (4)第4章词法分析 (13)第5章自顶向下语法分析方法 (28)第6章自底向上优先分析 (39)第7章LR分析 (42)第8章语法制导翻译和中间代码生成 (60)第9章符号表 (67)第10章目标程序运行时的存储组织 (70)第11章代码优化 (73)第12章代码生成 (76)综合练习一 (79)综合练习二 (84)综合练习三 (90)综合练习四 (95)综合练习五 (101)综合练习六 (107)第1章编译原理概述一、选择题1.一个编译程序中，不仅包含词法分析，语法分析，中间代码生成，代码优化，目标代码生成等五个部分，还应包括 (1) 。
其中， (2) 和代码优化部分不是每个编译程序都必需的。
词法分析器用于识别 (3) ，语法分析器则可以发现源程序中的 (4) 。
(1) A.模拟执行器 B.解释器 C.表格处理和出错处理 D.符号执行器(2) A.语法分析 B.中间代码生成 C.词法分析 D.目标代码生成(3) A.字符串 B.语句 C.单词 D.标识符(4) A.语义错误 B.语法和语义错误 C.错误并校正 D.语法错误2.程序语言的语言处理程序是一种 (1) 。
(2) 是两类程序语言处理程序，他们的主要区别在于 (3) 。
(1) A.系统软件 B.应用软件 C.实时系统 D.分布式系统(2) A.高级语言程序和低级语言程序 B.解释程序和编译程序C.编译程序和操作系统D.系统程序和应用程序(3) A.单用户与多用户的差别 B.对用户程序的查错能力C.机器执行效率D.是否生成目标代码3.汇编程序是将翻译成，编译程序是将翻译成。
A.汇编语言程序B.机器语言程序C.高级语言程序D. A 或者BE. A 或者CF. B或者C4.下面关于解释程序的描述正确的是。
(1) 解释程序的特点是处理程序时不产生目标代码(2) 解释程序适用于COBOL 和 FORTRAN 语言(3) 解释程序是为打开编译程序技术的僵局而开发的A. (1)(2)B. (1)C. (1)(2)(3)D.(2)(3)5.高级语言的语言处理程序分为解释程序和编译程序两种。
《初等数论》各章习题参考解答
《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。
故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。
由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。
若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。
所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。
4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。
解答习题的方法
解答习题的方法学生们在学习过程中经常会遇到各种各样的习题，如作业、考试试题等。
解答习题是提高学习效果的关键。
正确的方法可以帮助我们更好地理解和掌握知识，提高解题速度，下面我将为大家介绍一些解答习题的方法。
1. 仔细阅读题目在解答习题之前，首先应该仔细阅读题目，理解题目的意思和要求。
有时候题目中会有一些关键词或提示词，可以帮助我们找到解题的方向。
如果我们没有理解题目的意思，那么就无法正确解答。
所以，要认真细致地读懂题目。
2. 确定解题思路在阅读题目后，我们需要确定自己的解题思路。
这个思路可以根据我们学过的知识和题目要求来确定。
有时候我们可以通过分析题目的结构、逻辑和关联的知识点来找到解题思路。
确定了解题思路后，我们才能有条不紊地解答问题。
3. 重点关注问题解答习题时，我们要特别注意问题中的重点和关键词。
这些关键词往往给出了解题的方向和要求。
通过理解和抓住这些关键词，我们可以更准确地回答问题。
所以，在解答习题时要注意关注问题的重点，并从重点入手。
4. 建立逻辑思维习题解答是一个需要思维的过程，而逻辑思维是解答问题的基础。
我们需要建立良好的逻辑思维，善于分析问题、思考问题。
可以通过积极参加课堂讨论、做一些逻辑思维训练题等来培养逻辑思维能力。
5. 运用归纳整理法当我们面对大量的题目时，我们可以运用归纳整理法来解题。
这种方法可以帮助我们把题目按照一定的规律整理起来，有助于我们发现其中的规律和特点。
通过归纳整理法，我们可以更好地理解题目，提高解题效率。
6. 举一反三有时候我们会遇到一些新的习题，我们可以通过举一反三的方法来解答这些习题。
通过将题目归纳为一般性的问题，并应用相同的解题思路，我们可以迅速解答出这类问题。
举一反三可以帮助我们扩展思维，灵活应用所学知识。
7. 多问为什么在解答习题时，我们应该多问为什么。
这样可以帮助我们更深入地理解习题，并找到更全面、更准确的答案。
通过不断提出问题和思考问题，我们可以更好地掌握知识和解决问题的能力。
习题02解答
2-1 如图题 2-1 所示电路中，Is = 16.5mA，Rs = 2kΩ，R1 = 40 kΩ，R2 = 10 kΩ，R3 = 25 kΩ。 求I1、I2和I3。
Rs +
I1
I2
I3
Is
U R1
R2
R3
–
题 2-1 图
解
U = Is (R1 // R2 // R3 ) = 16.5 × (40 //10 // 25) = 100V I1 = U R1 = 100 40k = 2.5mA I 2 = U R2 = 100 10k = 10mA I3 = U R3 = 100 25k = 4mA
R/3
2R/3
2R/3
R/3
R/3
2R/3
b
c
b
2R/9 R/3 b
c a R/3
2R/9 2R/9 R/3 c
a
5R/9
5R/9
5R/9
b
c
5
2-10 求如图 2-10 所示电路的等效电阻Rab。
a
4Ω
7Ω
a
4Ω
R
R
R
R
R
10Ω
10Ω
b
R
R
b
(b)
(a)
a 1Ω
1Ω 1Ω
Rc
R
R
1Ω
1Ω
R
R
R
b
图（b）：I =2A，U =4V P2A=2×(10-4)=12W，吸收功率，为负载。 P10V=2×10=20W，发出功率，为电源。 P2Ω=2×22=8W，吸收功率，为负载。
2-8 求如图题 2-8 所示电路中的电流 I。
4Ω I
习题解答
第1章1．5 操作系统的主要功能有那些？答：存储器管理、处理机管理、设备管理、文件管理和用户接口1．7 何谓联机I/O，何谓脱机I/O ？答：联机I/O就是作业从卡片机上传送到磁带上，再从磁带上调入内存，以及结果的输出，这些都是由处理机（CPU）来完成的。
脱机I/O就是在主机之外另设一台功能较为简单的小型卫星机。
该机只与外部设备打交道，使得主机从烦琐的输入输出操作中解放出来，使得主机可与卫星机、外部设备并行工作。
1．10 实时系统的特点是什么，它与分时相似和不同之处在哪里？答：实时系统的特点是对时间的严格限制和要求。
与分时相似和不同之处主要在4个方面：1）实时系统通常属于专用系统，是面向特定领域、特定任务的。
而分时系统一般都是通用的系统，面向众多领域，因而它们面向的对象不同。
2）交互性不同；分时系统具有较强的交互作用，而实时系统则相对要差的多，提供的交互命令较简单，它仅仅允许终端操作员访问数量有限的专用服务程序。
也不存在分时系统的资源共享。
3）对系统响应时间要求不同；虽然实时信息系统与分时系统对系统响应时间具有类似的要求，但在实时控制方面，实时系统要求实时性，对时间要求严格，一般都联系一个截止时间，所面向的对象是所监测或控制的外部设备，而不是一般的终端用户。
4）可靠性不同；虽然分时系统也要求系统可靠，但实时系统要求的可靠性更高，实时系统中通常都进行硬件和软件方面的冗余（如双主机的硬件冗余，多份程序、数据拷贝的软件冗余等）。
1．23 你认为并行与并发有何不同，在单处理机中，下面并行和并发现象哪些可能发生，哪些不可能发生。
（1）用户程序与用户程序之间的并行；（2）用户程序与用户程序之间的并发；（3）处理机与设备之间的并行；（4）设备与设备之间的并行；答：并行指的在时间一点上的多个进程的执行。
并发指的在一段时间上多个进程的执行。
（2）（3）（4）可以。
第3章3．2 操作系统通过什么概念来刻画程序的并发执行、资源分配及随机性？答：进程2． 5 有下面的5条语句，试画出前趋图；S1：a = x+10；S2：b = a + 10；S3：c = 4*x；S4：d = b + c；S5：e = d + 5；并根据Bernstein 条件，证明S2和S3 是可以并发执行的，而S4和S5语句是不能并发执行的。
部分习题解答
部分习题解答省级精品课程《数控加工技术》习题解答第一章数控加工技术概论1.1 数控加工技术的概念是什么?其主要发展历程经过哪几个阶段?答:1）数控加工技术是集传统的机械制造、计算机、现代控制、传感控制、信息处理、光机电技术于一体，在数控机床上进行工件切削加工的一种工艺方法，是根据工件图样和工艺要求等原始条件编制的工件数控加工程序输入数控系统，控制机床刀具与工件的相对运动，从而实现工件的加工。
2）数控加工技术主要发展历程经过了二个阶段6个时代。
第一阶段：数控（NC）阶段，又称为硬件数控阶段，从1952年~1970年。
第一代数控（1952-1959年）：采用电子管构成的硬件数控系统；第二代数控（1959-1965年）：采用晶体管电路为主的硬件数控系统；第三代数控（1965年开始）：采用小、中规模集成电路的硬件数控系统；第二阶段：计算机数控（CNC）阶段：又称为软件数控阶段，从1970年~现在。
第四代数控（1970年开始）：采用大规模集成电路的小型通用电子计算机数控系统；第五代数控（1974年开始）：采用微型计算机控制的数控系统；第六代数控（1990年开始）：采用工控PC机的通用CNC系统。
1.2 数控机床的工作原理是什么？数控加工的特点有哪能些？答：1）将被加工零件图纸上的几何信息和工艺信息用规定的代码和格式编写成加工程序，并输入数控装置，经过信息处理、分配，控制机床各坐标轴以最小位移量(通常只有0.001mm)为单位进行移动，其合成运动实现了刀具与工件的相对运动，完成零件的加工。
数控机床的加工，实质是应用了“微分”原理。
2)数控加工的特点有：1)自动化程度高，能减轻工人的劳动强度和改善劳动条件；2)零件加工精度高、加工质量稳定；3)加工生产率高；4)良好的经济效益；5)复杂产品加工能力强；6)适应性强，适合加工单件或小批量复杂工件；7）有利于生产管理的现代化。
1.3 数控机床由哪能几个部分组成?各个部分的基本功能是什么?答:1)数控机床由控制介质、数控装置、伺服系统、检测系统和机床本体五部分组成。
习题及解答——精选推荐
=100.91×；=177.55×=136.69×1n =20.7936-2788.51/1n =20.9065-3096.52/1n =20.989 1-3346.65/和ψ 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9F(ψ) -1.051 -3.516 2.04 2.123 0.825 0.547 0.4245 0.346 0.242 -0.0977 以ψ为横坐标，F（ψ）为纵坐标作图得迭代次数ψ)(ψf)(ψdf /ψd1 0.1 0.366 0.5642 0.75 0.0436 0.511 30.840.0092—∑=31i ix＝0.999，∑=31i iy＝1.008，结果以满意9. 在101.3 kPa 下，对组成为45 %（摩尔百分数，下同）正已烷，25 %正庚烷及30 %正辛烷的混合物计算。
（1）泡点和露点温度（2）将此混合物在101.3kPa 下进行闪蒸，使进料的50 % 汽化。
求闪蒸温度，两相的组成。
解：因为各组分都是烷烃，所得的汽、液相均可看成理想溶液，i K 只取决于温度和压力，若计算精度不要求非常高可使用烃类的P －T －K 图，见图2-1假设T ＝82℃，由P ＝101.3kPa 得下表： 组分i xi Ki i i x K y =正己烷 45％ 1.5 0.675 正庚烷 25％ 0.63 0.158 正辛烷30％0.280.084∑iixK ＝0.917<1，说明所设温度偏低，重设T ＝85.8℃，得组分i xi Ki i i x K y =正己烷 45％ 1.6 0.72 正庚烷 25％ 0.7 0.175 正辛烷30％0.310.093∑iixK ＝1.008≈1，故泡点温度为85.8℃。
同理，可迭代求出露点温度设T ＝95℃，此时 组分iyiKix ＝iy /iK正己烷 45％ 2.0 0.225 正庚烷 25％ 0.9 0.278 正辛烷30％0.4250.705∑i y /i K =1.2068>1，所设温度偏低，重设T ＝102.4℃，得组分i yi Ki x ＝i y /i K正己烷 45％ 2.35 0.1915 正庚烷 25％ 1.08 0.2315 正辛烷30％0.5200.5769组分 i xi y正己烷 31.0％ 58.90％ 正庚烷 27.0％ 22.45％ 正辛烷 42.85％17.14％结果（1）泡点：85.8oC ，露点：102.4oC ； （2）闪蒸温度94.1oC ；气相组成：正已烷—0.31，正庚烷—0.27，正辛烷—0.43；液相组成：正已烷—0.59，正庚烷—0.23，正辛烷—0.17。
习题解答
习题2.1 10 习题
为集合A上的一个二元关系 设R为集合 上的一个二元关系。如果 是反 为集合 上的一个二元关系。如果R是反 自反的和传递的， 一定是反对称的。 自反的和传递的，则R一定是反对称的。 一定是反对称的 证明(反证法 反证法) 假设R不是反对称的 不是反对称的。 证明 反证法 ：假设 不是反对称的。 根据反对称的定义，则存在a,b ∈A,使得 根据反对称的定义，则存在 使得 <a,b>∈ R，<b,a>∈ R，且a≠b 。 ∈ ， ∈ ， 由于R是传递的 则由<a,b>∈ R，<b,a>∈ R 是传递的， 由于 是传递的，则由 ∈ ， ∈ 可知<a,a>一定属于 这与 是反自反的矛盾。 一定属于R. 是反自反的矛盾。 可知 一定属于 这与R是反自反的矛盾 所以假设不成立。 一定是反对称的。 所以假设不成立。故R一定是反对称的。 一定是反对称的
习题1.4 习题
证明： 证明：
4
x ∈C ═> {x} ⊆C ═> {x} ∈P(C)
（1） ）
x∈C, y∈C ═> {x,y} ⊆C ═> {x,y} ∈P(C) （2） ∈ ∈ ） 由（1）和（2）可得 ） ）可得{{x},{x,y}} ⊆P(C) 根据幂集的定义即得{{x},{x,y}}∈P(P(C))。 根据幂集的定义即得 ∈ 。 故<x,y> ∈P(P(C))。 。
f) (A-B)⊕ (A-C)= ∅ ⊕
解：(A-B)⊕ (A-C) ⊕ =(A∩～B)⊕ (A∩～C) (补交转换律 补交转换律) ～ ⊕ ～ 补交转换律 =(～B⊕～C)∩A (习题 习题1.2 4 .e)) ～ ⊕ 习题 因此 (A-B)⊕ (A-C)= ∅ ⊕ <═>(～B⊕～C)∩A= ∅ ～ ⊕ <═> ～B ⊕～C⊆～A ⊆ 故(A-B)⊕ (A-C)= ∅ 成立的充分必要条件 ⊕ 是： ～B ⊕～C⊆～A ⊆
习题解答5
轮系一、复习思考题1．为什么要应用轮系？试举出几个应用轮系的实例？2．何谓定轴轮系？何谓周转轮系？行星轮系与差动轮系有何区别？3．什么叫惰轮？它在轮系中有什么作用？4．定轴轮系的传动比如何计算？式中（-1）m有什么意义？5．定轴轮系末端的转向怎样判别？6．如果轮系的末端轴是螺旋传动，应如何计算螺母的移动量？二、填空题1．由若干对齿轮组成的齿轮机构称为。
2．根据轮系中齿轮的几何轴线是否固定，可将轮系分轮系、轮系和轮系三种。
3．对平面定轴轮系，始末两齿轮转向关系可用传动比计算公式中的符号来判定。
4．行星轮系由、和三种基本构件组成。
5．在定轴轮系中，每一个齿轮的回转轴线都是的。
6．惰轮对并无映响，但却能改变从动轮的方向。
7．如果在齿轮传动中，其中有一个齿轮和它的绕另一个旋转，则这轮系就叫周转轮系。
8．旋转齿轮的几何轴线位置均的轮系，称为定轴轮系。
9．轮系中两轮之比，称为轮系的传动比。
10．加惰轮的轮系只能改变的旋转方向，不能改变轮系的。
n111．一对齿轮的传动比，若考虑两轮旋转方向的同异，可写成i 1——。
n212．定轴轮系的传动比，等于组成该轮系的所有轮齿数连乘积与所有轮齿数连乘积之比。
13．在周转转系中，凡具有几何轴线的齿轮，称中心轮，凡具有几何轴线的齿轮，称为行星轮，支持行星轮并和它一起绕固定几何轴线旋转的构件，称为。
14．周转轮系中，只有一个时的轮系称为行星轮系。
15．转系可获得的传动比，并可作距离的传动。
16．转系可以实现要求和要求。
17．转系可以运动，也可以运动。
18．采用周转轮系可将两个独立运动为一个运动，或将一个独立的运动成两个独立的运动。
19．差动轮系的主要结构特点，是有两个。
20．周转轮系结构尺寸，重量较。
21．周转轮系可获得的传动比和的功率传递。
三、判断题1．转系可分为定轴轮系和周转轮系两种。
（）2．旋转齿轮的几何轴线位置均不能固定的轮系，称之为周转轮系。
（）3．至少有一个齿轮和它的几何轴线绕另一个齿轮旋转的轮系，称为定轴轮系。
(4-6)部分习题及其解答
1本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0yσ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=试求法线方向余弦为112n =，122n =，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-总应力111.8T a 。
正应力26.04n i i T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。
证：利用应力张量的对称性，可得12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。
证毕。
4.3某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。
解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=上式有两个解：20n =或1yσ=。
若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得1n =30n =，这是不可能的。
所以必有1y σ=。
将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得=n4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 22(arctg )x y xyA C x x yσ=--++ 22(arctg )yy xyA B x x yσ=-+++0z yz xz σττ===，222xy y A x y τ=-+满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。
课后习题参考解答
课后习题解答第一章课后习题一、选择题1、数据库系统的核心是（A ）A、数据库管理系统B、数据库C、操作系统D、数据2、以下（C ）不是数据库的模型A、网状型B、关系模型C、层次型D、实体联系型3、SQL Server 2008个人版不能安装在下列那个操作系统上( C )A、Windows 2000/XPB、Windows 98C、UnixD、Windows NT4、下列那个不是SQL Server的安装版本（ A ）A、客户工具版B、企业版C、标准版D、开发版5、数据冗余是指（D ）。
A、数据和数据之间没有联系B、数据有丢失C、数据量太大D、存在重复的数据6、下列哪一种说法是对SQL Server的描述是错误的（C ）A、客户机/服务器数据库。
B、关系型数据库。
C、层次化数据库。
D、企业级数据库。
二、简答题1，SQLServer2008一共分为几个版本？各都是什么？答：SQLServer2008共分5个版本，它们分别是：企业版、标准版、开发版、工作组版和简化版（EXPRESS）2，如何理解数据完整性？答：数据完整性是指数据的有效性和相容性,有效性是指表存放数据是正确有效的，不存在垃圾数据。
第二章课后习题一、选择题1、下列不属于SQL Server的系统数据库是（C ）A、modelB、tempdbC、pubsD、master2、你是一个SQL Server的数据库管理员，该SQL Server已经几乎没有任何空余空间了。
你想要删除任何并非必要的内容，以获得更多的空间。
你可以删除以下哪个数据库，而并不引起任何问题？(A )A、PubsB、MasterC、MsdbD、Tempdb3、下列关于SQL Server 2000数据库日志的说法错误是（A）A、日志文件是维护数据库完整性的重要工具。
B、所有的对SQL数据库的操作都需要写日志。
C、当日志文件的空间占满时，将无法写日志。
D、当修改数据库时，必先写日志。
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限：(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答：(1) 当x → 2 时，f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以，lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时，f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以，lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限：(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答：(1) 利用极限的性质，lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质，lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数：(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答：(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质，y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分：(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答：(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质，dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式，∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分：(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答：(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性：(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答：(1) 这是调和级数，已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。
习题1 部分习题解答
an1(a b) an2b2 L a b2 n2 abn1 +bn
an an1b an2b2 L a2bn2 abn1+bn n
aibni i0
13 设有n阶行列式D |aij|, 若其元素满足aij =-a ji ,则 称为反对称行列式。试证明：
所求项：(-1) (23514)a12a23a35a41a54 +(-1) (24513)a12a24a35a41a53
=a12a23a35a41a54 a12a24a35a41a53
x 7 3 1 8 在多项式f (x) 1 4 x 0 中，求x2的系数。
0 x 1 5 21 2 3
解：含有x2的项： (1) (1342) a11a23a34a42 (1) (1423) a11a24a32a43
Dn (a b)Dn1 abDn2
Dn aDn1 bDn1 abDn2 b(Dn1 aDn2 )
b2 (Dn2 aDn3 )
L bn2 (D2 aD1)
bn2( a b
ab a a b ) bn2 (b2 ) bn
1 ab
Dn =aDn1 +bn =a(aDn2 +bn1)+bn a2Dn2 abn1 bn =a2 (aDn3 bn2 ) abn1 bn a3Dn3 a b2 n2 abn1+bn =L
0 1 10 87 r4+2r3
0 1 10 87
200
200
0 0 -25 1364
0 0 -25 1364
0 0 51 572
0 0 1 3300
1 23 33
高等数学第二章习题详细解答答案
1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 （2）∵ y = ⎨ ，而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ，所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ，所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3．解： ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解：（1）不能，（1）与 f ( x ) 在 x0 的取值无关，当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关， 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） 5 x
9 −1 = 4 ，而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ，令 2 x = 4 ， 3 −1
得： x = 2 ，所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ，即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ，所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 ： 当 x > 0 时 ， f ( x) = x 是 初 等 函 数 ， 所 以 f ′( x) = 3 x ； 同 理 ， 当 x < 0 时
大学物理习题参考解答物理习题参考解答刚体基本运动_转动定律_动能定理
选择题_03图示单元四 刚体基本运动 转动动能 1一 选择题01. 一刚体以每分钟60转绕z 轴做匀速转动(ω沿转轴正方向)。
设某时刻刚体上点P 的位置矢量为345r i j k =++，单位210m -，以210/m s -为速度单位，则该时刻P 点的速度为： 【 B 】(A) 94.2125.6157.0v i j k =++；(B) 25.118.8v i j =-+；(C) 25.118.8v i j =--；(D) 31.4v k =。
02. 轮圈半径为R ，其质量M 均匀布在轮缘上，长为R ，质量为m 的均质辐条固定在轮心和轮缘间，辐条共有2N 根。
今若将辐条数减少N 根但保持轮对通过轮心，垂直于轮平面轴的转动惯量保持不变，则轮圈的质量为 【 D 】(A)12N m M +； (B) 6N m M +； (C) 23N m M +； (D) 3Nm M +。
03. 如图所示，一质量为m 的均质杆长为l ，绕铅直轴OO '成θ角转动，其转动惯量为 【 C 】(A)2112ml ；(B) 221sin 4ml θ；(C) 221sin 3ml θ； (D) 213ml 。
04. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 【 C 】 (A) 只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关； (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关； (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置；(D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
05. 两个匀质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ，若A B ρρ>，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 【 B 】(A) A B J J >； (B) B A J J >；(C) A B J J =； (D) A J 和B J 哪个大，不能确定。
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习题三答案一质量为M ，边长为L 的等边三角形薄板，求绕垂直于薄板平面并通过其顶点的转轴的转动惯量。
解1L ，设所求转动惯量为0I ，垂直于薄板平面并通过其质心的转轴的转动惯量为1I ，利用平行轴定理，21013I I ML =+。
取直角坐标系原点位于转轴与边的交点，三角形的一个顶点位于0,x y L ==处，等边三角形薄板的面密度为σ===，通过质心的转动惯量为 ()()()2222221sssI x y dm x y dS xy dxdy σ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于该积分区域是对y 轴对称的，y 积分区间从63-到33+，x 的积分区间从313-y 到331y-(单位均为L)。
将上述积分化为321I I I +=，其中， ⎰⎰=sdxdy x L M I 222334 ，⎰⎰=sdxdy yL M I 223334⎰⎰---⋅=33131323363422334y y dx x dy L L M I [4L 是由于积分号内的单位L 被提出] ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33633233132334dy y ML ()⎰--⋅⋅=3363323127132334dy y ML [令y t 31-=]023322433ML t dt ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎰2241ML = ⎰⎰---⋅=33131323363423334yy dx y dy L L M I ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3363223312334dy y y ML 2241ML = 所以： 2232012531ML ML I I I =++=解2：在薄板平面内取直角坐标系，原点即为通过转轴的三角形顶点，另两个顶点分别位于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21，如下图所示。
则()()()22222223sssI x y dm x y dS xy dxdy L σ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰而由于该积分区域是对y 轴对称的，y 积分区间从0到23，x 的积分区间从33y -到33y+(单位均为L)。
上述积分化为 )4220I L dy x y dx =+⎰⋅=23034227320334dy y L L M 2125ML =一质量为M 、半径为R 的均匀球体，求对于通过球心转轴的转动惯量。
解：()()2243sin sin sin VVVI r dm r dV r drd d θθρρθθϕ===⎰⎰⎰()()23425001sin 2cos 1cos 5R d d r dr d R πππρϕθθρπθθ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 35555301183822cos cos 35154155M R R R MR R πππρπθθρπ⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦一个轮子装在固定轴上，整个系统无摩擦地自由转动。
一条质量可忽略的带子缠绕在轴上，并以已知恒定的力F r拉之，以测定轮轴系统的转动惯量。
当带子松开的长度为L 时，系统转动的角速度为ω，求系统的转动惯量I 。
解：外力做功为FL ，带子松开的长度为L 时，系统动能为221ωI ，所以22ωFL I =质量为m 长为l 的均质杆，其B 端水平的放在桌上，A 端用手支住，问在突然撒手的瞬时，(1)绕B 点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？解：(1)绕B 点的力矩M r 由重力产生，设杆的线密度为ρ，lm=ρ，则绕B 点的力矩为00012mg m l M xdG gxdm gx dx mgl ρ====⎰⎰⎰杆绕B 点的转动惯量为 2020231ml dx x dm x I l m ===⎰⎰ρ角加速度为 32M gI l β==(2)杆的质心加速度为 g l a 432==β飞轮的质量为60kg ，直径为0.50m ，转速为1000r/min ，现要求在5s 内使其制动，求制动力F 。
假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。
尺寸如图所示。
解：设在飞轮接触点上所需要的压力为F '，则摩擦力为F μ'，摩擦力的力矩为2dF 'μ，在制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由2dmv变化到0，所以由 0Mdt L L =-⎰有 222dd m t d F ⋅='ωμ解得785.42m d F N t ωμ'==。
由杆的平衡条件得 0.5314.21.25F F N '==。
如图所示，两物体1和2的质量分别为1m 与2m ，滑轮的转动惯量为I ，半径为r 。
⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 与2T (设绳子与滑轮间无相对滑动)；⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 与2T 。
T m1m解：⑴先做受力分析，物体1受到重力g m 1和绳的张力1T ，对于滑轮，受到张力1T 和2T ，对于物体2，在水平方向上受到摩擦力g m 2μ和张力2T ，分别列出方程a m T g m 111=- [()a g m T -=11] a m g m T 222=-μ [()g a m T μ+=22]()12a T T r M I Irα-=== 通过上面三个方程，可分别解出三个未知量()()212212m m gr a m m r I μ-=++，()()22112121m r g Ig T m m m r I μ++=++，()()21222121m r g Ig T m m m r Iμμ++=++ ⑵ 在⑴的解答中，取0=μ即得()21212m gr a m m r I =++， ()2211212m r g Ig T m m m r I +=++，()2122212m m r gT m m r I=++。
电动机带动一个转动惯量为I =50kg·m 2的系统作定轴转动。
在内由静止开始最后达到120r/min 的转速。
假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。
解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度α为2120/min 2/8/0.560/minr rad rrad s t s s ωπαπ∆⨯===∆⨯ 从而力矩为322508 1.25710M I kgm s απ-==⨯=⨯求题中制动力矩在制动过程中所作的功。
解：制动力矩在制动过程中所作的功等于系统动能的变化 J r m W 4221006.221⨯-=-=ω 本题也可以先求出摩擦力做功的距离以及摩擦力的大小来求解。
一飞轮直径为0.30m ，质量为5.00kg ，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经转速达到10r/s 。
假定飞轮可看作实心圆柱体，求：⑴飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； ⑵拉力及拉力所作的功；⑶从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
解：⑴ 飞轮的角加速度为210/2/125.7/0.5r s rad rrad s t sωπα∆⨯===∆ 转过的圈数为r s s r n 5.25.0/1021=⨯⨯=⑵ 飞轮的转动惯量为 221mr I =， 所以，拉力的大小为110.35125.747.1222M I F mr N r r αα====⨯⨯⨯=拉力做功为J d n F FS W 1113.014.35.21.47=⨯⨯⨯=⨯==π⑶从拉动后t=10s 时，轮角速度为3125.710 1.25710/t rad s ωα''==⨯=⨯ 轮边缘上一点的速度为s m r v /18815.010257.13=⨯⨯='='ω 轮边缘上一点的加速度为2125.70.1518.8/a r m s α==⨯=。
弹簧、定滑轮和物体的连接如图所示，弹簧的劲度系数为 m -1；定滑轮的转动惯量是0.5kg m 2，半径为0.30m ，问当6.0kg 质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。
解：当物体落下0.40m 时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即222222121r Iv mv kh mgh ++=，将kg m 6=，2/8.9s kgm g =，m h 4.0=，25.0kgm I =，m r 3.0=代入，得 s m v /01.2=一均匀铅球从高为h ，与水平面夹角为θ的固定斜面顶上由静止无滑动地滚下，求滚到底端时球心的速度。
试用下述几种方法求解：(1)转动定理，以球和斜面的接触点为瞬时转轴；(2)质心运动定理；(3)机械能守恒定律；(4)角动量定理。
图 无滑移滚动的铅球解 铅球的受力如图所示，根据质心运动定理，质心沿斜面平移运动的方程为sin mg f ma θ-=绕质心的转动方程为C fR I α=，225C I mR =．因为是无滑移的滚动，有 a R α=消去f ，我们有 sin C mg I R ma θα-=， 2sin C mg I a R ma θ-= 即 25sin mg ma ma θ-=，5sin /7a g θ=滚到底端时球心的速度为c v ==质量为m 、半径为R 的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动。
一质量为m 0的子弹以速度v 0射入轮缘(如题3-13图所示方向)。
(1)开始时轮是静止的，在子弹打入后轮的角速度为何值？(2)用m,m 0和θ表示系统[包括轮和子弹]最后动能和初始动能之比。
解：由角动量守恒定律有2000sin ()m v R m m R θω=+，000sin ()m v m m Rθω=+22222100000222100000002()()sin sin ()()k k m m R E m m R m v m E m v m v m m R m m ωθθ⎛⎫++=== ⎪++⎝⎭ 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m 的人。
圆盘的半径为R ，转动惯量为J ，角速度为ω。
如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。
解：系统的角动量在整个过程中保持不变。
人在盘边时，角动量为 ()ωω2mR J I L +==人走到盘心时角动量为 ωω'=''=J I L因此 ()ωωJmR J 2+='人在盘边和在盘心时，系统动能分别为22212121ωωJ R m W +=，()222222121ωωJ mR J J W +='= 系统动能增加 24222122121ωωJR m R m W W W +=-=∆ 在半径为1R ，质量为m 的静止水平圆盘上，站一质量为m 的人。
圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。
当这人开始沿着与圆盘同心，半径为2R [21R R <]的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为v ，问圆盘将以多大的角速度旋转？ 解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为ω，则 ()2122120L L L m v R R mRωω=+=--=人盘 解得 v R R R 2221222+-=ω 如题图示，转台绕中心竖直轴以角速度0ω作匀速转动。