勾股定理的应用的专题讲解

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第五讲勾股定理的应用(解析版)

第五讲勾股定理的应用目录必备知识点 (1)考点一勾股定理的应用一--翻折问题 (2)考点二勾股定理的应用--路径最短 (9)必备知识点【模型1】蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A 点到B 点的最短路径？【路径演示】（1）AB=bc 2)(a 22222+++=++c b a c b ；（2）AB=b 2)(c 22222a c b a a b +++=++；（3）AB=c 2)(b 22222a c b a a c +++=++。

由此可见，ab、bc 、ac谁小，则路径就最小。

知识导航【结论】最短路径=22)(次长边最短边最长边++【模型2】蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A 点到C 点的最短路径？【路径演示】由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=22h )(+r π考点一勾股定理的应用一--翻折问题1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为 cm ．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2，即CE的长为2，设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，在Rt△CDE中，根据勾股定理得CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，解得x＝，即CD长为cm．故答案为：cm．2．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为　8　．【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝6，在Rt△NBD中，BN2+BD2＝DN2，x2+62＝（18﹣x）2，解得：x＝8．即BN＝8．故答案为：8．3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝　5　．【解答】解：∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∴∠EAB＝∠AEB，∴AB＝BE，∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，∴AB2＝9+（AB﹣1）2，∴AB＝5故答案为：54．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解答】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，根据勾股定理得，CF＝＝＝．故答案为：．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．【解答】解：设EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OF；（2）求AP的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8．由翻折的性质可知：EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEF中，，∴△ODP≌△OEF（ASA）．∴OP＝OF．（2）∵△ODP≌△OEF（ASA），∴OP＝OF，PD＝EF．∴DF＝EP．设AP＝EP＝DF＝x，则PD＝EF＝6﹣x，CF＝8﹣x，BF＝8﹣（6﹣x）＝2+x，在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8．7．如图，将对角线BD长为16的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．（1）求线段AB和线段CF的长；（2）连接EQ，求EQ的长．【解答】解：（1）∵对角线BD为16，∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝16，设CF＝x，由折叠可知QF＝BF＝16﹣x，由于Q为CD中点，则CQ＝＝8，在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得：（16﹣x）2＝82+x2，解得：x＝6．故CF＝6．（2）如图所示，连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，由折叠可知AE＝PE，BQ⊥EF，∴∠BFE+∠FBQ＝90°，又∠BFE+∠GEF＝90°，∴∠FBQ＝∠GEF，在△EGF和△BCQ中，，∴△EGF≌△BCQ（ASA），∴GF＝CQ＝8，∴AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，即PE＝2，由折叠可得PQ＝AB＝16，∠P＝90°，由勾股定理有EQ＝＝＝．8．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，由翻折的性质得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，∴AP＝EP＝DG，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8．考点二勾股定理的应用--路径最短9．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？【解答】解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝20（cm）；②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝（cm）；③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB＝＝7（cm）．∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm．10．如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是4cm，4cm，6cm．一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？【解答】解：（1）如图1所示：AB＝＝10（cm），如图2所示：AB＝（cm）．∵10＜，∴蚂蚁沿着正面和右面爬行即可；蚂蚁爬行的最短路程是10cm．11．如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？【解答】解：如图，将容器侧面展开，连接AB，则AB即为最短距离．∵圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，∴AD＝0.8m，DE＝2.4m，过B作BC⊥AD于C，则∠BCD＝90°，∵四边形ACEF是矩形，∴∠CDE＝∠DEB＝∠CAF＝∠BFA＝90°，∴四边形BCDE和四边形ACBF是矩形，∴CD＝BE＝0.1m，BC＝DE＝2.4m，∴AC＝AD﹣CD＝0.7m，在直角△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．答：壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m．12．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．【解答】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，AC＝20，BC＝5+5+5＝15，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即AB2＝202+152，∴AB＝25，∴最近距离为25．13．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，答：最短路程是150cm．14．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（Cm）．。

勾股定理应用典型题型讲解

勾股定理应用典型题型讲解摘要：一、引言二、勾股定理的概念及公式三、勾股定理的应用范围四、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用3.应用勾股定理解决实际问题五、总结与展望正文：一、勾股定理的概念及公式勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。

数学表达式为：a + b = c。

其中a、b为直角边，c为斜边。

二、勾股定理的应用范围勾股定理的应用范围非常广泛，包括几何、物理、工程等领域。

在解决实际问题时，了解勾股定理的适用场景和条件是关键。

三、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用在直角三角形中，已知两边长度求第三边长度或已知两边及夹角求第三边长度等问题，可以利用勾股定理轻松解决。

例题：已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求AB的长度。

解：由勾股定理可知，AB = AC + BC = 3 + 4 = 9 + 16 = 25。

故AB = 5。

2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用在锐角三角形和钝角三角形中，我们可以利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，或者求解三角形中的角度和边长。

例题：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 4，BC = 3，求∠B的度数。

解：由勾股定理可知，AB = AC + BC，故∠B为直角，∠B = 90°。

3.应用勾股定理解决实际问题在实际问题中，如测量距离、构建支架等，可以利用勾股定理进行计算和估算。

例题：一块矩形土地的长为100米，宽为60米，现欲在其四个角上搭建四个高为h米的支架，求支架高度h的最大值。

解：设矩形对角线的长度为d，则d = 100 + 60 = 10000 + 3600 = 13600。

由勾股定理可知，d = √(13600)。

支架高度h的最大值即为d/2，故h = √(13600)/2。

四、总结与展望本文通过对勾股定理的概念、应用范围及典型题型的讲解，旨在帮助读者更好地理解和运用勾股定理。

勾股定理的应用领域总结(经典、实用)

勾股定理的应用领域总结（经典、实用）
勾股定理是数学中一项经典的定理，广泛应用于各个领域。

本文将总结勾股定理在经典领域和实用领域的应用。

经典领域
几何学
勾股定理最早在几何学中得到应用，用于解决直角三角形的边长或角度问题。

在几何学中，勾股定理为计算直角三角形提供了最基本的工具。

物理学
在物理学中，勾股定理常用于计算向量的大小和方向。

它可以应用于解决力学、电磁学和流体力学等领域的问题。

导航和航空
勾股定理在导航和航空领域中有着重要的应用。

通过测量三角形边长和角度，可以计算出物体或飞机的位置、速度和方向，从而实现准确的导航和飞行控制。

实用领域
工程学
在工程学中，勾股定理广泛应用于建筑、机械和电子等领域。

例如，在建筑设计中，可以使用勾股定理计算物体的尺寸和角度，确保设计符合规格要求。

计算机图形学
在计算机图形学中，勾股定理用于计算三维空间中的距离和角度。

这对于创建模型、渲染图像和进行虚拟现实等应用非常重要。

经济学
勾股定理在经济学中也有应用，特别是在统计学中。

通过应用勾股定理，可以计算变量之间的关系和相关性，从而进行经济数据的分析和预测。

结论
勾股定理作为一项经典的数学定理，广泛应用于各个领域。

从经典领域的几何学和物理学，到实用领域的工程学、计算机图形学和经济学，勾股定理都发挥着重要作用。

通过应用勾股定理，我们可以解决各种问题，提高生产效率和实现创新发展。

用勾股定理解决实际问题

用勾股定理解决实际问题勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在实际生活中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、建筑设计、地理测量和航天航空等领域。

本文将通过几个实际问题的例子，探讨如何运用勾股定理解决实际问题。

一、房屋设计中的勾股定理应用在房屋设计中，为了保证建筑的结构稳定和美观，需要进行精确的测量和计算。

勾股定理在房屋设计中起着重要的作用。

例如，在设计一个三角形屋顶的平面布置时，我们需要测量斜边的长度。

假设一栋楼房的两个直角边分别为6米和8米，请问斜边的长度是多少？根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：斜边长度= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，斜边长度= √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10米因此，该三角形屋顶的斜边长度为10米。

二、地理测量中的勾股定理应用在地理测量中，勾股定理可以帮助我们计算两个点之间的距离、角度和方位。

例如，假设我们需要测量两个山顶之间的直线距离，我们只能在地面上进行测量。

假设山顶A和山顶B之间的两个直角边长度分别为300米和400米，请问山顶A和山顶B之间的直线距离是多少？根据勾股定理，直线距离可以通过以下公式计算：直线距离= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，直线距离= √(300² + 400²) = √(90000 + 160000) =√250000 = 500米因此，山顶A和山顶B之间的直线距离为500米。

三、建筑设计中的勾股定理应用在建筑设计中，勾股定理可以用于计算斜面的长度和倾斜角度。

例如，在设计一个斜坡道时，我们需要计算斜坡的长度和倾斜角度。

假设斜坡的水平距离为10米，垂直高度为2米，请问斜坡的长度和倾斜角度分别是多少？根据勾股定理，斜坡的长度可以通过以下公式计算：斜坡长度= √(水平距离² + 垂直高度²)代入已知数值，斜坡长度= √(10² + 2²) = √(100 + 4) = √104 ≈ 10.20米因此，斜坡的长度约为10.20米。

勾股定理的应用-课件

02
在实际应用中，可以利用勾股定理来检验一个三角形是否为直角三角形，从而确定角度和边长之间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的一组边长满足勾股定理，则这个三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判断一个三角形的角度和边长是否满足直角三角形的条件，从而确定其是否为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是否为直角三角形，只需验证三边关系是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三角形的稳定性，因为只有直角三角形满足勾股定理，所以只有直角三角形是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于计算气象气球上升的高度和速度，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确到达目的地。

勾股定理的应用及方法

勾股定理的应用及方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表述为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a 和b，斜边的长度为c，则有a²+ b²= c²。

勾股定理的应用非常广泛，在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。

下面我将介绍一些常见的勾股定理的应用及解题方法。

1. 求解三角形的边长和角度：勾股定理可以用于求解三角形的边长和角度。

当我们已知两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边长。

而已知两边长和夹角时，可以利用勾股定理计算出第三边长或者求解夹角的大小。

例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可以利用勾股定理计算出另一条直角边的长度：3²+ b²= 5²9 + b²= 25b²= 16b = 4同样地，已知直角三角形的两条直角边长度为3和4，可以利用勾股定理计算斜边的长度：3²+ 4²= c²9 + 16 = c²c²= 25c = 52. 解决实际问题：勾股定理也可以应用于解决实际问题。

例如，在测量中，我们经常需要通过已知的边长计算其他未知边长的问题。

有一道经典的应用题是“房子问题”：如果一个房子的两堵墙的长度分别为6米和8米，房子的对角线长度是多少？根据勾股定理可知，对角线的长度即斜边的长度c，可以通过勾股定理求解：6²+ 8²= c²36 + 64 = c²c²= 100c = 10因此，房子的对角线长度为10米。

3. 判断三角形的形状：勾股定理还可以用来判断三角形的形状。

根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a²+ b²= c²，那么这个三角形就是直角三角形。

例如，如果一个三角形的三条边长分别为3、4和5，我们可以通过勾股定理验证这个三角形是否为直角三角形：3²+ 4²= 5²9 + 16 = 2525 = 25由此可见，三角形的三条边满足勾股定理，所以这个三角形是一个直角三角形。

专题01 勾股定理的基本应用(解析版)

专题01 勾股定理的基本应用题型一求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为　14　．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60　．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是　4　．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为　8　．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6　．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++=　18　．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长　2　．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为　【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为　3　．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE =　76　．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于　6　．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。

三角形中的勾股定理及其应用

三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。

根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。

这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。

勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。

用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。

勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。

1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。

这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。

2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。

3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。

根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。

4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。

例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。

在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。

通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。

例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。

除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。

例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。

总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。

勾股定理的应用(3种题型)

第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。

勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)

（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定理：
3、运用勾股定理进行计算（重难点）
（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？
（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
①x2+y2=49， ②x﹣y = 2，
③2xy+4=49， ④x+y=9．
其中说法正确的是（）
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二．填空题（共2小题）
12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_____cm．
13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．
2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）
A、 1 B、
C、 D、2
6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
② ，则该△为三角形

勾股定理在解决实际问题中的应用

勾股定理在解决实际问题中的应用勾股定理是解决数学问题中最基础的定理之一。

不过，它的应用远不止数学领域。

在现实世界中，勾股定理可以被广泛应用于建筑、制造、科学及其他领域。

本文将介绍一些勾股定理在实际问题中的应用。

一、建筑领域1.房屋布局在建造住宅或其他建筑物时，勾股定理可以帮助工程师确定布局和边角的角度。

例如，在设计一个房间时，可以使用勾股定理确保其拐角处形成一个精确的90度角，使得角落更符合设计标准。

2.斜坡建造斜坡的建造也需要使用勾股定理。

在建设跑道或楼梯时，勾股定理可以帮助工程师确定斜坡的正确角度，以确保它们安全合适。

二、科学领域1.热力学热力学是一门研究热量、压力和温度的学科，在这个学科中，勾股定理被用来计算三角形的斜边长度，并在计算气体和流体的压力和体积方面得到了应用。

2.物理学在物理学中，勾股定理被广泛应用于计算运动物体的速度、加速度和其他参数。

它常常被用于确定投掷物体的轨迹和速度，以及计算两个运动物体之间的距离。

三、万能应用1.测量距离在现实应用中，我们经常需要测量一些难以到达的地方的距离。

勾股定理可以帮助我们测量这些距离。

例如，当我们测量建筑物高度时，可以使用勾股定理计算出梯子爬升的高度，以确定建筑物的高度。

2.导航勾股定理还可以帮助我们在导航时定位。

例如，在导航仪上输入两个坐标，勾股定理可以计算出两个坐标之间的距离，帮助我们确定正确的方向并找到目的地。

以结束语的形式，无论是建筑、制造还是科学领域，勾股定理都有着广泛的应用。

它是解决实际问题的基础，也是进一步发展的基石。

通过这些应用，我们可以更好地理解这个基本的数学原理的真正意义。

勾股定理的应用

勾股定理的应用勾股定理是数学中一项基础且重要的定理，它描述了直角三角形的边长关系。

在实际生活中，勾股定理被广泛应用于各个领域，例如建筑设计、测量、导航等。

本文将探讨勾股定理在不同领域的具体应用。

1. 建筑设计中的应用勾股定理在建筑设计中起到至关重要的作用。

例如，在设计房屋结构时，经常需要计算墙壁或屋顶的倾斜度。

利用勾股定理，我们可以通过测量两边的长度来计算斜边的长度，从而确保设计的斜度符合要求。

此外，在设计地基或者道路时，也可以利用勾股定理来计算坡度，确保施工的平稳性和稳定性。

2. 测量领域中的应用在测量领域，勾股定理是进行测量工作中常用的工具之一。

例如，在测量一座建筑物的高度时，我们可以利用勾股定理来计算施工仰角与测距的关系，从而推算出建筑物的高度。

此外，在进行地理测量时，勾股定理也可以用来计算两点之间的距离，为地图制作和导航提供便利。

3. 物理学领域中的应用在物理学中，勾股定理广泛应用于研究力学、光学和电磁学等领域。

例如，在力学中，勾股定理可以用来计算斜面上物体的滑动速度与斜度的关系。

在光学中，勾股定理可以用来计算光的传播路径或者反射角度。

在电磁学中，勾股定理可以用来计算电路中的电压、电流和电阻之间的关系。

4. 航空航天领域中的应用勾股定理在航空航天领域有着重要的应用。

例如，在飞机设计中，可以利用勾股定理来计算机翼与机身之间的夹角，以及机体结构的尺寸比例。

此外，在导弹制导系统中，勾股定理也可以用来计算弹道轨迹和目标的距离，从而精确控制导弹的飞行路径。

5. 数学教育中的应用勾股定理作为基础的数学知识，也在教育领域中得到广泛应用。

它被用于教授几何学和三角学等课程，并且可以通过数学问题和实际示例来加深学生对勾股定理的理解。

通过实际的案例分析和解决问题的能力训练，学生可以更好地应用勾股定理于实际和抽象的数学问题中。

综上所述，勾股定理是一项具有广泛应用的数学原理。

在建筑设计、测量、物理学、航空航天和教育等领域，勾股定理都发挥着重要的作用。

勾股定理在实际问题中的应用

勾股定理在实际问题中的应用勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于解决各种实际问题。

本文将介绍勾股定理的应用，并通过几个实例来阐述其在不同领域中的重要性。

一、建筑工程中的应用在建筑设计与施工过程中，勾股定理被广泛地应用于测量与校准工作中。

例如，在确定建筑物的平面布局时，我们可以通过测量建筑物两角之间的距离，并应用勾股定理，来确保建筑物的对称性和准确度。

此外，在测量高楼大厦的高度时，也常常利用勾股定理与观察角度的变化，来计算楼高，确保施工的安全与准确。

二、导航系统中的应用现代导航系统如GPS（全球定位系统）依赖于数学算法来确定位置和导航路径。

其中，勾股定理的应用是至关重要的。

通过测量卫星信号发送和接收的时间差，并结合勾股定理计算卫星与接收器的距离，我们可以确定接收器的位置。

因此，导航系统能够精确地提供行车路线、航行路径等信息，大大提高了交通的安全性和效率。

三、射击运动中的应用在射击运动中，射手需要通过准确地测量射程和角度来确定瞄准点。

在这个过程中，勾股定理被广泛用于计算目标与射击点之间的距离。

通过测量瞄准点和目标之间的水平距离，以及射击点相对于水平面的角度，我们可以利用勾股定理来计算目标的相对位置和理想的瞄准点。

这种应用不仅提高了射击运动的精确性，也有助于培养射手的反应能力和准确性。

四、金融投资中的应用在金融投资中，人们经常使用贝塔系数来衡量一个投资资产与整个市场的相关性。

贝塔系数的计算也依赖于勾股定理。

通过测量投资资产的历史回报率与市场指数之间的相关性，我们可以利用勾股定理计算贝塔系数，从而确定投资资产相对于市场的风险敞口。

这种应用方法有助于投资者评估投资组合的风险水平并做出相应决策，提高投资成功的概率。

五、地理测量中的应用在地理测量学中，勾股定理被广泛应用于测量地球表面的距离和角度。

地理测量学家常常使用全球定位系统和勾股定理来计算两地之间的直线距离、高度差、角度变化等。

这些信息在地图制作、航海导航、城市规划等领域中具有重要意义。

勾股定理的实际问题解析与求解

勾股定理的实际问题解析与求解勾股定理是初中数学中的重要定理之一，可以帮助我们解决许多实际问题。

本文将针对勾股定理的应用进行分析与讨论，并给出相应的问题求解方法。

一、平面几何中的应用在平面几何中，勾股定理可以帮助我们解决直角三角形相关的问题。

例如，已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，我们可以利用勾股定理求解出斜边的长度c。

根据勾股定理的表达式c²=a²+b²，可以直接计算出斜边的值。

实例一：一座房屋的窗户宽度为3米，高度为4米，求窗户对角线的长度。

解析：将窗户的宽和高分别代入勾股定理的表达式中，得到对角线的平方等于3²+4²=9+16=25。

因此，窗户对角线的长度为5米。

实例二：一块田地的两条直角边长分别为5米和12米，求田地的对角线长度。

解析：代入勾股定理的表达式中，得到对角线的平方等于5²+12²=25+144=169。

因此，田地的对角线长度为13米。

二、三维空间中的应用除了平面几何，勾股定理在三维空间中也有广泛的应用。

例如，在建筑工程中，我们常常需要计算物体的斜高、斜边长度等。

勾股定理可以帮助我们求解这些问题。

实例三：一个立方体的边长为a，求对角线的长度。

解析：立方体的对角线可以看作是空间对角线，由三条边所组成。

根据勾股定理的公式c²=a²+b²+c²，代入a=a，b=a和c=a得到c²=a²+a²+a²=3a²。

因此，对角线的长度为√(3a²)。

实例四：一个棱柱的底面是一个边长为a的正方形，侧边长度为b，求棱柱的斜高。

解析：将底面和侧边构成的三角形看作是平面上的直角三角形，可以利用勾股定理来求解。

根据勾股定理的表达式c²=a²+b²，代入a=a和b=b得到c²=a²+a²=2a²。

勾股定理的应用

勾股定理的应用勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是数学中的基本定理之一。

它给出了一个直角三角形的斜边平方等于两个直角边平方之和的关系。

在数学领域中，勾股定理是一项重要的理论工具，但它的应用却不仅限于数学领域，更广泛地渗透到了自然科学、工程技术等领域。

本文将会逐步介绍勾股定理在不同领域的应用，从而展示它的重要性和广泛性。

一、建筑工程中的应用在建筑设计和施工中，勾股定理被广泛运用于测量和定位。

例如，在测量一片地块的面积时，可以利用勾股定理计算出两个相邻边的长度，再将其相乘得到面积。

此外，勾股定理还可用于确定建筑物的直线距离和角度，帮助工程师合理布局和设计建筑物，确保施工的准确性和安全性。

二、天文学中的应用勾股定理在天文学中的应用可以追溯到古代。

通过观测恒星的位置和太阳的高度角等信息，可以运用勾股定理计算出恒星距离地球的距离。

此外，星体的视差也可以利用勾股定理计算，从而推断出它们的物理属性和位置关系。

勾股定理在天文学中为测量宇宙中不同天体的距离和位置提供了重要的数学依据。

三、导航和地理测量中的应用在导航和地理测量中，勾股定理被广泛用于测量距离和方向。

例如，利用卫星定位系统（GPS）可以准确计算两个地点之间的直线距离，这就是运用了勾股定理。

此外，勾股定理还可以用于测量航海中的船舶位置，帮助海员确定船只的航向和航速。

四、物理学中的应用在物理学中，勾股定理是研究力学、热力学和电磁学等领域的基础工具。

例如，通过应用勾股定理，可以计算出一个物体在斜面上滑动的加速度和速度。

在电路分析中，可以运用勾股定理计算电压和电流之间的关系，从而理解和解决电路中的问题。

五、计算机图形学中的应用计算机图形学是一门研究如何在计算机上生成和操作图像的学科。

勾股定理在三维图形的建模和渲染中起着重要的作用。

计算机软件可以通过勾股定理计算出三维空间中各个点的位置和相对关系，从而形成逼真的图像和动画效果。

结语勾股定理作为一项基本定理，其应用范围和重要性远不止于数学领域。

勾股定理中的应用场景问题(分类整理版)

勾股定理中的应用场景问题(分类整理版)
一、建筑工程中的应用
在建筑工程中，勾股定理常常用于计算房屋的直角边长和斜边长度。

例如，在设计一座楼梯时，勾股定理可以用来确定楼梯的踏步和扶手的长度，以保证楼梯的安全性和舒适度。

此外，在设计房屋的斜面屋顶时，勾股定理可以帮助工程师计算出屋顶的倾斜角度和斜角边的长度。

二、航空航天中的应用
在航空航天领域，勾股定理被广泛应用于飞机和的轨迹计算。

在发射时，通过测量的位置和速度，利用勾股定理可以准确计算的航向和飞行距离。

在飞机导航中，勾股定理也可用于计算飞机在空中的相对位置和距离，以实现安全的飞行操作。

三、地理测量中的应用
在地理测量学中，勾股定理被广泛应用于地图测量和导航。

通
过测量两个已知点之间的距离和角度，勾股定理可以用来计算其他
未知点的位置和距离。

例如，在进行地图测量时，勾股定理可以用
来计算山脉的高度和斜坡的角度。

此外，在GPS导航系统中，勾
股定理有助于准确计算车辆或行人与目的地之间的距离和方位。

四、物理学中的应用
在物理学中，勾股定理常常与牛顿运动定律结合应用。

例如，
在斜面上滑动的物体，可以通过勾股定理和牛顿第二定律计算斜面
的倾斜角度和物体的加速度。

此外，在力学中，勾股定理还可以用
来计算物体的位移和速度，以解决各种运动问题。

总结：
勾股定理作为数学中的重要工具，在各个领域都有广泛的应用。

从建筑工程到航空航天，从地理测量到物理学，勾股定理帮助解决
了许多实际问题。

熟练地掌握勾股定理的应用，有助于提高工作效
率和问题解决能力。

勾股定理在几何中的应用

勾股定理在几何中的应用勾股定理，即直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

这一定理不仅在数学中有重要的地位，还在几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍勾股定理在几何中的应用，并探讨一些相关的问题。

一、直角三角形的判定在几何中，判定一个三角形是否为直角三角形是十分常见的问题。

根据勾股定理，我们可以用三边的长度关系来进行判定。

如果一个三角形的三个边满足a^2 + b^2 = c^2的条件，那么这个三角形就是直角三角形。

这一判定方法方便实用，无需测量角度就可以得到结论。

二、寻找直角三角形的边长有时候，我们已知一个三角形是直角三角形，但是并不知道具体的边长。

利用勾股定理，我们可以通过已知的边长关系来求解未知的边长。

例如，已知一个三角形的两个直角边长分别为a、b，求斜边的长度c。

根据勾股定理，可得c = √(a^2 + b^2)。

这样我们就可以精确求解出未知的边长。

三、角平分线的长度角平分线是指将一个角等分为两个相等的角的线段，通常以bisector表示。

在几何学中，我们经常需要求解角平分线的长度。

利用勾股定理，我们可以解决这一问题。

以一个角ABC为例，假设AB = c，BC = a，CA = b。

如果角ABC的角平分线AD平分出的两个角分别为∠BAD和∠DAC，那么根据角平分线定理，有AD/BD = AC/BC = b/a。

通过这个比例关系，结合勾股定理，我们可以求得AD的长度。

四、解决旋转对称图形问题在几何学中，旋转对称图形的问题是经常遇到的。

例如，我们需要求解一个圆形的直径、半径或者周长等。

利用勾股定理的思想，我们可以通过一些基本的数学操作来解决这类问题。

以一个圆形的半径为r为例，我们可以根据〖AB〗^2 + 〖BC〗^2 = 〖AC〗^2的关系，得到2r^2 = 〖AC〗^2，进而求解出AC的长度，也即圆的直径。

总结：勾股定理在几何学中具有重要的应用价值。

通过勾股定理，我们可以判定直角三角形、求解未知边长，计算角平分线的长度，并解决旋转对称图形问题等。

课时13 勾股定理的应用专题

y
A
E
O
D
B
例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边 5 或 7 长为_______ . （2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8, 21 或9 求BC________
A
8 8 6 6 15
17
10 D B
15
C
变式1：（1）已知直角三角形两边的长分别是3cm和6cm，则第三边的长是________ . （2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边上的高，且BD与AB 的夹角为300，求CD的长.
2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?
A
（2）求AB的长
3
2 3
B
13
1 D 2 C

C
B
D
A
变式训练： △ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线 AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.
21
或9
S△ABC=84或36
A
8 8
17 10
6
6
15
D
B
15
C
当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。
A
A
A
E
两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
B
பைடு நூலகம்
C
B
D
C
B
C
变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求 △ABC的面积. A
B
D
C
方程思想：两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.

勾股定理及其应用领域

勾股定理及其应用领域勾股定理是数学中一条非常重要且广泛应用的定理。

它描述了一个直角三角形的边长之间的关系，被认为是古希腊数学家毕达哥拉斯创立的，因而也被称为毕达哥拉斯定理。

勾股定理可以用以下公式来表示：c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边（也称为斜边），a和b分别代表直角三角形的两个直角边。

勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍一些经典的应用领域。

1. 建筑与工程学勾股定理在建筑与工程学中有重要的应用。

例如，在设计斜坡、楼梯、天桥等结构时，勾股定理能够帮助工程师确定合适的尺寸和角度，确保结构的稳定性和安全性。

此外，在测量建筑物的高度时，勾股定理也被广泛应用。

通过在地面上测量出与建筑物底部和顶部形成的角度，以及测量距离，可以利用勾股定理计算出建筑物的高度。

2. 导航与航海勾股定理在导航与航海中起着至关重要的作用。

当航海员需要确定船只的位置时，他们可以利用勾股定理计算出船只与参考点之间的距离。

例如，当船只位于岸边时，航海员可以使用望远镜来测量船只与两个参考物（如灯塔或特定标志物）之间的角度。

然后，通过应用勾股定理，航海员能够计算出船只与参考物之间的距离，进而确定船只的准确位置。

3. 电子学与通信勾股定理在电子学和通信领域也有广泛应用。

例如，在计算机科学中，勾股定理被用于计算两个坐标之间的距离，从而帮助确定网络中设备的位置关系。

在无线通信中，勾股定理用于计算信号传播的路径损耗及衰减情况，从而优化无线网络的覆盖范围和性能。

4. 物理学与工业制造勾股定理在物理学和工业制造领域也得到广泛应用。

例如，在力学中，勾股定理可用于计算施加在物体上的力的分量。

此外，在工业制造中，勾股定理可以帮助确定合适的角度和尺寸，确保部件的精确安装和匹配。

总结：勾股定理是数学中的重要定理，不仅在纯粹的数学问题中有应用，也广泛应用于各个实际领域。

从建筑与工程学、导航与航海、电子学与通信，到物理学与工业制造，勾股定理在解决实际问题中发挥着重要作用。

勾股定理的纯数学应用

勾股定理的纯数学应用
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际生活中，勾股定理有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.计算面积：通过使用勾股定理，可以计算出不规则图形的面积。

例如，在
计算梯形、三角形和圆形的面积时，可以使用勾股定理来确定某些边长或
半径的长度。

2.确定高度：在建筑和工程领域，勾股定理可以用于确定建筑物或构筑物的
高度。

例如，如果已知一个建筑物的底部长度和宽度，以及其高度与底部
长度的比值，可以使用勾股定理来计算其高度。

3.设计图形：在设计和艺术领域，勾股定理可以用于设计各种形状和图案。

例如，可以使用勾股定理来设计具有特定比例和对称性的图形，如等边三
角形、正方形和圆形。

4.测量距离：在测量和测绘领域，勾股定理可以用于测量距离。

例如，可以
使用勾股定理来测量两点之间的距离，或者计算某一点到某一直线的距离。

5.确定时间：在天文学领域，勾股定理可以用于确定天体的位置和时间。

例
如，可以使用勾股定理来计算太阳系中的行星和卫星的位置，以及计算地
球的自转和公转周期。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要工具，它在实际生活中的应用非常广泛，包括建筑、工程、设计、艺术、测量、天文学等领域。

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