完全平方公式二
《完全平方公式》第二课时参考教案
《完全平方公式》第二课时参考教案第一篇：《完全平方公式》第二课时参考教案1.8 完全平方公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系.2.运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.3.进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式.(二)能力训练要求1.在进一步巩固完全平方公式同时，体会符号运算对解决问题的作用.2.进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理.(三)情感与价值观要求1.鼓励学生算法多样化，提高学生合作交流意识和创新精神.2.从有趣的分糖游戏中，提高学习数学的兴趣.●教学重点1.巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学难点1.区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学方法活动探究法.●教具准备投影片四张第一张：提出问题，记作(§1.8.2 A)第二张：分糖游戏，记作(§1.8.2 B)第三张：例2，记作(§1.8.2 C)第四张：例3，记作(§1.8.2 D)●教学过程/ 7Ⅰ.创设情景，引入新课［师］上节课我们推导出了完全平方公式，现在我们来看一个问题：出示投影片(§1.8.2 A)一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少厘米2？［生］原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a －2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面积减少了(4a－4)平方厘米.［师］很好！这节课我们继续巩固完全平方公式.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来做一个“分糖游戏”.出示投影片(§1.8.2 B)一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？［生］根据题意，可知第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所以一共发了a2块糖.第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖.第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖.［生］前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab.由于a>0,b>0,所以2ab>0.2 / 7由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果.［师］为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因.(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花)［生］对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块.因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块.［师］不错！而这个游戏又充分说明了(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2≠a2+b2.下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现.出示投影片(§1.8.2 C)［例2］利用完全平方公式计算：(1)1022；(2)1972.如果直接计算1022，1972会很繁.根据题目的提示使我们想到1022可以写成(100+2)2，1972可以写成(200－3)2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试.［生］解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200－3)2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809 ［师］我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用.下面我们再来看一个例题(出示投影片§1.8.2 D)［例3］计算：(1)(x+3)2－x2;(2)(a+b+3)(a+b－3);(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).分析：(1)题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；(2)题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；(3)题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以避免符号上面出错.注意要为学生提供充分交流的机/ 7会.解：(1)方法一：(x+3)2－x2 =x2+6x+9－x2——运用完全平方公式 =6x+9 方法二：(x+3)2－x2=［(x+3)+x］［(x+3)－x］——逆用平方差公式=(2x+3)×3 =6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=［(a+b)+3］［(a+b)－3］=(a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6 =15x+19 ［例4］已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值.分析：由完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=(x+y)2－2xy,故可将x+y=8,xy=12整体代入求值.解：x2+y2=(x+y)2－2xy 把x+y=8,xy=12代入上式，原式=82－2×12=64－24=40 Ⅲ.随堂练习1.(课本P45)利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(a－b－3)(a－b+3)解：(1)962=(100－4)2 =10000－800+16=9216(2)(a－b－3)(a－b+3)=［(a－b)－3］［(a－b)+3］/ 7=(a－b)2－32=a2－2ab+b2－9 2.试一试，计算：(a+b)3分析：利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得(a+b)3=(a+b)2·(a+b),可以使运算简便.解：(a+b)3=(a+b)2·(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2ab2+2a2b+ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3 3.已知x+1=2,求x2+xx1x2x的值.解：由x+1=2,得(x+1)2=4.x2+2+1x2=4.所以x2+1x2=4－2=2.Ⅳ.课时小结［师］一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了，你有何收获和体会，不妨和大家共享.［生］在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系.［生］通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a,b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.…… Ⅴ.课后作业1.课本P45，习题1.14.Ⅵ.活动与探究Λ9×999Λ9+199Λ9 化简9991424314243123n个n个n个［过程］当n=1时，9×9+19=102 当n=2时，99×99+199=104 当n=3时，999×999+1999=106 ……于是猜想：原式=102n/ 7［结果］原式=(10n－1)(10n－1)+(2×10n－1)=(10n－1)2+2×10n－1 =102n－2×10n+1+2×10n－1 =102n ●板书设计§1.8.2 完全平方公式(二)一、糖果游戏(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2的总数较多，多2ab.结果：(a+b)2≠a2+b2二、例题讲解例2.利用完全平方公式计算(1)1022(2)1972 例3.计算：(1)(x+3)2－x2(2)(a+b+3)(a+b－3)(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)●备课资料参考练习1.选择题(1)下列等式成立的是()A、(a－b)2=a2－ab+b2 B、(a+3b)2=a2+9b2 C、(a+b)2=a2+2ab+b2 D、(x+9)(x－9)=x2－9(2)(a+3b)－(3a+b)计算结果是()A.8(a－b)2 B.8(a+b)2 C.8b2－8a2 D.8a2－8b2(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是()A.－25x4－16y4 B.－25x4+40x2y2－16y4 C.25x4－16y2 D.25x4－40x2y2+16y4(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是()/ 72A.(x2y2－1)2 B.(x2y+1)2 C.(x2y－1)2 D.(－x2y－1)2 2.填空题(1)(4a－b2)2=.(2)(－1m－1)22=.(3)(m+n+1)(1－m－n)=.(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B,则A= ,B=.(5)(a+2b)2－=(a－2b)2.3.用乘法公式计算：(1)9992;(2)20022－4004×2003+20032.4.已知,a+b=8,ab=24.求12(a2+b2)的值.5.已知x+1=4,求证x2+ 1xx2.6.已知：x2－2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.答案：1.(1)C(2)C(3)B(4)C 2.(1)16a2－8ab2+b4(2)1m24+m+1(3)1－m2－2mn－n2(4)－b2 b4(5)8ab 3.(1)998001(2)1 4.8 5.14 6.－2 7 / 7 第二篇：完全平方公式教案学习周报专业辅导学生学习完全平方公式在代数、几何中的两点运用完全平方公式是中学阶段运用较为广泛的一个公式.除了在一般计算过程中直接运用完全平方公式外，在一些代数、几何问题中，还会利用其进行解题，这也是各年中考中的一个必考知识点.另外，在公式的一些使用过程中，还结合了整体思考的数学思想，同时还对学生的逆向思维提出一定要求.主要体现在以下两个方面.一、利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值.有一类例1 已知a2+b2=1,a-b=分析：要求(a+b)4，直接求12，求(a+b)4的值.a,的值有一定的困难，因而可利用整体思想，设法求出(a+b)2，结合题目条件a2+b2=1，只需求出ab值.解：把a-b=a-2ab+b2212=两边同时平方，得34又因为a2+b2=1，所以2ab=a+2ab+b4222=1+491634 即(a+b)=74所以(a+b)=.22例3 已知x-3x+1=0，求（1）x+1x2；（2）x+1x41x4.分析：观察所求代数式的特征，x+21x2可由x+1x平方后整理得到.因而解题的关2键在于利用题目条件x-3x+1=0求出代数式x+的值.此处，再次利用了整体思考的数学思想.解：把x-3x+1=0两边同时除以x，得x-3+1x=0，即x+1x=3.2把x+21x=3两边同时平方，得1x+1x2x+2⋅x⋅=9，即 x+21x2=7学习周报专业辅导学生学习再把x2+421x2=7两边同时平方，得1x2x+2⋅x⋅+1x21x4=49，即x+441x144=47.=47.所以（1）x2+（2）x+=7；x二、利用完全平方式判断三角形形状例4 已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请你判断这个三角形是什么三角形.分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形.结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明.解：由a2+b2+c2-ab-ac-bc=0两边同时乘以2，整理可得(a2-2ab+b22)+(a2-2ac+c22)+(b2-2bc+c2)=0所以(a-b)+(a-c)+(b-c)=02因为(a-b)≥0，(a-c)≥0，(b-c)≥0 222所以(a-b)=0，(a-c)=0，(b-c)=0 222所以a=b,a=c,b=c 即a=b=c.所以这个三角形是等边三角形.例5 已知a,b,c是∆ABC的三边长，且a+2b+c-2b(a+c)=0，判断∆ABC222的形状.分析：与例4相类似，也是利用完全平方公式将条件进行变形，从而得出三角形三边的关系.解：由a+2b+c-2b(a+c)=0变形，得 222(a2-2ab+b22)+(b2-2bc+c2)=02所以(a-b)+(b-c)=0因为(a-b)≥0，(b-c)≥0 学习周报专业辅导学生学习所以(a-b)=0，(b-c)=0 22所以a=b,b=c 即a=b=c 所以∆ABC是等边三角形第三篇：完全平方公式教案人教新课标八年级上15.2完全平方公式表格式教案一、复习旧知探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．二、探究新知1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。
完全平方公式
完全平方公式在代数学中，完全平方公式是一种特殊的二次多项式的因式分解方法。
它可用于将一个二次多项式表示为两个平方形式的因子相乘之积，并进一步简化求解过程。
完全平方公式的一般形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个公式表示，当我们将两个数相加，然后求它们的平方时，结果等于两个数的平方与它们的乘积的两倍之和。
为了更好地理解完全平方公式，我们将通过一些例子来演示它的应用。
例1：将二次多项式x^2+6x+9用完全平方公式进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将该二次多项式表示为两个平方相加的形式。
首先，我们将二次项和常数项分别开平方，并将它们代入完全平方公式中：x^2+6x+9=(x+3)^2通过这个因式分解，我们可以看到(x+3)^2中的两个因子相同，即(x+3)。
这个结果告诉我们原始的二次多项式可以表示成两个相同的因子相乘。
例2：将二次多项式4x^2+12x+9用完全平方公式进行因式分解。
与例1类似，我们首先将二次项和常数项分别开平方，并代入完全平方公式中：4x^2+12x+9=(2x+3)^2这个因式分解告诉我们原始的二次多项式可以表示为(2x+3)^2的形式。
除了用完全平方公式进行因式分解，我们还可以通过完全平方公式求解二次方程。
例3：求解二次方程x^2+4x+3=0。
首先，我们将二次方程的表达式转化为完全平方的形式：x^2+4x+3=(x+2)^2-1通过将二次项和常数项开平方并代入完全平方公式，我们得到了一个新的方程：(x+2)^2-1=0。
接下来，我们将这个新方程转化为平方根的形式：(x+2)^2-1=0(x+2)^2=1x+2=±√1解这个方程，我们得到两个解：x+2=1或x+2=-1x=-1或x=-3因此，原始的二次方程有两个解：x=-1和x=-3通过以上示例，我们可以看到完全平方公式在因式分解和求解二次方程中的重要性。
它不仅可以简化求解过程，还能帮助我们理解二次多项式的性质。
数学完全平方公式
03
完全平方公式的证明
证明方法
01
02
03
代数证明
通过代数运算，将完全平 方公式进行展开和重组， 证明其正确性。
几何证明
利用几何图形，如正方形 或矩形，通过面积和边长 的关系证明完全平方公式。
归纳法证明
通过归纳法，对n进行归 纳推理，证明完全平方公 式的通用形式。
证明实例
代数证明实例
利用代数运算，将 $(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，证明 其为完全平方公式。
数学完全平方公式
目录
• 完全平方公式定义 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的应用
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ完全平方公式定义
公式表述
完全平方公式是数学中一个重要的恒 等式，表示一个二次多项式等于两个 一次多项式的平方和。具体公式为： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
平方和公式
总结词
表示两个数的平方和，等于它们与这两个数的平均数的平方的积。
公式
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
描述
这个公式用于计算两个数的平方和，通过将和表示为两个因子的平 方的差，简化计算过程。
平方倍数公式
总结词
01
表示一个数的平方乘以另一个数的平方，等于它们与这两个数
几何法实例
考虑边长为$a+b$的正方形，可以将 其划分为多个边长为$a$和$b$的小正 方形，通过计算小正方形的面积之和 ，得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 。
14.2.2完全平方公式(二)
（1）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）（2）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
（3）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
板
书
设计
§14.2.2完全平方公式（二）
一、去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号．
[生]添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
[师]能举例说明吗？
[生]例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c．也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）．添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P111练习1、2．
2．课本P112习题14.23、4．
Ⅳ．课时小结
通过本节课的学习，你有何收获和体会？
[生]我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
[生]我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等．
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式完全平方公式是指一些特定的二元二次方程式可以通过一个完全平方公式来求解。
完全平方公式的形式通常为x^2 + bx + c = (x + m)^2，其中b为常数，m为待求解的常数。
为了解决完全平方公式，可以通过解方程x^2 + bx + c = 0来找到x的值。
在初中数学中，我们通常遇到的是一元二次方程，即方程的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程可以通过两种常用方法：配方法和因式分解方法。
完全平方公式就是在配方法的基础上发展而来的。
完全平方公式的基本形式是(x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2，其中m 为常数。
将该公式与一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行比较，可以得到如下关系：x^2 + 2mx + m^2 = ax^2 + bx + c。
通过比较系数，我们可以得到以下等式：a=1，2m=b，m^2=c。
解完全平方公式的步骤如下：1.将一元二次方程的系数与完全平方公式的系数进行比较，确定a、b、c的值。
2.通过等式2m=b，可以解出m的值。
3.将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值。
4.验证一下解是否正确，将a、b、c的值代入一元二次方程中进行计算。
下面举一个例子来说明完全平方公式的应用。
例题：解方程x^2+10x+25=0。
解：比较一元二次方程与完全平方公式的系数：a=1，b=10，c=25根据等式2m=b，可以解出m的值：2m=10，m=5将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值：5^2=c，c=25验证解的正确性，将a、b、c的值代入一元二次方程中计算：1(x^2)+10x+25=0。
式子两边都乘以1，得到：x^2+10x+25=0。
由此可见，方程x^2+10x+25=0的解为x=-5完全平方公式的应用不仅限于解方程，还可以用来化简一些特定的代数表达式。
例如，我们可以通过完全平方公式化简(x+m)^2-(x+n)^2这样的表达式。
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
完全平方公式第二课时
（2）(a+b-c)(a-b+c) 解：原式= [ a+ ( b-c)] [ a- ( b-c)]
2 =a −( 2 b-c)
2 =a 2 =a
2 2 -（b -2bc+c) 2 2 -b +2bc-c
温馨提示：
将(b-c)看作一个整体.
问题三 计算:(x+5)2–(x-2)(x-3)
解:
2 (x+5) -(x-2)(x-3) 2 2 =(x +10x+25)-(x -5x+6)
=
注意
2 2 x +10x+25-x +序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
分层达标
A组 一、填空题 1．（a＋2b）2＝a2＋_______＋4b2． 2．（3a－5）2＝9a2＋25－_______． 3．（2x－______）2＝____－4xy＋y2．
（2）(a−3b)2
4x2+12xy+9
a2-6ab+9b2
3.去括号． （1）a+（b+c）= a+b+c 。 （2）a-（b-c）= a-b+c 。 4、添加括号使得下列等式成立： (1)a+b+c=a+ ( b+c ) (2)a-b+c=a- ( b-c )
添括号时， 符号不变 如果括号前面是正号，括号里面的各项 ， 如果括号前面是负号，括号里面的各项 。 符号改变
2 2 2 变式二：a +b ＝(a-b) + 2ab
。
3.已知：a-b=5,ab=6,
2 2 则a +b 的值是
完全平方公式(二)
（6）
a b3
2、27 页习题 1.12 问题解决：第 2 题
3x y 2
(2a 3b2
四、拓展提升 1、填空：
) （2） x 2 (5 x)( 25 )( ) m （3） 2 n 2 ( ) a （1） 2 4 (a 2)(
)(
)
2、运用完全平方公式进行简便计算：（与同伴交流你的做法） （1） 1022 （2） 1972 (3） 632 (4) 9982
七年级_ 数学_
科
探究式
学案
教学设计
主备:
（5） (2 x
时间:
y) 2 4( x y)(x 2 y)
年
月
日
学习内容：完全平方公式（二）
学习目标：会熟练运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 重难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 一、 自学指导 1、 默写完全平方公式： ___________________； _____________________。 计算：
）
二、小组学习
课本 27 页的做一做
1 1 3、 （1）已知 x 2 3x 1 0 ，求 x 2 2 和 x 4 4 的值。 收获？ x x 2、预习时的疑难 解决了吗？还有 哪些疑惑？ （2）已知 a b 3, b c 1，求 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 的值。
a 42 a 2
a 3
2
（3）
a 1a 2
（4） 2 x y 12 x y 1
教学反思
1、本节你有哪些
（3）不论 a、 b 为任意有理数， a 2 b 2 4a 2b 7 的值总是（ A.负数 B.零 C.正数 D.不小于 2
湘教版 完全平方公式二
2 2
16 a 8a b b
4
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
语言表述:
两数和或(差) 的平方等于 这两数的平方和
加上(减去) 这两数乘积的两倍.
公式变形为 首平方，尾平方，首尾两倍放中央， 2＝首2±2×首×尾＋尾2 （首±尾） 中央符号回头望
(5)如果x2+6x+m2是一个完全平方式,那么m=±3；
(6)已知(a+b)2=11,ab=1, 求a2+b2的值.
练：若 x y 9, xy 4,
2 2
( x y) 求:（1）
( x y) （2 ）
2
2
例、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404 (2) 992 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801
(1) (2a y ) (2a) 2 (2a) ( y ) ( y )
2 2
2
4a 4ay y
2 2
2 2 2
(2) ( x 3 y ) x 2 x(3 y ) (3 y ) x 6 xy 9 y
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
(3) (4a b ) ( 4a ) 2 (4a ) (b ) ( b )
比较下列各式之间的关系,是否相等？为什么？
(1) (-a -b)2 与(a+b)2
(2) (a - b)2 与 (b - a)2
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式是数学中一个用于求解一元二次方程的重要公式。
通过完全平方公式，我们可以直接求解任意形式的一元二次方程，而无需进行因式分解或使用其他方法。
一元二次方程的一般形式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，其一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为已知的实数系数，且a不等于0。
我们的目标是求解方程中的未知数x的值。
完全平方公式的表达给定一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在完全平方公式中，± 表示两个不同的解，√代表求平方根。
完全平方公式的推导过程完全平方公式可以通过配方法进行推导，具体过程如下：首先，将一元二次方程ax^2 + bx + c = 0移项得到ax^2 + bx = -c。
然后，我们通过添加一个常数项，使得方程成为一个完全平方。
我们的目标是创建一个二次多项式，其可以被表示为一个完全平方。
为了实现这一点，我们需要将方程右侧的常数项进行调整。
如果需要使方程成为一个完全平方，则我们需要添加一个数使得bx可以写成一个平方项的形式。
考虑到一元二次方程的一般形式，我们可以选择b/2的平方，即(b/2)^2 = b^2/4。
将这个平方项添加到方程右侧，我们可以得到(ax^2 + bx + b^2/4) = -c + b^2/4。
通过移项，我们将该方程转化为(ax + b/2)^2 = b^2 - 4ac/4。
接下来，我们对上式的两边取平方根，得到ax + b/2 = ± √(b^2 - 4ac)/2。
最后，将方程重新整理，我们可以得到完全平方公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)完全平方公式的应用举例通过完全平方公式，我们可以解决任意一元二次方程的问题。
下面是一些应用举例：例子1给定方程2x^2 + 5x - 3 = 0，我们可以通过完全平方公式求解x的值。
完全平方公式(二)公式变形试题讲解
1 1 2 3ab 2 （5） a +______+9b =（ a+3b）2 2 4
你会吗？
选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是（c）
A ．4
B．-4
C．±4
D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则 正方形的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2
达标检测 反思目标
1.（ ）2=ｘ2＋６ｘｙ＋_____ 2.ａ2－ｋａｂ＋９ｂ2是完全平方式，则ｋ＝ _____． 3.计算（－ａ－ｂ）2结果是（ ） Ａ． a2－2ab+b2 Ｂ． a2+2ab+b2 Ｃ． a2+b2 Ｄ． a2－b2 4运用乘法公式计算 1 (1) ( x 1) 2 (2) 1052 (3) (a b 3)(a b 3)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 D （2）代数式2xy-x2-y2= ( A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
5. x y 8, x y 4, 求xy. xy 12
完全平方式. 4 k
4k
k 4
是 4 2
拓展：
思考题：
1 已知： x 3 x 1 2 1 2 求： x 和 (x ) 2 x x
的值
平方差公式完全平方公式
平方差公式完全平方公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)完全平方公式是指将一个二次多项式写成一个平方的形式，即：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2这两个公式在代数中非常重要，可以帮助我们简化计算、理解代数式的结构和性质。
下面，我们分别详细介绍这两个公式。
一、平方差公式我们先来看一个具体的例子：要将25-16表示为两个数的积。
根据平方差公式：25-16=(5+4)(5-4)=9通过平方差公式，我们将25-16这个差值分解为两个数的积，即5+4和5-4相乘得到9、这种分解可以帮助我们更方便地计算。
假设a和b是两个实数，并且a>b。
我们要求a^2-b^2的值。
根据乘法公式，a^2-b^2可以改写为(a-b)(a+b)。
我们可以将a-b视为一个因式，在它的后面添加括号(a+b)。
这样，我们得到了一个完整的乘法运算式：(a-b)(a+b)。
我们可以再次应用乘法公式，将这个式子展开，得到a^2 + ab - ab - b^2我们可以看到，中间的两项ab和-b^2可以合并为0，最终得到a^2 - b^2总结一下，平方差公式的表达式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)这个公式可以帮助我们处理二次差值的问题，简化计算。
完全平方公式是指将一个二次多项式写成一个平方的形式，即：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2我们来看一个具体的例子：要将x^2+6x+9表示为一个平方。
根据完全平方公式：x^2+6x+9=(x+3)^2通过完全平方公式，我们将x^2+6x+9这个二次多项式写成了(x+3)^2的形式。
这种形式更简洁，也更容易理解。
完全平方公式的推导如下：我们假设a和b是两个实数，并且a>b。
我们要求a^2 + 2ab + b^2的值。
根据平方差公式的推导过程，我们可以将a^2 + 2ab + b^2写成一个完整的乘法运算式(a + b)(a + b)。
我们可以再次应用乘法公式，将这个式子展开，得到a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，中间的两项2ab和b^2可以合并为2ab + b^2，最终得到了原来的二次多项式。
完全平方公式(二)
相等的项(a)、 符号相反的项(b)
在本题中分别是什么？
=[ (a+b) +3 ][ (a+b)−−33 ]
=( a+b)2−( 3 )2
=a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 整体，解题中渗透了整体的 思想
例3 计算
1.（x-2y)（x+2y）-（x+2y）2+8Y 2
已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2
(2)a2+b2
若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2 的值吗?
Good bye
(m+n+p)2=[(m+n)+p]2
所得的结果吗?
=(m+n)2+2(m+n)p+p2
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2
=m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np
把所得结果作为推广了的完全 平方公式，试用语言叙述这一公式：
三个数和的完全平方等于 这三个数的平方和， 再加上每两数乘积的2倍。
温馨提示： 1.注意运算的顺序。
2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
学一学
(3) (a+b+3)(a+b-3)
观察 & 思考
若不用一般的多项式乘以多项式 , 怎样用公式来计算 ?
分析
因为两多项式不同, 即
不能写成(
)2,
14.2.2完全平方公式(二)教案
14.2.2完全平方公式（二）
课标对本节课的教学要求
掌握填括号法则，会在式子中进行填括号。
教学目标
会根据去括号法则学习填括号法则，掌握填括号的方法。
教学重点
难点
重点：灵活应用填括号运用乘法公式进行整式的乘法运算。
难点：填括号的灵活应用。
教学准备
投影仪、课件
教学时间
一课时。
教学过程
第（1）课时
三、在公式里运用法则：
例5：
计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）2
四、两公式的综合运用：
1.如果 是一个完全平方公式，则 的值是多少？
2.如果 是一个完全平方公式，则 的值是多少？
学生尝试利用去括号学习填括号。
创设情境使学生体会填括号的作用。
作业安排
112页3题
课堂小结
小结：
利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ板书设计
14.2.2完全平方公式（二）
填括号法则： 例5
课后记
2.
2.解决问题： 在去括号时：
反过来，就得到了添括号法则：（1） （2）
3.理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
4.运用法则：
（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）
（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（）
5.判断下列运算是否正确．
（1）2a-b- =2a-（b- ） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
1.8完全平方公式(二)
(x-2)(x(3)(x+5)2-(x-2)(x-3) 原式= +10x+25解:原式=x2+10x+25-(x2-5x+6) +10x+25- +5x=x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19
练习
2.计算 计算 (1) (a-b-3)(a-b+3) 1 a- 1b) 2( 1 a+ 1 b) 2 _ _ _ _ (2) ( 2 3 2 3
练习
1.利用整式乘法公式计算: 利用整式乘法公式计算: 利用整式乘法公式计算 (1)1982 ; ) 2) (2)2012 .
例2计算: 计算: (1)(x+3) ;(2)(a+b+3)(a+b(1)(x+3)2-x2 ;(2)(a+b+3)(a+b-3). (x-2)(x(3)(x+5)2-(x-2)(x-3) (1)(x+3) +6x+9解: (1)(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2 =6x+9 =6x+9 (2)(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)(2)(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3] a+b+3)(a+b = (a+b)2 -32 =a2+2ab+b2-9
练习
1 1 2+ —的值. 3.已知a+—=5,求a a a2 4.若a -3a+1=0,求a 4. a2-3a+1=0, a4+ 1 的值. . 4 a
1.6完全平方公式二
归纳小结
你有什么 收获？
知识？ 思想方法？ 困惑？
布置作业
必做题：课本第27页习题第1、2、3题； 选做题：课本第27页习题第4题。
(2)第二天有b个女孩一起去了老人家， 老人一共给了这些孩子多少块糖？
情景引入
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。来一个孩子，老人就 给这个孩子一块糖，来两个孩子，老 人就给每个孩子两块糖，来三个，就 给每人三块糖，……
(3)第三天这（a + b)个孩子一起去看老 人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
情景引入
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。来一个孩子，老人就 给这个孩子一块糖，来两个孩子，老 人就给每个孩子两块糖，来三个，就 给每人三块糖，……
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前 两天他们得到的糖果总数哪个多？多 多少？为什么？
初中数学北师大版七年级下册
情景引入
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。来一个孩子，老人就 给这个孩子一块糖，来两个孩子，老 人就给每个孩子两块糖，来三个，就 给每人三块糖，……
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与 前两天他们得到的糖果总数哪个多？ 多多少？为什么？
当堂检测（三）
3.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2的值
情景引入
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。来一个孩子，老人就 给这个孩子一块糖，来两个孩子，老 人就给每个孩子两块糖，来三个，就 给每人三块糖，……
(1)第一天有a个男孩一起去了老人家， 老人一共给了这些孩子多少块糖？
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（1）、 。
（2）、 （） =（）
（3）、若 =9， =5，则xy=。
（4）、9 +（）+ =
=
4、计算。
1、 （2）、
3、 （4）、
５、 （6）、
例1、计算：
例2、１、先化简再求值 ，其中x=1，y=3.
２、计算
主备人：审核人：时间：编号
（三）巩固提高
１、下列各式中，能够成立的等式是
A． B．
一、知识回顾
（1）、请用文字语言叙述平方差公式和完全平方公式：。
。
（2）请用符号语言叙述完全平方公式：。
由（2）可知 + =。
- =。
1、选择题。
（1）、①、
②、 ③、 ④、
上面式子中错误的有(）
A、4个B、3个C、2个D、1个
2）、为了用平方差公式计算（a-b+c）（a+b-c），必须先进行适当的变形，下列变形中正错的是（）
A、
B、
C、
D、
（3）、计算 的结果是（）
A、 B、-
C、 D、
（4）、已知 =4,则 的值是（）
A、4B、8C、16D、12
（5）已知x+y=5，xy=7，则 的值是（）
A、18B、11C、39D、44
（6）、边长为a的正方形，其边长减少b以后所得的正方形面积比原来正方形面积少（）
A、 B、 C、 D、
课题：完全平方公式课型：质疑拓展提升课
学习目标：1、复习完全平方公式和添括号法则的应用。
2、敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难的能力，树立学习数学的自信心。
3、培养分析问题和解决问题的思想，总结、归纳问题的能力。学习环节
学习重点：完全平方公式和添括号法则的应用
学习难点：灵活运用完全平方公式和添括号法则解题。
C． D．
2、下列式子：①
② ③ ④ 中正确的是
A．①B．①②C．①②③D．④
3、
A． B．
C． D．
4、若 ，则M为（）．
A． B． C． D．
5、已知 ，则下列等式成立的是（）
① ②
③ ④
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
６、先化简再求值 ，其中x=4，y=
三、夯实基础
（一）
（1） =（2） =
（3） =（4） =
（5） =（6） =
（7） =（8） =
（二）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）先化简再求值, 其中
学无止境
（1）已知m+n=8,mn=15,求 的值
（2Байду номын сангаас已知mn=15, ，求m-n