考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2009考研数学三真题及答案解析

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2003数一数三考研数学真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩其导函数在0x =处连续,则λ的取值范围是 .(2)已知曲线b x a x y+-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b.(3)设0,a >,01,()()0,,a x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩若其他而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α;E 为n 阶单位矩阵,矩阵T E A αα-=,T aE B αα1+=其中A 的逆矩阵为B ,则a =.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为.(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()f x 为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(= (A ) 在0x =处左极限不存在. (B ) 有跳跃间断点0x =. (C ) 在0x =处右极限不存在.(D ) 有可去间断点0x =.(2)设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是 (A ) ),(0y x f 在0y y=处的导数等于零.(B ) ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C )),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D ) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(3)设2nn n a a p +=,2nn n a a q -=, ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A ) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C )∑∞=1n na若条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(D ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩等于1,则必有(A ) a b =或20a b +=. (B ) a b =或20a b +≠. (C ) a b ≠且20a b +=.(D ) a b ≠且20a b +≠.(5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确．．．的是 (A ) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关.(B ) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,有1122k k αα+0.s s k α++=L(C ) s ααα,,,21 线性无关的充要条件是此向量组的秩为s . (D ) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A ) 321,,A A A 相互独立. (B ) 432,,A A A 相互独立. (C ) 321,,A A A 两两独立.(D ) 432,,A A A 两两独立.三、(本题满分8分) 设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-,试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求 .2222ygx g ∂∂+∂∂五、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D =}.),{(22π≤+y x y x六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足一下条件:)()(x g x f =',)()(x f x g ='且(0)0f =,.2)()(x e x g x f =+(1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求()F x 出的表达式.八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证必存在(0,3)ξ∈,使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为12-.(1)求,a b 的值;(2)利用正交变换将二次型化f 为标准型,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为[1,8],();0,xf x∈=⎩其他()F x是X的分布函数,求随机变量()Y F X=的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立,其中的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X,而Y的概率密度为()f y,求随机变量U X Y=+的概率密度()g u.2003年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】从题意知参数λ是在实数集中取值,这时幂函数xλ的定义域为0x>.故题目中的函数宜改为10,cos,()0.0,xxf x xxλ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若以下讨论这个函数()f x的导函数'()f x在0x=处的连续的条件.显然()f x在0x=可导的充要条件是1λ>,且当1λ>时有'1001cos01(0)lim lim cos0.x xxxf xx xλλ++-+→→-===-由()f x是偶函数,又可得''00()(0)()(0)(0)lim lim(0)0.00x xf x f f x ff fx x---+→→---==-=-=---故当1λ>时,'(0)f存在且等于0.注意,当0x >时,1211'()cossin f x x x x x λλλ--=+; 当0x <时,1211'()cos sin f x xx x xλλλ--=+. 于是()f x 由的导函数在0x =处连续得0lim '()'(0)0x f x f →==,故λ的取值范围是2λ>.(2)【分析】22'()33y x x a =-,令'()0y x =有x a =或x a =-.由题设还有3330a a b -+=或3330a a b -++=,所以32b a =或32b a =-,即264b a =.(3)【分析】由题设知201,01,()()0,x y x a f x g y x ⎧≤≤≤-≤-=⎨⎩若且其他,于是,令1{(,)01,01}{(,)01,1}D x y x y x x y x x y x =≤≤≤-≤=≤≤≤≤+,则1112220()()x xDD I f x g y x dxdy a dxdy adx dy a +=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】按可逆定义,有AB E =,即()111()TTT T T T E E E aa aαααααααααααα-+=+--.由于22T a αα=,而Tαα是秩为1的矩阵,故111(12)0120, 1.2T AB E a a a a a a αα=⇔--=⇔--=⇒==-已知0a <,故应填:1-.(5)【分析】 (0.4),DZ D X DX =-=(,)(,0.4)(,)(,),0.9.XY XY Cov Y Z Cov Y X Cov Y X Cov X Y ρρ=-======(6)【分析】根据简单随机样本的性质,n X X X ,,,21 相互独立都服从参数为2的指数分布,因此22212,,,nX X X L 也都相互独立同分布,且它们共同的期望值为222111()().422i i i EX DX EX =+=+= 根据辛钦大数定律,当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于其期望值12,因此应填:12.二、选择题(1)【分析】由()f x 是奇函数有(0)0f =.又因为)0(f '存在,所以00()(0)()(0)limlim lim ().0x x x f x f f x f g x x x→→→-'===- 由于函数()g x 在点0x =无定义,但存在0lim ()'(0)x g x f →=,所以0x =是()g x 的可去间断点.故应选(D ).(2)【分析】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微,知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在,又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零.从而有000(,)(,)(,)0.y y x y x y df x y f dyy==∂==∂故应选(A ).(3)【分析】利用正项级数的比较判别法,由级数∑∞=1n na绝对收敛以及0,0n n n n p a q a ≤≤≤-≤可知,正项级数∑∞=1n np与1()nn q ∞=-∑都收敛,从而∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛,故应选(B ).(4)【分析】根据伴随矩阵A *秩的关系式,(),()1,()1,0,()1,n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若知()1()2r A r A *=⇔=.若a b =,易见()1r A ≤,故可排除(A ),(B ).当a b ≠时,A 中有2阶子式0a b b a≠,若()2r A =,按定义只需0A =.由于2222(2)().a b a b a b A b a b a b a b b b a +++⎡⎤⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以应选(C ).(5)【分析】按线性相关定义:若存在不全为零的数s k k k ,,,21 ,使11220s s k k k ααα+++=L ,①则称向量组s ααα,,,21 线性相关.即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 有非零解,则向量组s ααα,,,21 线性相关,而非零解就是关系式①中的组合系数.按定义不难看出(B )是错误的,因为①式中的常数s k k k ,,,21 不能是任意的,而应当是齐次方程组的解.所以应选(B ).而向量组s ααα,,,21 线性无关,即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 只有零解,亦即系数矩阵的秩12(,,,)s r s ααα=L.故(C )是正确的,不应当选.因为线性无关等价于齐次方程组只有零解,那么,若s k k k ,,,21 不全为0,则12(,,,)T s k k k L 必不是齐次方程组的解,即必有02211≠+++s s k k k ααα .可知(A )是正确的,不应当选.因为“如果s ααα,,,21 线性相关,则必有11,,,s s ααα+L 线性相关”,所以,若s ααα,,,21 中有某两个向量线性相关,则必有s ααα,,,21 线性相关.那么s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关.因此(D )是正确的,不应当选.(6)【分析】 123411211(),(),(),(),22424P A P A P A P A ===== 124132312311()(),()(),()()044P A A P A P A A P A A P A A A P =====∅=.计算看出121213132323()()(),()()(),()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A ===但是123123()()()()P A A A P A P A P A ≠.因此事件123,,A A A 两两独立但不相互独立.应选(C ).进一步分析,由于事件24A A ⊃,故2A 与4A 不独立.因此不能选(B )与(D ).三、【解】利用sin sin[(1)]sin (1)x x x ππππ=--=-,并令(1)y x π=-,有111(1)sin lim ()lim (1)sin x x x xf x x xπππππ--→→--=+-200001sin 1sin lim lim sin 11cos 1sin 1lim lim .22y y y y y y y yy y y y y y πππππ++++→→→→--=+=+-=+=+=由于()f x 在1[,1)2上连续,因此定义1(1)f π=,就可使()f x 在]1,21[上连续.四、【解】由一阶全微分形式不变性,得221()()()()2f f f f dg d xy d x y ydx xdy xdx ydy u v u v ∂∂∂∂=+-=+--∂∂∂∂ ()()f f f f y x dx x y dy u v u v∂∂∂∂=++-∂∂∂∂.于是,g f f g f f y x x y x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂. 故22222222()()()()g f f f f f f f f y x y y x y x x x u x v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂22222222,f f f f y xy x u u v v v ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ 22222222()()()()g f f f f f f f fx y x x y y x y y y u y v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=----∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 22222222.f f f f x xy y u u v v v ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂ 所以 22222222222222()().g g f f y x x y x y x y u v∂∂∂∂+=+++=+∂∂∂∂五、【解】作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,有2222()2220sin()sin x y r DI eex y dxdy ed r dr πππθ-+-=+=⎰⎰⎰.令2t r =,则0sin t Ie e tdt πππ-=⎰.记0sin t A e tdt π-=⎰,于是sin sin cos t t t A tde e te tdt πππ---=-=-+⎰⎰cos cos sin 1.t t t tde e te tdt e A ππππ----=-=--=+-⎰⎰由此可解得1(1).2A e π-=+ 因此 (1)(1).22I e A e e e πππππππ-==+=+六、【解】将等式21()1(1)(1)2nnn x f x x n ∞==+-<∑逐项求导,得 2121'()(1)(1).1n n n xf x x x x ∞-==-=-<+∑ 上式两边从0到x 积分,有2201()(0)ln(1)(1).12xt f x f dt x x t -=-=-+<+⎰由于(0)1f =,故得到了和函数()f x 的表达式21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<令'()0f x =,可求出函数()f x 有唯一驻点0x =,因为2221''()''(0)10,(1)x f x f x -=-⇒=-<+ 可见()f x 在点0x =处取得极大值,且极大值为(0)1f =.七、【解】(1)由22()'()()()'()()()F x f x g x f x g x f x g x =+=+22[()()]2()()(2)2().x f x g x f x g x e F x =+-=-可知()F x 所满足的一阶微分方程为2'()2()4.xF x F x e+=(2)用2xe同乘方程两边,可得24(())'4xx eF x e =,积分即得22()4,x x e F x e C =+于是方程的通解是22().xx F x eCe -=+将(0)(0)(0)0F f g ==代入上式,可确定常数1C =-.故所求函数的表达式为22().x x F x e e -=-八、【分析】本题关键是证明存在一点[0,3)c ∈,使()1f c =,然后(3)1f =,用用罗尔定理即可.【证明】因为()f x 在[0,3]上连续,所以()f x 在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是(0),(1),(2).m f M m f M m f M ≤≤≤≤≤≤故(0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤这表明1[(0)(1)(2)]3f f f ++是函数()f x 当[0,2]x ∈时的值域[,]m M 上的一个点.由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知,至少存在一点[0,2]c ∈,使(0)(1)(2)()13f f f f c ++==.因为()1(3)f c f ==,且()f x 在[,3]c 上连续,在(,3)c 内可导,所以由罗尔定理知,必存在(0,3)(0,3),ξ∈⊂使.0)(='ξf九、【解】方程组的系数行列式12312312312312300000n n n n n a b a a a a b a a a a a b a a b b A a a a b a bb a a a a bbb+++-=+=-+-L L LL LL M M M M M M MM LL2311000().000000in nn i i a ba a ab b a b b b-=+==+∑∑L L L M M M M L(1)当0b ≠且10ni i a b =+≠∑时,0A ≠,方程组仅有零解.(2)当0b =时,原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=L由10nii a=≠∑可知(1,2,,)i a i n =L 不全为零,不妨设10a ≠.因为秩()1r A =,取23,,,n x x x L 为自由变量,可得到方程组的基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,).T T T n n a a a a a a ααα-=-=-=-L L L L当1n i i b a ==-∑时,由10nii a=≠∑知0b ≠,系数矩阵可化为12312311100001010110000.1010100100000011nn in i a b a a a a a a a a b b A bb bb =⎡⎤+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦∑L L L L L L LM M M M uu r uu r L MM M M L M M MM L LL①②由于秩()1r A n =-,则0Ax =的基础解系是(1,1,1,1)T α=L .十、【解】(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=,由题设,有 12321232(2)1,1,22(2)12.a ab A a b λλλλλλ++=++-=⎧⎪⇒==⎨==--=-⎪⎩(已知0b >). (2)由矩阵A 的特征多项式21021220(2)(2)(3),22202E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-+-+-+得到A 的特征值1232, 3.λλλ===-对于2λ=,由102102(2)0,000000,204000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得到属于2λ=的线性无关的特征向量12(0,1,0),(2,0,1).T T αα==对于3λ=-,由402201(3)0,050010,201000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于3λ=-的特征向量3(1,0,2)T α=-.由于123,,ααα已两两正交,故只需单位化,有123(0,1,0),,2).T T T γγγ===- 那么,令1230(,,)100.0P γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣则P 为正交矩阵,在正交变换x Py =下,有122.3T P AP P AP -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦二次型的标准型为222123223f y y y =+-.十一、【解】易见,当1x <时,()0F x =;当8x >时,()1F x =.对于[1,8]x ∈,有1()1xf x ==⎰.设()G y 是随机变量()Y F X =的分布函数.显然当0y ≤时,()0G y =;当1y ≥时,()1G y =. 对于(0,1)y ∈,有(){}{()}1}G y P Y y P F X y P y =≤=≤=≤33{(1)}[(1)].P X y F y y =≤+=+=于是,()Y F X =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二、【解】设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤0.3{1}0.7{2}0.3{11}0.7{22}.P X Y u X P X Y u X P Y u X P Y u X =+≤=++≤==≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}0.3(1)0.7(2).G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-由此,得U 的概率密度()'()0.3'(1)0.7'(2)0.3(1)0.7(2).g u G u F u F u f u f u ==-+-=-+-。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．）（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1cos )(x x xx x f λ其导函数在0=x 处连续，则λ的取值范围是_________．【答案】λ>2【考点】分段函数的导数、函数连续的概念、无穷小量的性质【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①分段函数求导时，函数连续部分可直接对函数求导，间断点处的导数需要用导数的定义来求； ②导函数也是函数，函数连续需要满足该处极限值与函数值相等； ③有界函数与无穷小的乘积是无穷小，与无穷大的乘积是无穷大；解析:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=--≠+=--+='-→→→---,01cos lim 001cos lim 0)0()(lim ,01sin 1cos )1)(1sin (1cos )(20002121x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x f x x x λλλλλλλλ)(x f ' 在0=x 处连续，∴)(lim 0x f x →与)0(f 都存在且相等，当0→x 时，x 1cos、x1sin 均为有界函数， ∴若要)1sin 1cos (lim )(lim 2100xx x x x f x x --→→+='λλλ存在，必有0lim ,0lim 2010==-→-→λλλx x x x ，01>-∴λ且02>-λ，即2>λ，同理，若要xxx 1coslim 2-→λ存在，必有0lim 20=-→λxx ，即2>λ，此时，0)0()(lim 0==→f x f x综上，λ的取值范围是2>λ．（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为2b ＝_________．【答案】4a^6【考点】平面曲线的切线【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①曲线在切点的斜率为0，即0='y ； ②切点还应满足曲线方程；解析:由题设，在切点处有0332200=-='=a x y x x ，所以.220a x =又在此点y 坐标为0，即b x a x +-=023030,故.44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=（3）设0>a ，⎩⎨⎧≤≤==,,0,10,)()(其他x a x g x f 而D 表示全平面，则⎰⎰=-=Dy x x y g x f I d d )()(_________．【答案】a^2【考点】二重积分的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可；②直接坐标系下，二重积分的运算，可根据被积区域属于X 型还是Y 型来选择适当的方法进行计算；解析: 只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，212101210,102])1[()()(a dx x x a dy dx a dxdy a dxdy x y g x f I x xx y x D=-+===-=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤-≤≤≤.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T TaE B E A αααα1,+=-=, 其中A 的逆矩阵为B ，则=a _________．【答案】1-【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★【详解】解析:)1)((T TaE E AB αααα+-= T T T Ta a E αααααααα⋅-+-=11 TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a aE αααααα21-+-=E aa E T=+--+=αα)121(,于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 已知0a < ,故1a =-.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为9.0，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为_________．【答案】9.0【考点】协方差的性质、相关系数的性质【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：①),cov()4.0,cov(),cov()4.0,cov(),cov(X Y Y X Y X Y Z Y =+=+=； ②相关系数是指随机变量间的线性相关程度；解析:方法1 9.0),(),(=====XY YX YZ DXDY X Y Cov DZ DY Z Y Cov ρρρ方法2 b aX Z +=，若1=a ，则Z 与X 正线性相关，所以Y 与Z 的相关系数与Y 与X 的相关系数相等.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，211i n i n X n Y ∑==依概率收敛于_________．【答案】1/2【考点】常用分布的数字特征、大数定律【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①X 服从参数为λ的指数分布，则21)(,1)(λλ==X D X E ；②一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值；解析:22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，则根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于21]41)21[(1])[(11)1()(12121212=+=+===∑∑∑∑====n i n i i i n i i n i i n n DX EX n EX n X n E Y E .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0('f 存在，则函数xx f x g )()(=（）（A ）在0=x 处左极限不存在．（B ）有跳跃间断点0=x ．（C ）在0=x 处右极限不存在．（D ）有可去间断点0=x ．【答案】D【考点】函数间断点的类型、导数的概念【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①导数的定义公式000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→；②可去间断点的定义：左右极限存在且相等，但不等于函数值或函数在该点没有定义；解析:显然0x =为()g x 的间断点，且由()f x 为不恒等于零的奇函数知，(0)0f =.于是有)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故0x =为可去间断点. （2）设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是（）（A ）),(0y x f 在0y y =处的导数等于零．（B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零．（C ）),(0y x f 在0y y =处的导数小于零．（D ）),(0y x f 在0y y =处的导数不存在．【答案】A【考点】全微分存在的必要条件【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①可微必有偏导数存在；②多元函数取极值的必要条件：0),(,0),(0000='='y x f y x f yx ；解析:可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（3）设2||n n n a a p +=，2||n n n a a q -=，n ＝2,1…，则下列命题正确的是（）（A ）若n n a∑∞=1条件收敛，则nn p∑∞=1与n n q∑∞=1都收敛．（B ）若n n a∑∞=1绝对收敛，则n n p ∑∞=1与n n q∑∞=1都收敛．（C ）若n n a∑∞=1条件收敛，则nn p∑∞=1与nn q∑∞=1的敛散性都不定．（D ）若n n a∑∞=1绝对收敛，则nn p∑∞=1与n n q∑∞=1的敛散性都不定．【答案】B【考点】绝对收敛与收敛的关系、收敛级数的基本性质【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①如果级数∑∞=1n nu各项的绝对值所构成的正项级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；如果级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=1n nu发散，则称级数∑∞=1n nu条件收敛；②如果级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛；③如果级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv分别收敛于和s 、δ，则级数∑∞=±1)(n n nv u也收敛，且其和为δ±s ；解析:∑∞=1n n a 绝对收敛，即∑∞=1n n a 收敛，当然也有级数∑∞=1n n a 收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）（A ）b a =或02=+b a ．（B ）b a =或02≠+b a ．（C ）b a ≠且02=+b a ．（D ）b a ≠且02≠+b a ．【答案】C 【考点】矩阵的秩【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①(2)n n ≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A *的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r②若n 阶矩阵A 不满秩，则必有0=A ;解析:方法1 根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系知，秩(A )=2，故有2(2)()0a b bb a b a b a b b b a=+-=，即有02=+b a 或a b =. 但当a b =时，显然秩(A)2≠, 故必有 a b ≠且02=+b a . 方法2 根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系知，秩(A )=2 将A 作初等行变换00a b b ab b A b a b b a a b b b a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，不合题意（排除(A)\(B)）故a b ≠201100100101001ab b a b b a b b b A b a a b b a a b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2.（5）设n ααα 21,均为n 维向量，下列结论不正确．．．的是（）（A ）若对于任意一组不全为零的数s k k k 21,，都有0221≠+++s s k k k ααα ，则s ααα 21,线性无关．（B ）若s ααα 21,线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k 21,，有0221=+++s s k k k ααα ．（C ）s ααα 21,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ．（D ）s ααα 21,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．【答案】B【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★【详解】解析:(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα 不成立. (C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，成立. (D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，成立. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1＝{掷第一次出现正面}，A 2＝{掷第二次出现正面}，A 3＝{正、反面各出现一次}，A 4＝{正面出现两次}，则事件（）（A ）A 1，A 2，A 3相互独立．（B ）A 2，A 3，A 4相互独立．（C ）A 1，A 2，A 3两两独立．（D ）A 2，A 3，A 4两两独立．【答案】C【考点】事件的独立性【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①B A ,两事件相互独立的充要条件为：)()()(B P A P AB P = ②,,A B C 三事件相互独立的充要条件为：1）,,A B C 两两相互独立；2）)()()()(C P B P A P ABC P =. 解析:方法1 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且41)(21=A A P ， 41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立.方法2 由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立. 可见（A ）（B ）必不正确，因为如果（A ）（B ）正确，则（C ）（D ）必也正确，但正确答案不能有两个因此只要检查（C ）和（D ）{}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A φ==≠=,432,,A A A 不两两独立.三、（本题满分8分）设)1(π1πsin 1π1)(x x x x f --+=，)1,21[∈x 试补充定义f （1）使得f （x ）在]1,21[上连续．【考点】函数连续的概念、函数左极限与右极限的概念【难易度】★★★【详解】解析:])1(π1πsin 1π1[lim )(lim 11x x x x f x x --+=--→→π1)π()π(61lim π1πtsin ππt sin πlim π1]π1πt sin 1[lim π1]π1πt)πsin(1[lim π11])1(π1πsin 1[lim π12300001=+=-+=-+=--+-=--+=++++-→→→→→t t t t t t x t x x t t t t x 由于()f x 在)1,21[上连续，因此定义 π1)1(=f ，使()f x 在]1,21[上连续.四、（本题满分8分）设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又2(21,[),(x xy f y x g =)]2y -，求 2222y gx g ∂∂+∂∂.【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★★ 【详解】解析:vfx u f y x v v f x u u f x g ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，vf y u f x y v v f y u u f yg ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂∴2222222222， vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222， 12222=∂∂+∂∂vfu f ， 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂∴=.22y x + 五、（本题满分8分）计算二重积分y x y x I y x Dd d )sin(e22)π(22+=-+-⎰⎰，其中积分区域}π|),{(22≤+=y x y x D ．【考点】二重积分的计算【难易度】★★★ 【详解】解析:y x y x I y x Dd d )sin(e22)π(22+=-+-⎰⎰dxdy y x eeDy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 20022dr r red e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则dt t e d e I t ⎰⎰-=πππθ200sin 21.记tdt e A t sin 0⎰-=π，则0sin t t A e tde π--=-⎰=]cos sin [0⎰----ππtdt e te t t=⎰--πcos ttde =]sin cos [0tdt e te t t⎰--+-ππ=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ， ⎰+=+=+=--ππππππππθ20).1(2)1(2)1(2121e e e d e e I).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六、（本题满分9分）求幂级数)1|(|2)1(121<-+∑∞=x n x nnn 的和函数)(x f 及其极值．【考点】幂级数的和函数、函数的极值【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.解析: 等式21()1(1)(1)2nnn x f x x n ∞==+-<∑两边求导得212212211()(1)(1)(1).1nn nn n n n n n xf x xx xx x x∞∞∞--+==='=-=-=-=-+∑∑∑ 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由(0)1f =, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =. 由于2221()10,(1)x f x x -''=-=-<+01)0(<-=''f ，所以()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f = 七、（本题满分9分）设)()()(x g x f x F =，其中函数)(),(x g x f 在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='且0)0(=f x e x g x f 2)()(=+．（1）求)(x F 所满足的一阶微分方程；（2）求出)(x F 的表达式．【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q Ce y dx x p dx x p )()()( 解析:（1）由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2xe x F x F =+' 相应的初始条件为(0)(0)(0)0Ffg ==.（2）]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰- =]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x x Ce e -+将(0)0F =代入上式，得1C =- 所以.)(22x x e e x F --= 八、（本题满分8分）设函数)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ．试证必存在)3,0(∈ξ，使0)(='ξf ．【考点】罗尔定理、介值定理【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①介值定理推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值； ②罗尔定理如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续（2）在开区间),(b a 内可导（3）在区间端点处得函数值相等，即)()(b f a f = 那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得0)(='ξf .解析: ()f x 在]3,0[上连续，所以()f x 在]2,0[上连续，且在]2,0[上必有最大值M 和最小值m ，∴M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(. ∴.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为)3(1)(f c f ==, 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中01=/∑=ini a试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．【考点】齐次线性方程组解的判定【难易度】★★★ 【详解】解析:方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a n n n n ++++=321321321321||A bbb bb ba a ab a n000000321---+= bb b a a a b an i00000032∑+=).(11b a b ni i n +=∑=-（1）当0≠b 且01=/+∑=b aini 时，0≠A ，方程组仅有零解．（2）当0=b 时，原方程组的同解方程组为02211=+++n n x a x a x a ．由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当i n i a b ∑=-=1时，由01=/∑=ini a知b ≠0，系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni in ni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由于秩1)(-=n A r ，则0=Ax 的基础解系是T)1,,1,1( =α．十、（本题满分13分）设二次型),0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为－12．（1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．【考点】矩阵的特征值的性质、用正交变换化二次型为标准形【难易度】★★★★ 【详解】解析:（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得1,2a b ==-. (2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]1232105501012055Q ηηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=;,0],8,1[,31)(32其他x x x f )(x F 是X 的分布函数，求随机变量)(x F Y =的分布函数．【考点】连续型随机变量分布函数的计算【难易度】★★★ 【详解】解析:当1x <时，()0F x =; 当8x > 时，()1F x =.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数. 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1. 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为)(y f ，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g ．【考点】多个相互独立随机变量简单分布函数的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.②两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算解析:设()F Y 是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U X Y =+的分布函数为}{}{)(u Y X P u U P u G ≤+=≤==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{G u P Y u P Y u =≤-+≤-=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f。

考研真题及详解-考研数三(2003-2017年)历年真题

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设其导函数在处连续，则的取值范围是_________.(2) 已知曲线与轴相切，则可以通过表示为_________.(3) 设，而表示全平面，则=_________.(4) 设维向量，为阶单位矩阵，矩阵，，其中的逆矩阵为，则_________.(5) 设随机变量和的相关系数为，若，则与的相关系数为_________.(6) 设总体服从参数为的指数分布，为来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于_________.二、选择题：7~12小题，每小题4分，共24分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数：(A) 在处左极限不存在(B) 有跳跃间断点(C) 在处右极限不存在(D) 有可去间断点(8) 设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是：(A) 在处的导数等于零(B) 在处的导数大于零(C) 在处的导数小于零(D) 在处的导数不存在.(9) 设，，，则下列命题正确的是：(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不确定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不确定.(10) 设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩等于，则必有：(A) 或(B) 或(C) 且(D)且.(11) 设均为维向量，下列结论不正确的是：(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(12) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，= {正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件：(A) 相互独立(B) 相互独立(C)两两独立(D) 两两独立.三、解答题：13~22小题，共102分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(13) (本题满分8分)设，试补充定义使得在上连续.(14) (本题满分8分)设具有二阶连续偏导数，且满足，又，求(15) (本题满分8分)计算二重积分，其中积分区域(16) (本题满分9分)求幂级数的和函数及其极值.(17) (本题满分9分)设，其中函数在内满足以下条件：，且，(I) 求所满足的一阶微分方程；(II) 求出的表达式.(18) (本题满分8分)设函数在上连续，在内可导，且.试证必存在，使(19) (本题满分13分)已知齐次线性方程组其中试讨论和满足何种关系时，(I) 方程组仅有零解；(II) 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.(20) (本题满分13分)设二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为，特征值之积为.(I) 求的值；(II) 利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.(21) (本题满分13分)设随机变量的概率密度为是的分布函数.求随机变量的分布函数.(22) (本题满分13分)设随机变量与独立，其中的概率分布为而的概率密度为，求随机变量的概率密度.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上．(1) 若，则_________，_________.(2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且，则_________.(3) 设则_________.(4) 二次型的秩为_________.(5) 设随机变量服从参数为的指数分布，则=_________.(6) 设总体服从正态分布，总体服从正态分布，和分别是来自总体和的简单随机样本，则_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(7) 函数在下列哪个区间内有界：(A)(B)(C).(D) .(8) 设在内有定义，且，则：(A) 必是的第一类间断点.(B) 必是的第二类间断点.(C) 必是的连续点.(D) 在点处的连续性与a的取值有关.(9) 设，则：(A) 是的极值点，但不是曲线的拐点.(B) 不是的极值点，但是曲线的拐点.(C)是的极值点，且是曲线的拐点.(D) 不是的极值点，也不是曲线的拐点.(10) 设有以下命题：①若收敛，则收敛.②若收敛，则收敛.③若，则发散.④若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是：(A) ①②.(B) ②③.(C) ③④.(D) ①④.(11) 设在上连续，且，则下列结论中错误的是：(A) 至少存在一点，使得>.(B) 至少存在一点，使得>.(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得=.(12) 设阶矩阵与等价，则必有：(A) 当时，(B) 当时，.(C) 当时，.(D) 当时，.(13) 设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系：(A) 不存在(B) 仅含一个非零解向量(C) 含有两个线性无关的解向量(D) 含有三个线性无关的解向量.(14) 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则=(A)(B)(C)(D) .三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)求，其中是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设在上连续，且满足，.证明：.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性(>)；(II) 推导(其中为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为.求:(I) 所满足的一阶微分方程；(II)的表达式.(20) (本题满分13分)设，，，，试讨论当为何值时，(I) 不能由线性表示；(II) 可由唯一地线性表示，并求出表示式；(III) 可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.(21) (本题满分13分)设阶矩阵.(I) 求的特征值和特征向量；(II) 求可逆矩阵，使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设为两个随机事件，且，，，令求(I) 二维随机变量的概率分布；(II) 与的相关系数；(III) 的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量的分布函数为其中参数.设为来自总体的简单随机样本，(I) 当时，求未知参数的矩估计量；(II) 当时，求未知参数的最大似然估计量；(III) 当时，求未知参数的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限=_________.(2) 微分方程满足初始条件的特解为_________.(3) 设二元函数，则_________.(4) 设行向量组，，，线性相关，且，则_________.(5) 从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则=_______ __.(6) 设二维随机变量的概率分布为若随机事件与相互独立，则=_________，=_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 当取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点：(A) .(B)(C)(D) .(8) 设，，，其中，则：(A)(B) .(C)(D) .(9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是：(A) 收敛，发散(B)收敛，发散(C) 收敛(D) 收敛(10)设，下列命题中正确的是：(A) 是极大值，是极小值(B) 是极小值，是极大值(C) 是极大值，也是极大值(D) 是极小值，也是极小值.(11)以下四个命题中，正确的是：(A)若在内连续，则在内有界(B) 若在内连续，则在内有界(C) 若在内有界，则在内有界(D) 若在内有界，则在内有界(12) 设矩阵=满足，其中是的伴随矩阵，为的转置矩阵.若为三个相等的正数，则为：(A)(B)(C)(D)(13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是：(A)(B)(C)(D)(14) 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知.现从中随机抽取个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为的置信区间是：(A)(B)(C)(D)（注：大纲已不要求）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)设具有二阶连续导数，且，求.(17) (本题满分9分)计算二重积分，其中.(18) (本题满分9分)求幂级数在区间内的和函数.(19) (本题满分8分)设在上的导数连续，且，，.证明：对任何，有.(20) (本题满分13分)已知齐次线性方程组(I) 和 (II)同解，求的值.(21) (本题满分13分)设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵.(I) 计算，其中；(II) 利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.(22) (本题满分13分)设二维随机变量的概率密度为求：(I) 的边缘概率密度;(II) 的概率密度;(Ⅲ) .(23) (本题满分13分)设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为，记.求：(I) 的方差；(II)与的协方差；(III) 若是的无偏估计量，求常数.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) _________.(2) 设函数在的某邻域内可导，且，则_________.(3) 设函数可微，且，则在点处的全微分_________.(4) 设矩阵，为阶单位矩阵，矩阵满足，则_________.(5) 设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______ __.(6) 设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差，则=_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则：(A)(B)(C)(D)(8)设函数在处连续，且，则：(A) 存在(B) 存在(C) 存在(D) 存在(9)若级数收敛，则级数：(A) 收敛(B) 收敛(C) 收敛(D) 收敛(10) 设非齐次线性微分方程有两个的解为任意常数，则该方程的通解是：(A)(B)(C)(D)(11) 设均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是：(A) 若(B) 若(C) 若(D) 若(12) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是：(A) 若线性相关，则线性相关(B) 若线性相关，则线性无关(C) 若线性无关，则线性相关(D) 若线性无关，则线性无关(13) 设为阶矩阵，将的第行加到第行得，再将的第列的倍加到第列得，记，则：(A)(B)(C)(D) .(14) 设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则必有：(A)(B)(C)(D)三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分7分)设，求(I) ；(II) .(16) (本题满分7分)计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.(17) (本题满分10分)证明：当时，.(18) (本题满分8分)在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于.(I) 求的方程；(II) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.(19) (本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(20) (本题满分13分)设维向量组，，，，问为何值时线性相关?当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21) (本题满分13分)设阶实对称矩阵的各行元素之和均为，向量是线性方程组的两个解.(I) 求的特征值与特征向量；(II) 求正交矩阵和对角矩阵，使得；(III) 求及，其中为阶单位矩阵.(22) (本题满分13分)设随机变量的概率密度为令，为二维随机变量的分布函数.求：(I) 的概率密度；(II) ；(III) .(23) (本题满分13分)设总体的概率密度为其中是未知参数（），为来自总体的简单随机样本.记为样本值中小于的个数，求：(I) 的矩估计；(II) 的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1) 当时，与等价的无穷小量是：(A)(B)(C)(D) .(2) 设函数在处连续，则下列命题错误的是：(A) 若存在，则(B) 若存在，则.(C) 若存在，则存在.(D) 若存在，则存在.(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：(A)(B)(C)(D)(4) 设函数连续，则二次积分等于：(A)(B)(C)(5) 设某商品的需求函数为，其中分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于，则商品的价格是：(A)(B)(C)(D)(6) 曲线渐近线的条数为：(A)(B)(C)(D)(7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是：(A)(B)(C)(D)(8) 设矩阵，，则与：(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似(D) 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第次命中目标的概率为：(A)(B)(C)(D)(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为：(A)(B)(C)(D) .二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．(11) _________.(12) 设函数，则_________.(13) 设是二元可微函数，则_________.(14) 微分方程满足的特解为=_________.(15) 设矩阵则的秩为_________.(16) 在区间中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于的概率为_________.三、解答题：17～24小题，共86分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本题满分10分)设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性. (18) (本题满分11分)设二元函数计算二重积分，其中.设函数在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又，＝，证明：(I) 存在使得；(II) 存在使得(20) (本题满分10分)将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.(21) (本题满分11分)设线性方程组①与方程②有公共解，求的值及所有公共解.(22) (本题满分11分)设阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量.记，其中为阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵.(23) (本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(I) 求；(II)求的概率密度.设总体的概率密度为，其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数在区间上连续，则是函数的：(A) 跳跃间断点(B) 可去间断点(C) 无穷间断点(D) 振荡间断点.(2) 如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于：(A) 曲边梯形面积(B) 梯形面积(C) 曲边三角形面积(D) 三角形面积.(3) 设则：(A) 存在，存在(B) 不存在，存在(C) 存在，不存在(D) ，都不存在.(4) 设函数连续.若，其中区域为图中阴影部分，则(A)(B)(C)(D)(5) 设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若，则：(A) 不可逆，不可逆(B) 不可逆，可逆(C) 可逆，可逆(D) 可逆，不可逆.(6) 设，则在实数域上与合同的矩阵为：(A)(B)(C)(D)(7) 随机变量独立同分布，且的分布函数为，则分布函数为：(A)(B)(C)(D)(8) 设随机变量，且相关系数，则：(A)(B)(C)(D)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数在内连续，则_________.(10) 设函数，则_________.(11) 设，则_________.(12) 微分方程满足条件的解是_________.(13) 阶矩阵的特征值为，为三阶单位矩阵，则_________.(14) 设随机变量服从参数为的泊松分布，则_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分9分)求极限.(16) (本题满分10分)设是由方程所确定的函数，其中具有阶导数且.(I) 求；(II) 记，求.计算其中.(18) (本题满分10分)设是周期为的连续函数，(I) 证明对任意的实数，都有；(II) 证明是周期为的周期函数．(19) (本题满分10分)设银行存款的年利率为，并依年复利计算.某基金会希望通过存款万元实现第一年提取万元，第二年提取万元，，第年取出万元，并能按此规律一直提取下去，问至少应为多少万元？(20) (本题满分12分)设元线性方程组，其中，，，(I) 证明行列式；(II) 当为何值时，该方程组有唯一解，并求；(III) 当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21) (本题满分10分)设为阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足.(I) 证明线性无关；(II) 令，求.设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为记.求：(I) ；(II) 求的概率密度．(23) (本题满分11分)设是总体的简单随机样本.记，，(I) 证明是的无偏估计量；(II) 当时，求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数的可去间断点的个数为：(A) .(B) .(C) .(D) 无穷多个.(2)当时，与是等价无穷小：(A) .(B).(C) .(D) .(3)使不等式成立的的范围是：(A) .(B) .(C) .(D) .(4)设函数在区间上的图形为：则函数的图形为：(A)(B)(C)(D)(5)设均为阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为：(A) .(B) .(C) .(D).(6)设均为阶矩阵，为的转置矩阵，且.若，则为：(A) .(B) .(C).(D) .(7)设事件与事件互不相容，则：(A) .(B) .(C) .(D) .(8)设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为.记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为：(A).(B) .(C) .(D) .二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)_________.(10)设，则_________.(11)幂级数的收敛半径为_________.(12)设某产品的需求函数为，其对价格的弹性，则当需求量为件时，价格增加元会使产品收益增加_________元.(13)设，.若矩阵相似于，则_________.(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数的极值.(16) (本题满分10分)计算不定积分.(17) (本题满分10分)计算二重积分，其中.(18)(本题满分11分)(I) 证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得.(II) 证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.(19)(本题满分10分)设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程.(20)(本题满分11分)设，(I) 求满足的所有向量；(II) 对(I)中的任意向量，证明：线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型.(I) 求二次型的矩阵的所有特征值；(II) 若二次型的规范形为，求的值.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(I) 求条件概率密度；(II) 求条件概率.(23)(本题满分11分)袋中有个红球，个黑球与个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(I) 求；(II) 求二维随机变量的概率分布.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)若，则等于(A) .(B) .(C) .(D) .(2)设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则：(A) .(B) .(C) .(D) .(3)设函数具有二阶导数，且，若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是：(A) .(B) .(C) .(D) .(4)设，则当充分大时有：(A) .(B) .(C) .(D) .(5)设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是：(A) 若向量组线性无关，则.(B) 若向量组线性相关，则.(C) 若向量组线性无关，则.(D) 若向量组线性相关，则.(6)设为阶实对称矩阵，且，若的秩为，则相似于：(A).(B) .(C) .(D) .(7)设随机变量的分布函数则=(A) 0.(B) .(C) .(D) .(8)设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：(A).(B) .(C) .(D) .二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设可导函数由方程确定，则_________.(10)设位于曲线下方，轴上方的无界区域为，则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为_________.(11)设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则=________ _.(12)若曲线有拐点，则_________.(13)设为阶矩阵，且，则=_________.(14)设是来自总体的简单随机样本，记统计量，则_________.或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限.(16)(本题满分10分)计算二重积分，其中由曲线与直线及围成. (17)(本题满分10分)求函数在约束条件下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I) 比较与的大小，说明理由；(II) 记，求极限.(19)(本题满分10分)设函数在上连续，在内存在二阶导数，且.(I) 证明存在，使；(II) 证明存在，使．(20)(本题满分11分)设，已知线性方程组存在个不同的解.(I) 求，；(II) 求方程组的通解.(21)(本题满分11分)设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第列为，求.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，，，求常数及条件概率密度．(23)(本题满分11分)箱中装有个球，其中红、白、黑球的个数分别为个，现从箱中随机地取出个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数.(I) 求随机变量的概率分布；(II) 求.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)已知当时，函数与是等价无穷小，则：(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(2)设函数在处可导，且，则=(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(3)设是数列，则下列命题正确的是：(A) 若收敛，则收敛.(B) 若收敛，则收敛.(C) 若收敛，则收敛.(D) 若收敛，则收敛.(4)设，，，则的大小关系是：(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(5)设为阶矩阵，将的第列加到第列得矩阵，再交换的第行与第行得单位矩阵，记，，则(A) ．(B)．(C) ．(D) ．(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为：(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(7)设与为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是：(A)．(B) ．(C) ．(D) ．(8)设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量和，有：(A) ，．(B) ，．(C) ，．(D) ，．(9)设，则_________.(10)设函数，则_________.(11)曲线在点处的切线方程为_________.(12)曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为______ ___.(13)设二次型的秩为，的各行元素之和为，则在正交变换下的标准形为_________.(14)设二维随机变量服从正态分布，则=_________.明、证明过程或演算步骤．(15) (本题满分10分)求极限．(16) (本题满分10分)已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，，求.(17) (本题满分10分)求.(18) (本题满分10分)证明方程恰有两个实根.(19) (本题满分10分)设函数在上具有连续导数，，且满足，，求的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组不能由向量组线性表示．(I) 求的值；(II) 将用线性表示.(21) (本题满分11分)设为阶实对称矩阵，的秩为，且．(I) 求的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵．(22) (本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且．(I) 求二维随机变量的概率分布；(II) 求的概率分布；(III) 求与的相关系数．(23) (本题满分11分)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域．(I) 求边缘概率密度；(II) 求条件概率密度．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)曲线渐近线的条数为：(A) .(B) .(C) .(D) .(2)设函数，其中为正整数，则：(A) .(B) .(C).(D) .(3)设函数连续，则二次积分：(A) .(B) .(C) .(D) .(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则：(A).(B) .(C) .(D) .(5)设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为：(A) .(B) .(C) .(D) .(6)设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且.若，，则：(A) .(B) .(C) .(D).(7)设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则：(A) .(B) .(C) .(D) .(8)设为来自总体（）的简单随机样本，则统计量的分布为：(A).(B) .(C) .(D) .(9)_________.(10)设函数，，则_________.(11)设连续函数满足，则_________.(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.(13)设为阶矩阵，，为的伴随矩阵.若交换的第行与第行得矩阵，则_________.(14)设是随机事件，与互不相容，则_________.证明过程或演算步骤．(15) (本题满分10分)求极限.(16) (本题满分10分)计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.。

大学历年考研真题-2009年全国硕士研究生入学统一考试(数三)试题及答案

2009—数三真题、标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1.(B)2. (C)3.(D)无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是(A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ.(D)(,)π+∞.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(B)**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →= .（10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.（Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2211y y +，求a 的值.（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0x e y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ；（Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦. （23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦；（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2. (C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.【答案】A.【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).所以本题选(A).（3）使不等式1sin ln xtdt x t>⎰成立的x 的范围是 (A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ. (D)(,)π+∞.【答案】A.【解析】原问题可转化为求111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t --==>⎰⎰成立时x 的取值范围，由1sin 0tt->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A).（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(B)**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O BOB AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为(B).（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】A.【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即： 12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.【答案】D.【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =(A)()()1()P AB P A B P A B ==-U U ，因为()P A B U 不一定等于1，所以(A)不正确. (B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除.(D)()()1()1P A B P AB P AB ==-=U ，故(D)正确.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（） (A) 0. (B)1. (C)2 .(D)3.【答案】 B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y Q 独立1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选(B).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →= .【答案】32e .【解析】cos cos 10xx x x -→→=02(1cos )lim 13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =. （10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .【答案】2ln 21+. 【解析】由()xy z x e=+，故()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦ 代入1x =得，()ln 21,01ln 22ln 212ze x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . 【答案】1e. 【解析】由题意知，()210nn n e a n --=>()()()()111122122111()11111n n n n n nn n nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元. 【答案】8000.【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q PQξ'==-，所以0.2Q P Q '=- 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+= 将10000Q =代入有()8000QP '=.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .【答案】2.【解析】T αβ相似于300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据相似矩阵有相同的特征值，得到Tαβ的特征值为3，0，0.而T αβ为矩阵Tαβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = . 【答案】2np【解析】由222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=，2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=，故10,x y e= =. 2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =. 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>Q 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t =+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C ++=+-+--+=+-⎰（17）（本题满分10 分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--. 根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为22()()11x x t t V f dx f dx ππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：()1x ts f dx =⎰，则由题可知22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰两边对t 求导可得22()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰ V继续求导可得''2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得'1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y -=⇒+=，解之得1223t c y y -=⋅+在V 式中令1t =，则2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴=Q ，代入1223t cyy -=+得11,2)33c t y =∴=+.所以该曲线方程为：230y x +=.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-=求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令231,0x x =-=，由20A x =得11x = 令230,1x x ==-，由20A x =得10x =求得特解21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故 3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中23,k k 为任意常数（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠故123,,ξξξ 线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2211y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+.（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0x e y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦ 【解析】（Ⅰ）由0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它得其边缘密度函数()0xx x x f x e dy xe x --== >⎰故 |(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== << 即 |1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它（Ⅱ）[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤而111011[1,1](,)12xx x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0xxyY yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦.②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======。

考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题

考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。

考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。

第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。

A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。

第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。

考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2003考研数学三真题及答案解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____. （2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为________. （3）设a>0，而D 表示全平面，则=_______.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵，，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ]λb x a x y +-=2332b =2b ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=4.0-=X Z n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 121)0(f 'xx f x g )()(=),(00y x ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ ] （5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分）2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，，且f(0)=0,(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组其中试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ]1,21[12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222y gx g ∂∂+∂∂.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x ∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)3,0(∈ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a .01≠∑=ni ian a a a ,,,21(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是. 【分析】当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当时，有显然当时，有，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为 . 【分析】曲线在切点的斜率为0，即，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到与a 的关系.【详解】由题设，在切点处有，有)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X λ2>λ≠x 1>λ,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ2>λ)0(0)(lim 0f x f x '=='→b x a x y +-=2332b =2b 64a 0='y 2b 03322=-='a x y .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有,故【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，而D 表示全平面，则= .【分析】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ==【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵，，其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】这里为n 阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有====,于是有，即，解得由于A<0 ,故a=-1. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】利用相关系数的计算公式即可. 【详解】因为0300230=+-=b x a x .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(2a 10,10≤-≤≤≤x y x ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102.])1[(2121012adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=T αα22a T =ααE AB =)1)((T T a E E AB αααα+-=T T T T a a E αααααααα⋅-+-11T T T T a a E αααααααα)(11-+-T T T a a E αααααα21-+-E aa E T =+--+αα)121(0121=+--a a 0122=-+a a .1,21-==a a 4.0-=X Z )4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y= =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且于是有 cov(Y ,Z)==【评注】注意以下运算公式：，（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于 .【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】这里满足大数定律的条件，且=，因此根据大数定律有依概率收敛于二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在处连续，则.（2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--.DX DZ =DZDY Z Y ),cov(.9.0),cov(==XY DYDXY X ρDX a X D =+)().,cov(),cov(Y X a Y X =+n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 12121n X X X ,,,21 ).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i 22221,,,nX X X 22)(i i i EX DX EX +=21)21(412=+∑==n i i n X n Y 121.21112=∑=n i i EX n )0(f 'xx f x g )()(=)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 0x x =.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→),(00y x(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ A ] 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，在处的导数即；而在处的导数即【评注2】本题也可用排除法分析，取，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ B ]【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛，再根据，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x 0),(00='y x f y ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x f y '),(0y x f 0x x =).,(00y x f x '22),(y x y x f +=2),0(y y f =2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n na∑∞=1n na2nn n a a p +=2nn n a a q -=∑∞=1n np∑∞=1n nq（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有，即有或a=b.但当a=b 时，显然秩(A), 故必有 a b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n 阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：（5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数,都有，则必线性无关，因为若线性相关，则存在一组不全为零的数,使得，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数，都有 (B)不成立.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a 02=+b a 2≠≠)2≥.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα(C) 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组的秩为s ，则线性无关，因此(C)成立.(D) 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数，使得成立，则线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】因为，，，，且，，，，可见有，，，，.故两两独立但不相互独立；不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三、（本题满分8分）设s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A 21)(1=A P 21)(2=A P 21)(3=A P 41)(4=A P 41)(21=A A P 41)(31=A A P 41)(32=A A P 41)(42=A A P 0)(321=A A A P )()()(2121A P A P A A P =)()()(3131A P A P A A P =)()()(3232A P A P A A P =)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠)()()(4242A P A P A A P ≠321,,A A A 432,,A A A ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.【分析】只需求出极限，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】因为= === =由于f(x)在上连续，因此定义，使f(x)在上连续.【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求的极限，可以适当简化.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：，，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用【详解】， ]1,21[)(lim 1x f x -→)(lim 1x f x -→])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππxx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→.1π)1,21[π1)1(=f ]1,21[+→0y 12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222ygx g ∂∂+∂∂),(v u f g =)(21,22y x v xy u -==.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂故，所以 =【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：，有=令，则.记，则==== 因此，【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222.2222222222vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂.22y x +.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x θθsin ,cos r y r x ==dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ2r t =tdt e e I t sin 0⎰-=πππtdt e A t sin 0⎰-=πt t de e A --⎰-=int 0π]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t ⎰--πcos t tde ]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ.1A e -+-π)1(21π-+=e A ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】上式两边从0到x 积分，得由f(0)=1, 得令，求得唯一驻点x=0. 由于，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，，且f(0)=0,(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由== =(2-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x .1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f ).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 0)(='x f ,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=')()(22x f x g +)()(2)]()([2x g x f x g x f -+2)x e(2)==将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c ，使得，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是，， . 故由介值定理知，至少存在一点，使因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在，使【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组.4)(2)(2x e x F x F =+']4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-]4[42C dx e e x x +⎰-.22x x Ce e -+.)(22x x e e x F --=)3,0(∈ξ.0)(='ξf )3,0[∈)3(1)(f c f ==13)2()1()0(=++f f f M f m ≤≤)0(M f m ≤≤)1(M f m ≤≤)2(.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤]2,0[∈c .13)2()1()0()(=++=f f f c f )3,0()3,(⊂∈c ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式=(1) 当时且时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为由可知，不全为零. 不妨设，得原方程组的一个基础解系为，，当时，有，原方程组的系数矩阵可化为.01≠∑=ni ian a a a ,,,21 ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321).(11∑=-+ni i n a b b0≠b 01≠+∑=ni iab .02211=+++n n x a x a x a 01≠∑=ni ia),,2,1(n i a i =01≠a T a a )0,,0,1,(121 -=αT a a )0,,1,0,(132 -=α.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α∑=-=ni iab 10≠b ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以倍）（将第n 行倍到第2行的倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）由此得原方程组的同解方程组为，， . 原方程组的一个基础解系为【评注】本题的难点在时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f 的矩阵为∑=-ni ia11→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a n a -2a -→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 12x x =13x x =1,x x n = .)1,,1,1(T =α∑=-=ni iab 1T )1,,1,1( =α)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T设A 的特征值为由题设，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式，得A 的特征值对于解齐次线性方程组，得其基础解系，对于，解齐次线性方程组，得基础解系由于已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得，，令矩阵，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有.20020⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=b A ).3,2,1(=i i λ1)2(2321=-++=++a λλλ.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ)3()2(220202012+-=+----=-λλλλλλA E .3,2321-===λλλ,221==λλ0)2(=-x A E T )1,0,2(1=ξ.)0,1,0(2T =ξ33-=λ0)3(=--x A E .)2,0,1(3T -=ξ321,,ξξξ321,,ξξξT )51,0,52(1=ηT )0,1,0(2=η.)52,0,51(3T -=η[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ，且二次型的标准形为【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为设A 的特征值为，则由题设得，解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围，再对y 分段讨论.【详解】易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于，有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当时，G(y)=0；当时，G(y)=1. 对于，有= =⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=300020AQ Q T .322232221y y y f -+=)].2()2()[2(2020022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ321,,λλλ).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ1)2(2321=-+=++a λλλ.12)2(22321-=+-=b a λλλ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f )1)(0(≤≤X F ]8,1[∈x .131)(3132-==⎰x dt t x F x0<y 1≥y )1,0[∈y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P .])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为【评注】事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当时，G(y)=1;当 0时， = = 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为= =. 由于X 和Y 独立，可见G(u)== 由此,得U 的概率密度=【评注】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性..1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若1≥y 1<≤y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=)}({1y F X P -≤.))((1y y F F =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X }{)(u Y X P u G ≤+=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P }22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P ).2(7.0)1(3.0-+-u F u F )2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g ).2(7.0)1(3.0-+-u f u f。

2009考研数三真题答案及详解

1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
(B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) . (D) P ( A B ) 1 .
（7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则

1 x )dx ( x 0) . x
2
（17）（本题满分 10 分）计算二重积分
( x y)dxdy ，其中 D {( x, y ) ( x 1)
D
( y 1) 2 2, y x} .
（18）（本题满分 11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数 f ( x ) 在 a,
（B） a 1 ， b
2
【解析】 f ( x) x sin ax, g ( x) x ln(1 bx) 为等价无穷小，则
lim
x 0
f ( x) x sin ax x sin ax 1 a cos ax a 2 sin ax lim 2 lim 2 洛 lim 洛 lim x 0 g ( x) x 0 x ln(1 bx) x 0 x ( bx) x 0 3bx 2 6bx
2
.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 9 分）求二元函数 f ( x, y ) x
2
2 y y ln y 的极值.
2
（16）（本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1
a 3 6b
故排除(B)、(C).
lim
a 2 sin ax a3 1 x 0 6b 6 b ax a

2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版

【解析】由 E A 0 可知 A 的特征值为 2,2,1
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1，∴A
可相似对角化，且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2

)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛，所以1 k 0 k 1 .选 C.
（5）设是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）
（ A ） E T 不可逆（ B ） E T 不可逆（ C ） E 2 T 不可逆（ D ） E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
（D） n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1：
f
(x)
f
'(x)

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

2003考研数三真题与解析

2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .1 若x 0,(1) 设 f ( x)x cos ,其导函数在 x0 处连续，则.0, x若x 0,的取值范围是(2) 已知曲线 yx 3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2.(3) 设 a0 ， f (x)g( x)a,若 0 x 1,0,其他，而 D 表示全平面，则If ( x) g( y x)dxdy =.D(4) 设 n 维向量( a,0, ,0, a) T ,a0 ； E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 AET ，B E1T，其中 A 的逆矩阵为 B ，则 a .a(5) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若Z X0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为.(6) 设总体 X 服从参数为2 的指数分布， X 1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时， Y n1 n X i2 依概率收敛于 .n i 1二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .(1) 设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且f (0) 存在，则函数 g( x)f ( x) ()x(A) 在 x 0 处左极限不存在 . (B) 有跳跃间断点 x 0 .(C) 在 x 0 处右极限不存在 .(D) 有可去间断点 x0 .(2) 设可微函数 f ( x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是( )(A) f (x 0 , y) 在 y y 0 处的导数等于零 . (B) f (x 0 , y) 在 y y 0 处的导数大于零 .(C)f ( x 0 , y) 在 y y 0 处的导数小于零 .(D)f (x 0 , y) 在 yy 0 处的导数不存在 .(3) 设 p na na n ， q na na n， n 1,2,，则下列命题正确的是()(A) 若a n 条件收敛，则p n 与q n 都收敛 .n 1n 1n 1(B) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 都收敛 .n 1n 1n 1a b (C) 若a n 条件收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1(D) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1a b b(4) 设三阶矩阵 Ab ab ，若 A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ()b b a(A)a b 或 a 2b0 . (B) a b 或 a 2b 0 . (C) a b 且 a 2b0 .(D)a b 且 a 2b 0 .(5) 设1 ,2 , , s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )(A) 若对于任意一组不全为零的数k 1, k 2 , , k s ，都有 k 11k2 2k s s 0 ，则1 ,2 , , s 线性无关 .(B) 若1, 2,,s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，都有k1 1k2 2k s s 0.(C) 1 ,2 ,,s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1 ,2 ,, s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A 1 ={ 掷第一次出现正面} ， A 2 ={ 掷第二次出现正面 } ， A 3 ={ 正、反面各出现一次 } ， A 4 ={ 正面出现两次 } ，则事件 ( )(A)A 1, A 2 , A 3 相互独立 . (B) A 2 , A 3 , A 4 相互独立 .(C)A 1 , A 2 , A 3 两两独立 .(D) A 2 , A 3 , A 4 两两独立 .三、(本题满分 8 分)设 f ( x)1 1 1 , x [ 1 ,1) ，试补充定义 f (1)使得 f ( x) 在 [ 1,1] 上连xsin x(1 x) 22 续.四、 (本题满分 8 分 )设 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，且满足2 f2 f1，又g( x, y) f [ xy,1(x 2 y 2 )] ,u 2v 222g2g求x 2y 2 .五、 (本题满分 8 分 )计算二重积分Ie ( x 2 y 2 ) sin( x 2y 2 )dxdy.D其中积分区域 D{( x, y) x 2y 2}.六、 (本题满分 9 分 )求幂级数 1( 1) n x 2n ( x 1) 的和函数 f (x) 及其极值 .n 12n七、 (本题满分 9 分 )设 F ( x) f (x) g( x) , 其中函数 f (x), g (x) 在 ( ,) 内满足以下条件：f ( x) g( x) ，g ( x) f ( x) ，且 f (0)0 , f ( x)g (x)2e x .(1) 求 F ( x) 所满足的一阶微分方程；(2) 求出 F ( x) 的表达式 . 八、 (本题满分 8 分 )设函数f ( x) 在 [0， 3]上连续，在 (0， 3)内可导，且 f (0) f (1) f (2) 3, f (3)1 .试证：必存在(0,3) ，使 f ( ) 0.九、 (本题满分 13 分 )已知齐次线性方程组(a1 a1 x1 a1 x1a1 x1b)x1( a2a2 x2a2 x2a2 x2a3 x3a n x n0,b) x2a3 x3a n x n0,(a3b) x3a n x n0,a3 x3(a n b) x n0,n其中a i 0. 试讨论a1, a2,,a n和b满足何种关系时，i 1(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解 . 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、 (本题满分13 分 )设二次型f (x1,x2,x3)XT222222(b0) ，AX ax1x2x3bx1x3中二次型的矩阵 A 的特征值之和为1，特征值之积为 -12.(1)求 a, b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、 (本题满分13分)设随机变量 X 的概率密度为1, 若x [1,8],f ( x)3x23其他 ;0,F(X ) 是 X 的分布函数.求随机变量 Y F (X ) 的分布函数.十二、 (本题满分13 分 )设随机变量X 与 Y 独立，其中X 的概率分布为X ~120.3，0.7而 Y 的概率密度为 f ( y) ，求随机变量 U X Y 的概率密度 g(u) .2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1) 【答案】2【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量.【详解】是参变量， x 是函数f(x) 的自变量f ( x) f (0)x cos1lim x 1 cos1f(0)lim lim x0 ，x 0x0x0x x 0x要使该式成立，必须lim x10 ，即 1 .x 0当 x(,0)(0,) 时，f( x)x1 cos1x 2 sin1x x要使 f ( x)0 在x0 处连续，由函数连续的定义应有lim f( x)lim x1 cos 1x 2 sin1f (x) 0x0x 0x x由该式得出 2 .所以f( x) 在x0处右连续的充要条件是 2 ．(2)【答案】 4a 6【详解】设曲线与x 轴相切的切点为( x0,0) ，则yx x00 .而 y 3x23a 2，有 3x023a2又在此点 y 坐标为0(切点在x轴上)，于是有x033a2 x0 b 0，故b x033a2 x0x0 ( x023a2 ) ，所以22(322)224446.b x0x0aa a a(3)【答案】 a2【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．If ( x) g( y=2dxdy= a21x 1212 dx dy a[( x 1) x]dx ax)dxdy a0x0 D0x 10y x 1(4) 【答案】 -1【详解】这里T为 n 阶矩阵，而T2a 2 为数，直接通过 AB E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有AB (ET)(E 1T)=ET1 T1 TTaaaET1 T1 (T )T =ET1 T2aTaaaE( 1 2a 1 )TE ，1a1, a于是有1 2a0 ，即 2a 2a 1 0 ，解得 a1. 已知 a0 ，故 a1 ．a2(5) 【答案】 0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质D ( X a) DX ， Cov( X ,Ya) Cov( X ,Y ) ，又因为 Z 仅是 X 减去一个常数，故方差不会变， Z 与 Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．Cov(Y, Z ) Cov (Y, X 0.4)E[(Y (X 0.4)] E(Y ) E( X0.4)E(XY) 0.4E(Y) E(Y) E( X )0.4E(Y)E(XY)E(Y )E( X ) Cov ( X ,Y ) ，且 D ZD X . 又 Cov (Y, Z ) Cov ( X , Y) ，所以Cov(Y, Z )Cov(X ,Y) XY0.9.D YD ZD XD Y(6) 【答案】1．2【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X 1 , X 2 , , X n ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：1np1n).X iEX i (nn i 1n i 1【详解】本题中X 12, X 22 , , X n 2 满足大数定律的条件，且EX i 2 DX i(EX i ) 2 = 1(1)21 ，422因此根据大数定律有1 n 2依概率收敛于1 n2 1Y nX i EX i.n i 1n i 12二、选择题(1) 【答案】 (D)【详解】方法 1：直接法：由f (x) 为奇函数知， f (0) 0 ；又由 g( x)f ( x) ，知g (x) 在xx 0 处没定义，显然 x 0 为 g( x) 的间断点，为了讨论函数g( x) 的连续性，求函数g(x) 在 x0 的极限．lim g ( x) lim f ( x) lim f (x) f (0) 导数的定义f (0)存在，x 0 x 0x x 0x故 x 0 为可去间断点．方法 2：间接法：取f ( x)x ，此时 g( x) =x1, x 0,可排除 (A) (B) (C)三项．x 0, x0,(2) 【答案】 ( A)【详解】由函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微，知函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都等于零．从而有df ( x 0 , y) fdyy y 0y( x, y ) ( x 0 , y 0 )选项 ( A) 正确．(3) 【答案】 ( B)【详解】由 p na n an， qna n an，知 0 pa ， 0q a n2nnn2若a n 绝对收敛，则 a n 收敛 . 再由比较判别法，p n 与q n 都收敛，后者n 1n 1n 1n 1与 q n 仅差一个系数，故q n 也收敛，选 (B) ．n 1n 1(4) 【答案】 (C)【分析】A 的伴随矩阵的秩为 1，说明 A 的秩为 2，由此可确定a, b 应满足的条件．【详解】方法 1：根据 A 与其伴随矩阵A 秩之间的关系n r Anr A *1 r A n 1 0 r An 1知秩 ( A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有a b b 1 b b1 b b A b a b(a 2b) 1 a b(a 2b) 0 a b0 b b a1 b aa b( a 2b)( a b)2 0有 a 2b0 或 a b ．当 a b 时，b b bAb b b b b b2 1 1 b b b3 1 10 0 00 0 0显然秩 A1 2 ，故必有 a b 且 a 2b0 ．应选 (C)．n r An 方法 2：根据 A 与其伴随矩阵A 秩之间的关系， rA *1 r A n 1 ，0 r An 1知 r A *1 ， r A2 . 对 A 作初等行变换a b b 2 1 13 1 1Ab a bb b aa b b b a a b 0 b aa b当 a b 时，从矩阵中可以看到A 的秩为 1，与秩 A2 ，不合题意 (排除 (A) 、 (B))故 ab ，这时ab bAb a a b 02 b a 3b aa bba 2b bb11 01b a0a b12 00110113故 a 2b0 ，且 ab 时，秩 ( A )=2 ，故应选．(5) 【答案】 (B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】 (A): 若对于任意一组不全为零的数k 1, k 2 , , k s ，都有 k 11k 22k s s 0 ，则1 ,2 ,,s 必线性无关 .因为若1, 2,, s 线性相关，则存在一组不全为零的数 k 1, k 2 , , k s ，使得k 11k 22ks s0 ，矛盾．可见 (A) 成立．(B):若 1, 2, , s 线性相关，则存在一组 ( 而不是对任意一组不全为零的 ) 数k 1 , k 2 , ,k s ，都有 k 11k2 2k ss0. (B) 不成立．(C)1 ,2 ,, s 线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组1 ,2 ,, s 的秩为 s ，则1 ,2 ,, s 线性无关，因此 (C)成立．(D)1 ,2 ,, s 线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见 (D) 也成立．综上所述，应选 (B)．【评注】原命题与其逆否命题是等价的．例如，原命题：若存在一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1 1k2 2k ss0成立，则 1,2 ,, s 线性相关．其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，都有 k 11k 22ks s0 ，则 1 , 2 , , s 线性无关．在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6) 【答案】 C【分析】 (1) A, B 两事件相互独立的充要条件：P AB P A P B(2) A, B,C 三事件相互独立的充要条件：(i) A, B, C 两两相互独立；(ii) P ABCP AP BP C【详解】方法 1：因为1 ，P A 21 A 31 1 P A 1， P ，P A 4，且2224P A 1A 21 ，P A 1 A 31 11 ，P A 1 A2 A 30 ，4，P A 2 A 3，P A 2 A 4444可见有P A 1A 2 P A 1 P A 2 ，P A 1A 3 P A 1 P A 3 ，P A 2A 3PA 2PA 3，PA1A2A3PA1PA2PA3，PA2A4PA2PA4．故 A1 , A2 , A3两两独立但不相互独立； A2 , A3 , A4不两两独立更不相互独立，应选(C) ．方法 2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见 (A) 不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确 . 因此只要检查 (C) 和 (D)P A2 A3A4P0 PA2P A3111 P A4442故(D) 错，应选 (C)．三【详解】为使函数 f ( x) 在1,1]上连续，只需求出函数 f (x) 在 x1的左极限 lim f( ) ，[x1x2然后定义 f (1) 为此极限值即可．lim f ( x)lim[11x 1]x 1x1x sin(1x)1lim[11]1lim(1 x) sin xsin x(1(1x)sin xx1x)x 1令 u 1 x ，则当 x 1 时， u0，所以lim f ( x)1lim u sin(1u)u sin(1u)x 1u01lim u sin(1u)1lim u sin(1u)u (sin cos u cos sin u)u sin u u 0u01lim u sin(1u)1limcos(1u)等2u2洛22u u0u01lim 2 sin(1u)10=1洛22=u0定义 f (1)1，从而有 lim f ( x)1f (1)， f(x) 在 x1处连续．又 f ( x) 在[1,1) x12上连续，所以 f ( x) 在 [ 1,1] 上连续．2四【详解】由复合函数z f [( x, y), ( x, y)] 的求导法则，得g f( xy)f 1( x2y2 )f f 2y xx u x v x u vg f( xy)f 1 ( x2y2 )f f 2xy u y v x u y .v从而2 g y 2 f y 2 f x f x 2 f y 2 f xx2u2u v v u v v2y2 2 f2xy 2 f x2 2 f fu2u v v2v2 g x 2 f x 2 f y f y 2 f x 2 f yy2u2u v v u v v2x2 2 f2xy 2 f y2 2 f fu2u v v2v2 g 2 g2y22f( x2y2)2 f( x2y2)(2 f 2 f)=x2y2.所以x 2y2( x)2v2u2v2u五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设x r cos, y r sin，有I e ( x2y2) sin( x2y2 )dxdy e e ( x2 y2 ) sin( x2y2 ) dxdyD De2e r 2sin r2rdr e2e r2d2d sin0000记 A e t sin tdt ，则A e t sin tdt e t d cost e t cost000e1 e t d sin te1 e t sin t00因此A 1(1 e) ， I e(1 e )2(1 e ).22t r 2r 2 dr 2 e e t sin tdt.e t costdte t sin tdt = e 1 A.六【分析】 (1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．(2)等比级数求和公式x n 1 x x2x n1( 1 x 1)n 01x【详解】先对和函数 f (x)1( 1)n x2n求导n 12nf ( x)( 1)n x2 n 1x( 1)n x2 n 2x( 1)n x2nn 1n 1n0x( x2 ) n x1xn 01x2 1 x2对上式两边从0 到x积分x(t )dt x t dt f ( x) f (0)1ln(1 x2 )f0 1t 202由 f (0) 1，得f ( x) 11ln(1 x2 )( x 1).2为了求极值，对 f ( x) 求一阶导数，12x xf ( x)1 x2 1 x22令 f (x)0 ，求得唯一驻点 x0．由于1x2，f(0)10f ( x)x2 )(12由极值的第二充分条件，得 f ( x) 在 x0 处取得极大值，且极大值为 f (0) 1．七【分析】题目要求 F ( x) 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对 F ( x)求导，并将其余部分转化为用 F ( x) 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可．【详解】 (1) 方法1：由F ( x) f (x)g (x) ，有F (x) f (x) g( x) f ( x) g (x) =g2( x) f 2 ( x)[ f ( x) g(x)]2 2 f ( x) g( x) = (2e x) 22F ( x)可见 F ( x) 所满足的一阶微分方程为F (x)2F ( x)4e2x .相应的初始条件为 F (0) f (0) g(0) 0 ．方法 2：由F (x) f ( x) g (x)，有F ( x) f ( x)g( x) f (x)g ( x) =[ f ( x)]2[g ( x)] 2[ f ( x)g ( x)] 2 2 f ( x)g ( x)又由f ()() 2x. 有f ( x)xf (x)g( x)g (x) f (x)g ( x)2e ，，，于是x g x eF ( x)4e2 x 2 f (x) g( x)4e2 x2F ( x)可见 F ( x) 所满足的一阶微分方程为F (x)2F ( x)4e2x .相应的初始条件为 F (0) f (0) g(0)0(2)题 (1) 得到F ( x)所满足的一阶微分方程，求 F (x) 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程dyP( x) y Q( x) 的通解为dxy e P ( x ) dxQ( x)eP ( x) dxCdx2dx2x2dx 2 x4 x 2 x 2 x所以()e [ 4e dx C]= e [ 4e dx C ]=e Ce .F x e将 F(0)0 代入上式，得 01C, C 1 .所以 F ( x)e2 x e 2 x.八【分析】题目要证存在(0,3) ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知 f (3) 1 ，只需要再证明存在一点 c[0,3) ，使得 f (c) 1 f (3) ，然后在 [ c,3] 上应用罗尔定理即可．条件 f (0) f (1) f (2) 3 等价于f (0)f (1) f ( 2)1．问题转化为1介于 f (x) 的最3值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法 1：因为f ( x)在[0，3]上连续，所以 f ( x) 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值 M 和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是m f (0)M ， m f (1)M ， m f (2) M ．三式相加3m f (0) f (1) f (2) 3M .从而f ( 0 ) f( 1 )f( 2 )m31 M .由介值定理知，至少存在一点c[0,2] ，使f (c)f (0) f (1) f (2)1.3因为 f ( c) f (3) 1 ，且f (x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理知，必存在(c,3) (0,3) ，使 f ( )0.方法2：由于f (0) f (1) f (2) 3，如果 f (0), f (1), f (2) 中至少有一个等于1，例如f (2) 1 ，则在区间[ 2, 3]上对 f ( x) 使用罗尔定理知，存在(0, 2)(0, 3)使f ( ) 0. 如果 f (0), f (1), f (2) 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间 (0, 2) 内至少存在一点使f () 1．在区间 [ ,3] 对 f ( x) 用罗尔定理知，存在( ,3) (0,3) ，使 f ( )0. 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的 (-1) 倍加到其余各行，即可计算出行列式的值．【详解】方程组的系数行列式a1 b a2a3a na1a2 b a3a nA a1a2a3 b a na1a2a3a n bnb a i a2a3a ni 1nb a i a2b a3a ni 1nb a i a2a3b a ni1nb a i a2a3a n bi11a2a3a n1a2b a3a nn(b a i ) 1a2a3 b a ni11a2a3a n b1a2a3a nn 0b00n0 = b n 1 (b(b a i ) 0 0b a i ).i1i1000bn(1)当 A0 ，即b0且 b a i0 时，秩A n ，方程组仅有零解．i1(2)当 b0时，A0，原方程组的同解方程组为a1 x1a2 x2a n x n0.n0 可知，a i(i由a i1,2,, n) 不全为零．不妨设 a10 ，得原方程组的一个基础解系i1a2,1,0,,0)T，(a3,0,1,,0)T，, na n,0,0,,1)T.1(2a1(a1a1n时， A0.这时 b0 ，原方程组的系数矩阵可化为(3)当 b a ii 1na1a i a2a3a ni1na1a2a i a3a ni1A na1a2a3a i a ni 1na1a2a3a n a ii 1a1na i a2a3a ni 1n na i a i00将第 1行的(1)倍i1i 1n n加到其余各行a i0a i0i1i 1n na i00a ii1i1n从第 2行到第 n行a1i 1a i a2a3a n同乘以1倍1100n1010a ii110010000将第 i行的 ( a )倍1100i加到第 1行，.i 2,3,, n10001001由此得原方程组的同解方程组为x2x1， x3x1，, x n x1．原方程组的一个基础解系为(1,1, ,1)T .十【分析】特征值之和等于 A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于 A 的行列式，由此可求出 a, b 的值；进一步求出 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要 )，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．a0b【详解】 (1)二次型f的矩阵为A020. 设 A 的特征值为i (i 1,2,3) ，由题设得b02123a11a22a33 a 2 ( 2) 1，a0b123| A |0204a 2b212.b02解得 a 1,b2．(2)求矩阵 A 的特征值，令102E A020(2)2(3) 0，202得矩阵 A 的特征值122, 3 3.对于基础解系10 2 122, 解齐次线性方程组 (2EA) x 0 ，系数矩阵为 00 ，得 2 041 (2,0,1)T ，2(0,1,0)T .4 02对于 33 ，解齐次线性方程组 ( 3E A)x 0 ，系数矩阵为 0 5 0 ，得2 01基础解系3(1,0, 2)T .由于 1,2 ,3 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将1, 2, 3 单位化，由此得1( 2 ,0, 1 )T ， 2 (0,1,0)T ， 3 ( 1 ,0,2 )T .5 55 5令矩阵2155Q1230 1 0 ，1 0255则 Q 为正交矩阵．在正交变换 XQY 下，有2 0 0 Q T AQ0 2 0 ，0 03且二次型的标准形为f2 y 12 2 y 223y 32 .【评注】本题求 a, b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为abE A0 2 0(2)[ 2(a 2) (2ab 2 )].b2设 A 的特征值为1 , 2,3，则12,2 31232 (a 2) 1， 1 2 3a 2,2 3(2a b 2 ). 由题设得 2(2a b 2 )12.解得 a 1,b2 ．第一步求参数见《数学复习指南》 P361 重要公式与结论 4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P47 第九题．十一【分析】先求出分布函数 F ( x) 的具体形式，从而可确定 YF(X) ，然后按定义求 Y的分布函数即可．注意应先确定 Y F (x) 的值域范围 (0F(X)1) ，再对 y 分段讨论．【详解】易见，当 x1时， F (x) 0; 当 x 8时， F ( x) 1．对于 x [1,8] ，有x1 3 x 1.F ( x)dt133 t 2设 G ( y) 是随机变量 YF (x) 的分布函数．显然，当 y0 时， G ( y) =0；当 y 1时，G ( y) =1 ．对于 y [ 0,1) ，有G ( y) P{ Yy} P{F(X) y}P{3 X 1y}P{ X ( y 1)3} F [( y 1)3 ] y.于是， YF ( x) 的分布函数为0,若 y 0,G ( y)y, 若 0y1,1,若 y 1.十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率．注意 X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度 g(u) ，一般应先求分布函数G (u) P{ U u}P{ X Y u} ，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值 X 1和 X2．全概率公式：如果事件A 1, , A n 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为(总体的样本空间 ) ；并且0,1,2, , .则对任一事件B 有nP B P( A i )P(B | A i )．i 1【详解】设 F ( y) 是 Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y 的分布函数G (u) P{ X Y u}P{X 1}P{X Y 0.3P{ X Y u X 0.3P{Y u 1 X u X 1}P{ X2}P{ X Y u X 2} 1}0.7P{X Y u X2}1}0.7P{Y u 2 X2} ．由于 X 和 Y 相互独立，所以P{Y u 1} P{ Y u1X 1}， P{Y u 2}P{ Y u 2 X2}所以G (u)0.3P{ Y u1}0.7 P{ Y u 2}0.3F (u1)0.7 F (u2).由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度g (u)G (u)0.3F(u1) 0.7F (u2) 0.3 f (u 1)0.7 f (u2).。

2017考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆（B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵T αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（）（A ）,A B 相互独立（B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立（D ）,AB C 互不相容【详解】显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布（B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0t x u dt du -=⎰⎰16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域．【详解】17．（本题满分10分）求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义 18．（本题满分10分）已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+1lim1!n n n n ρ→∞=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑，由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为故Z X Y =+的概率密度为 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．【详解】（1）先求i Z 的分布函数为当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。

2003考研数学三真题及答案

2003考研数学三真题及答案一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是. (2) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b .(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则 ⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(= .(4) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， Ta E B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为 .(6) 设总体X 服从参数为2的指数分布，nX X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i in X n Y 121依概率收敛于.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( )(A) 在0x =处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点0x =. (C) 在0x =处右极限不存在. (D) 有可去间断点0x =.(2) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A)),(0y x f 在y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在y y =处的导数小于零. (D)),(0y x f 在y y =处的导数不存在.(3) 设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 ( )(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.a b =(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(4) 设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( ) (A) a b =或20a b +=. (B) a b =或20a b +≠. (C) a b ≠且20a b +=. (D) a b ≠且20a b +≠. (5) 设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是 ( )(A) 若对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有2211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若sααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) sααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件( )(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C)321,,A A A 两两独立. (D)432,,A A A 两两独立.三、(本题满分8分)设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-，试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求.2222y gx g ∂∂+∂∂五、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =, 其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(0)0f =,.2)()(xe x g xf =+ 求()F x 所满足的一阶微分方程；求出()F x 的表达式. 八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中.01≠∑=ni ia试讨论na a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 求,a b 的值；利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .参考答案一、填空题 (1)【答案】2>λ【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】λ是参变量，x 是函数()f x 的自变量10001cos()(0)1(0)limlim lim cos 0x x x x f x f x f x x x x λλ-→→→-'====-，要使该式成立，必须10lim 0x x λ-→=，即1λ>.当(,0)(0,)x ∈-∞+∞时，1211()cos sinf x x x x x λλλ--'=+要使()0f x '=在0x =处连续，由函数连续的定义应有 120011lim ()lim cos sin ()0x x f x x x f x x x λλλ--→→⎛⎫''=+== ⎪⎝⎭由该式得出2λ>. 所以()f x '在0x =处右连续的充要条件是2>λ．(2)【答案】64a【详解】设曲线与x 轴相切的切点为0(,0)x ，则00x x y ='=. 而2233y x a '=-，有22033x a =又在此点y 坐标为0(切点在x 轴上)，于是有320030x a x b -+=，故 322200003(3)b x a x x x a =-=-，所以 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(=20101x y x a dxdy≤≤≤-≤⎰⎰=112x xadx dy +⎰⎰122[(1)]ax x dx a=+-=⎰(4)【答案】-1【详解】这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==TT T T a a E αααααααα⋅-+-11 11()T T T T E a a αααααααα=-+-=TT T a a E αααααα21-+- 1(12)T E a Ea αα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(5)【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质DX a X D =+)(，(,)(,)Cov X Y a Cov X Y +=，又因为Z 仅是X 减去一个常数，故方差不会变，Z 与Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．(,)(,0.4)[((0.4)]()(0.4)Cov Y Z Cov Y X E Y X E Y E X =-=--- ()0.4()()()0.4()E XY E Y E Y E X E Y =--+()()()(,)E XY E Y E X Cov X Y =-=，且()().D Z D X = 又(,)Cov Y Z (,)Cov X Y =，所以0.9.XY ρ===(6)【答案】12．【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量nX X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】本题中22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i iEX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于()2111.2n i i E X n ==∑二、选择题 (1)【答案】()D【详解】方法1：直接法：由()f x 为奇函数知，(0)0f =；又由x x f x g )()(=，知()g x 在0x =处没定义，显然0x =为()g x 的间断点，为了讨论函数()g x 的连续性，求函数()g x 在0x →的极限．0()()(0)lim ()limlim (0)0x x x f x f x f g x f x x →→→-'===-导数的定义存在，故0x =为可去间断点．方法2：间接法：取()f x x =，此时()g x =,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除()A ()B ()C 三项．(2)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零．从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(3)【答案】()B【详解】由2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，知0n np a ≤≤，0n nq a ≤-≤若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n na收敛. 再由比较判别法，∑∞=1n np与()1nn q ∞=-∑都收敛，后者与1nn q∞=∑仅差一个系数，故1nn q∞=∑也收敛，选(B)．(4)【答案】(C)【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1，说明A 的秩为2，由此可确定,a b 应满足的条件．【详解】方法1：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩知秩(A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有11(2)1(2)0010a b b b b b b A b a b a b a b a b a bb b a b aa b==+=+--2(2)()0a b a b =+-=有02=+b a 或a b =．当a b =时，[][]()[][]()211311000000b b b b b b A b b b b b b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然秩()12A =≠，故必有 a b ≠且02=+b a ．应选(C)．方法2：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系，()()()()1101*n r A nr A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，知()1*r A =，()2r A =. 对A 作初等行变换[][]()[][]()21131100a b b a b b A b a b b a a b b b a b a a b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，从矩阵中可以看到A 的秩为1，与秩()2A =，不合题意(排除(A)、(B))故a b ≠，这时[]()[]()[][][][]231213201100100101001b a b a a b b a b b a b b b A b a a b b a a b ÷-÷-+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2，故应选．(5)【答案】(B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有2211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关.因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得2211=+++s s k k k ααα ，矛盾．可见(A)成立．(B): 若sααα,,,21 线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数sk k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立．(C)s ααα,,,21 线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立．(D)sααα,,,21 线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立．综上所述，应选(B)．【评注】原命题与其逆否命题是等价的．例如，原命题：若存在一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，使得2211=+++s s k k k ααα 成立，则sααα,,,21 线性相关．其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有2211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关．在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6)【答案】C【分析】(1) ,A B 两事件相互独立的充要条件：{}{}{}P AB P A P B =(2) ,,A B C 三事件相互独立的充要条件： (i),,A B C 两两相互独立； (ii){}{}{}{}P ABC P A P B P C =⋅⋅【详解】方法1：因为{}112P A =，{}212P A =，{}312P A =，{}414P A =，且{}1214P A A =，{}1314P A A =，{}2314P A A =，{}2414P A A =，{}1230P A A A =，可见有{}{}{}1212P A A P A P A =，{}{}{}1313P A A P A P A =，{}{}{}2323P A A P A P A =，{}{}{}{}123123P A A A P A P A P A ≠，{}{}{}2424P A A P A P A ≠．故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C)．方法2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确. 因此只要检查(C)和(D){}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A =∅=≠⋅⋅=⨯⨯故(D)错，应选(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+--1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim(1)sin x x xx x πππππ-→--=+-令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+- 01sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u u πππππ+→--=+⋅2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim2u u u πππππ+→+-+洛2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+==定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续．又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v ∂∂=-∂∂从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ 2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v ∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()2222222sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r r r t I e x y dxdy e e x y dxdye ed r rdr d r dre e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdte A t sin 0⎰-=π，则000sin cos cos cos ttt t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【分析】(1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者． (2) 等比级数求和公式 2011(11)1n nn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑【详解】先对和函数21()1(1)2nnn x f x n ∞==+-∑求导 211()(1)nn n f x x∞-='=-∑2221(1)(1)nn n nn n x xx x ∞∞-===-=--∑∑22201()11n n xx x x x x ∞=-=--=-⋅=++∑对上式两边从0到x 积分200()1xxt f t dt dt t '=-+⎰⎰21()(0)ln(1)2f x f x ⇒-=-+由(0)1f =，得21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<为了求极值，对()f x 求一阶导数，2212()211x xf x x x -'=-⋅=++ 令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =．由于2221()(1)x f x x -''=-+， 01)0(<-=''f由极值的第二充分条件，得()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f =．七【分析】题目要求()F x 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对()F x 求导，并将其余部分转化为用()F x 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可．【详解】(1) 方法1：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g + 2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==．方法2：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=22[()][()]f x g x ''+ 2[()()]2()()f x g x f x g x ''''=+-又由.2)()(xe x g xf =+ 有()()2x f xg x e ''+=，)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，于是 22()42()()42()x x F x e f x g x e F x '=-=-可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==(2) 题(1)得到()F x 所满足的一阶微分方程，求()F x 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx +=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰所以]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x xCe e-+将(0)0F =代入上式，得01,1C C =+=-.所以.)(22xx e e x F --=八【分析】题目要证存在)3,0(∈ξ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知(3)1f =，只需要再证明存在一点[0,3)c ∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[,3]c 上应用罗尔定理即可．条件(0)(1)(2)3f f f ++=等价于13)2()1()0(=++f f f ．问题转化为1介于()f x 的最值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法1：因为()f x 在[0，3]上连续，所以()f x 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值M 和最小值m (连续函数的最大值最小值定理)，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(．三式相加 3(0)(1)(2)3.m f f f M ≤++≤从而(0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为()(3)1f c f ==，且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf方法2：由于(0)(1)(2)3f f f ++=，如果(0),(1),(2)f f f 中至少有一个等于1，例如(2)1f =，则在区间[2,3]上对()f x 使用罗尔定理知，存在(0,2)(0,3)ξ∈⊂使.0)(='ξf如果(0),(1),(2)f f f 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点η使()1f η=．在区间[,3]η对()f x 用罗尔定理知，存在(,3)(0,3)ξη∈⊂，使.0)(='ξf 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值．【详解】方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321231231231231nin i n in i nini nin i b a a a a b a a b a a b a a a ba b a a a a b====+++=++++∑∑∑∑23232312311()11nn ni n i n a a a a b a a b a a a ba a a a b=+=+++∑2311000()0000n ni i a a a bb a b b ==+∑=).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当A ≠，即0≠b 且1≠+∑=ni i a b 时，秩()A n =，方程组仅有零解．(2) 当0b =时，A =，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a由1≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零．不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α(3) 当∑=-=ni ia b 1时，A =. 这时0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为1231123112311231nini nini nin i nn i i a a a a a a a a a a A a a a a a aa a a a ====⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1231111111001(1)0000nin i nniii i nniii i n ni i i i a a a a a a a a a a a =======⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑将第行的倍加到其余各行12311211001101011nin i n ii a a a a a n a ==⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∑∑从第行到第行同乘以倍000()11001.2,3,,10001001i i a i n ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第行的倍加到第行，由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = ．原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α十【分析】特征值之和等于A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于A 的行列式，由此可求出,a b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．【详解】(1)二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=，由题设得1231122332(2)1a a a a λλλ++=++=++-=，21230||0204212.02a bA a b b λλλ===--=--解得1,2a b ==-．(2) 求矩阵A 的特征值，令210202(2)(3)022E A λλλλλλ---=-=-+=-+，得矩阵A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ 解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，系数矩阵为102000204-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，得基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，系数矩阵为402050201--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T)51,0,52(1=η，T)0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]12300100Q ηηη⎤⎥⎥==⎢⎥⎢⎥，则Q 为正交矩阵．在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求,a b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ 由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得1,2a b ==-．第一步求参数见《数学复习指南》P361重要公式与结论4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P47第九题．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论．【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数．显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1．对于)1,0[∈y ，有 })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率．注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值1X =和2X =．全概率公式：如果事件1,,nA A 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,.i P A i n >=则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑．【详解】设()F y 是Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y =+的分布函数}{)(u Y X P u G ≤+={1}{1}{2}{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=．由于X 和Y 相互独立，所以{1}{11}P Y u P Y u X ≤-=≤-=，{2}{22}P Y u P Y u X ≤-=≤-=所以 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+- 由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-。

2009考研数学三真题及答案

2009考研数学三真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为：（）()A .1()B . 2 ()C .3()D .无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A .1a =，16b =-()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16b =- ()D .1a =-，16b =（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是（） ()A .(0,1)()B .(1,)2π()C .(,)2ππ()D .(,)π+∞（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（） ()A .**0320B A ⎛⎫⎪⎝⎭()B . **0230B A⎛⎫⎪⎝⎭()C .**0320A B ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**0230A B ⎛⎫⎪⎝⎭（6）设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为（）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B . 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（）()A .()0P AB =()B . ()()()P AB P A P B =()C .()1()P A P B =-()D .()1P A B ⋃=（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（）()A .()B . 1 ()C .2()D . 3二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）cos x x →= .（10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k =(14)设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET =三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

2003年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 2 解： I f ( x ) g ( y x ) dxdy = a dxdy
D 0 x 1, 0 y x 1
(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式.
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八、（本题满分 8 分）设函数 f(x)在[0， 3]上连续，在（0， 3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 (0,3) ，使 f ( ) 0.
cov(Y , Z ) cov( X , Y ) = XY 0.9. DY DZ DX DY
n 1 n 1 n 1
(B) 若 an 绝对收敛，则 p n 与 qn 都收敛.
n 1 n 1 n 1
(C) 若 an 条件收敛，则 p n 与 qn 敛散性都不定.
n 1 n 1 n 1
(D) 若 an 绝对收敛，则 p n 与 qn 敛散性都不定.
n 1
x 2n ( x 1) 的和函数 f(x)及其极值. 2n
七、（本题满分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 ( , ) 内满足以下条件：
f ( x ) g ( x ) ， g ( x ) f ( x ) ，且 f(0)=0, f ( x ) g ( x ) 2e x .
围是________. （ 2 ）已知曲线 y x 3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为

2009考研数学三真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为3()sin x x f x xπ-=(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-(A)，. （B ），. 1a =16b =-1a =16b =(C)，. （D ），.1a =-16b =-1a =-16b =（3）使不等式成立的的范围是1sin ln x tdt x t>⎰x (A).(B). (C).(D).(0,1)(1,2π(,)2ππ(,)π+∞（4）设函数在区间上的图形为()y f x =[]1,3-则函数的图形为()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==阵的伴随矩阵为O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A).(B). **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C).(D).**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若，则为1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+TQ AQ (A).(B).210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C). (D).200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设事件与事件B 互不相容，则A (A). (B). ()0P AB =()()()P AB P A P B =(C).(D).()1()P A P B =-()1P A B ⋃=（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为X Y X (0,1)N Y ，记为随机变量的分布函数，则函数1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z的间断点个数为(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）.0x →=（10）设，则.()y xz x e =+(1,0)zx ∂=∂（11）幂级数的收敛半径为 .21(1)n n nn e x n ∞=--∑（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为()Q Q P =P 0.2p ξ=10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.（13）设,，若矩阵相似于，则.(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=Tαβ300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k = (14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样1X 2X n X (,)B n p X 2S 本均值和样本方差，记统计量，则.2T X S =-ET =三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.()22(,)2ln f x y xy y y =++（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .ln(1dx +⎰(0)x >（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则()f x [],a b (),a b ，得证.(),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且()f x 0x =()0,,(0)σσ>，则存在，且.'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线()y f x =()f x ()0f x >()y f x =及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1y x ==(1)x t t =>x 形面积值的倍，求该曲线的方程.t π（20）（本题满分11 分）设,.111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足，的所有向量，.21A ξξ=231Aξξ=2ξ3ξ（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ（21）（本题满分11 分）设二次型.2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.f （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.f 2211y y +a （22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为(,)X Y 0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度；()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率.11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、X 、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.Y Z （Ⅰ）求；10P X Z ⎡==⎤⎣⎦（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布.(,)X Y 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为3()sin x x f x xπ-=(A)1. (B)2. (C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当取任何整数时，均无意义x ()f x 故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解()f x 30x x -=1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当时，与是等价无穷小，则0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-(A)，. （B ），. 1a =16b =-1a =16b =(C)，.（D ），.1a =-16b =-1a =-16b =【答案】A.【解析】为等价无穷小，则2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛故排除(B)、(C).230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅36a b ∴=-另外存在，蕴含了故排除(D).201cos lim3x a axbx →--1cos 0a ax -→()0x → 1.a =所以本题选(A).（3）使不等式成立的的范围是1sin ln xtdt x t>⎰x (A).(B). (C).(D).(0,1)(1,2π(,)2ππ(,)π+∞【答案】A.【解析】原问题可转化为求成立时的111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰x 取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).1sin 0tt->()0,1t ∈()0,1x ∈()0f x >（4）设函数在区间上的图形为()y f x =[]1,3-则函数的图形为()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、()y f x =x y 所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：0x x =()F x ①时，，且单调递减.[]0,1x ∈()0F x ≤②时，单调递增.[]1,2x ∈()F x ③时，为常函数.[]2,3x ∈()F x ④时，为线性函数，单调递增.[]1,0x ∈-()0F x ≤⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==阵的伴随矩阵为O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A).(B). **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C).(D).**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B.【解析】根据，若CC C E *=111,C C C CC C*--*==分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（）1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为(B).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若，则为1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+TQ AQ (A).(B).210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C). (D).200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A.【解析】，即：122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7）设事件与事件B 互不相容，则A (A).(B). ()0P AB =()()()P AB P A P B =(C).(D).()1()P A P B =-()1P A B ⋃=【答案】D.【解析】因为互不相容，所以,A B ()0P AB =(A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.()()1()P AB P A B P A B ==- ()P A B (B)当不为0时，(B)不成立，故排除.(),()P A P B (C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除.,A B(D)，故(D)正确.()()1()1P A B P AB P AB ==-= （8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为X Y X (0,1)N Y ，记为随机变量的分布函数，则函数1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z 的间断点个数为（）(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.【答案】 B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=独立,X Y 1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤（1）若，则0z <1()()2Z F z z =Φ（2）当，则0z ≥1()(1())2Z F z z =+Φ为间断点，故选(B).0z ∴=二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）.0x →=【答案】.32e 【解析】.00x x →→=02(1cos )lim13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =（10）设，则.()y xz x e =+(1,0)zx ∂=∂【答案】.2ln 21+【解析】由，故()xy z x e=+()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦代入得，.1x =()ln 21,01ln 22ln 212z e x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭（11）幂级数的收敛半径为 .21(1)n n nn e x n ∞=--∑【答案】.1e【解析】由题意知，()210nn n e a n--=>()()()()111122122111()11111n n n n n nn n nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为()Q Q P =P 0.2p ξ=10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.【答案】8000.【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+因为，所以0.2p Q PQξ'==-0.2Q P Q '=-所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+=将代入有.10000Q =()8000QP '=（13）设,，若矩阵相似于，则.(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=Tαβ300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k =【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为T αβ300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tαβ3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.TαβT αβ1300k ∴+=++2k ∴= (14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样1X 2X n X (,)B n p X 2S 本均值和样本方差，记统计量，则 .2T X S =-ET =【答案】2np 【解析】由.222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.()22(,)2ln f x y xy y y =++【解析】，，故.2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=10,x y e= =.2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =则，，.12(0,)12(2xxef e ''=+1(0,)0xyef ''=1(0,)yyef e ''=而0xxf ''> 2()0xy xx yy f f f ''''''-<二元函数存在极小值.∴11(0,)f e e=-（16）（本题满分10 分）计算不定积分 .ln(1dx+⎰(0)x >得t =22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112(11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C +++=+-+--+=+++⎰（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥【解析】由得，22(1)(1)2x y -+-≤2(sin cos )r θθ≤+32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰.3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则()f x [],a b (),a b ，得证.(),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且()f x 0x =()0,,(0)σσ>，则存在，且.'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----()x ϕ；在闭区间上连续，在开区间内可导，且()()a b ϕϕ=()x ϕ[],a b (),a b .''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即(),a b ξ'()0ϕξ='()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，0(0,)x δ∈()f x []00,x ()00,x 从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得()()000,0,x x ξδ∈⊂……()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-()*又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：()'lim x f x A +→=00x +→()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故存在，且.'(0)f +'(0)f A +=（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线()y f x =()f x ()0f x >()y f x =及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1y x ==(1)x t t =>x 形面积值的倍，求该曲线的方程.t π【解析】旋转体的体积为22()()11x x t t V f dx f dxππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：，则由题可知()1x ts f dx =⎰22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dxπππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰两边对t 求导可得 22()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰继续求导可得，化简可得''2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，解之得'1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y-=⇒+=1223t c y y-=⋅+在式中令，则，代入得 1t =2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴= 1223t cyy -=+.11,2)33c t y =∴=所以该曲线方程为：.230y x +=（20）（本题满分11 分）设,.111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足，的所有向量，.21A ξξ=231Aξξ=2ξ3ξ（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭故有一个自由变量，令，由解得，()2r A =32x =0Ax =211,1x x =-= 求特解，令，得120x x ==31x = 故，其中为任意常数21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k解方程231Aξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令，由得231,0x x =-=20A x =11x =令，由得230,1x x ==-20A x =10x =求得特解21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故，其中为任意常数3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭23,k k （Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2((21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠故线性无关. 123,,ξξξ（21）（本题满分11 分）设二次型.2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.f （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.f 2211y y +a【解析】（Ⅰ） 0101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭0110||01()1111111aa aE A a a a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--.123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则2212y y +1)若，则，，不符题意10a λ==220λ=-<31λ=2)若，即，则，，符合20λ=2a =120λ=>330λ=>3)若，即，则，，不符题意30λ=1a =-110λ=-<230λ=-<综上所述，故2a =（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为(,)X Y 0(,)0x e y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦【解析】（Ⅰ）由得其边缘密度函数0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它()0xx x x f x e dy xe x --== >⎰故 |(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== <<即|1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪⎩其它（Ⅱ）[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤而11111[1,1](,)12xxx x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0x x yY yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰.11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、X 、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.Y Z ①求.10P X Z ⎡==⎤⎣⎦②求二维随机变量的概率分布.(,)X Y 【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球.12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======012 XY01/41/61/36 11/31/9021/900。

2017年考研数学真题(数三)试题+解析

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2017年全国考研数学三真题版

2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题 :1 —8 小题．每小题 4 分，共 32 分．1．若函数 f ( x) 1 cos x, x在 x 0 处连续，则axb, x 0（ A）ab 1 （）ab1 （）ab 0（）2B2C D ab 22．二元函数z xy(3 x y) 的极值点是（）（ A）(0,0) （B）(0, 3) （C）(3, 0) （D）(1,1) 3．设函数 f ( x)是可导函数，且满足 f ( x) f (x) 0 ，则（ A）f (1) f ( 1) （B）f (1) f ( 1)（ C）f (1) f ( 1) （D）f (1) f ( 1)4．若级数1k ln(11收敛，则 k （）sin )n 2 n n（A） 1 （B） 2 （C） 1 （D） 2 5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ A）E T不可逆（）T 不可逆B E（ C）E 2 T 不可逆（）E 2T不可逆D2 0 0 2 1 0 1 0 06．已知矩阵A 0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 ，则0 0 1 0 0 1 0 0 2（A）A,C相似，B,C相似（B）A, C相似，B,C不相似（C）A,C不相似，B,C相似（D）A,C不相似，B,C不相似7．设A, B， C 是三个随机事件，且A,C 相互独立， B, C 相互独立，则A U B与C相互独立的充分必要条件是（）（ A）A, B相互独立（B）A, B互不相容（C）AB, C相互独立（D）AB,C互不相容8．设X1, X2,L , X n(n 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若1 nX i，则Xn i 1下列结论中不正确的是（）n)2服从 2 分布22 分布（ A）( X i （B） 2 X n X1服从i 1nX)2服从2分布) 2服从 2 分布（ C）( X i （ D）n( Xi 1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9．(sin 3 x2x2 ) dx．10．差分方程y t 1 2 y t2t的通解为．11．设生产某产品的平均成本 C (Q ) 1 e Q，其中产量为 Q ，则边际成本为.12．设函数 f ( x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知df ( x, y) ye y dx x(1y) e y dy ，f (0,0) 0 ，则 f ( x, y)1 0 113．设矩阵A 1 1 2 ，1 , 2 , 3为线性无关的三维列向量，则向量组 A 1, A 2, A 30 1 1的秩为．14．设随机变量 X 的概率分布为P X 2 1，PX 1 a ，P X 3 b ，若 EX 0 ，2则DX．三、解答题15．（本题满分 10 分）x求极限 limx te t dt 03x 0x16．（本题满分 10 分）计算积分y 32 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 yx 与 x 轴为边界的无界x 24) D (1 y区域．17．（本题满分 10 分）求 limn k2 ln 1k nk 1nn18．（本题满分 10 分）已知方程1 1内有实根，确定常数 k 的取值范围．ln(1 x)k 在区间 (0,1)x19．（本题满分 10 分）设 a0 1,a1 0, a n 11( na n a n 1 )(n 1,2,3 L ), ， S( x) 为幂级数a n x n的和函数n 1 n 0（ 1）证明a n x n的收敛半径不小于1．n0（2）证明(1 x)S (x) xS(x) 0( x ( 1,1))，并求出和函数的表达式．20．（本题满分 11 分）设三阶矩阵 A 1 ,2 , 3有三个不同的特征值，且3 122.（ 1）证明：r ( A) 2 ；（2）若1 2 ,3，求方程组 Ax 的通解．21．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12 x22 ax32 2x1x2 8x1x3 2x2 x3在正交变换x Qy 下的标准形为 1 y12 2 y22 ，求a 的值及一个正交矩阵Q ．22．（本题满分11 分）1 ，Y的概率密度设随机变量X ,Y 相互独立，且X 的概率分布为P X 0 P{ X 2}22 y,0 y 1为f ( y) ．0,其他（1）求概率P（Y EY）；（2）求 Z X Y 的概率密度．23．（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结果 X 1, X 2 ,L , X n 相互独立且均服从正态分布 N( , 2).该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差,( 1,2, , ) ，利用估计参数Z i X ii L nZ 1, Z 2 ,L , Z n．（ 1）求 Z i 的概率密度；（ 2）利用一阶矩求的矩估计量；（ 3）求参数最大似然估计量．2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、选择题 :1 —8 小题．每小题 4 分，共 32 分．1 cos x1 x 1， lim 1．解： lim f ( x)lim lim 2f ( x) b f (0) ，要使函数在 x 0x 0x 0ax x 0 ax2a x 0 处连续，必须满足1 bab1．所以应该选（ A ）2a22．解：zy(3 xy) xy 3y 2xyy 2 ， z3x x 2 2xy ，xy2z2 y,2z2x,2z 2z2xx 2y 2x y y 3xz 3y 2xy y 2 0解方程组x，得四个驻点．对每个驻点验证 AC B 2 ，发现只有在点 z 3x x 2 2xy 0y(1,1) 处满足 AC B 230，且A C2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（ D ）3．解：设 g(x)( f ( x))2 ，则 g ( x) 2 f ( x) f2是单调增加函数．也(x) 0 ，也就是 f ( x)就得到 f (1) 2f ( 1)2f ( 1) ，所以应该选（ C ）f (1) 4．11 1211 k 11解： iv n时k1 1 1(1sinnk ln(1 n )nn2 no n2 k) n2 n 2on 2显然当且仅当 (1 k)0 ，也就是 k1 时，级数的一般项是关于1的二阶无穷小，级数n收敛，从而选择（ C ）．5．解：矩阵T的特征值为 1和 n 1个0，从而 ET, ET,E 2T,E 2T的特征值分别为 0,1,1,L 1； 2,1,1,L ,1 ； 1,1,1,L ,1 ； 3,1,1,L ,1 ．显然只有 E T存在零特征值，所以不可逆，应该选（ A ）．6．解：矩阵A, B的特征值都是 1 2 2, 3 1．是否可对解化，只需要关心 2 的情况．0 0 0对于矩阵 A ，2E A 0 0 1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 存在两0 0 1个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C．0 1 0对于矩阵 B ，2E B 0 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 只有一0 0 1个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然B, C 不相似故选择（B）．7．解：P((AU B)C) P(AC AB ) P(AC) P( BC) P( ABC ) P( A) P(C) P( B)P(C) P( ABC ) P(A U B)P(C) (P( A) P(B) P( AB)) P(C) P( A) P(C ) P( B)P(C) P( AB)P(C)显然， A U B与 C 相互独立的充分必要条件是P( ABC) P( AB)P(C) ，所以选择（C）．8．解：（ 1 ）显然( X i ) ~ N (0,1) ( X i ) 2 ~ 2 (1),i 1,2, L n 且相互独立，所以n)2 2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；( X i 服从i 1n2 2 (n 22（ 2）( X i X ) (n 1)S 1)S (n 1) ，所以（ C）结论也是正确的；2 ~i 1（ 3）注意 1) n( X ) ~ N (0,1) n( X 2 ~ 2 ）结论也是X~N( , ) (1) ，所以（Dn正确的；（ 4）对于选项（ B）：( X n X1) ~ N (0,2) X n X1 ~ N (0,1)1( X n X1 )2 ~ 2 (1)，所2 2以（ B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）(sin 3 x2x 2 )dx2x 2 dx39．解：由对称性知2．210．解：齐次差分方程 y t 1 2 y t 0 的通解为 yC 2x ；设 y t 1 2 y t 2t 的特解为 y t at 2t ，代入方程，得 a1 ；12所以差分方程 y t12 y t 2t 的通解为 y C 2tt 2t .211．解：答案为 1 (1 Q) e Q ．平均成本 C(Q)1 e Q ，则总成本为 C (Q)QC (Q) Q Qe Q ，从而边际成本为C (Q ) 1 (1 Q )e Q .12．解： df (x, y)ye y dx x(1 y)e y dyd( xye y ) ，所以 f (x, y) xye y C ，由 f (0,0)0 ，得 C 0 ，所以 f (x, y)xye y ．1 0 1 1 0 1 1 0 113．解：对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A 的秩0 1 10 1 10 0 0为 2，由于 1,2,3 为线性无关，所以向量组 A 1, A 2, A 3的秩为 2．14．解：显然由概率分布的性质，知 a b1 1211 1 EXa 3b a 3b 10 ，解得 a21,b429，DX EX 29 ． 4EX22 a 9bE 2(X )22三、解答题15．（本题满分 10 分）解：令 x t u ，则 t xu , dtdu ， xte t dtx ue x u dux 0xtxxuxuxx te dt eueduueduxe 2 limlimlimlim x 0x3x 0x 3x 0x 3x 0 3 x3216．（本题满分 10 分）解：y 3xy 3y 4 ) 2dxdydx y 4 )2dyD (1 x20 (1 x 21 x d (1x 2y 4 )4 0 dx(1 x 2y 4 )2111 dx1 24 01 x 21 2x 28 217．（本题满分 10 分）解：由定积分的定义nkln k lim 1 n klim21ln 1n1nnnn k 1 nk1 1x)dx 22ln(1k 1 nx ln(1 x)dx1 418．（本题满分 10 分）解：设 f ( x) 11 (0,1) ，则ln(1 x), xxf (x)11 (1 x) ln2 (1 x) x 2(1 x) ln 2(1 x)x2x 2(1 x) ln 2(1 x)令 g (x) (1x)ln 2 (1 x) x 2 ，则 g(0)0, g(1) 2ln 2 2 1g (x) ln 2 (1 x) 2ln(1 x) 2x, g (0)g (x)2(ln(1 x) x)0, x (0,1) ，所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调减少，1 x由于 g (0) 0 ，所以当 x (0,1) 时， g (x) g 0) 0 ，也就是 g( x) g ( x) 在 (0,1) 上单调减少，当x (0,1) 时， g( x) g(0) 0，进一步得到当x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在(0,1) 上单调减少．lim f ( x) lim11 lim x ln(1 x)1 ， f (1)1 1，也就是得到 x 0x 0ln(1 x)x x 0x ln(1 x) 2ln 21 1 k 1 ． ln 2219．（本题满分 10 分）解：（1）由条件 a n 11a n 1 )(n 1)a n 1na n a n 1(na nn 1也就得到 (n 1)(a n 1 a n )( a n a n 1 ) ，也就得到a n 1a n 1 , n 1,2,La nan 1n 1a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1 La 2 a 1 ( 1)n 1a 1 a 0 a nan 1an 1an 2a 1 a 0(n 1)!也就得到 a n 1a n( 1)n 11 , n 1,2,L(n 1)!n( 1)k 1 1a n 1(an 1a n ) (a n a n 1 ) L(a 2 a 1 ) a 1k 2k!lim na nn111n1limLlime 1，所以收敛半径 Rnn2! 3! n!n（ 2）所以对于幂级数a n x n ，由和函数的性质，可得 S ( x)na n x n 1 ，所以n 0n 1(1 x)S ( x) (1 x)na n x n1na n x n 1na n x nn 1n 1n 1( n 1)a n 1x nna n x nn 0n 1a(( n 1)a1 na ) x n1n 1nna n 1 x na n x n 1xa n x n xS( x)n 1n 0n 0也就是有 (1 x) S (x) xS( x) 0( x ( 1,1)) ．解微分方程 (1 x)S ( x)xS( x)0 ，得 S(x)Ce xS(0) a 0 1，得C 11，由于x所以 S(x)e x．1 x20．（本题满分 11 分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 r ( A) 1．假若 r (A) 1 时，则 r0 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r (A) 2 ，又因为31220 ，也就是 1, 2, 3 线性相关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A)2 ．（ 2）因为 r ( A) 2 ，所以 Ax 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于1312 2，所以基础解系为 x2；11又由12,3 ，得非齐次方程组 Ax的特解可取为 1 ；11 1方程组 Ax的通解为 x k 21 ，其中 k 为任意常数．1121．（本题满分 11 分）2 1 4解：二次型矩阵 A11 141 a因为二次型的标准形为1 y 122 y 22 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A 0 ，故 a 2.11 4E A1 1 1(3)( 6)41 2令 E A0 得矩阵的特征值为 13,26, 3 0 ．1通过分别解方程组 ( i EA) x 0 得矩阵的属于特征值 13 的特征向量1，11 311 11 1属于特征值特征值26 的特征向量20 ， 3 0 的特征向量 32 ， 26111 1 13 2 6所以 Q1,2,31 02为所求正交矩阵．3 61 1 132622．（本题满分 11 分）解：（1） EY12yf Y ( y)dy2 y 2 dy.0 3224 .所以P YEYP Y 32 ydy3 09（2） Z X Y 的分布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X 0,Y z P X 2,Y z 21 z}1 z 2P{ YP Y221F Y( z) F Y( z 2)2故 Z X Y 的概率密度为1 f (z) f ( z 2)f Z ( z) F Z ( z)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其他23．（本题满分 11 分）解：（1）先求 Z i 的分布函数为F Z (z) P Z i z PX iX izz P当 z 0 时，显然 F Z ( z) 0 ；当 z 0 时， F Z ( z) P Z i z P X iX izz； z P212z2 e 2 2所以 Z i 的概率密度为 f Z ( z) F Z (z)20,, z 0 ．z 02z22（ 2）数学期望 EZ izf (z)dzze 22dz，221 n Z i ，解得的矩估计量2 Z2 n．令EZ Z22nZ i n i 1i 1（3）设 Z 1, Z 2 ,L , Z n 的观测值为 z 1, z 2 ,L , z n ．当 z i 0, i 1,2,L n 时1 nn2 nz i 2似然函数为 L( )f ( z i , )) ne22i 1，i 1( 2nln(21n取对数得： ln L() n ln 2)nlnz i 222 2 i 1d ln L ( ) n 1 n 20 ，得参数最大似然估计量为1 n 2．d 3 i 1 z i n i 1 z i令。

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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1.(B)2. (C)3.(D)无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是(A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ.(D)(,)π+∞.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(B)**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →= .（10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.（Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2211y y +，求a 的值.（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0x e y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ；（Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦；（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2. (C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.【答案】A.【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).所以本题选(A).（3）使不等式1sin ln xtdt x t>⎰成立的x 的范围是 (A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ. (D)(,)π+∞.【答案】A.【解析】原问题可转化为求111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰成立时x 的取值范围，由1sin 0tt->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A).（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(B)**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O B O B AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为(B).（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】A.【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即： 12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.【答案】D.【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB = (A)()()1()P AB P AB P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确.(B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除.(D)()()1()1P AB P AB P AB ==-=，故(D)正确.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（） (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.【答案】 B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 独立1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选(B).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →=.【答案】32e . 【解析】cos cos 10x x x x -→→=02(1cos )lim 13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =. （10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .【答案】2ln21+. 【解析】由()xy z x e=+，故()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦代入1x =得，()ln 21,01ln 22ln 212z e x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . 【答案】1e. 【解析】由题意知，()210nn n e a n--=> ()()()()111122122111()11111n n n n n nn n nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元. 【答案】8000.【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q PQξ'==-，所以0.2Q P Q '=- 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+= 将10000Q =代入有()8000QP '=.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .【答案】2.【解析】T αβ相似于300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据相似矩阵有相同的特征值，得到Tαβ的特征值为3，0，0.而T αβ为矩阵Tαβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = . 【答案】2np【解析】由222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=，2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=，故10,x y e= =. 2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =. 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t =+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C ++=+-+--+=+-⎰（17）（本题满分10 分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为22()()11x x t t V f dx f dx ππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：()1x ts f dx =⎰，则由题可知22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰两边对t 求导可得22()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰继续求导可得''2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得'1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y -=⇒+=，解之得1223t c y y -=⋅+在式中令1t =，则2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴=，代入1223t cyy -=+得11,2)33c t y =∴=+.所以该曲线方程为：230y x +=.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令231,0x x =-=，由20A x =得11x = 令230,1x x ==-，由20A x =得10x =求得特解21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故 3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中23,k k 为任意常数（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠故123,,ξξξ 线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2211y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+.（Ⅱ）若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0x e y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦ 【解析】（Ⅰ）由0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它得其边缘密度函数()0xx x x f x e dy xe x --== >⎰故 |(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== <<即 |1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它（Ⅱ）[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤而111011[1,1](,)12xxx x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0x x yY yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰ 11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦.②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======。