2018年高考试题分类汇编(三角函数)
2018年高考数学分类汇编之三角函数,推荐文档
、选择题C1. 【2018全国二卷6】在△ ABC 中，cos —2A . 4j2B .30C.29D . 252.【2018全国二 二卷10】若f(x)cosxsinx 在[ a, a] 是减函数，则a的最大值是nn3 nA.-B . —C. —D . n4243.【2018全国三 一 *一卷4】若sin 1，则cos237 .【2018浙江卷5】函数y=2|x|sin2x 的图象可能是，BC 1，AC 5，则 AB 500 - 98〉D7 - 9G【2018全国三卷9】△ ABC 的内角A , B ,C 的对边分别为a ,c ，若△ ABC 的面积为A .7tB .nC.— 4D .5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记 d 为点P (cos 0, sin B)到直线x my 20的距离，当 0, m 变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数ysin(2x 5)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数10 A 在区间吟上单调递增3B在区间［壬，］上单调递减5 C在区间［53］上单调递3D 在区间［—,2 ］上单调递减A.1.【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ,贝U f x 的最小值是 ____________________ . 2 .【2018 全国二卷 15 】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a 3) _____________________ .n3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x — 在0, n 的零点个数为64. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x ”(0)，若f(x)仁才)对任意的实数x 都成立，贝U 3的最小值为5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x )( )的图象关于直线x 对称，则的值是 . 2 2 36.【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 ,ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD 1，贝U 4a c 的最小值为 __________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A, B , C 所对的边分别为 a , b, c .若a= , b=2, A=60 °则sin B= ______________ ,c= __________ . 三•解答题1. 【2018全国一卷17】在平面四边形 ABCD 中， ADC 90°, A 45o , AB 2, BD 5.(1)求 cos ADB ; (2)若 DC 2 2，求 BC ., 12. 【2018 北京卷 15】在厶 ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.二、填空题(I)求/ A；(I)求AC边上的高.3.【2018天津卷15】在4阮中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，°已知bsinA acos(B訐5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆(I )求角 B 的大小;(II )设 a=2, c=3，求 b 和 sin(2A B)的值.4.【2018江苏卷 16】已知4，为锐角，tan 3，cos() (1)求cos2 的值;(2 )求tan()的值.线段MN 构成.已知圆 O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为 50米•现规划在此农田上修建两个温室大棚，大 棚I 内的地块形状为矩形 ABCD,大棚H 内的地块形状为 △ CDP ,要求A,B 均在线段MN 上，C,D 均在圆弧上.设 OC 与MN 所成的角为 (1 )用分别表示矩形 ABCD 和厶CDP 的面积，并确定sin 的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚□内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 ：3 .求当 为何值时，能使甲、乙两种\ ；/L 丿r; rP1蔬菜的年总产值最大. (第门3 46.【2018浙江卷18】已知角a 的顶点与原点 O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P( -，-―)5 55 (I)求 sin ( a +n)的值； (n)若角 B 满足 sin ( a + 3)=一，求 cos B 的值. 13 7.【2018上海卷18】设常数a R ，函数f(x ) asin2x 2 cos 2x (1 )若(力为偶函数，求a 的值；(2)若〔一〕1，求方程f(x ) 1 .2在区间［,］上的解. 4O 的一段圆弧 MPN ( P 为此圆弧的中点)和参考答案 、选择题1.A2.A3.B4.C5.C6.A7.D彳3^312 n21门、填空题1.2.3. 34.—5. -6. 97.；22367 •解答题1.解：（ 1) 在 △ ABD中，由正弦定理得BD ABsin Asin ADB由题设知，5 22，所以 sin ADBsin 45sin ADB5/ 2-23 由题设知，ADB 90，所以 cos ADB,1 —■ 255所以BC 5.又由 bsi nA acos(B —)，得 a si nB acos(B -n ),6 6（2）由题设及（1） 知, cos BDC sinADB 于在△ BCD 中，由余弦定理得BC 2 BD 2 DC 2BD DC cos BDC 258 2 5 2 3 辽 25.52•解：（1）在厶 ABC 中，••• 1cosB=—— 7n）sin B= 1 -------2、cos B4、3 7由正弦定理得—sin A sin B sin A77---- — 3 =4 3 , . sinA= . v B € 2，二 A €( 0, nn2），.上- (n )在厶 ABC 中，T sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—324、3 3 - 3 714如图所示，在△ ABC 中, ■/ sinC=-^ , . h= BC sinC = 7BC1433 23•解：在厶ABC 中，由正弦定理—，可得 bsin A asin B , sinA sinB.AC 边上的高为&卫2即sin B cos(B n)，可得tan B . 3 .又因为B (0 , n，可得B=n•6 3在厶ABC中，由余弦定理及a=2, c=3, B=n，3解:有b2c2 2accosB 7,故b= 7 .由bsinAnacos(B n，可得sinA因为a<c,故cos A2——.因此sin2A 2sin Acos A.74、372cos2 A 2cos A所以，si n(2A B) sin 2 Acos B cos2 As in B7 33 144.解：(1)因为tan 4,tan3也，所以sincos4 cos3因为sin2 2cos 1，所以2cos9，因此,25cos2 小2 2cos725(2)因为为锐角，所以(0, n •又因为cos( 所以sin( 2、~5因止匕tan(因为tan 所以tan2 2ta n1 tan 2247因此，tan( )tan[2 ( )] tan 2 tan(1 + tan2 tan(2115•解：(1)连结PO并延长交MN 于H,贝U PH丄MN，所以OH=10.过O作OE丄BC于E,则OE// MN，所以/ COE= 0,故OE=40cos0, EC=40sin 0,则矩形ABCD的面积为2X40co0 (40sin 0+10) =800 (4sin 0cos 0+cos 0),、 1△ CDP 的面积为一x 2 x 40c0s(40 - 40sin) =1600 (cos0 - sincos 0).2过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K,贝U GK=KN=10.1 n令/ GOK= 00，贝y sin 00= —, 00 €( 0,—).4 6当沃［如扌)时，才能作出满足条件的矩形所以si n0的取值范围是［^ , 1).4ABCD,答：矩形ABCD的面积为800 (4sin Qcos肝cos B)平方米，△ CDP的面积为1 1600 (cos0 - sir D cos B) , sin B 的取值范围是［—,1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为4k x 800( 4sin 0cos0+cos 0) +3k x 1600( cos 0 - sirficos 0)n、=8000k (sin0cos0+cos0) , 0€ [ 00,—) 2设 f (0) =sin0cos0+cos0, 0€ [ 00上)，，2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令f飞)=。
2018三角函数专题(2018高考真题)
2018三角函数、向量专题（文）1．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( )A ．4B ．3C ．2D ．03．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =( )A．BCD．4．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89B ．79C ．79-D ．89-6.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件7．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >>（D ）c a b >>8．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间[,]44ππ- 上单调递增 B.在区间[,0]4π上单调递减C.在区间[,]42ππ 上单调递增D.在区间[,]2ππ 上单调递减9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为410．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．111.在平面坐标系中， 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A.B. C. D. 12．在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为( )A.15-B.9-C.6-D.013.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ∙的最小值为_________.14.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．16.已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +18b的最小值为__________． 17.已知函数)22)(2sin(πϕπϕ<<-+=x y 的图象关于直线3π=x对称，则ϕ的值是______18.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与l 交于另一点D ，若0=⋅，则点A 的横坐标为_______ 19.在ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为_______ 20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若ab =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．21．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．22．已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．23．若ABC △的面积为222)4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.24.已知函数2()sin cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.25.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （Ⅰ）求教B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．26.已知βα,为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα， (1)求α2cos 的值；(2)求)tan(βα-的值．27.设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+。
2018三角函数专题(理科)(2018高考真题)
2018三角函数专题（理）1.已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x y =+∈∈Z Z ≤，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．42.已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( ) A ．4B ．3C ．2D ．03.在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =( ) A．BCD．4.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5.若，则( ) A ．B ．C ．D ． 6.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则( ) A ．B ．C ．D ．7.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +8.设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件1sin 3α=cos 2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π610．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >> 11．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间35[,]44ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在区间53[,]42ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则 的最小值为（ ） A.2116 B. 32 C. 2516D. 313.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 415．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（ ） A. 对任意实数a ，(2,1)A ∈B. 对任意实数a ，（2，1）A ∉C. 当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D. 当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 16．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是()π3A−1B+1C．2D．217.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．18.已知向量，，．若，则________．19.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ∙的最小值为_________.20.设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．21.若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y –x 的最小值是__________． 22.已知函数)22)(2sin(πϕπϕ<<-+=x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是______23.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与l 交于另一点D ，若0=⋅，则点A 的横坐标为_______24.在ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为_______25.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．26.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．27．已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,23⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 . 28.已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=29.在平面四边形ABCD 中，90ADC =︒∠，45A =︒∠，2AB =，5BD =． ⑴求cos ADB ∠；⑵若DC =，求BC ．30.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．31.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.32.已知βα,为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα， (1)求α2cos 的值； (2)求)tan(βα-的值．33.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．34.设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+。
高考专题---三角函数综合-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版
专题10 三角函数综合【母题原题1】【2018上海卷，18】设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。
【答案】(1);(2)或或.【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．【母题原题2】【2017上海卷，18】已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积. 【答案】（1）;（2）若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c =2，则即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为【母题原题3】【2017上海卷，11】设、，且，则的最小值等于________ 【答案】【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．【命题规律】1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 考查周期、单调性、极值等简单性质；(2) 考查与三角函数有关的零点问题；(3) 考查图象的识别． 【方法总结】1.根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>中的参数主要方法：（1）A ，B 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即2A -=最大值最小值，2B +=最大值最小值；（2）ω的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．2.在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时，平移ϕ个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时，平移ϕω个长度单位． 3. 利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 4. 求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定；③根据图象来判断． 5. 求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；[ ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．6. 求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈；若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数，则()k k Z ϕπ=∈．7. 求解三角函数对称性的方法：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x 即可；②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+，k ∈Z ，所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ，即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈；（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验()0f x 的值进行判断． 8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±，化为关于t 的二次函数求值域(最值).1．【上海市浦东新区2018届三模】设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A ． 函数的最小正周期是B ． 图象关于点对称C ． 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ． 函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】 试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.2．【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()sincos 212cos2x x f x xωωω=(0)ω>， x R ∈，若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围为（ ）A ． 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ． 50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． ][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ． ][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 3．【上海市浦东新区2018届高三三模】已知的三边成等比数列,所对的角分别为,则的取值范围是_________.【答案】.【解析】 【分析】【点睛】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．4．【上海市大同中学2018届高三三模】若，，，满足：，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【上海市2018年5月高考模拟】已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________【答案】或【解析】【分析】由，可知是函数的最小值，利用辅助的角公式求出的关系，然后利用三角函数的图象和性质进行求解即可.【详解】则，由，解得，即，，当时，，当时，，故或，故答案为或.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.6．【上海市浦东新区2018届高三三模】若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．7．【上海市大同中学2018届高三三模】如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）当时，求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当时，，当时，；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时，；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟.【详解】【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【上海市2018年5月高考模拟】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】【分析】（1）由题意，,，在中，由正弦定理可求两点间的距离；（2）结合（1）【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理与余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.9．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解得，所以，，，由正弦定理得；（2）由余弦定理得，根据基本不等式，得，所以面积的最大值等于。
五年(2018-22)高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题16 三角函数单选题(解析版)
【答案】C解析:法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
【题目栏目】三角函数\三角恒等变换\三角恒等变换的综合应用
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ．故选：A
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的图象
【题目来源】2022新高考全国I卷·第6题
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第11题)函数 在区间 的最小值、最大值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】D
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题16三角函数单选题
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第5题)已知函数 ，则( )
A． 在 上单调递减B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减D． 在 上单调递增
【答案】C
解析:因为 ．
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错．
故选,C．
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的单调性与周期性
【题目来源】2022高考北京卷·第5题
2．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数 1年新高考Ⅰ卷·第4题
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(三角函数 三角恒等变换)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan 5α=±；当tan 5α=时，可得15a =，25b =，即5a =，5b =，此时5a b -=；当tan 5α=-时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案： 解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________．5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=，求方程12f x =（）ππ-［，］上的解。
三角函数(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数op =sin B (>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．1D ．122．【2022年全国甲卷】设函数op =sin B +(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A B ,6C D 3．【2022年全国乙卷】函数=cos ++1sin +1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数op =sin(B +4)+o >0)的最小正周期为T ．若23<<，且=op 的图象关于点(32,2)中心对称，则o2)=（）A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(+p +cos(+p =22cos +sin ，则（）A ．tan(−p =1B ．tan(+p =1C ．tan(−p =−1D ．tan(+p =−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A 15B C ．3D ．37．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B C ．2D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．218．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）AB ．C ．D ．19．【2019年新课标1卷理科】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．20．【2019年新课标1卷理科】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │23．【2019年新课标2卷理科】已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 24．【2019年新课标2卷文科】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．1225．【2019年新课标3卷理科】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④26．【2019年新课标3卷文科】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．527．【2018年新课标1卷文科】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为428．【2018年新课标1卷文科】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B ．5C ．5D ．129．【2018年新课标2卷理科】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2πC ．34πD ．π30．【2018年新课标3卷理科】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-31．【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π32．【2022年新高考2卷】已知函数op =sin(2+p(0<<π)0中心对称，则（）A ．op 在区间0,12B ．op 在区间−π12C ．直线=7π是曲线=op 的对称轴D ．直线=是曲线=op 的切线33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -34．【2022年全国乙卷】记函数op =cos(B +p(>0,0<<π)的最小正周期为T ，若op ==9为op 的零点，则的最小值为____________．35．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.36．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．37．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．39．【2019年新课标1卷文科】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．40．【2018年新课标2卷理科】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．41．【2018年新课标2卷文科】已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．42．【2018年新课标3卷理科】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．。
2018年高考数学—三角函数(解答+答案)
2018年高考数学——三角函数解答1.(18北京理（15）（本小题13分）)在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（18江苏16．（本小题满分14分））已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（18全国一理17．（12分））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4.（18天津理（15）（本小题满分13分））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.5.（18浙江18．（本题满分14分））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．6.（18北京文（16）（本小题13分））已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=． 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =43，∴sin A =3． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()72⨯-+⨯=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．2.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．3.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.4.（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A ．因此sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=5.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.6.【解析】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+. 因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.。
2018年数学理科高考题分类 真题与模拟题 三角函数
C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数9.B14,C1[2018·江苏卷] 函数f (x )满足f (x+4)=f (x )(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f (x )={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f (f (15))的值为 .9.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16.B11,C2[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=2sin x+sin 2x ,则f (x )的最小值是 . 16.-3√32[解析] 因为f (x+2π)=2sin(x+2π)+sin(2x+4π)=f (x ),所以2π是函数f (x )的一个周期,不妨取区间[0,2π]进行分析.f'(x )=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2,令f'(x )=0,解得cos x=12或cos x=-1.当x 在[0,2π]上变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x0,π3π3π3,πππ,53π53π 53π,2πf'(x ) + 0 - 0 - 0 + f (x )↗极大值↘↘极小值↗可知函数f (x )在[0,2π]上的极小值即为函数f (x )在定义域上的最小值,所以f (x )min =f (53π)=2sin 53π+sin 103π=-3√32. 16.C2,C5,C6[2018·江苏卷] 已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 16.解:(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925, 因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-√55,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55, 因此tan(α+β)=-2. 因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247, 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.C3 三角函数的图像与性质11.C3[2018·北京卷] 设函数f (x )=cos (ωx -π6)(ω>0).若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为 .11.23[解析] 结合余弦函数的图像得π4ω-π6=2k π,k ∈Z,解得ω=8k+23,k ∈Z,又∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值,最小值为23.7.C3,C4[2018·江苏卷] 已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图像关于直线x=π3对称,则φ的值为 .7.-π6 [解析] 由题意得,sin 2×π3+φ=±1,则2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),所以φ=-π6+k π(k ∈Z),又-π2<φ<π2,故φ=-π6.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质10.C4,C5[2018·全国卷Ⅱ] 若f (x )=cos x-sin x 在[-a ,a ]是减函数,则a 的最大值是 ( )A .π4B .π2C .3π4D .π10.A [解析] f (x )=cos x-sin x=√2(cosxcos π4-sinxsin π4)=√2cos (x +π4),由2k π≤x+π4≤π+2k π(k ∈Z),得函数f (x )的单调递减区间为[2kπ-π4,34π+2kπ](k ∈Z).函数f (x )在[-a,a ]上单调递减,得a 的最大值是π4. 15.C4[2018·全国卷Ⅲ] 函数f (x )=cos (3x +π6)在[0,π]的零点个数为 .15.3 [解析] 由3x+π6=k π+π2,k ∈Z,得x=kπ3+π9,k ∈Z,若x ∈[0,π],则可取k=0,1,2,故函数f (x )在[0,π]的零点个数为3.6.C4[2018·天津卷] 将函数y=sin 2x+π5的图像向右平移π10个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间[3π4,5π4]上单调递增 B .在区间[3π4,π]上单调递减 C .在区间[5π4,3π2]上单调递增D .在区间[3π2,2π]上单调递减 6.A [解析] 将函数y=sin 2x+π5的图像向右平移π10个单位长度后,得到函数y=sin 2x 的图像,函数y=sin 2x 的单调递增区间为k π-π4,k π+π4,k ∈Z,单调递减区间为k π+π4,k π+3π4,k ∈Z,故其在区间3π4,5π4上单调递增.故选A .7.C3,C4[2018·江苏卷] 已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图像关于直线x=π3对称,则φ的值为 .7.-π6 [解析] 由题意得,sin 2×π3+φ=±1,则2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),所以φ=-π6+k π(k ∈Z),又-π2<φ<π2,故φ=-π6.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切10.C4,C5[2018·全国卷Ⅱ] 若f (x )=cos x-sin x 在[-a ,a ]是减函数,则a 的最大值是 ( )A .π4B .π2C .3π4D .π10.A [解析] f (x )=cos x-sin x=√2(cosxcos π4-sinxsin π4)=√2cos (x +π4),由2k π≤x+π4≤π+2k π(k ∈Z),得函数f (x )的单调递减区间为[2kπ-π4,34π+2kπ](k ∈Z).函数f (x )在[-a,a ]上单调递减,得a 的最大值是π4. 15.C5[2018·全国卷Ⅱ] 已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .15.-12[解析] 将sin α+cos β=1两边平方,得sin 2α+2sin αcos β+cos 2β=1①,将cos α+sin β=0两边平方,得cos 2α+2cos αsin β+sin 2β=0②.由①+②,得2(sin αcos β+cos αsin β)=-1,即sin(α+β)=-12. 16.C2,C5,C6[2018·江苏卷] 已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 16.解:(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925, 因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).因此tan(α+β)=-2. 因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247, 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.18.C5,C7,C9[2018·浙江卷] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值. 18.解: (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sin α=-45, 所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cos α=-35, 由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665.C6 二倍角公式4.C6[2018·全国卷Ⅲ] 若sin α=13,则cos 2α= ( )A .89B .79C .-79D .-894.B [解析] cos 2α=1-2sin 2α=79.16.C2,C5,C6[2018·江苏卷] 已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 16.解:(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925, 因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).因此tan(α+β)=-2. 因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247, 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.C7 三角函数的求值、化简与证明15.C7、C8[2018·北京卷] 在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A ;(2)求AC 边上的高.15.解:(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴∠B ∈π2,π,∴sin B=√1-cos 2B =4√37. 由正弦定理知a sinA =b sinB ,即7sinA =84√37,∴sin A=√32. ∵∠B ∈π2,π,∴∠A ∈0,π2,∴∠A=π3.(2)在△ABC 中,∵sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314. 如图所示,在△ABC 中,∵sin C=ℎBC ,∴h=BC ·sin C=7×3√314=3√32, ∴AC 边上的高为3√32.18.C5,C7,C9[2018·浙江卷] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值. 18.解: (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sin α=-45, 所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cos α=-35, 由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-5665或cos β=1665.C8 解三角形17.C8,C9[2018·全国卷Ⅰ] 在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB ; (2)若DC=2√2,求BC.17.解:(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin ∠A =ABsin ∠ADB. 由题设知,5sin45°=2sin ∠ADB,所以sin ∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD ·DC ·cos ∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC=5.6. C8 [2018·全国卷Ⅱ] 在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB= ( )A .4√2B .√30C .√29D .2√56.A [解析] cos C=2cos 2C2-1=2×(√55)2-1=-35,所以由余弦定理得AB 2=12+52-2×1×5×(-35)=32,所以AB=4√2.9.C8[2018·全国卷Ⅲ] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A .π2B .π3C .π4D .π69.C [解析] 由三角形的面积公式可得,a 2+b 2-c 24=12ab sin C ,所以a 2+b 2-c 22ab =sin C.由余弦定理得,a 2+b 2-c 22ab =cos C ,所以cos C=sin C ,又C ∈(0,π),所以C=π4.15.C7、C8[2018·北京卷] 在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A ;(2)求AC 边上的高.15.解:(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴∠B ∈π2,π,∴sin B=√1-cos 2B =4√37. 由正弦定理知a sinA =b sinB ,即7sinA =4√37,∴sin A=√32. ∵∠B ∈π2,π,∴∠A ∈0,π2,∴∠A=π3.(2)在△ABC 中,∵sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314. 如图所示,在△ABC 中,∵sin C=ℎBC ,∴h=BC ·sin C=7×3√314=3√32, ∴AC 边上的高为3√32.15. C8[2018·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b sin A=a cos B-π6.(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B )的值. 15.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理a sinA =b sinB,可得b sin A=a sin B ,又由b sin A=a cos B-π6,得a sin B=a cos B-π6,即sin B=cos B-π6,可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=√7. 由b sin A=a cos B-π6,可得sin A=√3√7.因为a<c ,所以cos A=2√7. 因此sin 2A=2sin A cos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17. 所以sin(2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√37×12-17×√32=3√314. 13.C8,E6[2018·江苏卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD=1,则4a+c 的最小值为 .13.9 [解析] 方法一:由∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,得∠ABD=∠CBD=60°.由S △ABC =S △BAD +S △BCD ,得12ac sin 120°=12a ·BD ·sin 60°+12c ·BD ·sin 60°,又BD=1,所以ac=a+c ,则1a +1c=1.而a>0,c>0,所以4a+c=(4a+c )1a +1c=4+4a c +c a +1≥5+2√4a c ·c a=9当且仅当4a c =c a,即c=2a 时,取等号.因此4a+c 的最小值为9.方法二:以B 为坐标原点,BD 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则D (1,0),A c 2,√3c 2,Ca 2,-√3a 2,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-c 2,-√3c 2,DC⃗⃗⃗⃗⃗ =a2-1,-√3a 2,又AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1-c 2-√3a2=a 2-1-√3c2,整理得ac=a+c ,以下同方法一.13.C8[2018·浙江卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 13.√2173[解析] 由正弦定理a sinA =bsinB,得sin B=√3√7=√217.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得c 2-2c-3=0,则c=3.C9 单元综合17.C8,C9[2018·全国卷Ⅰ] 在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB ; (2)若DC=2√2,求BC.17.解:(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin ∠A =ABsin ∠ADB. 由题设知,5sin45°=2sin ∠ADB,所以sin ∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD ·DC ·cos ∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC=5.17.C9,B12[2018·江苏卷] 某农场有一块农田,如图1-5所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ,要求A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.图1-517.解:(1)连接PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH=10. 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE=θ, 故OE=40cos θ,EC=40sin θ,则矩形ABCD的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)=800(4sin θcos θ+cos θ), △CDP的面积为12×2×40cos θ(40-40sin θ)=1600(cos θ-sin θcos θ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sin θ0=14,θ0∈0,π6.当θ∈θ0,π2时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sin θ的取值范围是14,1.答:矩形ABCD的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP的面积为1600(cos θ-sin θcos θ)平方米,sinθ的取值范围是14,1.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k×1600(cos θ-sin θcos θ)=8000k(sin θcos θ+cos θ),θ∈θ0,π2 .设f(θ)=sin θcos θ+cos θ,θ∈θ0,π2,则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sin θ=-(2sin2θ+sin θ-1)=-(2sin θ-1)(sin θ+1).令f'(θ)=0,得θ=π6.当θ∈θ0,π6时,f'(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈π6,π2时,f'(θ)<0,所以f(θ)为减函数.因此,当θ=π6时,f(θ)取到最大值.答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.C5,C7,C9[2018·浙江卷]已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-4 5 ).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.18.解: (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sin α=-45, 所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cos α=-35, 由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665.3.[2018·广西陆川月考] 设f (x )=a sin(πx+α)+b cos(πx+β),其中a ,b ,α,β都是非零实数,若f (2017)=-1,则f (2018)= ( )A .1B .2C .0D .-13.A [解析] 由题得f (2017)=a sin(2017π+α)+b cos(2017π+β)=-a sin α-b cos β=-1,即a sin α+b cos β=1,∴f (2018)=a sin(2018π+α)+b cos(2018π+β)=a sin α+b cos β=1.4.[2018·马鞍山一检] 若sin 2α=cos α,α∈(0,π2),则tan 2α= ( )A .√3B .-√3C .√33D .-√334.A [解析] ∵sin 2α=cos α,α∈(0,π2),∴2sin αcos α=cos α,∴sin α=12,即α=π6,∴tan 2α=tan π3=√3,故选A . 2.[2018·上饶一模] 将函数y=sin (2x +π4)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π4个单位长度,所得的图像对应的函数解析式是 ( ) A .y=cos x B .y=sin xC .y=sin 4xD .y=cos 4x2.B [解析] 将函数y=sin (2x +π4)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin (x +π4)的图像,再将所得的图像向右平移π4个单位长度,所得的图像对应的函数解析式是y=sin x ,故选B . 1.[2018·乌鲁木齐一检改编] 函数f (x )=sin (2x +π3)的单调递增区间是 ( )A .[2kπ-5π12,2kπ+π12](k ∈Z) B .[2kπ+π12,2kπ+7π12](k ∈Z) C .[kπ-5π12,kπ+π12](k ∈Z) D .[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)1.C [解析] 令-π2+2k π≤2x+π3≤π2+2k π(k ∈Z),解得k π-5π12≤x ≤k π+π12(k ∈Z),即f (x )=sin (2x +π3)的单调递增区间是[kπ-512π,kπ+π12](k ∈Z). 17.[2018·海南期末] 已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足2a cos B+b cos A=0.(1)若a=2c ,求角B ;(2)求cos C 的最小值.17.解:(1)由2a cos B+b cos A=0及正弦定理得2sin A cos B+sin B cos A=0,所以sin A cos B+sin C=0,即sin A cos B=-sin C ,所以a cos B=-c ,又a=2c ,所以cos B=-12,B=2π3. (2)由(1)可知c=-a cos B=-a ·a 2+c 2-b 22ac ,即c 2=13(b 2-a 2),由余弦定理得cos C=a2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-13(b 2-a 2)2ab = 4a 2+2b26ab =2a 23ab +b 23ab ≥2√2a 23ab ·b 23ab =2√23(当且仅当√2a=b 时取等号), 所以(cos C )min =2√23.。
6-三角函数-五年(2018-2022)高考数学真题按知识点分类汇编
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编6-三角函数（含解析）一、单选题1．（2022·天津·统考高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·统考高考真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·浙江·统考高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．（2022·北京·统考高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增5．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-6．（2022·全国·统考高考真题）设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦7．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 8．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x x y x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 9．（2022·全国·统考高考真题）将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．1210．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：22CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-11．（2022·全国·统考高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．32C ．52 D ．312．（2021·北京·统考高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为9813．（2021·全国·统考高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ） A ．12B 3C 22D 314．（2021·全国·统考高考真题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭15．（2021·全国·高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A 15B 5C 5D 1516．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+17．（2021·全国·统考高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和218．（2021·全国·统考高考真题）已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨19．（2020·山东·统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角20．（2020·山东·统考高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥21．（2020·天津·统考高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③22．（2020·北京·统考高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭23．（2020·全国·统考高考真题）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A ．53B ．23C ．13D ．5924．（2020·全国·统考高考真题）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π225．（2020·全国·统考高考真题）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<026．（2019·全国·高考真题）若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．1227．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │28．（2019·北京·高考真题）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β29．（2019·天津·高考真题）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C ．2D ．230．（2019·全国·高考真题）函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．31．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③32．（2019·全国·统考高考真题）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④33．（2018·全国·高考真题）若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4πB ．2π C ．34π D ．π34．（2018·天津·高考真题）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 35．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH36．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4π B ．2π C ．πD ．2π37．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为438．（2018·全国·高考真题）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A ．15B 5C 25D ．139．（2018·天津·高考真题）将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减二、多选题40．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ） A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线32y x =-是曲线()y f x =的切线 41．（2020·海南·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -三、填空题42．（2022·全国·统考高考真题）记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()f T =9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．43．（2022·浙江·统考高考真题）若3sin sin 10,2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．44．（2021·北京·统考高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．45．（2021·全国·高考真题）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.46．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．47．（2020·山东·统考高考真题）已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .48．（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．49．（2020·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．50．（2020·江苏·统考高考真题）将函数y =π3sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 51．（2020·全国·统考高考真题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 52．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 53．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 54．（2019·北京·高考真题）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 55．（2018·江苏·高考真题）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．56．（2018·北京·高考真题）设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．57．（2018·全国·高考真题）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．58．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．四、解答题59．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+60．（2021·浙江·统考高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.61．（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π 712π56πx ωϕ+0 2ππ32π2πsin()A x ωϕ+3-3根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.62．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．63．（2020·全国·统考高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 64．（2019·天津·高考真题） 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.65．（2019·浙江·高考真题）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 66．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．67．（2018·北京·高考真题）已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1．A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,]44-上单调递增，②正确；因为π2π2,33t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，3sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()312f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③不正确； 由于1π1πg()sin(2)sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确． 故选：A ． 2．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 3．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.4．C【分析】化简得出()cos2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错； 对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对； 对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C. 5．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D6．C【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ． 7．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin3y x =的图象． 故选：D.8．A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 9．C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C. 10．B【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以(22222CD s AB OA=+=+=故选：B .11．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A 12．D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D. 13．D【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D. 14．B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B. 15．A【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin αα∴=-=sin 15tan cos ααα∴==. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.16．C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 17．C【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22()sin cos 223s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T故选：C ． 18．A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ． 19．D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D. 20．D【分析】本题可通过43>、12<、45、cos 1≤x 、20x ≥得出结果.【详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45易知B 错误；C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误；D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D. 21．B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.22．A【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆心角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为 302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 23．A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又25(0,),sin 1cos απαα∈∴=-=故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 24．C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 25．D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 26．A【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题． 27．A【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数； 28．B【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 29．C【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=； 又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴== 2ω=，2A =，又()24g π=∴()2sin 2f x x =，3() 2.8f π= 故选C ．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ． 30．D【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 31．C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，f x 的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．32．D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]xπ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 33．A【详解】因为π()cos sin )4=-=+f x x x x ，所以由π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k 得π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊆-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选：A. 34．A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 35．C【详解】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误. 综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.36．C【详解】分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可详解：由已知得()221f sin2,1221()sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 37．B【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 38．B【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=，从而确定选项. 【详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =， 因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即a =，所以2a b a a -=-=B. 【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 39．A【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数25y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 40．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ， 又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z , 从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =-． 故选：AD ． 41．BC【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 不妨令2ω=,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 42．3【分析】首先表示出T ，根据()f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解： 因为()()cos f x x ωϕ=+，（0ω>，0πϕ<<）。
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答案： （全国 3 卷 4）
答案：B （全国 3 卷 6）
答案：C
（北京卷 7）在平面坐标系中，
,
,
（如图），点 P 在其中一段上，角 以 O
，则 P 所在的圆弧是
（A）
（B）
（C）
（D） 答案：C
,
是圆
上的四段弧
（北京卷 16）已知函数
+
.
（Ⅰ）求
的最小正周期
（Ⅱ）若 答案：
在区间
上的最大值为 ，求 的最小值.
（全国 1 卷 8） 答案： （全国 1 卷 11） 答案：
（全国 2 卷 10）若 f (x) cos x sin x 在[0, a] 是减函数，则 a 的最大值是
A. π 4
答案：C
B. π 2
C. 3π
4
D. π
5π 1
（全国 2 卷 15）已知 tan α
4
，(2x
) 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对
5
10
应的函数
（A）在区间[
上单调递增（B）在区间[
上单调递减
（C）在区间 4 , 4上] 单调递增（D）在区间
4
, 0] ] 上单调递减
[,] 4
[,
2
2
答案：A
解析： y sin(2x ) 向右移动 个单位长度得到
5
10
y sin[（2 ）x - ，] 即 y sin 2x ， 10 5
单增区间为： +2k 2x 2k (k Z )
+k x
2 k (kZ)
2
当4k 0 时，函4数 y sin(2x 在区间[
)
,]
研究院[全国]2018高考真题理分类汇编——三角函数与平面向量教师版.docx
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2018高考真题分类汇编——三角函数与平面向量1.（2018北京·理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件1.B2.（2018北京·理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 2.233.（2018全国I·理）在中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A ．B ．C ．D ．3.A4.（2018全国II·理）已知向量，满足，，则（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．04.B5.（2018全国II·理）在中，，，，则（ ） A ．BCD ．5.A6.（2018全国II·理）若在是减函数，则的最大值是（ ） A ． B ．C ．D ．6.AABC △AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u ur u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144AB AC +u u u r u u u r 1344AB AC +u u ur u u u r a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π7.（2018全国II·理）已知，，则__________． 7.8.（2018全国III·理）若，则（ ） A ．B ．C ．D ．8.B9.（2018全国III·理）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）A ．B ．C ．D ．9.C10.（2018全国III·理）已知向量，，．若，则________．10.11．（2018全国III·理）函数在的零点个数为________．11.312.（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．12.π6-13.（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ， 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为 ▲ ．13.43sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=12-1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=12()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，14.（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． 14.-315.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ） A1BC ．2D ．215.A16.（2018浙江）在⊥ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°， 则sin B =___________，c =___________．17.（2018天津·理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） (A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 17.A18.（2018天津·理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（ ）(A)2116(B)32(C)2516(D) 318.A19.（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为 ．19.-320.（2018北京·理）（本小题满分13分） 在⊥ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （1）求⊥A ；（2）求AC 边上的高．20.【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC ．21.（2018全国I·理）（本小题满分12分）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.21.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以. （2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得 . 所以.22.（2018江苏）（本小题共14分） 已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 22.【解析】（1）因为，，所以． 因为，所以，因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为， 因此．因为，所以，因此，．ABCD 90ADC ∠=o45A ∠=o2AB =5BD =cos ADB ∠DC =BC ABD △sin sin BD ABA ADB=∠∠52sin 45sin ADB=︒∠sin 5ADB ∠=90ADB ∠<︒cos ADB ∠==cos sin 5BDC ADB ∠=∠=BCD △2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=5BC =4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+23.（2018浙江）（本小题13分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 23.【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.24.（2018天津·理）（本小题共13分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值. 24.【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由 πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=25.（2018上海）（本小题14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．25.【解析】（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣.。
2018年高考数学分类汇编之三角函数
2018年高考数学分类汇编之三角函数一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，，则A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ． B ． C ． D ． 5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （θ，θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1 B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 ABC △cos 2C=1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数||2x 2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是． 2．【2018全国二卷15】已知，，则．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC∠sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 7.【2018浙江卷13】在△中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c2，60°，则 ，． 三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠； （2）若DC =，求BC . 2.【2018北京卷15】在△中，7，8，–17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小； （）设2，3，求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设与所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足（α+β）=513，求β的值．7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）间ππ-［，］上的解.参考答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 二、填空题1. 2. 3. 3 4.235.π6- 6. 9 7.3721； 三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△中，∵–17，∴B ∈（π2，π由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠π3．11()72-+．如图所示，在△中，∵hBC ，∴sin BC C⋅7，12-∴边上的高为33．3.解：在△中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B ．又因为(0π)B ∈，，可得π3．（Ⅱ）解：在△中，由余弦定理及2，3，π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以，因此．因为，所以， 因此，．5.解：（1）连结并延长交于H ，则⊥，所以10．过O 作⊥于E ，则∥，所以∠θ，4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+故40θ，40θ，则矩形的面积为2×40θ（40θ+10）=800（4θθθ），△的面积为12×2×40θ（40–40θ）=1600（θ–θθ）．过N作⊥，分别交圆弧和的延长线于G和K，则10．令∠θ0，则θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形，所以θ的取值范围是[14，1）．答：矩形的面积为800（4θθθ）平方米，△的面积为1600（θ–θθ），θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4θθθ）+3k×1600（θ–θθ）=8000k（θθθ），θ∈[θ0，π2）．设f（θ）θθθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin(2sin sin1)(2sin1)(sin1)fθθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0fθ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0fθ′，所以f（θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0fθ′，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±.由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。
2018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解
2018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数一、选择题.1、（2018年高考全国卷1文科8）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．2、（2018年高考全国卷1文科11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．3、（2018年高考全国卷3理科4）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．4、（2018年高考全国卷3理科9文科11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC==，∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．5、（2018年高考全国卷2理科6文科7）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．6、（2018年高考全国卷2理科10）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．7、（2018年高考全国卷2文科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C8、（2018年高考全国卷3文科4）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．9、（2018年高考全国卷3文科6）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．10、（2018年高考北京卷理科7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．11、（2018年高考北京卷文科7）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．12、（2018年高考天津卷文理科6）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x ≤，k ∈Z ， 减区间满足：≤2x ≤，k ∈Z ，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ， 减区间为[+kπ，+kπ]，k ∈Z ，∴将函数y=sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A ．13、（2019年高考全国I 卷文理科5）函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 14、（2019年高考全国I 卷理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③答案：C解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；),2(ππ∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；函数为偶函数，只需讨论0>x ，N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。
2018年全国高考(理科)数学试题分类汇编：三角函数
全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 （浙江数学（理）试题）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-*C2 （高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定*B3 （天津数学（理）试题）在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠(B)C 4 （山东数学（理）试题）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-*B5 （辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π *A 6 （大纲版数学（理））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x()f x 既奇函数,又是周期函数*C 7 （山东数学（理）试题）函数cos sin y x x x =+的图象大致为*D8 （高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π*A9 （上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =*B10（重庆数学（理）试题）04cos50tan 40-= ( )1*C 11（高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A.12π B.6π C.4π D.3π*D12（高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π*B 二、填空题13（浙江数学（理）试题）ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.*314（高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______*.15（福建数学（理）试题）如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________16（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_________*2π17（高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________18（高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=*2sin()3x y +=. 19（高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)*1arccos 3C π=-20（大纲版数学（理））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.* 21（江苏卷（数学））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.*π22（上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B === ，，,则b=_______*723（安徽数学（理）试题）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.*π3224（新课标Ⅱ卷数学（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=____*25（高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.*π 26（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_________*5 三、解答题27（高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.*解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =.所以2s i n c o s6s i n A A A =.故cos A =. (II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s2c o s 13B A =-=.所以sin 3B ==. 在△ABC中,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C c A ==.28（高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.*解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.29（重庆数学（理）试题）在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==求tan α的值.【答案】 由题意得30（天津数学（理）试题）已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.*31（辽宁数学（理）试题）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值*32（高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.*(1)因为0ω>,根据题意有 34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈, 即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π, 故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 33（大纲版数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若sin sin A C =求C .*34（高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.*解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-, 则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =- ()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =, 由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=. 根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭, 解得1c =或7c =-(舍去). 故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2BA B = 35（山东数学（理）试题）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =.(Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.*解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+, 又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =. (Ⅱ)在△ABC中,sin B ==, 由正弦定理得sin sin a B A b ==, 因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=.36（安徽数学（理）试题）已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. (Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.*解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42s i n (2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y = 37（福建数学（理）试题）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2018个零点.*解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈ 故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x = 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x = (Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >> 问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增 又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x , 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+= 当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x =-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x =-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况 22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞ 故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38（江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c = ,若a b c +=,求βα,的值.*解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-, 又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥ (2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==39（广东省数学（理）卷）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.*(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ)222cos2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭c o s 2s i θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.40（高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.*解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ41（江苏卷（数学））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为m i n /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C .(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?*解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据s i n B s i n C AC AB =得m C AC AB 1040sin sinB== (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d ∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理sinB sinA AC BC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m. (2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2), 由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265 (min). 若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043 m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42（高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.CBAC BADMN*解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A += 22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A== 25sin sin 47bc B C R ∴==43（新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.*44（高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA *(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74,∴; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得osin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan α,∴tan PBA ∠.45（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n nP AP θ+∠=,n N *∈.(1)若31arctan 3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1) (2)*[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan3θ=,知31tan 3θ=, 而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =. 故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点n P 的坐标为1(2 0)n -，,1tan n n OAP -∠=. 111212tan tan()1n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===+. 因为2n ≥,所以tan n θ≤=, 当且仅当n=,即4n =时等号成立. 易知0 t an 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数, 因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan 4. 46（高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围*解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++= 即有sin sin sin cos 0AB A B = 因为sin 0A ≠,所以sin cos 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=. (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。
2018年高考数学分类汇编三角函数及答案详解
2018年高考数学分类汇编三角函数1、（2018年高考全国卷1理科）16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f （x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．2、（2018年高考全国卷1理科）17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．3、（2018年高考全国卷1文科）8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．4、（2018年高考全国卷1文科）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．5、（2018年高考全国卷1文科）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得：bc=，所以：．②当A=时，，解得：bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．6、（2018年高考全国卷2理科）6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．7、（2018年高考全国卷2理科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．8、（2018年高考全国卷2理科）15．（5分）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．9、（2018年高考全国卷2文科）7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．10、（2018年高考全国卷2文科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C11、（2018年高考全国卷2文科）15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，则tanα=tan（α+）=====，故答案为：．12、（2018年高考全国卷3理科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．13、（2018年高考全国卷3理科）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．14、（2018年高考全国卷3理科）15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为3．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：315、（2018年高考全国卷3文科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．16、（2018年高考全国卷3文科）6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．17、（2018年高考全国卷3文科）11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S==，△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．18、（2018年高考北京卷理科）15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．19、（2018年高考北京卷理科）7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．20、（2018年高考北京卷理科）11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．21、（2018年高考北京卷文科）7．（5分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP 为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．22、（2018年高考北京卷文科）14．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）=acsinB，，可得：tanB=，所以B=，∠C为钝角，A∈（0，），cotA∈（，+∞）．===cosB+cotAsinB=cotA∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．23、（2018年高考北京卷文科）16．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．24、（2018年高考天津卷理科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．25、（2018年高考天津卷理科）15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．26、（2018年高考天津卷文科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．27、（2018年高考天津卷文科）16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．24、（2018年高考浙江卷）18．（14分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。
2018年高考试题分类汇编(三角函数)
2018年高考试题分类汇编(三角函数) 2018年高考试题分类汇编（三角函数）考点1：任意角的三角函数考法1：三角函数的定义已知角$\alpha$的顶点与坐标原点重合，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上两点$A(1,a)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{3}$，则$a-b=5\sqrt{3}$。
考法2：三角函数的图像与性质1.（2018·全国卷Ⅲ理）函数$f(x)=\cos(3x+\frac{\pi}{6})$在$[0,\pi]$的零点的个数为6.2.（2018·江苏）已知函数$y=\sin(2x+\varphi)$，($-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$)关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$\varphi$的值是$-\frac{\pi}{4}$。
3.（2018·天津文科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称的图象对应的函数为$y=\sin(2x+\frac{5\pi}{6})$。
4.（2018·天津理科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象对应的函数在区间$[\frac{3\pi}{4},2\pi]$上单调递减。
5.（2018·北京理科）设函数$f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{4})$，若$f(x)\leq f(\frac{\pi}{4})$对任意的实数$x$都成立，则$\omega$的最小值为$\frac{2}{\pi}$。
6.（2018·全国卷Ⅱ文科）若函数$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值为$\frac{3\pi}{4}$。
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2018年高考试题分类汇编（三角函数）
考点1 任意角的三角函数 考法1 三角函数的定义
1.（2018·全国卷Ⅰ文）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半
轴重合，终边上两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2
cos 23
α=，则a b -=
A. 1
5
B. 5 D. 1
考法2 三角函数的图像与性质
1.（2018·全国卷Ⅲ理）函数()cos(3)6f x x π
=+在[0,]π的零点的个数为 .
2．（2018·江苏）已知函数sin(2)y x ϕ=+,（2
2
π
π
ϕ-<<
）的图象关于直线3
x π
=
对称，则ϕ的值是 ．
3.（2018·天津文科）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度，所
得图象对应的函数
A.在区间[,]44ππ
-上单调递增
B.在区间[,0]4π
-上单调递减
C.在区间[,]42
ππ
上单调递增
D.在区间[,]2π
π上单调递减
4.（2018·天津理科）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度，所得
图象对应的函数
A.在区间[,]443π5π
上单调递增
B.在区间[
,]4π3π
上单调递减 C.在区间[,]42
5π3π
上单调递增
D.在区间[,2]23π
π上单调递减
5.（2018·北京理科）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4
f x f π
≤对任意的
实数x 都成立，则ω的最小值为_______．
6.（2018·全国卷Ⅱ文科）若函数()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值为
A ．4π
B ．2
π
C ．34π
D ．π
7.（2018·全国卷Ⅱ理科）若函数()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最
大值为
A ．4π
B ．2π
C ．34π
D ．π
8.（2018·全国卷Ⅰ文）已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则
A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9.（2018·全国卷Ⅰ理科）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 . 考点2 三角恒等变换
1.（2018·全国卷Ⅱ理科）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= .
2.（2018·全国卷Ⅱ文科）已知51
tan()45πα-=，则tan α= ．
3.（2018·全国卷Ⅲ文理）若1
sin 3
α=
，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-
4.（2018·全国卷Ⅲ文科）函数2tan ()1tan x
f x x
=
+的最小正周期为
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
5.（2018·北京文科）已知函数2()sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为3
2
，求m 的最小值.
6．（2018·江苏）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=，cos()αβ+=．
（Ⅰ）求cos2α的值； （Ⅱ）求tan()αβ-的值． 考法3 解三角形
1.（2018·全国卷Ⅱ文理）在ABC ∆中，cos
25
C =,1BC =,5AC =,则AB =
A ．．2.（2018·全国卷Ⅰ文科）ABC ∆的内角,,A
B
C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则ABC ∆的面积为 . 3.（2018·全国卷Ⅲ文理）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的
面积为222
4
a b c +-,则C =
A ．π2
B ．
π3
C ．
π4
D ．
π6
4.（2018·北京卷理科）在ABC ∆中，7a =，8b =，1
cos 7B =-．
（Ⅰ）求A ∠；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
5.（2018·天津卷文理）在ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知
sin cos()6b A a B π
=-．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．
6.（2018·全国卷Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=,45A ∠=,
2AB =,5BD =. （Ⅰ）求cos ADB ∠；
（Ⅱ）若DC =,求BC .。