2.1.1指数与指数幂的运算PPT(人教版)
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新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
例如： 27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
第十五页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
P
(
1
)
t 5730
.
2
提问：
(
1
)
6000 5730
，(
1
)
10000 5730
(
1
)
100000
5730 的意义是
2
2
2
什么？
第七页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根；
记作： x n a .
第二十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．
第二十二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质
①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
②8的立方根，－8的立方根；
③什么叫做a的平方根？a的立方根？
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
n a 叫做根式，
n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
高中数学 2.1.11《指数与指数幂的运算》课件 新人教A版必修1
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
2.1.1指数幂的运算
(5)0的七次方根等于___________ 0 0
7
根都为0.
x是a的n次方根
不等于 ?
a的n次方根是x
探究
n
a a
n
一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n a n a
a ( a 0 ) 2、当 n 是偶数时， a | a | a (a 0)
n n
例2 求下列各式的值
8
2 3
;
25
1 5
1 2
;
1 2
5
;
4
32
运算法则：
a a a
r s
r S
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
rs
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r r r
练习1：求下列各式的值
(1) (8)
3 4
3
=-8
4
(2) (10)
2 2
=10
(3) (3 )
=π-3
(4) (a - b) (a b). =a-b
思考：
5
a
a
10
5
(a2) a
5
2
a
10 5
（a>0）
4
12
4
3
a
4
3
n
a
m
a a (a>0) 问： 4 a 吗？ (a>0) (a 3 ) a a (a>0,n>1且m,n∈N*) a
1 5730
1 P 2
1 P 学习的指数有什么区别？
人教A版高中数学必修一课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1
a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1
a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；
人教版版高一数学指数与指数幂的运算(二)(共25张PPT)教育课件
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
2.1.1指数与指数幂 的运算
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
am an amn (m, n Z ), (am )n amn (m, n Z ), (ab)n an bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
复习引入
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时，
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
2.1.1指数与指数幂 的运算
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
am an amn (m, n Z ), (am )n amn (m, n Z ), (ab)n an bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
复习引入
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时，
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
高中数学人教A版必修1《指数与指数幂的运算——根式与分数指数幂的互化》PPT
怎样表示呢?
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗？
2
3 a2 a 3 （a>0）
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 ， 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 ， (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 ， 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗？
2
3 a2 a 3 （a>0）
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 ， 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 ， (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 ， 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
指数及指数幂的运算经典课件
例2、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式：
01
解：
02
=100
=16
例3 化简(a>0,x>0,rQ):
01
思考1:我们知道 ＝1．414 21356…,
02
那么 的大小如何确定？
探究:无理数指数幂的意义
的过剩近似值
的过剩近似值
1.5
11.180 339 89
1.42
9.829 635 328
1.415
9.750 851 808
1.414 3
9.739 872 62
1.414 22
9.738 618 643
1.414 214
9.738 524 602
1.414 213 6
9.738 518 332
1.414 213 57
9.738 517 862
1.414 213 563
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的 次方根
5.若xn=a， 则 x 叫做 a 的n次方根
四
五
定义1:
①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 表示
②当n为偶数时,
若a=0,则0的n次方根有1个,是0
若a<0,则a的n次方根不存在
若a>0,则a的n次方根有2个,
.
,
1
,
,
*
N
(2) (3) (4)
练习: 求下列各式的值:
知识点小结：
1、两个定义
2、两个公式：
①
当n为奇数时,
当n为偶数时,
②
定义1:
.
,
1
,
,
*
N
n
n
2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件
n n n n
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
高一数学必修一课件2.1.1-指数与指数幂的运算
无理数指数幂 有理数指数幂 分数指数幂
a = a
m n
n
m
(a > 0,m,n N*, 且n > 1)
实数指数幂的运算法则
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
1 1 1 + 2 4 8
= 2 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3
= a ;(4)x
5 8
1 1 - + 3 3
- 4x
4 = 1- ． x
知识点总结
• 根式 • 分数指数幂 • 无理数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
新课导入
回顾旧知
正整数指数幂： 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积， 即：
1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn；
n a a 5. = n (b 0). b b n
前面我们讲的都是正整数指数幂，即 n只取正整数，那么n能否取有理数呢？
5 2 常数
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a
x a ; (当n是奇数)
n
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a . (当n是偶数,
且a＞0)
1 3
3 25Βιβλιοθήκη 63 1 (2) x x 2 2 x 2 ; 1 2
a = a
m n
n
m
(a > 0,m,n N*, 且n > 1)
实数指数幂的运算法则
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
1 1 1 + 2 4 8
= 2 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3
= a ;(4)x
5 8
1 1 - + 3 3
- 4x
4 = 1- ． x
知识点总结
• 根式 • 分数指数幂 • 无理数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
新课导入
回顾旧知
正整数指数幂： 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积， 即：
1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn；
n a a 5. = n (b 0). b b n
前面我们讲的都是正整数指数幂，即 n只取正整数，那么n能否取有理数呢？
5 2 常数
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a
x a ; (当n是奇数)
n
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a . (当n是偶数,
且a＞0)
1 3
3 25Βιβλιοθήκη 63 1 (2) x x 2 2 x 2 ; 1 2
新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
(4) (a b)2 |a-b| =a-b(a>b)
第十九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
课堂练习：判断题
5
1 5 2 2 (对); 2 4 (-2)4 2 (错);
4
3 4 2 2
(对); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
第十页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4
3 2 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？
பைடு நூலகம்
第十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
得出结论
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
3 3 27 2 3 8 2 5 32
第二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为
第1年，那么：
1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的 （1+7.3℅）倍；
2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的
（1+7.3℅）2倍；
3年后（即2003年），我国的GDP可望为2000年的
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
观察归纳 形成概念
?4 16 ?5 32
2 称为-32的五次方根
第九页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
n 次方根定义： 如果一个数的 n 次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n方根．
数学符号表示：
若xn a(n 1, n N *)，则 x 叫做a的 n次方根．
x 5 11
人教A版高中数学必修1课件：2.1.1指数与指数幂的运算—分数指数幂(共17张PPT)
例１．求值：
8
2 3
，100－ຫໍສະໝຸດ 2，（1）－3，（16
）－43
4
81
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a3 a ； a2 3 a2； a 3 a
例3.计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
例：化简
（1）x2 y 2
2
2
x2 y 2
2
2
x 3y 3 x 3y 3
4
1
(2) 2 a3
a 3 8a 3b
2
2 3 ab 4b 3
(1 2 3
b ) 3 a
a
注：化简结果没有统一形式，一般用分数 指数幂表示，但结果不能同时含有根号和 分数指数幂也不能既含有分母又含有负指 数，结果要化为最简。
2
3 a 2 a 3 是否可行？
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；
二是根式与分数指数幂可以可以互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制， 行不行？
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数 指数幂？
（5）5（ 2）5 _-2__,7 (3)7 _-_3___
（6）6 (4)6 __4__,4 54 __5____.
二.讲授新课
问题1：观察 5 a10 a2 , 3 a12 a4
结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系？
8
2 3
，100－ຫໍສະໝຸດ 2，（1）－3，（16
）－43
4
81
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a3 a ； a2 3 a2； a 3 a
例3.计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
例：化简
（1）x2 y 2
2
2
x2 y 2
2
2
x 3y 3 x 3y 3
4
1
(2) 2 a3
a 3 8a 3b
2
2 3 ab 4b 3
(1 2 3
b ) 3 a
a
注：化简结果没有统一形式，一般用分数 指数幂表示，但结果不能同时含有根号和 分数指数幂也不能既含有分母又含有负指 数，结果要化为最简。
2
3 a 2 a 3 是否可行？
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；
二是根式与分数指数幂可以可以互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制， 行不行？
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数 指数幂？
（5）5（ 2）5 _-2__,7 (3)7 _-_3___
（6）6 (4)6 __4__,4 54 __5____.
二.讲授新课
问题1：观察 5 a10 a2 , 3 a12 a4
结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系？
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23 8
2叫做8的立方根
引入新课
?4 81
?5 32
要求：用语言描述式子的含义
3 称为81的四次方根
2 称为-32的五次方根
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
a 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数 填空:
(1)25的平方根等于____2_5_____5_______
会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰
减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生
物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
t
P
1
5730
(*)
2
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t 年后，体内的碳14含量P的值。
一、根式
42 ?
乘方运算
?2 16 开方运算
4和- 4叫做16的平方根
❖ 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
5、a , b ，R 下列各式总能成立的是（B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B.8 (a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2 C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 (a b )10 a b
❖6.x取何值时，下列式子有意义。
1
2
1
(1)4 1 x, (2)( x 1) 3 , (3)( x 1)3 , (4)x 2
练习①计算 3 (8)3 4 ( 3 2)4 3 (2 3)3
❖
②若
a2 2a 1 a 1, 求a的取值范围
❖
③已知
(x a)2 ( b x)2 b a
❖
则b __ a (填大于、小于或等于)
❖
④已知 x a3 b2，求 4 x2 2a3x a6 的值
(2)27的立方根等于__3__2_7_____3_______ (3)-32的五次方根等于5___32____2________ (4)16的四次方根等于__4_1_6____2______ (5)a6的三次方根等于__3_a_6__a_2________ (6)0的七次方根等于___7_0___0____
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
210 ____3_2___ 3 312 ___8_1___
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n an a
2、当
n
是偶数时，n
an
|
a
|
a
a
(a 0) (a 0)
例1、求下列各式的值：
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4
(2) (10)2 (4) (a - b)2 (a b).
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( >0, 是
2、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（C）
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
3、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
3xy 2 6
4、若10x=2，10y=3，则10 2 3 。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4 32 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？ Nhomakorabea得出结论
3 3 27 2 3 8
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
2 5 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发 表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14
根．
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a ) n a
5 32 ____2___ 4 81 ___3____
只有一个，记为 x n a ．
得出结论
22 4 32 9
2 4 16
2 4 3 9
2 4 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n为偶数时，正数的 nn次方根有两个， 它们互为相反数．正数aa的正nn次方根用符号 n 表a 示；负的 n次方根用符号 n a表示，它们可以合并
写成 n a (a 0)的形式． 负数没有偶次方
练习：判断下列说法是否正确： （1）－2是16的四次方根； （2）正数的n次方根有两个；
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n a n a(a 0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
❖ 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
an a a a a, a0 1 (a 0) ,
00 无意义
an
1 an
(a 0)
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
❖ 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
❖ 思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
1
b b2 (b 0)
m
即：n am a n (a 0, n N *, n 1)
ar as ars (a 0, r, s Q)
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
83 ;
1
25 2 ;
1
5
;
16
3 4
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
2叫做8的立方根
引入新课
?4 81
?5 32
要求：用语言描述式子的含义
3 称为81的四次方根
2 称为-32的五次方根
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
a 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数 填空:
(1)25的平方根等于____2_5_____5_______
会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰
减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生
物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
t
P
1
5730
(*)
2
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t 年后，体内的碳14含量P的值。
一、根式
42 ?
乘方运算
?2 16 开方运算
4和- 4叫做16的平方根
❖ 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
5、a , b ，R 下列各式总能成立的是（B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B.8 (a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2 C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 (a b )10 a b
❖6.x取何值时，下列式子有意义。
1
2
1
(1)4 1 x, (2)( x 1) 3 , (3)( x 1)3 , (4)x 2
练习①计算 3 (8)3 4 ( 3 2)4 3 (2 3)3
❖
②若
a2 2a 1 a 1, 求a的取值范围
❖
③已知
(x a)2 ( b x)2 b a
❖
则b __ a (填大于、小于或等于)
❖
④已知 x a3 b2，求 4 x2 2a3x a6 的值
(2)27的立方根等于__3__2_7_____3_______ (3)-32的五次方根等于5___32____2________ (4)16的四次方根等于__4_1_6____2______ (5)a6的三次方根等于__3_a_6__a_2________ (6)0的七次方根等于___7_0___0____
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
210 ____3_2___ 3 312 ___8_1___
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n an a
2、当
n
是偶数时，n
an
|
a
|
a
a
(a 0) (a 0)
例1、求下列各式的值：
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4
(2) (10)2 (4) (a - b)2 (a b).
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( >0, 是
2、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（C）
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
3、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
3xy 2 6
4、若10x=2，10y=3，则10 2 3 。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4 32 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？ Nhomakorabea得出结论
3 3 27 2 3 8
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
2 5 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发 表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14
根．
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a ) n a
5 32 ____2___ 4 81 ___3____
只有一个，记为 x n a ．
得出结论
22 4 32 9
2 4 16
2 4 3 9
2 4 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n为偶数时，正数的 nn次方根有两个， 它们互为相反数．正数aa的正nn次方根用符号 n 表a 示；负的 n次方根用符号 n a表示，它们可以合并
写成 n a (a 0)的形式． 负数没有偶次方
练习：判断下列说法是否正确： （1）－2是16的四次方根； （2）正数的n次方根有两个；
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n a n a(a 0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
❖ 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
an a a a a, a0 1 (a 0) ,
00 无意义
an
1 an
(a 0)
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
❖ 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
❖ 思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
1
b b2 (b 0)
m
即：n am a n (a 0, n N *, n 1)
ar as ars (a 0, r, s Q)
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
83 ;
1
25 2 ;
1
5
;
16
3 4
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a