导数解决切线问题的习题

导数复习专题——切线问题

例一： 求曲线32

31y x x =-+在点(11)-，处的切线方程

变式一：已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．

变式二：已知函数33y x x =-，过点(2,2)A 作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．

例二：已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)

(1) 若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值；

(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．

变式二：设函数()32910y x ax x a =+--<，

若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求：

（Ⅰ）a 的值; （Ⅱ）函数()f x 的单调区间.

例三：已知函数()3,y x ax b a b R =++∈ （Ⅰ）若()f x 的图像在22x -≤≤部分在x 轴的上方，且在点()(2,2)f 处的切线与直线950x y -+=平行，求b 的取值范围；

（Ⅱ）当123,0,3x x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭

，且12x x ≠时，不等式()()1212f x f x x x -<-恒成立，求的取值范围。

变式三： 已知函数f(x)=，在x=1处取得极值为2. （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围；

（3）若P （x 0，y 0）为f(x)=图象上的任意一点，直线l 与f(x)=的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围.

b

x ax +2b x ax +2b

x ax +2

课后练习：

一：选择题

1. 曲线x x y 2212-=在点(1 ，2

3-)处切线的倾斜角为( ) A.1- B.︒45 C. ︒-45 D.︒135

2. 过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）

A.220x y ++=

B. 330x y -+=

C.10x y ++=

D. 10x y -+=

3．已知函数2()()(,)f x x ax b a b R =+∈在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）

A. (),0-∞

B.（0，2）

C. ()2,+∞

D. (),-∞+∞

4. 曲线)50)...(2)(1(---=x x x x y 在原点处的切线，方程为 （ ）

A 、x y 1275=

B 、x y 250= C.x y 100= D 、x y !50=

5. 曲线12x y e

=在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.29e 2 B.24e

C.22e

D.2e 6. 设点P

是曲线：3y x b =+ (b 为实常数)上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，

则α的取值范围是（ ）

A. 2,3

ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.［0,］∪［,π］ D.［0,)∪［,π) 7. 函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a ＝ ( )

A ． 18

B ．14

C ．12

D ．1

二：填空题

1．正整数n ，(1)n y x x =-在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是

2 .曲线x

x y sin =在点)0,(πM 处的切线方程为 3. 函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是

8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 9

2π65π2π32π2x =y n a 1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭

n

4. 点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则P 到直线2-=x y 的距离的最小

值为

三：解答题

1. 求曲线2235(1)()24x y -++=

的切线，使该切线平行于直线28x y +=

2. 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.

3.已知函数3()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．