应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向-精选文档
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应力状态
50
A
C
B
σα
单位： 单位：MPa 2、作出主单元体 、
D（50，-20） （ ， ）
σ3
y 20 σ1 α0 50
τα
D′（0，20） （ ， ）
x A
C 2α0 α
B
σα
σ1
σ3
r = 32.0
D（50，-20） （ ， ）
2、主应力及主单元体 、
Β点： σ 1 = 25 + 32.0 = 57.0( MPa ) Α点： σ 3 = 25 − 32.0 = −7.0( MPa )
2 × 20 tg 2α 0 = − =− = − 0 .8 50 − 0 σ x −σ y
2τ xy
α 0 = −19.4o
′ α 0 = 70.6o
σ 1 = 57.0 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −7.0 MPa
二向应力状态分析二向应力状态分析-解析法
3、作主应力状态图，表达主平面 、作主应力状态图， 的位置及大小 20
σ1 > σ2 > σ3
二向应力状态分析二向应力状态分析-解析法
1、任意斜截面上的应力 y
σy
y
τyx
σy
n
σx
τxy σx
x
σx
α
τxy
σx
x
z
σy
符号规定： 符号规定：
σy
1）σx 、σy： 分别为 、y的截面上的正应力，外法向为正 ） 分别为x、 的截面上的正应力 的截面上的正应力， 2）τxy 、τyx：截面上的剪应力，绕块体顺时针转动为正 ） 截面上的剪应力， 3）任意斜截面，与x轴成 α角，顺时针为负，逆时针为正 ）任意斜截面， 顺时针为负， 轴成
第七章应力和应变分析
2
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
材料力学应力理论
例 单向拉伸状态
σx
45º
σx'
τx'y'
B
45º A
σy'
E
τy'x'
D
τα
b
2×45º
d
c
σα
o
a
2×45º
e
σx
¾45º斜面同有正应力、切应力；但正应力不是最大，切应力最大
例 纯剪切状态
D
σy'＝τ
y
O
x
τα
a (0,τ )
τ σx'＝τ
2×45º
2×45º
E
τ
e
c
b σα
o B
Α
d(0,-τ )
σy τyx
τyx
σy
σx
σz
τxy
σx
σz
τxy
平面应力三维看： σ1≥σ2 ≥σ3
τ
τ
o
σ2
σ
σ1
σ3 o
σ
σ1
σ3
τ
σ
σ2
o
200 300 50
τα
τmax
σ3
σ2
σα
o
σ1
σ3
200 300 50
τα
τα
σ3 σ2
O
σ2
σ1 σα
O
300 50
σα
σ1
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力。(MPa)
τ τ
45°
τ
τ
7.5 三向应力状态－应力圆法
设三个主应力已知
σ2
τα
τmax
y
σ3
z
x
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
力等。
决定材料强度和稳定性
02
应力状态对材料的强度和稳定性有重要影响，是评估材料能否
承受外力作用的关键因素。
指导结构设计
03
了解应力状态有助于合理设计结构，优化材料使用，提高结构
的稳定性和安全性。
应力状态的应用
机械和航空航天领域
在机械和航空航天领域，应力状态分析用于评估各种设备和结构 的强度、疲劳寿命和稳定性。
应力状态概述
目录
• 引言 • 二向应力状态 • 三向应力状态 • 结论
01
引言
定义与概念
定义
应力状态是指物体在单位面积上所承 受的内力分布情况，用于描述物体在 受力作用下的状态。
概念
应力状态由主应力、剪应力和应变等 参数描述，这些参数反映了物体在受 力作用下的变形和破坏趋势。
应力状态的重要性
二向应力状态的实例
平板受压
当一个平板受到垂直于其平面的均匀 压力时，其内部的应力状态即为二向 应力状态。此时，平板受到两个相互 垂直的主应力作用，第三个应力分量 等于零。
圆柱形压力容器
当一个圆柱形压力容器受到均匀压力 时，其侧壁的应力状态为二向应力状 态。此时，侧壁受到两个相互垂直的 主应力作用，第三个应力分量等于零。
平面应变状态
平面应变状态的描述
当一个物体受到的应变分量都作用在同一个平面内时，称 该物体处于平面应变状态。
平面应变状态的特性
在平面应变状态下，只有两个相互垂直的主应变分量，而 第三个应变分量等于零。这种状态通常出现在受到均匀压 力或均匀拉伸的薄壁结构中。
平面应变状态的应用
在岩土工程和材料科学中，平面应变状态是常见的。例如， 在土壤力学中，土壤的压缩和膨胀分析需要考虑平面应变 状态。
应力分析
第九章
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
第7章 应力状态
y
应力的正负号规定：
xy
xy yx —— 切应力顺时针转向为正，逆时针转向为负；
y x —— 正应力以拉为正，压为负；
x
x
yx xy
x
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
2. 任意斜截面上的应力
—— 使微元体顺时针
复杂应力状态下，如何建立强度条件 ？ 分别满足 ? 做实验 ?
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
2 一点的应力状态概念
F F
dz dx
dy
F
F A
m
应力单元体
F
m
F
p
n
p
t
cos 2
sin 2 2
5 、 二向应力状态实例
锅炉或其它圆筒形压力容器：壁厚为δ，内径为D，承受 内压p作用。
pD 1 2
pD 2 4
3 0
圆球形薄壁容器，壁厚为δ，内径为D，承受内压p作用。
pD 1 2 4
3 0
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6、三向应力状态实例
F
2
1
3 3 2
1
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7、任意斜截面上应力计算公式
x y
x y
2
2
x y
2
cos 2 xy sin 2 （7-3）
材料力学课件第7章 应力状态分析
α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
应力状态
为了分析失效的原因，需要研究通过一点不同方向 面上应力相互间的关系。 ——应力状态分析。 ——建立复杂受力时强度设计准则的基础。
本章的主要内容： 1、首先介绍应力状态的基本概念； ——应力应变分析 2、以此为基础建立复杂受力时的失效判据与强度设计准则； ——强度理论
第一节
应力状态概述
一、什么是应力状态，为什么要研究应力状态
yx
sx+ sy 2
应力圆
2.应力圆的画法
y
sy
t
yx
(
sx- sy 2
)2 + t 2 xy
R
sx
t xy
x
c
b(s y , t yx )
a (s x , t xy )
x y 2
3、几种对应关系
1）点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一 方向上的正应力和切应力。
sy
t
k ( a , a )
s 30 = t 30 =
sx+ sy 2 sx- sy 2
+
sx- sy 2
cos 2a - t xy sin 2a = 102 MPa
sin 2a + t xy cos 2a = 22 MPa
2）求主应力值及主方向
s ¢= 1 + 2 2 sx+ sy 1 sⅱ = 2 2
sⅱ 0 =
s 1 = 105MPa ，s 2 =0 MPa ，s 3 = - 65MPa
二、应力状态分析的基本方法：
为描述一点的应力状态，围绕所考察的点做一个三对面互相 垂直的六面体，当各边边长足够小时，六面体便趋向于点。
——微元。
由于微元是平衡的，微元的任一局部也必然平衡，当微元 三对面上的应力已知时，由平衡条件就可确定任意方向面上的 应力。
材料力学
Fn 0
dA ( xydAcos ) sin ( xdA cos )cos
( yxdA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
Ft 0
dA ( xydAcos ) cos ( xdA cos )sin
1 2 3
应力状态的分类
1.空间应力状态 :三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态: 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
3.单向应力状态: 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 1 3 2
3
1 1
2 1
1
2
对于球形容器受力具有对称性分布特点，所以
包含直径的任意截面上都无切应力，正应力都
应为
。省略半径方向的应力，则有
3 0
1 2
二向应力状态
例 3 (书例7.1) 已知：蒸汽锅炉， t=10mm, D=1m, p=3MPa 。 求：三个主应力。
解：
前面已得到
pD pD 150 MPa 75 MPa, 2t 4t 1 150 MPa, 2 75 MPa, 3 0
解：（1） 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2
（2）主应力、主平面
y
xy
x y x y 2 2 max ( ) xy 2 2
68.3MPa
x x y ( x y ) 2 2 min xy 2 2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
应力分析.ppt
m m
ax in
(
x
2
y
)2
2 xy
m in
max
tg 2 0
1 tg 21
ctg21 tg20 ctg(900 20 )
1
0
4
例题
13
铸铁扭转破坏动画
15
§9.4 二向应力状态分析--图解法
㈠应力圆,莫尔圆
⒈应力圆方程
(
x
y
,0)
半径:
2
应力圆方程
(
x
2
y
)2
2 xy
17
⒉应力圆的作法 设 x y
⑴建立στ坐标系 ⑵按一定的比例尺量取，横坐标OA=σx， AD=τxy，确定D点。 ⑶按一定的比例尺量取，纵坐标OB=σy， BD=τyx，确定D点。 ⑷连接DD与横坐标交于C点。 ⑸以C为圆心，CD为半径作圆。
xy cos 2
10
? ㈡σmax、σmin
d d
2[
x
y
2
sin 2 xy cos 2 ]
若当
0时,
d d
0
x
2
y
sin
20
xy
cos 20
0
min
tg20
2 xy x
y
解出两各极值点α0,α0=90+α0
各面应力：均布，一对平行平面应力相同。
应力状态分析-精品文档
FP
S 截面
l/2
5
l/2
F 2
P
S截面
5
4
3 2 1
FP l Mz 4
4 3 2
1
5 4
3 2 1
F 2
P
S 截面
5 4 3 2
FP l Mz 4
1
2
1
x1
2
2
x2
3
3
取单元体示例二
l
y
1
S 截面
S截面
FP
a
4
z
2
3
x
忽略弯曲切应力
y
y
1
FQy
M 1 W
x p
1 4
第七章
§7-1 §7-2
应力和应变分析
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例
§7-3
§7-4 §7-5
二向应力状态分析——解析法
二向应力状态分析——图解法（应力圆） 三向应力状态
§7-1
应力状态概述
1、问题的提出 问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；
轴向拉伸杆件
F 横截面应力： A
2、点的应力状态的概念
应 力
指明 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力 状态（State of the Stresses of a Given Point）。
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最
大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当
z
x1
Mz Wz
Mz x
x
3
Mx 3 Wp
工程力学(材料力学部分第七章)
4 主应力及应力状态的分类
主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为主应力；
主应力所在的平面称为主平面；
主平面的外法线方向称为主方向。
主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。
应力状态分类
单向应力状态
11
应力状态分类
单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态)
三向应力状态(空间应力状态)
D点
由 y 40, yx 60
D'点
画出应力圆
52
圆心坐标
OC x y 80 (40)
2
2
20
半径
R
x
2
y
2
2 xy
80 (40) 2
(60)2
84.85 85
2
53
圆心坐标 OC 20
半径
R 85
1 OA1 OC R
E
105 MPa
3 OC R
65 MPa
D (x ,xy)
x y
2
R 1 2
x y
2
4
2 xy
38
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系 (1) 点面对应
应力圆上某一点 的坐标值对应着 单元体某一方向面上的正应力和切应力。
39
(1) 点面对应
应力圆上某一点的坐 标 值对应着单元体某 一方向面上的正应力 和切应力。
D点对应的面与E点 对应的面的关系
主应力。
从半径CD转到CA1 的角度即为从x轴转
到主平面的角度的
两倍。
44
主应力 即为A1, B1处的正应力。
max min
x
y
2
x
2
应力状态及强度理论
/
2
低碳钢
低碳钢 : σ s 240MPa; τs 200MPa
灰口铸铁 : σ Lb 98 ~ 280MPa σ yb 640 ~ 960MPa; τb 198 ~ 300MPa
铸铁
30° 40
图示单元体中应力单位为MPa
20
①求斜截面上旳应力
30
解 : x 30 y 40
60°
y
二、应力圆旳画法
y
Ox
C O
B(y ,yx)
x
xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好百分比尺）
在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，yx)
x
A(x ,xy)
AB与 轴旳交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
y
n 三、单元体与应力圆旳相应关系
x
xy
面上旳应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
y
y
主单元体：
x
六个面上剪应力均为零旳单元体。
z
z
2
主平面：
剪应力为零旳截面。 x
主应力：
主平面上旳正应力。
1
主应力排序规则：按代数值大小排序：
3
σ1 σ2 σ3
三向应力状态： 三个主应力都不为零旳应力状态。（即三对平行平面上旳应
力均不为零）
二向应力状态： 一种主应力为零旳应力状态。（即仅一对平行平面上旳应力为零）
y
一、应力圆
x
y
xy
Ox
x
y
y
xy
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τ xy sin2α
三向应力状态PPT精选文档
x
max1 x min3 -x
此现象称为纯剪切
22
7-3 空间应力状态
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
23
2、最大正应力和最大剪应力
max 1
max
1 -3
2
24
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
纵向应变
E
横向应变 - -
E
由1引
起
的
应变 1
1
E
由2引起
的
应
变 1
外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方
向转动趋势者为正，反之为负。12
N0 a dA+( xy dAcosa)sina-(x dAcosa)cosa +( yx dAsina)cosa-(y dAsina)sina0
T=0 a dA-(xy dAcosa)cosa-(x dAcosa)sina +(yx dAsina)sina+(y dAsina)cosa0
其强度条件为：
A
n
对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截 面上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考 虑各个方向的应力的共同作用
长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论， 常用的有4种
29
2、常用的强度理论的概念
（1）最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素， 破坏原因： 即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应
max min
x
+ 2
y
x
2
y
2
+
2 x
10 + 30 10 - 30 2 + 20 2
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向
解：（1）易知 30
x 40MPa y 20MPa
xy 10MPa
，
1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs2 in 2 .4 M 6
1 2(x y)si2 n xco 2 s1.6 3M 6 Pa
Ox
2 xy
材料力学 第七章 应力和应变分析 1; 20; 3 tg202xxyy 045
m mianx（ x 2y） 2x2y tg212xxyy010
破坏分析
低:碳 s 2 钢 M 40 ;s P 2 aM 00Pa低碳钢
材料力学 第七章 应力和应变分析
二、极值应力
令 :d d 0 xys2 in 0 2xc y o 20 s 0
由此的两个驻点：
01、
（0
1
）和
2
两
各
极
值
：tg20
2xy x y
m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
xy)
且转向一致。
两半径夹角2 ；
O
B( y ,yx)
材料力学 第七章 应力和应变分析
四、在应力圆上标出极值应力
a
max
x
2a1
A(x , xy)
OC
32
2a0
1 a
B( y , yx)
min
1 3
OC
R半径
x
2
y
（
x
2
y）2
014 ,即极值剪应力面成与 450主面
TSINGHUAUNIVERSI...
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L
ｐ
轴线方向的应力
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x
x
D
t
ｐ
Ｄ
x
ｐπD２ ４
Fx 0
xDt
D 2
p 4
x
pD 4t
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横向应力 ｐ×Ｄ×ｌ
ｐ
y
y
2t l y
Fy 0
y 2t l p D l 0
xy
-45O 0
进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力 作用面（即－45º螺旋面）断开的。
因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
纯剪切应力状态的主应力及主平面方位
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Fs
S
* z
bI z My
Iz
平面应力状态
6 提取横力弯曲变形杆件中性层上一点的应力状态
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Fs
S
* z
bI z
纯剪切应力状态
7提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP S平面
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l/2
l/2
90
2
sin 2(
90
)
cos2
2
sin 2
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3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态
T
Wt
纯剪切应力状态
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4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
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014 ,即极值剪应力面成与 450主面
材料力学 第七章 应力和应变分析
例7-3-1 分析受扭构件的破坏规律。
C y
M
xy
yx
解：确定危险点并画其原
yx
始单元体
C
xy
xy0
求极值应力
xy
T WP
m mianxx 2y（ x 2y） 2x2y
对应的有三个主应力，相应的用 1 、 2 、 3 来
表示，它们按代数值的大小顺序排列，即
12 3
材料力学 第七章 应力和应变分析
简 单 应 力— 状 单态 向 应 力 状 态个 （不 只等 有于 一零 的
复 杂
应
力— 状 平 空 态面 间应 应力 力状 状态 态不 （ 应 （等 有 力 三于 两 都 个零 个 不 主的 等主 于
解：（1）易知 30
x 40MPa y 20MPa
xy 10MPa
，
1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs2 in 2 .4 M 6
平面应力状态的普遍形式：在常见的受力
构件中，在两对平面上既有正应力σ又有 切应力τ。可将该单元体用平面图形来表
示。
y
x xy
材料力学 第七章 应力和应变分析
σ、τ正负号规定：
y
σ——拉为正，压为负；
τ——以对微单元体内任意一点取矩 为顺时针者为正，反之为负；
x xy
单元体各面上的已知应力分量 x 、 xy 和 y 、 yx ，
Ox
2 xy
材料力学 第七章 应力和应变分析 1; 20; 3 tg202xxyy 045
m mianx（ x 2y） 2x2y tg212xxyy010
破坏分析
低:碳 s 2 钢 M 40 ;s P 2 aM 00Pa低碳钢
灰 口:铸 Lb 9 铁 ~ 828 M 0Pa yb64~9 06 M 0;P b a19~3 80 M 0Pa
铸铁
材料力学 第七章 应力和应变分析
例7-3-2 图示应力状态（单位：Mpa），求：（1） 斜截面上的应力；（2）主应力的大小；（3）主平面 方位，并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； （4）最大切应力。
材料力学 第七章 应力和应变分析
dz
dy
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体）
②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内
dx
对应点同方位截面上的应力。
P B
B
C
A D
C
B、C——单向受力，τ＝0
D
A——纯剪切， σ＝0 D——既有 σ，又有τ
材料力学 第七章 应力和应变分析
主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应 力。 主应力——主平面上的正应力（也是单元体内各截 面上正应力的极值）。 通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为 主平面。
材料力学 第七章 应力和应变分析
二、极值应力
令 :d d 0 xys2 in 0 2xc y o 20 s 0
由此的两个驻点：
01、
（0
1
）和
2
两
各
极
值
：tg20
2xy x y
m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-2 二向和三向应力状态的实例
F p D2
4
D2
p 4 D
FN0plD 2sindplD
2lpl D 0
pD 2
材料力学 第七章 应力和应变分析
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-3 二向应力状态分析——解析法
si2n co2s
纯剪切应力状态
材料力学 第七章 应力和应变分析
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存 在应力；不仅要研究横截面上的应力，而 且也要研究斜截面上的应力。
材料力学 第七章 应力和应变分析
应力
指明
哪一个截面上？ 哪一点？
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一 点的应力状态。
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-1 应力状态概述 §7-2 二向和三向应力状态的实例 §7-3 二向应力状态分析——解析法 §7-4 二向应力状态分析——图解法 §7-5 三向应力状态 §7-8 广义胡克定律 §7-9 复杂应力状态的应变能密度 §7-10 强度理论概论 §7-11 四种常用强度理论
确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点 处的主应力和主平面。
材料力学 第七章 应力和应变分析
一、任意斜截面上的应力
规定： 截面外法线同向为正； a绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
y
n
x
y
xy
Ox
x
y xy
材料力学 第七章 应力和应变分析
y 设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：
n
x
Fn0
y
xy
AxAco2sxyAcossi n
Ox
yAsi2nyxAsi ncos0
x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n
x
y
xy
同理：
n x 2ysi2n xc y o2s
0 0极值正应力就是主！应力
材料力学 第七章 应力和应变分析
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-1 应力状态概述
问题的提出: 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？ 为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
材料力学 第七章 应力和应变分析
p c o s0c2 o s
psin20si2n
单向应力状态
材料力学 第七章 应力和应变分析