流体力学 第七章
流体力学实验第七章
29
〔2〕定床模型和动床模型
按照模型河床能否变形可把模型分成定床和动 床两类.
定床模型：模型河床不随水流作用而改变,其河 床常用水泥沙浆制作,模型水流是清水.
动床模型：模型河床随水流作用而改变,其河床 常用天然沙或轻质沙〔如煤粉、木屑、塑料沙、胶 木粉等〕制作,模型水流也常挟沙.当河床变形显著 或要了解河道冲淤情况时,需采用动床模型,动床模 型一般都是动态模型.
水洞可进行常规水动力学实验、空泡实验、 边界层机理和水噪声实验等.
17
小型水洞
18
重力式水洞的结构示意图如下所示：
水泵将地下水池中 的水泵入高位的水 箱中,水箱内的溢 流板使水箱中的水பைடு நூலகம்位保持恒定.水箱 内还插有多孔阻尼 板作为稳流装置, 用来消除进水所引 起的波动.水在管 道内经过扩压段、 整流网和收缩段后 进入实验段,然后 流入回流渠道,集 中到水池中.
32
Settling Chamber
Exit Section
小型水槽
Motor Assembly
9
大型水槽
10
船舶试验水槽〔400m〕
11
其它水槽 〔1〕拖曳水槽：船模实验、分层流实验等
12
〔2〕波浪水槽 在普通水槽上装上造波器和消波器,造波器用来模
拟海浪,有多种形式.在水槽的另一端,消波器使水波 以及模型产生的船波不再反射.
以及满足实验所需的流量要求,水槽实验装 置的供水不直接与自来水管道连接,而要通 过一独立的水箱管路系统,典型的由有一定 水头高度的水箱、连接管道、水渠道和水 泵组成.
水箱的溢流板使水箱中的水位在实验过程
中保持恒定,水箱内还可以插有几块多孔阻
尼板作为稳流装置,用来消除进水所引起的
流体力学讲义 第七章 孔口及管嘴不可压缩流体恒定流
第七章孔口及管嘴不可压缩流体恒定流本章主要介绍流体力学基本方法和水头损失计算方法在孔口与管嘴出流中的应用，得出了孔口、管嘴出流的基本公式。
概念一、孔口出流（orifice discharge）：在容器壁上开孔，水经孔口流出的水力现象就称为孔口出流，如图7-1。
应用：排水工程中各类取水，泄水闸孔，以及某些量测流量设备均属孔口。
图7-11.根据d/H的比值大小可分为：大孔口、小孔口大孔口（big orifice）：当孔口直径d（或高度e）与孔口形心以上的水头高H的比值大于0.1，即d/H>0.1时，需考虑在孔口射流断面上各点的水头、压强、速度沿孔口高度的变化，这时的孔口称为大孔口。
小孔口（small orifice ）：当孔口直径d（或高度e）与孔口形心以上的水头高度H的比值小于0.1，即d/H<0.1时，可认为孔口射流断面上的各点流速相等，且各点水头亦相等，这时的孔口称为小孔口。
2.根据出流条件的不同，可分为自由出流和淹没出流自由出流（free discharge）：若经孔口流出的水流直接进入空气中，此时收缩断面的压强可认为是大气压强，即p c=p a，则该孔口出流称为孔口自由出流。
淹没出流（submerged discharge）：若经孔口流出的水流不是进入空气，而是流入下游水体中，致使孔口淹没在下游水面之下，这种情况称为淹没出流。
3.根据孔口水头变化情况，出流可分为：恒定出流、非恒定出流恒定出流（steady discharge）：当孔口出流时，水箱中水量如能得到源源不断的补充，从而使孔口的水头不变，此时的出流称为恒定出流。
非恒定出流（unsteady discharge）：当孔口出流时，水箱中水量得不到补充，则孔口的水头不断变化，此时的出流称为非恒定出流。
二、管嘴出流：在孔口周边连接一长为3~4倍孔径的短管，水经过短管并在出口断面满管流出的水力现象，称为管嘴出流。
圆柱形外管嘴：先收缩后扩大到整满管。
流体力学第七章课件
,
y
u y
(2)在固壁上流体不能渗入亦不能脱离，故有
u n 0 即 0
n
这种边界条件下求解拉普拉斯方程的边值问题称为诺埃
曼(Neumen)问题，又叫第二类边值问题。
对于非定常流动，还需利用初始条件。
6
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
二、速度势与速度环量的关系
对于无旋势流，有
充要条件，我们把函数(x, y, z,t)称为速度势。这
里t为参变数。必有
d uxdx u ydy uz dz
1
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
由此说明了无旋必有势，反之可证有势必无旋。
又
d dx dy dz
x
y
z
故
ux
x
,
uy
2 21 22 2n 0
同理，对于不可压缩平面流动，若有
1 2 n
因为平面无旋势流满足 21 2 2 0
所以 2 21 2 2 2 n 0
18
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
x
y
0
故是无旋流。
(2)
ux x 2ay
积分 于是
2axy f y
uy
y
y
2axy
f
y
2ax
f y
y
15
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
故
2ax f y 2ax
y
f y df y 0
(1)流动是无旋还是有旋？
《流体力学》 第七章 不可压缩粘性流体的流动
应力与应变的关系--------本构关系
du
dy
对照牛顿实验
pyx
斯托克斯假设
(1). 应力与变形速率之间为线性关系(小变 形(各向同性假设) (3). 趋于零时, 应力状态退化为理想流体 的应力状态(当流体处于静止状态时,符合 静止流体的应力特征)
pyz pzy
pzx pxz
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
y x
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
p y x y
pzx z
)
将pxx pyx pzx 的表达式代入, 设不可压, 则有
同理有
ax
fx
1
p x
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
ay
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z 2 )
az
fz
1
p z
pzz
p
2
w z
相 加
1 3
(
pxx
pyy
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在询面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的 观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等 流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的容介绍流体运动的基本 规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移 和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则 是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
(b)谥.A n(d)一. 平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成(c)A B(a)A了液体基体的单纯位移，其移动速度为心、®、“,。
基体在运动中可能沿直线也 可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不 变）。
二、 线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比 A 点和D 点大了竺如 而比就代表〃y = l 时液体基体运动时，在单位时间沿勿dyy 轴方向的伸长率。
du x °"、. du : dxdydz三、 角变形（角变形速度）—BIA ■ dp -------------------------------- Jda-0 = dp + 00 =J"些+些k dz. dx四、旋转（旋转角速度）1O = —0 =—21勿du vdx—dx角变形:血 A那么，代入欧拉加速度表达式，得：du r du Tdu r八 八5=说=古叫 云+"卑+"0+-叭巴加、6仇 du Ya v = ----- = — + u v ---------- + U.0, +ii t a ）. -iLCoydt dt dy “'2 …加.du diL q 。
流体力学 第七章 波浪理论
第七章波浪理论课堂提问：为什么海面上“无风三尺浪”船舶与海洋工程中：船舶摇摆和拍击，船舶稳性，兴波阻力。
沿岸工程中：波浪对港口、防波堤的作用。
离岸工程中：钻井平台，海工建筑、海底油管等水波起制约作用的物理因素是重力，粘性力可略而不计，因此可用理想流体的势流理论来研究波浪运动的规律。
本章内容:着重介绍小振幅波（线性波）理论,相关内容为：1.小振幅波的基本方程和边界条件2.波浪运动的有关概念（波速、波长、周期、波数、频率、深水波、浅水波等）3. 流体质点的轨道运动4. 前进水波中的压力分布5. 波群与波群速6. 船波7. 波能传递与兴波阻力7-1 微振幅波的基本方程与边界条件§一简谐前进波沿ｘ轴正向移动,h—水深（从平均水平面到底部的距离）η（x , t）—自由面在平均水面以上的瞬时垂直距离ａ—振幅Ｈ—波高，对于小振幅波 H = 2aＬ—波长（两相邻波峰或波谷间的距离）Ｔ—周期（固定点处重复出现波峰（或波谷）的时间间隔，或波形传播一个波长所需的间。
Ｃ—波速，或相速度（波阵面的传播速度） C = L/T （7－2）ｋ—波数（2π距离内波的数目）K = 2π／L （7－3）σ—圆频率（2π时间内波振动的次数)σ＝2π／T （7－4）微振幅波理论的基本假设１.理想不可压缩流体，重力不能忽略；２.运动是无旋的，具有速度势；３.波浪是微振幅波（线性波），即Ｈ<<Ｌ （7-5） 速度势φ（x ，z ，t ），满足xz v x v z ϕϕ∂=∂∂=∂ （7-6）且满足Laplace 方程：22220x zϕϕ∂∂+=∂∂(, )h z x η-<<-∞<<+∞ （7-7）底部条件(不可穿透条件）:0z v z ϕ∂==∂（ z = -h ） （7-8）自由表面边界条件：1z g t ηϕη=∂=-∂（7-10）令z=η,自由表面上相对压力p=0。
为使边界条件线性化，假定速度平方v ２→0 而得到。
流体力学-第七章讲解[文字可编辑]
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由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等是现象相似的充分条件。
这是显而易见的，两现象相似，它们的相似准则数必相等，反之，同样可以 证明，相似准则数相等的两个现象必定相似。
第一节 相似概念 第二节 相似定理 第三节 相似准则导出 第四节 模型试验方法 第五节 量纲分析
第七章 相似原理和量纲分析
对于大多数实际流体力学问题，由于流动现象和结构的复杂性（比如 粘性流体的湍流或紊流结构）理论计算尚有一定困难，因此，流体力学实 验起着相当重要的作用，它是近百年来才发展起来的试验力学的一个新的 分支。
kA ?
A' A
l '2 ? l2
?
k
2 l
kV
?
V' V
?
l '3 l3源自?k3 l
第一节 相似概念（3）
二、运动相似 若两个物体的流场所有对应点、对应时刻的流速方向而流速大小成比
例，则对应的速度场相似。流场的几何相似是运动相似的前提。
速度比例
v' v ? kv
时间比例
kt
?
t' t
?
l' l
v' v
?
kl kv
ka
?
a' a
?
v' v
t' t
?
kv kt
?
k
2 v
kl
加速度比例
k?
?
?' ?
?
l '2 l2
t' t
?
k
2 l
kt
流体力学 7章讲稿
第七章 粘性流体动力学基础粘性是流体的属性,真实流动都是具有粘性的流动。
本章包括： (1) 粘性流体动力学问题的建立； (2) 粘性流动的基本特性； (3) 若干具体问题的解析求解和近似求解。
§7.1 流动的粘性效应一、圆柱绕流 (参讲义) 二、管内流动§7.2 层流与湍流§7.3 广义牛顿粘性应力公式流体作直线层流运动时，试验得到切应力与变形速率之间的关系式为：dy du μτ=)(212xv y u ∂∂+∂∂=μ 牛顿粘性应力公式yx p yx με2=流体作非直线层流动运动时,无法由试验给出应力p ij 与变形速率εij的关系一、应力张量由第四章，粘性流体的应力是二阶对称张量 pxx p xy p xz P={p ij }= p ij e i e j = p yx p yy p yzp zx p zy p zzp yx =p xy p zx =p xz p zy =p yz p n ＝n ﹒P ＝-e j n i p ij另外，在静止或理想流体中，过一点的任意平面的法向应力p n 的方向，都与该平面的单位法线向量n 的方向相反，且法向应力的数值p 与n 无关，即P n ＝-p n式中p 只是位置及时间的函数p ＝p(x,y,z,t)。
这个压力就是经典热力学平衡态意义上的压力。
在粘性流体动力学中，流体质点的物理量都处在变化过程中，过一点的不同平面上的法向应力的数值并不一定相同。
因此，严格说来，并不存在平衡态意义上的压力。
但定义一平均压力p m ,它是球形流体微团(也可取任意形状的流体微团)表面所受法向应力p nn 的平均值的负值，即⎰⎰→-=Ann a m dA p a p 0241limπ式中 a 为球形微团的半径。
球面上的法向应力p nn 和球面微元面积可写成 p nn =n ﹒p n =n i n j p ijn 1＝sin θcos ε n 2＝sin θsin ε n 3＝cos θ dA ＝a 2sin θd θd ε于是⎰⎰-=ππεθθπ020sin 4d d n n p p j i ijm此式右侧包括9项，分别积分之，最后得3)(31332211ij m p p p p p -=++-=即：流场中任意一点的平均压力p m ，等于过此点的三个坐标面上的法向应力p 11、p 22、p 33的算术平均值的负值。
流体力学第七章详解
π为无量纲数。分别求出各个π再回代即得。 例如， f (X1, X 2 , X 3, X n) 0，若选基本量为 X1、X2、X3、
F(1, 2 , 3, n3) 0
X1 、X2 、X3独立。
确定各指数，得各π值，再回代F得物理方程式。
1
X4
X X X 1
1
1
1
2
3
2
X5
X X X 2
2
4 a4 d b4 c4
F(1, 2 , 3, 4) 0
⑷ 确定各π项指数
1 [p] []a1[d ]b1[ ]c1
[M L1T 2] [LT ]1 a1[L]b1[M L ]3 c1
M : 1 c1
L : -1 a1 b1 3c1
T : - 2 a1
a1 2 b1 0
解： f (Q, H,b, g) 0
Q K ba g H
L3 T [L] [LT 2] [L]
根据量纲和谐原理，有：
解得：
[L]： 3 [T ]： 2 1
1， 2.5
2
根据实验知α=1，从而得
3 2
，令
k
2m，所以：
Q mb
2g
3
H2
例2 求水轮机输出功率的表达式。
7 量纲分析和流动相似原理
7.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理 7.1.1 量纲和单位 量纲——是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。(物理的属性， 物理量的实质，不含人为的影响) 单位——量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。 如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。(人为规定的量 度 标准) 基本量纲和导出量纲——具有独立性的，不能由其他 量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、质量、 时间，即[LMT]。
流体力学第七章
扰动因素
对比 抗衡
v
粘性稳定
d
惯性力 vd Re 粘性力
利于稳定
圆管中恒定流动的流态转化仅取决于雷诺数，这是客观规律 用无量纲量表达的又一例证，也是粘性相似准则的实际应用。
圆管中恒定流动的流态发生转化时对应的雷诺数称为临界雷 诺数，又分为上临界雷诺数和下临界雷诺数。上临界雷诺数表示 超过此雷诺数的流动必为紊流，它很不确定，跨越一个较大的取 值范围。有实际意义的是下临界雷诺数，表示低于此雷诺数的流 ReC 2320 动必为层流，有确定的取值，圆管定常流动取为
流动中流体所承受的阻力来自于流体质点间及流体和管壁间摩擦阻力，称为 沿程阻力。
l v2 h d 2g
称为沿程水头损失
2. 非均匀流动和局部损失hζ
在非均匀流动中，各流段所形成的阻力是各种各样的，但都集中在很 短的流段内，这种阻力称为局部阻力。
v2 h 2g
称为局部水头损失
§7-1 流动状态实验——雷诺实验
第七章 流体在管路中的流动
流动阻力和水头损失
层 流 与 紊 流 圆 管 中 的 层 流 运动 圆管中的紊流运动 局 部 水 头 损 失
实际流体具有粘性，单位重量的流体在运动过程中因克 服粘性阻力而耗损的机械能称为水头损失。为了使流体能维 持自身的运动，就必须从外界给流体输入一定的能量以补偿 水头损失。例如，为保证管路正常通水，就得通过水泵给水 管输入能量。因此，水头损失的研究具有重要的意义。
五. 紊流运动中的水头损失
影响的因素
f (Re, / r )
对Hale Waihona Puke 流64 Re对紊流
f (Re, / r )
§7-7
管中流动沿程阻力系数的确定
流体力学第七章(旋转流体动力学)
万有引力（地心引力）与惯性离心力 合成重力项，于是：
F
2 R
g
dV 1 2 g p V 2 V dt
旋转流体力学运动方程
13
地转偏向力的讨论：
①引进了旋转坐标系之后或者说考虑了地球的旋转效 应之后，出现了地转偏向力（或称柯氏力）。地转偏 向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向，并不改 变流速矢量的大小；沿着流向观测，对于地球流体运 动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。
重力为有势力
方程变为： 2k V 1 G ( ' , p ' ) z R0 Fr
31
1 z ' ' 2k V G ( , p ) Fr R0
梯度取旋度为零
对上式取旋度 (k V ) 0
U L V 1 1 g 2 (V )V p 2 L g L2 V 2k V U L UT t L
RO
1/Fr
Ek
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
实际应用中：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）， RO 1，旋转效应重要，采 用旋转流体运动方程； 中小尺度运动，流速快， RO 1，可以不考虑地球的旋转效应，采用 一般的流体运动方程。
22
2.埃克曼数
特征粘性力 U / L2 Ek 特征偏向力 U L2
反映了旋转流体中粘性的相对重要性
1 g 重力项： Fr
流体力学课件第七章管网计算
01
02
03
04
假设管网中的流体为不可压缩 的牛顿流体；
假设流体在管网中流动时，遵 循牛顿第二定律，即流体受到
的力与加速度成正比；
假设流体在管网中流动时，管 道的长度、直径、粗糙度等因 素对流体流动的影响忽略不计
；
假设流体在管网中流动时，管 道的转弯、分支等对流体流动
的影响忽略不计。
02
管网水力计算
流速
流体在管道内的流动速度， 与管径、流体性质、水力 坡度等因素有关。
关系
水力坡度与流速之间存在 一定的关系，可以通过伯 诺里方程等公式进行计算。
管径选择与流量分配
管径选择
计算方法
根据流量、流速、流体性质等因素选 择合适的管径，以满足流体输送的要 求。
通过试算、经验公式等方法确定管径 和流量分配方案。
常用优化算法
线性规划法
通过线性方程组求解， 适用于管网布局和流量
分配的简单问题。
非线性规划法
遗传算法Biblioteka 模拟退火算法考虑管网中水头损失、 管道弹性等因素，适用
于复杂管网问题。
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多目标、 多约束的管网优化问题。
借鉴物理中退火过程， 适用于解决局部最优解
的问题。
案例分析：某城市管网优化设计
维护效果
经过一段时间的管理与维护，该城市管网的故障率明显降低，提高 了供水保障能力。
THANKS
感谢观看
物理场的模拟。
ANSYS Fluent
02
一款流体动力学仿真软件，适用于各种流体流动和传热问题的
模拟。
OpenFOAM
03
一款开源的流体动力学仿真软件，具有强大的计算能力和灵活
流体力学第七章
2024/7/31
第7章 有压管道的恒定流动
6
1.小孔口的自由出流
孔口出流的水力要素关系式推导要点：
应用Bernoulli方程，在渐变流断面OO 与收缩断面C-C之间建立能量方程
H
pa
0v02
2g
hw hf hj
2024/7/31
第7章 有压管道的恒定流动
21
2024/7/31
第7章 有压管道的恒定流动
22
7.3 短管的水力计算
根据沿程水头损失与局部水头损失在总水头损失中 所占比重的大小，将有压管道分为：Βιβλιοθήκη 有压管道短管 长管
2024/7/31
第7章 有压管道的恒定流动
23
短管
在管路的总水头损失中，沿程水头损失和局 部水头损失均占相当比重，水力计算时不可 忽略的管路
显然μn /μ= (0.82/0.62)=1.32。可见在相同条件，管嘴的过 流能力是孔口的1.32倍。
练 习题
孔口、管嘴若作用水头和直径d相同时，下列 哪些是正确的：
A.Q孔<Q嘴，u孔<u嘴； B.Q孔<Q嘴，u孔>u嘴； C.Q孔>Q嘴，u孔>u嘴； D.Q孔>Q嘴，u孔<u嘴。
正确答案：B
4
（2）计算管顶2-2断面的真空度：
1-1与2-2断面间列出Bernoulli方程：
0
pa
0v02
2g
hB
p2
2v22
2g
hw1
忽略行进流速，取2=1.0，上式成
pa
p2
hB
流体力学第七章资料
对控制体建立动量方程，由于控制体体积趋近于零，那么质 量力也为零。并且忽略切应力的作用。
pA p dpA cAc dv c
整理得
dp cdv
由流体的弹性模量与压缩系数的关系推导出：
声速公式： c dp k p kRT
d
二、滞止参数
气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。这些 参数通常以“0”为下标。
RT
dp p
d
v2 2
0
积分得： RT ln p v 2 C( 常数 ) 2
dp
d
v2 2
0
三、气体一元绝热流动
dp
d
v2 2
0
等熵流动的气体参数变化遵循等熵过程方程式。
p C
k
代入上式积分，得:
1
ck
k
k1
pk
v2
C(常数）
k1
2
k p v 2 C（常数）
k1 2
1 p p v 2 C(常数)
1
p12
p22
1v12
§7-3 气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
对于一元恒定气流，根据质量恒定原理，沿流各过流断 面上的质量流量为常数。即得连续性方程（不可压缩流体）：
vA 常数
将连续性方程进行微分求解，
dvA vdA vAd Adv 0
或
dv d dA 0
vA
再根据能量方程 dp vdv 0 有
一、气体管中等温流动
1、气体管路运动微分方程
微段dl上单位质量气体摩擦损失（压强和密度都发生改 变，速度也发生改变）：
dhf
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础
例7-6
第六节
纳维—斯托克斯方程
不可压缩粘性流体的运动微分方 程 2u x 2u x 2u x du x 1 p X ( 2 ) 2 2 x x y z dt
uy uy uy du y 1 p Y ( ) 2 2 2 y x y z dt
u d s ux dx u y dy uz dz
s s
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s 的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
s J A
汤姆逊定理 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
圆柱坐标系的纳维—斯托克斯方程:
Fr .F . Fz.r. .z.ur .u .u z
例7-7:利用N-S方程求圆管层流运动流速分布.
解：由于流动轴对称,采用柱坐标系如图，已知：
u z u(r , , z ), u ur 0
1 p u z 1 u z 1 u z u z Fz ( 2 2 2 ) 2 z r r r r z u z u z u u z u z ur uz t r r z
A
A
n
有旋运动的一个重要运动学性 质是：在同一瞬间，通过同一 涡管的各截面的涡通量相等。
A2
A3 A1
A1
n dA n dA
A2
1 A1 2 A2 对于微元涡管，可以近似认为各截 面上各点的涡量为常数，因此： 1 A1 2 A2
由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所 以涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在 流体内部开始或终止,而只能在流体中自行封 闭成涡环,或者终止于和开始于边界面。
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u2 dq d( ) 0 2 dp
等熵流动，dq=0
dp
u2 d( ) 0 2
积分形式
dp
u2 d( ) C 2
基本方程建立了速度、温度、压力、密度 的相互关系。即使用于可逆的绝热流动过 程，又适用于不可逆的绝热流动过程。
第三节 一元气体的流动特性
微分形式的可压缩气体总流的连续性方程 沿流管流体的速度、密度和流管的断面面积这 三者之间的相对变化量的代数和必然为0
二 可压缩气体的能量方程
由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。 气体是一维定常流动，则欧拉运动微分方程为
du dp u dx dx
积分
2
du 1 dp u 0 dx dx
以上分析表明:亚声速运动的点扰动源，扰动点始终 位于扰动波内，在足够长的时间以后，它的扰动总可 以传播到整个空间。因此亚声速运动的点扰动源的影 响域也是全流畅。 3)超声速运动的点扰动源的影响域 扰动点的运动速度 v大于声速c，设 t=0时刻点扰动位 于o点，在3t时刻 扰动到达半径为 3ct的o3球面上
( p dp) A PA dpA
沿活塞运动方向列动量方程
dpAdt cdtA(du 0)
dp du c
cd du d
dp cd c d
c
dp d (1 ) d
因为活塞速度很小，气体受到的扰动也很微弱， 其状态变化量很小，dρ/ρ可以忽略不计
C0 kRT0 1.4 287T0 20.1 273 20 343m / s
C1 kRT1 1.4 287T1 20.1 273 55 296m / s
M a1 M a 0 M a0 u u c 2 c0 343 296 15.9% u 296 c0
例 已知海平面（z=0)的大气温度为288K，在对流 层顶部（z=11km）的高空大气温度为216.5k，试 比较两处的声速。 解
C0 kRT0 1.4 287T0 20.1 288 340m / s
C1 kRT1 1.4 287T1 20.1 216.5 295m / s
即气体温度也升到最大值，T0称为总温，在滞止 状态下气流的动能全部转为热能，总焓h0，就表 示单位质量气体具有的总能量，此时对应的温度、 压强、和密度分别称为滞止温度T0，滞止压强度降到0时的状态称为滞止状 态，相应参数为滞止参数。 0 , T0 , c0 , i0 左边气罐或右边燃烧 室中的速度可以认为 是0，气体处于滞止状 态
对于滞止状态截面和任一截面列能量方程有 滞止状态时的焓升到最大值
u2 h0 h c 2
k p u2 k h0 RT0 C pT0 k 1 2 k 1
扰动点运动速度v小于声速c， 设t=0时点扰动源位于o点，在 3t时刻，t=0时的扰动到达半径 为3ct的o3球面上而扰动点的水 平移动距离为3vt，到达M点， 由于v<c，M点位于o3圆球面内。 在t=1时，扰动点到达o’，它的水平移动距离为vt，由 该时刻 发出的扰动在3t时刻到达半径为2ct的圆球面 o2，它位于圆球面o3内，同理，在2t时刻，扰动点到 达o’’，它的水平移动距离为2vt，由该时刻 发出的扰 动在3t时刻到达半径为ct的圆球面o1，它包含于o2、 o3内。
( d )(c du)dtA
根据质量守恒
cdtA ( d )(c du)dtA
消去dtA并略去高阶微量
cd du d
其次分析受到扰动的这部分气体在dt时间前 后的动量变化和所受到的合外力冲量。在dt时间 前动量为0；dt时间后动量为ρcAdtdu。因此动量 变化率为ρcAdu，这部分气体左端压强为p+dp， 右端压强为p，合外力为
气体的一元流动虽然简单，但是实用。除 了航空技术外，许多技术领域中的问题大都可 简化为一元流动问题，如发动机的空气供给、 气体控制元件、风动工具、燃气轮机和涡轮减 压器等都可用一元流动方法求得一些简化实用 的结果。
第一节 声速和马赫数
当气体速度比较大时，必须考虑压缩效应。 气体压缩性能的影响，实用气流速度接近于声 速的程度来决定的，涉及到声速和马赫数两个 概念。
解： 这类问题称为从大容器 的出流问题。假定大容器内 的速度为0，气体出流可视为 绝热过程
u2 c pT c pT 0 2
u 2c p (T0 T ) 2 1003[( 273 40) (273 15) 223 .94 m / s
三 可压缩气体的运动方程 对方程进行微分
第二节 可压缩气体一元流动的基本方程
一 可压缩气体总流的连续性方程
可压缩气体在圆管内做定常流动，过流断面上流 动参数是均匀分布的，流速分别是u1和u2，密度 分别为ρ1和ρ2.由于是定常流动，所以质量流量相 等。
1u1 A1 2u2 A2
取对数 再微分
或
uA C
ln(uA) ln ln u ln A C d du dA 0 u A
1 p p u2 C k 1 2
RT p u 2 C k 1 2
p
RT
p
RT
单位质量气体的压强能 单位质量气体的动能
u2 2
定压比热
R c p cv
cp
k R k 1
定容比热
1 cv R k 1
所以
e
1 p 1 1 RT (c p cv )T cvT e k 1 k 1 c p c v 1
c0 c1 0.13 13% c0
2 马赫数 流场中某一点的速度与当地声速之比称为马赫数
Ma u c
其物理意义为
马赫数是单位质量气体质点的惯性力与弹性力之比
马赫数是单位质量气体质点的动能与内能之比
可压缩流体的分类 Ma=1，表明流体质点速度与当地声速相同，这种流 动状态为临界状态。 Ma>1，称为超声速流动 Ma<1，称为亚声速流动 Ma ≈1，称为跨声速流动 Ma 》1，称为高超声速流动 超声速流场与亚声速流场的主要差别在于各自的影 响域与 依赖域的不同。静止气体中的运动物体或均 匀气流绕流物体产生的流场都可以看做气体连续受 扰运动。
c dp d
c
dp
d
声速的大小与扰动过程中压强的变化量同密 度的变化量的比值有关，介质越容易压缩声速越 小，反之越大。 因此水中声速比空气中大，特别是对于不可 压缩流体，密度为常数，dρ=0，声速趋于无穷大。
因为微弱扰动波的传播速度很快，所引起的 气体压强、温度和密度等参数的变化也很微弱， 因此可以假设此过程不仅绝热而且可逆，根据等 熵条件
在空间中它是一个圆锥面，通过三角关系，可以求出 锥的半顶角，这个圆锥叫马赫锥，半顶角为马赫角。
arcsin( c v) arcsin( 1 Ma )
分析表明：以超声速运动的点扰动只能在下游马赫锥 内传播，不能传播到马赫锥外。其影响域在下游马赫 锥内。
依赖域 某定点P能够接收到气流扰动信号的区域称 为依赖域 在亚声速气流中任意点的依赖域是 全流场，因为无论在指定点的上游 或下游扰动，只要有足够长的时间， 这些扰动总能传播到改点。
1 声速 声速是微小扰动在介质中的速度。例如，弹拨 琴弦，振动了空气，空气的压强、密度等参数发生 了微弱变化，这种状态变化在空气中形成一种不平 衡的扰动，振动以波的形式迅速传播，其传播速度 就是声速。 在充满静止空气的 刚性光滑的长直管道内， 有一面积为A的活塞以 微小的匀速du向右运动
即给管道中的气体以微小扰动，使得仅靠活塞 的一层气体受压，压强、密度增大并以声速c向右传 播。因为c>>du，所以经过dt以后，虽然活塞移动了 dudt距离，而扰动波传播了cdt距离。
而扰动点的水平移动距离为3vt，到达M点，由于v>c， M点位于o3圆球面外。在t=1时，扰动点到达o’，它的 水平移动距离为vt，由该时刻发出的扰动在3t时刻到 达半径为2ct的圆球面o2，它位于圆球面o3的上游， 同理，在2t时刻，扰动点到达o’’，它的水平移动距离 为2vt，由该时刻 发出的扰动在3t时刻到达半径为ct的 圆球面o1，它位于于o2、o3的上游。 由于扰动波面的半 径和声速c成正比， 受扰空间球心的位 移和点扰动源的速 度v成正比，通过 M点可以做o1、o2、 o3的公切线
dp u d 2 C
对于等熵流动
p
k
C
dp u d 2 C
2
1 1 dp 1 p K K d C p dp k 1
能量方程
k p u2 C k 1 2
该方程只能用于可逆的绝热流动
k p 1 p p k 1 k 1
单位质量气体的能量
单位质量气体的内能和压能的总和
e p
k p c pT h k 1
等熵气体的能量方程 若用温度表示
u2 h C 2
u2 c pT c pT 0 2
例 设有空气从储气罐经一个变截面管道流出，罐 内气体温度40℃，管道某处温度为15℃，求该处 气流速度。 c p 1003J kg K
第七章 可压缩气体的一元流动
气体动力学是研究可压缩气体运动规律及其 在工程实际中应用的一门学科，随着航空航天 技术的发展，气体动力学成为流体力学中最为 活跃的一个独立分支。气体一元流动是流体力 学中最基本的内容，他只研究流动参数在过流 断面上的平均值的变化规律，而不研究气体流 场的空间变化情况。
气体的显著特点是它的可压缩性，但是当气体 的流动速度不大于70m/s时，气体的可压缩性不明 显，此时可把液体流动规律直接作用在气体上； 当气体的流动速度大于70m/s时，由于摩擦生成的 热必然引起气体的热状态变化，这样气体动力学 与热力学有着密切的关系。因此确定气体状态的 参数要比液体运动的参数多，确定气体运动状态 参数一般有压强、流速、密度、气体的绝对温度 四个；而不可压缩流体中，状态参数只有压强、 流速、气体的绝对温度三个。