流体力学 第七章

气体的一元流动虽然简单，但是实用。除 了航空技术外，许多技术领域中的问题大都可 简化为一元流动问题，如发动机的空气供给、 气体控制元件、风动工具、燃气轮机和涡轮减 压器等都可用一元流动方法求得一些简化实用 的结果。
第一节 声速和马赫数
当气体速度比较大时，必须考虑压缩效应。 气体压缩性能的影响，实用气流速度接近于声 速的程度来决定的，涉及到声速和马赫数两个 概念。
微分形式的可压缩气体总流的连续性方程 沿流管流体的速度、密度和流管的断面面积这 三者之间的相对变化量的代数和必然为0
二 可压缩气体的能量方程
由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。 气体是一维定常流动，则欧拉运动微分方程为
du dp u dx dx
积分
2
du 1 dp u 0 dx dx
在空间中它是一个圆锥面，通过三角关系，可以求出 锥的半顶角，这个圆锥叫马赫锥，半顶角为马赫角。
arcsin( c v) arcsin( 1 Ma )
分析表明：以超声速运动的点扰动只能在下游马赫锥 内传播，不能传播到马赫锥外。其影响域在下游马赫 锥内。
依赖域 某定点P能够接收到气流扰动信号的区域称 为依赖域 在亚声速气流中任意点的依赖域是 全流场，因为无论在指定点的上游 或下游扰动，只要有足够长的时间， 这些扰动总能传播到改点。
1 p p u2 C k 1 2
RT p u 2 C k 1 2
p

RT
p

RT
单位质量气体的压强能 单位质量气体的动能
u2 2
定压比热
R c p cv
cp
k R k 1
定容比热
1 cv R k 1
所以
e
1 p 1 1 RT (c p cv )T cvT e k 1 k 1 c p c v 1
u2 h C 2
u2 dq d( ) 0 2 dp
等熵流动，dq=0
dp
u2 d( ) 0 2
积分形式

dp
u2 d( ) C 2
基本方程建立了速度、温度、压力、密度 的相互关系。即使用于可逆的绝热流动过 程，又适用于不可逆的绝热流动过程。
第三节 一元气体的流动特性
而扰动点的水平移动距离为3vt，到达M点，由于v>c， M点位于o3圆球面外。在t=1时，扰动点到达o’，它的 水平移动距离为vt，由该时刻发出的扰动在3t时刻到 达半径为2ct的圆球面o2，它位于圆球面o3的上游， 同理，在2t时刻，扰动点到达o’’，它的水平移动距离 为2vt，由该时刻 发出的扰动在3t时刻到达半径为ct的 圆球面o1，它位于于o2、o3的上游。 由于扰动波面的半 径和声速c成正比， 受扰空间球心的位 移和点扰动源的速 度v成正比，通过 M点可以做o1、o2、 o3的公切线
一 滞止状态和滞止参数 气体在等熵流动速度降到0时的状态称为滞止状 态，相应参数为滞止参数。 0 , T0 , c0 , i0 左边气罐或右边燃烧 室中的速度可以认为 是0，气体处于滞止状 态
对于滞止状态截面和任一截面列能量方程有 滞止状态时的焓升到最大值
u2 h0 h c 2
k p u2 k h0 RT0 C pT0 k 1 2 k 1
单位质量气体的能量
单位质量气体的内能和压能的总和
e p


k p c pT h k 1
等熵气体的能量方程 若用温度表示
u2 h C 2
u2 c pT c pT 0 2
例 设有空气从储气罐经一个变截面管道流出，罐 内气体温度40℃，管道某处温度为15℃，求该处 气流速度。 c p 1003J kg K
以上分析表明:亚声速运动的点扰动源，扰动点始终 位于扰动波内，在足够长的时间以后，它的扰动总可 以传播到整个空间。因此亚声速运动的点扰动源的影 响域也是全流畅。 3)超声速运动的点扰动源的影响域 扰动点的运动速度 v大于声速c，设 t=0时刻点扰动位 于o点，在3t时刻 扰动到达半径为 3ct的o3球面上
c0 c1 0.13 13% c0
2 马赫数 流场中某一点的速度与当地声速之比称为马赫数
Ma u c
其物理意义为
马赫数是单位质量气体质点的惯性力与弹性力之比
马赫数是单位质量气体质点的动能与内能之比
可压缩流体的分类 Ma=1，表明流体质点速度与当地声速相同，这种流 动状态为临界状态。 Ma>1，称为超声速流动 Ma<1，称为亚声速流动 Ma ≈1，称为跨声速流动 Ma 》1，称为高超声速流动 超声速流场与亚声速流场的主要差别在于各自的影 响域与 依赖域的不同。静止气体中的运动物体或均 匀气流绕流物体产生的流场都可以看做气体连续受 扰运动。
第七章 可压缩气体的一元流动
气体动力学是研究可压缩气体运动规律及其 在工程实际中应用的一门学科，随着航空航天 技术的发展，气体动力学成为流体力学中最为 活跃的一个独立分支。气体一元流动是流体力 学中最基本的内容，他只研究流动参数在过流 断面上的平均值的变化规律，而不研究气体流 场的空间变化情况。
气体的显著特点是它的可压缩性，但是当气体 的流动速度不大于70m/s时，气体的可压缩性不明 显，此时可把液体流动规律直接作用在气体上； 当气体的流动速度大于70m/s时，由于摩擦生成的 热必然引起气体的热状态变化，这样气体动力学 与热力学有着密切的关系。因此确定气体状态的 参数要比液体运动的参数多，确定气体运动状态 参数一般有压强、流速、密度、气体的绝对温度 四个；而不可压缩流体中，状态参数只有压强、 流速、气体的绝对温度三个。
p
k
C
p C k
dp kp k 1 Ck d
根据完全气体状态方程
p

RT
dp kRT d
C kRT
对于空气，等熵指数K=1.4，气体常数R=287J/kg.k， 于是空气中的声速
C kRT 1.4 287T 20.1 T
上式说明，在同种介质中声速只是当地绝对 温度的函数。不同地点、不同位置的气体温度不 同，胜诉也就不同。 不同位置的气体机械，其绝对温度不同因而 有不同的，故将某一点处的声速称为当地声速。
c dp d
c
dp
d
声速的大小与扰动过程中压强的变化量同密 度的变化量的比值有关，介质越容易压缩声速越 小，反之越大。 因此水中声速比空气中大，特别是对于不可 压缩流体，密度为常数，dρ=0，声速趋于无穷大。
因为微弱扰动波的传播速度很快，所引起的 气体压强、温度和密度等参数的变化也很微弱， 因此可以假设此过程不仅绝热而且可逆，根据等 熵条件
超声速或亚声速运动的物体都能产生气体扰动， 但是这些扰动在气体中的传播有根本的区别。 假设微小扰动只是一个点，点扰动能够传播到 的空间，称为扰动的影响域。 1)静止流场中固定的点扰动源的影响域 扰动在各方向以相同的声 速传播，因此静止点扰动 以同心圆球的波面向四周 传播。其影响域是全部空 间。
2)亚声速运动的点扰动源的影响域
解： 这类问题称为从大容器 的出流问题。假定大容器内 的速度为0，气体出流可视为 绝热过程
u2 c pT c pT 0 2
u 2c p (T0 T ) 2 1003[( 273 40) (273 15) 223 .94 m / s
三 可压缩气体的运动方程 对方程进行微分
第二节 可压缩气体一元流动的基本方程
一 可压缩气体总流的连续性方程
可压缩气体在圆管内做定常流动，过流断面上流 动参数是均匀分布的，流速分别是u1和u2，密度 分别为ρ1和ρ2.由于是定常流动，所以质量流量相 等。
1u1 A1 2u2 A2
取对数 再微分
或
uA C
ln(uA) ln ln u ln A C d du dA 0 u A
1 声速 声速是微小扰动在介质中的速度。例如，弹拨 琴弦，振动了空气，空气的压强、密度等参数发生 了微弱变化，这种状态变化在空气中形成一种不平 衡的扰动，振动以波的形式迅速传播，其传播速度 就是声速。 在充满静止空气的 刚性光滑的长直管道内， 有一面积为A的活塞以 微小的匀速du向右运动
即给管道中的气体以微小扰动，使得仅靠活塞 的一层气体受压，压强、密度增大并以声速c向右传 播。因为c>>du，所以经过dt以后，虽然活塞移动了 dudt距离，而扰动波传播了cdt距离。
dp u d 2 C
对于等熵流动
p

k
C
dp u d 2 C
2
1 1 dp 1 p K K d C p dp k 1
能量方程
k p u2 C k 1 2
该方程只能用于可逆的绝热流动
k p 1 p p k 1 k 1
扰动点运动速度v小于声速c， 设t=0时点扰动源位于o点，在 3t时刻，t=0时的扰动到达半径 为3ct的o3球面上而扰动点的水 平移动距离为3vt，到达M点， 由于v<c，M点位于o3圆球面内。 在t=1时，扰动点到达o’，它的水平移动距离为vt，由 该时刻 发出的扰动在3t时刻到达半径为2ct的圆球面 o2，它位于圆球面o3内，同理，在2t时刻，扰动点到 达o’’，它的水平移动距离为2vt，由该时刻 发出的扰 动在3t时刻到达半径为ct的圆球面o1，它包含于o2、 o3内。
C0 kRT0 1.4 287T0 20.1 273 20 343m / s
C1 kRT1 1.4 287T1 20.1 273 55 296m / s
M a1 M a 0 M a0 u u c 2 c0 343 296 15.9% u 296 c0
由于波前气体处于 静止状态，u=0，其状 态参数为ρ、p、t；波 后气体处于扰动状态， 并在活塞推动产生了一 个随活塞一起缓慢运动 的速度变化du，其状态 参数有微小变化。
分别是p+dp、T+dt、 ρ+dρ。 首先分受到扰动的 这部分气体在dt时间前 和dt时间后的质量守恒 表达式。
Fra Baidu bibliotek
在dt时间前，气体的质量为ρcdtA； dt时间后， 气体质量为
即气体温度也升到最大值，T0称为总温，在滞止 状态下气流的动能全部转为热能，总焓h0，就表 示单位质量气体具有的总能量，此时对应的温度、 压强、和密度分别称为滞止温度T0，滞止压强P0， 和滞止密度ρ 0。
( d )(c du)dtA
根据质量守恒
cdtA ( d )(c du)dtA
消去dtA并略去高阶微量
cd du d
其次分析受到扰动的这部分气体在dt时间前 后的动量变化和所受到的合外力冲量。在dt时间 前动量为0；dt时间后动量为ρcAdtdu。因此动量 变化率为ρcAdu，这部分气体左端压强为p+dp， 右端压强为p，合外力为
( p dp) A PA dpA
沿活塞运动方向列动量方程
dpAdt cdtA(du 0)
dp du c
cd du d
dp cd c d
c
dp d (1 ) d
因为活塞速度很小，气体受到的扰动也很微弱， 其状态变化量很小，dρ/ρ可以忽略不计
例 已知海平面（z=0)的大气温度为288K，在对流 层顶部（z=11km）的高空大气温度为216.5k，试 比较两处的声速。 解
C0 kRT0 1.4 287T0 20.1 288 340m / s
C1 kRT1 1.4 287T1 20.1 216.5 295m / s
超音速时，下游的 扰动不能影响p(M) 点的气流状态，上 游的扰动只能有一 部分能够传播到P 点。以P为顶点， 以马赫角为半顶角 向扰动点上游做圆锥（称为倒马赫锥），只有在 倒马赫锥内的扰动才能传播到P点；在倒马赫锥外 的扰动，不论时间多长，都不能传播到P点。其依 赖域是P点的倒马赫锥。
例 飞机在温度t=20℃海平面飞行，与在同温层t=55℃时飞行，若速度相等，试求前一种情况的马 赫数比后一种情况的马赫数大多少？ 解