11圆轴扭转变形与刚度计算
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l
x
12
三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】 设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴，在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的 凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭 刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ，试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩 m解 除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗 其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作 用，平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。
§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
2
n
等截面薄壁圆管扭转变形公式 对于长为l，T=Const，等截面薄壁圆 管，扭转变形为：
Tl 3 2G R0
R0
3
二、圆轴扭转刚度条件
d T 单位长度扭转角： dx GI p
(rad/m)
定义：单位长度许用扭转角为[ ]。圆轴扭转的刚度条件为：
T [ ] (rad/m) GI p max
Wp
max
[ ]
Wp
d03
16
3
16 T
16 700(N m) 3 0.04147m 6 50 10 (Pa)
8
6、刚度设计
T max 180 d dx GI max p
32 T2 180 G
2
T2 180 [ ] 4 d0 G 32
6
2. 用截面法求 各段内的扭矩
mB+T1=0
T1 350N m
mB+ mC+ T2=0Βιβλιοθήκη BaiduT2 700N m
-mD+ T3=0 T3 446N m 3. 作扭矩图
7
4. 确定最大扭矩
T max T2 700N m
5. 强度设计
max
d0
T
max
m d2 x l
10
d1
解：设距左端为 x 的任 意横截面的直径为 d(x) ， 按比例关系可得 d2
d1 d 2 x d d2 1 d2 l
x
l
m
d1
此横截面的极惯性矩为
d1 d 2 x Ip 1 32 32 d2 l
d
4
d2
Tl Tl 3 GI t G hb
狭长矩形截面
3T max 2 h 3Tl 3 Gh
21
四、椭圆等非圆截面轴扭转
max
T Wt
Tl GI t
b
a
It 16 a 2 b 2
5
P m 9549 （N.m） n
N－KW，n－转／分
解： 1. 计算作用于各轮上的扭力矩 PA 36 m A 9549 9549 1146N m n 300 PB m B m C 9549 350N m n PD m D 9549 446N m n
4
4
此横截面上的扭矩为
T mx
11
m d2 x
d1
l
dx
单位长度上的扭转角
T d dx GI p 32mx d1 d 2 x G d 2 1 d2 l
4 4
在0到l区间内积分，得
32m G d 2 4 d2 16ml 2 1 2 0 d d x 4 dx 3G d 12d 22 d1 1 2 1 d2 l
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
T1-T2=0
T1l T2 l ml G1 I p1 G2 I p2 G1 I p1
T1 T2
T2 T1
mG2 I p2 G1 I p1 G2 I p2
2 1
16
§7.6 非圆截面杆的扭转
m
m
农业机械中的方轴
柴油机曲柄的受 扭截面为矩形
17
一、自由扭转与限制扭转
试 验
T2
m
T1
m
T2 T1
14
焊接前轴在m作用下的扭转角为
ml G1 I p1
1 2
T2 l 2 G2 I p 2
T2
变形协调条件
T1l 1 G1 I p1
m
2 1
m
T1
15
ml G1 I p1
T2 l 2 G2 I p2
T1l 1 G1 I p1
d0
4
4
32 700 180 0.0565m 9 2 80 10 0.5
7、因此，需按刚度条件确定圆轴直径，取
d 0 56.5mm
9
【例题2】 如图所示圆锥体的一部分，设两端的直 径分别为 d1 和 d2 ， d1 端固支，长度为 l 。沿轴线作用 均匀分布的扭力矩集度为 m 。试计算两端截面的相 对扭转角。
自由扭转
限制扭转
18
二、边界及角点切应力
n
n n 0
边界切应力平行于边界
角点切应力为零
19
三、矩形截面轴扭转
max
T T 2 W t hb
1 max
Tl Tl GI t G hb 3
20
max
T T W t hb 2
x
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三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】 设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴，在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的 凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭 刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ，试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩 m解 除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗 其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作 用，平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。
§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
2
n
等截面薄壁圆管扭转变形公式 对于长为l，T=Const，等截面薄壁圆 管，扭转变形为：
Tl 3 2G R0
R0
3
二、圆轴扭转刚度条件
d T 单位长度扭转角： dx GI p
(rad/m)
定义：单位长度许用扭转角为[ ]。圆轴扭转的刚度条件为：
T [ ] (rad/m) GI p max
Wp
max
[ ]
Wp
d03
16
3
16 T
16 700(N m) 3 0.04147m 6 50 10 (Pa)
8
6、刚度设计
T max 180 d dx GI max p
32 T2 180 G
2
T2 180 [ ] 4 d0 G 32
6
2. 用截面法求 各段内的扭矩
mB+T1=0
T1 350N m
mB+ mC+ T2=0Βιβλιοθήκη BaiduT2 700N m
-mD+ T3=0 T3 446N m 3. 作扭矩图
7
4. 确定最大扭矩
T max T2 700N m
5. 强度设计
max
d0
T
max
m d2 x l
10
d1
解：设距左端为 x 的任 意横截面的直径为 d(x) ， 按比例关系可得 d2
d1 d 2 x d d2 1 d2 l
x
l
m
d1
此横截面的极惯性矩为
d1 d 2 x Ip 1 32 32 d2 l
d
4
d2
Tl Tl 3 GI t G hb
狭长矩形截面
3T max 2 h 3Tl 3 Gh
21
四、椭圆等非圆截面轴扭转
max
T Wt
Tl GI t
b
a
It 16 a 2 b 2
5
P m 9549 （N.m） n
N－KW，n－转／分
解： 1. 计算作用于各轮上的扭力矩 PA 36 m A 9549 9549 1146N m n 300 PB m B m C 9549 350N m n PD m D 9549 446N m n
4
4
此横截面上的扭矩为
T mx
11
m d2 x
d1
l
dx
单位长度上的扭转角
T d dx GI p 32mx d1 d 2 x G d 2 1 d2 l
4 4
在0到l区间内积分，得
32m G d 2 4 d2 16ml 2 1 2 0 d d x 4 dx 3G d 12d 22 d1 1 2 1 d2 l
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
T1-T2=0
T1l T2 l ml G1 I p1 G2 I p2 G1 I p1
T1 T2
T2 T1
mG2 I p2 G1 I p1 G2 I p2
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16
§7.6 非圆截面杆的扭转
m
m
农业机械中的方轴
柴油机曲柄的受 扭截面为矩形
17
一、自由扭转与限制扭转
试 验
T2
m
T1
m
T2 T1
14
焊接前轴在m作用下的扭转角为
ml G1 I p1
1 2
T2 l 2 G2 I p 2
T2
变形协调条件
T1l 1 G1 I p1
m
2 1
m
T1
15
ml G1 I p1
T2 l 2 G2 I p2
T1l 1 G1 I p1
d0
4
4
32 700 180 0.0565m 9 2 80 10 0.5
7、因此，需按刚度条件确定圆轴直径，取
d 0 56.5mm
9
【例题2】 如图所示圆锥体的一部分，设两端的直 径分别为 d1 和 d2 ， d1 端固支，长度为 l 。沿轴线作用 均匀分布的扭力矩集度为 m 。试计算两端截面的相 对扭转角。
自由扭转
限制扭转
18
二、边界及角点切应力
n
n n 0
边界切应力平行于边界
角点切应力为零
19
三、矩形截面轴扭转
max
T T 2 W t hb
1 max
Tl Tl GI t G hb 3
20
max
T T W t hb 2