概率论模拟卷1~6及答案汇总
概率论考试题和答案
概率论考试题和答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个选项是正确的？A. P(X > 0) = 0.5B. P(X < 0) = 0.5C. P(X = 0) = 0.5D. P(|X| > 1) = 0.5答案：A2. 如果随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么E(X)等于：A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A3. 假设随机变量X和Y是独立的，且X服从正态分布N(0,1)，Y服从正态分布N(1,4)，那么Z = X + Y的期望值E(Z)是：A. 1B. 0C. 2D. 4答案：A4. 对于二项分布B(n, p)，其方差Var(X)是：A. npB. np(1-p)C. nD. p答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么X的期望值E(X)是_________。
答案：(a+b)/26. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么X的标准差是_________。
答案：σ7. 对于参数为p的伯努利分布，其方差Var(X)是_________。
答案：p(1-p)8. 如果随机变量X服从指数分布Exp(λ)，那么X的期望值E(X)是_________。
答案：1/λ三、计算题（每题15分，共30分）9. 已知随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(X < 0)。
答案：因为X服从正态分布N(2, 4)，所以X的均值μ=2，方差σ^2=4，标准差σ=2。
我们需要求P(X < 0)，即求标准正态分布下，Z < (0-2)/2 = -1的概率。
根据标准正态分布表，P(Z < -1) ≈ 0.1587。
所以，P(X < 0) ≈ 0.1587。
10. 假设随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，求E(X)和Var(X)。
答案：因为X服从泊松分布，所以E(X) = λ = 2，Var(X) = λ = 2。
概率论综合练习题1及参考答案
概率论综合练习题1一、选择题（每小题3分，共15分）【得分： 】1．已知()()0.4,0.6,(|)0.7P A P B P B A ===，则()P A B =__________.2．将2个球等可能地放入甲、乙、丙、丁 4个盒子，则甲盒子没有球的概率为__________. 3. 已知(1,1),~(1,4)X N Y N -，且X Y 与相互独立，则3X Y -服从分布 ( )A. (4,37)NB. (2,11)N -C. (4,11)N -D. (2,37)N - 4. 设总体2123~(,),,,X N X X X μσ是来自总体的样本，则当______a =时，1231348X aX X μ=++是未知参数μ的无偏估计.5. 设总体21216~(2,5),,,,X N X X X 是来自总体的样本，则下列正确的是 ( )A.2~(0,1)4/5X N - B. 2~(0,1)X N - C. 2~(0,1)16X N - D. 2~(0,1)5/4X N - 二、计算题（36%）1. 某人赶去某个城市参加会议，乘火车、汽车、轮船、飞机的概率分别是0.2，0.3，0.4，0.1. 乘火车、汽车、轮船迟到的概率分别是1/5,2/3和3/5而乘飞机不会迟到，已知此人参加会议迟到了，求他是乘坐汽车来的概率.2. 设随机变量X 的分布律为X-2 1 2 P0.1 0.7 α （1）求常数α；（2）求()E X ;（3）求 ()D X ; (4)求X 的分布函数()F x .3. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()0,.kx x f x <<⎧=⎨⎩其他（1）求常数k 的值; (2) 求()E X ;(3) 求{0.5 1.5}P X <≤;(4) 求X 的分布函数()F x . 三、解答题、证明题（40%）1. 设()0.3,P A =()0.4,P B =()0.1P AB =,求(),(),().P A B P B A P A B -2. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为,0,,(,)0,y e x y x f x y -⎧>>⎪=⎨⎪⎩ 其他. (1)分别求X 和Y 的边缘概率密度函数()()X Y f x f y 和;(2)随机变量X 和Y 是否独立，说明理由; (3)求()E XY . .3. 设总体X 具有概率密度22(),0(,),.0,.x x f x ααααα⎧-<<⎪=⎨⎪⎩是未知参数其他12,,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本. 求α的矩估计量.4. 在区间(0,1)中随机取两个数，求两数之差小于25的概率.四、计算题（9%）1. 某工厂生产化肥，某日抽取9包化肥测得平均重量为98.3公斤，已知打包重量服正态分布2(,1)N μ,问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为每包平均重量是100公斤? 【0010:100,:H H μμμμ==≠原假设备择假设；0.0250.050.0250.051.96, 1.645,(8)2.3060,(8) 1.8595z z t t ====】2. 若2~(2,)X N σ且(24)0.3,P X <<=求(0)P X <.概率论综合练习题1参考解答一、选择题（每小题3分，共15分）【得分： 】1．已知()()0.4,0.6,(|)0.7P A P B P B A ===，则()P A B =__________. 【解析】()()(|)0.40.70.28P AB P A P B A ==⨯=, ()()()()0.40.60.280.72P A B P A P B P AB =+-=+-=.2．将2个球等可能地放入甲、乙、丙、丁 4个盒子，则甲盒子没有球的概率为__________.【解析】(P 甲盒中无球）(P =球2个球放在了乙、丙、丁三盒中）22390.5625416===.3. 已知(1,1),~(1,4)X N Y N -，且X Y 与相互独立，则3X Y -服从分布 ( )A. (4,37)NB. (2,11)N -C. (4,11)N -D. (2,37)N -【解析】(3)134E X Y -=+=,(3)913637D X Y DX DY -=+=+=,即3~(4,37)X Y N -,选A. 4. 设总体2123~(,),,,X N X X X μσ是来自总体的样本，则当______a =时，1231348X aX X μ=++是未知参数μ的无偏估计.【解析】358()488a E a μμμμμμ+=++==，即38a =.5. 设总体21216~(2,5),,,,X N X X X 是来自总体的样本，则下列正确的是 ( )A. 2~(0,1)4/5X N -B. 2~(0,1)X N -C. 2~(0,1)16X N -D. 2~(0,1)5/4X N - 【解析】25~(2,)16X N ,则252~(0,)16X N -，2~(0,1)5/4X N -，应选D .二、计算题（36%）1. 某人赶去某个城市参加会议，乘火车、汽车、轮船、飞机的概率分别是0.2，0.3，0.4，0.1. 乘火车、汽车、轮船迟到的概率分别是1/5,2/3和3/5而乘飞机不会迟到，已知此人参加会议迟到了，求他是乘坐汽车来的概率.【解】分别记乘火车、汽车、轮船、飞机为,,,A B C D ,记迟到为E ,则()()P E P AE BE CE DE =()(|)()(|)()(|)()(|)P A P E A P B P E B P C P E C P D P E D =+++1230.20.30.40.10535=⨯+⨯+⨯+⨯36120.487525===;()0.25(|)()0.4812P BE P B E P E ===.2.【解】(1)由0.10.71α++=得0.2α=； (2)20.110.720.20.9EX =-⨯+⨯+⨯=; (3)240.110.740.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=, 21.90.9 1.09DX =-=;(4)分布函数：0,20.1,21()0.8,121,2x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤⎩.3. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()0,.kx x f x <<⎧=⎨⎩其他（1）求常数k 的值; (2) 求()E X ;(3) 求{0.5 1.5}P X <≤;(4) 求X 的分布函数()F x .【解】(1)由1012k kxdx ==⎰得，2k =； (2)120223EX x dx ==⎰;(3) 11.50.51{0.5 1.5}22010.250.75P X xdx dx <≤=+=-=⎰⎰；(4) 02010100,0()()()02,010201,1xxx xdt x F x P X x f t dt dt tdt x x dt tdt dt x -∞-∞-∞-∞⎧=<⎪⎪=≤==+=≤<⎨⎪⎪++=≤⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.三、解答题、证明题（40%）1. 设()0.3,P A =()0.4,P B =()0.1P AB =,求(),(),().P A B P B A P A B - 【解】()()()()0.30.40.10.6P A B P A P B P AB =+-=+-=;()()()()0.40.10.3P B A P B AB P B P AB -=-=-=-=; ()1()10.60.42(|)1()10.40.63()P AB P A B P A B P B P B --=====--.2. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为,0,,(,)0,y e x y x f x y -⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他. (1)分别求X 和Y 的边缘概率密度函数()()X Y f x f y 和;(2)随机变量X 和Y 是否独立，说明理由; (3)求()E XY .【解】(1)00,0()(,)0,0X x y xxdy x f x f x y dy dy e dy e x +∞+∞-∞+∞-∞---∞⎧=<⎪==⎨⎪+=≥⎩⎰⎰⎰⎰； 0000,0()(,)00,0Y y y yy dx y f y f x y dx dx e dx dx ye y +∞+∞-∞+∞-∞---∞⎧=<⎪==⎨⎪++=≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰； (2) ,X Y 不相互独立，因为在{(,)|0,}x y x y x >>内(,)()()X Y f x y f y f x ≠；(3)3000013!()(,)322y y y y x x y y xE XY xy f x y dxdy xye dxdy ye dy xdx y e dy +∞+∞----∞<<+∞>-∞<<+∞>=⨯=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 设总体X 具有概率密度22(),0(,),.0,.x x f x ααααα⎧-<<⎪=⎨⎪⎩是未知参数其他12,,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本. 求α的矩估计量.【解】23220022()233x x EX x x dx ααααααα⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰，令EX X =得α的矩估计量3X α=.4. 在区间(0,1)中随机取两个数，求两数之差小于25的概率. 【解】分别记所取两数为x 和y ，则“两数之差小于25”=“||0.4x y -<”，（图中深色部分）(P 两数之差小于25)(||0.4)P x y =-<21120.60.642=-⨯⨯=.四、计算题（9%）1. 某工厂生产化肥，某日抽取9包化肥测得平均重量为98.3公斤，已知打包重量服正态分布2(,1)N μ,问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为每包平均重量是100公斤? 【0010:100,:H H μμμμ==≠原假设备择假设；0.0250.050.0250.051.96, 1.645,(8) 2.3060,(8) 1.8595z z t t ====】【解】00:100H μμ==; 10:H μμ≠. 检验统计量X Z =，当0H 成立时，100~(0,1)1/3X Z N -=,拒绝域 190.025100{(,,)|1.96}1/3x W x x z -=>=,而1005.11/3x W -=-∈,即在显著性水平0.05α=下，认为每包平均重量与100公斤有显著差异(不足100公斤).2. 若2~(2,)X N σ且(24)0.3,P X <<=求(0)P X <.【解】由42222(24)(0)0.3P X σσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ=Φ-Φ=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得20.8σ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭， 2222(0)10.2X P X P σσσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<=Φ-=-Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
概率论 模拟题(一)及答案
上 海 金 融 学 院_概率论与数理统计（理工）模拟题一课程代码：13330075_考试形式：闭卷 时间: 120 分钟考试时 只能使用简单计算器(无存储功能)试 题 纸 一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）1． 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.3. 设X 为随机变量，且2()0.7,()0.2,E X D X ==则 式一定成立：A ．13{}0.222P X -<<≥ B．{0.6P X ≥C．{00.6P X <<≥ D．{00.6P X <<≤ 4. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本均值和标准差，则 成立。
A. (0,1)X NB. (0,)nX N nC. 221(1)ni i X n χ=-∑ D.(1)Xt n S- 5. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体2(,)N μσ的一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是2σ的无偏估计。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X n μ=--∑ C. 211()1n i i X X n =--∑ D. 211()1n i i X n μ=-+∑二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）1.已知,5.0)(=A P ()0.2P AB =， 4.0)(=B P , 则(1) )(AB P = ; (2) )(B A P -= ;(3) )(B A P ⋃= ; (4) )(B A P = . 2.若(0,1),()X N x x ϕΦ ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则ϕ（0）= ；(0)Φ= ；{0}P X == ；{0}P X <= ；{0}P X >= 。
概率论摹拟卷1~6及答案
3、设随机变量
X
的密度函数为
f
(x)
2x,
0,
0 x 1
用 Y 表示对 X 的三次独立重复观
其它
察中事件{X 1 }出现的次数，则 P{Y=2}___________. 2
4、设 X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z 相互独立，则 U=4X+3Y-Z 的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.
,
.求：（1）参数 ；（2）
上服从均匀分布，（1）求
以上？（取显著性水平 ＝0.05）
,
和
＋
。
，已知这批木材小头直径的标
；（3）
的联
的相
[模拟试卷 2]
一、(14 分)已知 50 只铆钉中有 3 只是次品，将这 50 只铆钉随机地用在 10 个部件上。若 每个部件用 3 只铆钉，问 3 只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？
二、（12 分）设随机变量 X 的分布列为 的分布列。
三、（10 分）设二维随机变量
合概率密度（2）求
四、（12 分）设
关系数（其中 a、b 是不全为零的常数）。
在矩形
关于 、 的边缘概率密度（3）判断 与 的独立性。
பைடு நூலகம்
,
，且 与 相互独立，试求
五、（12 分）设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒，试求这 1000 粒种子中至少有 880 粒发芽的概率。
六、（12 分）设总体 的概率密度为
七、（12 分）设 服从
是取自总体 的简单随机样本。求：（1） 的矩估计量 ；（2） 的方差
概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)
《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论模拟试题及答案
模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x A e x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为： 1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论与数理统计模拟试卷一 一判断题(10 分,每题 2 分)
概率论与数理统计模拟试卷一一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( ) )(x f )(x F 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第次才取n 得 次成功的概率为)1(n r r ≤≤ .(a) ； (b) ； r n r r n p p C −−−−)1(11r n rr n p p C −−)1((c) ； (d) . 1111)1(+−−−−−r n r r n p pC r n r p p −−)1(2. 离散型随机变量X 的分布函数为，则)(x F ==)(k x X P . (ａ) ； (ｂ) )(1k k x X x P ≤≤−)()(11−+−k k x F x F ； (ｃ) ； (ｄ) )(11+−<<k k x X x P )()(1−−k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差),(Y X ,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=−)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设为总体的一个样本，),,,(21n X X X ")2,1(2N X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) )(~/21n t nX −； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=−；(ｃ) )1,0(~/21N nX −； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=−.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数)(x f X e Y 3=为=)(y f Y3. 设X 为总体中抽取的样本()的均值, 则)4,3(~N X 4321,,,X X X X )51(<<−X P ＝ .4. 设二维随机变量的联合密度函数为),(Y X ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f 则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设,则随机变量)(~m t X 2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取),(~2σμN X 16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设X 的分布律为XP 2θ)1(2θθ−2)1(θ−已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数.)(z f Z 3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体，为总体),(~2σμN X ),,,(21n X X X "X 的一个样本.求常数 k , 使∑=−ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X （单位：kg）. 已知8=σ kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取)048.0,(2μN 5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机Z Y X ,,),1(p B变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表2χ6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ711.0)4(295.0=χ7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ145.1)5(295.0=χ7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ； 4. 当时10<<x ⎩⎨⎧<<−=他其0)2/(1)(xy x x x y f XY；5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . ),1(m F 四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=×+×=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. (1分) ⎩⎨⎧>=−其他0)(x e x f x X λλ⎩⎨⎧>=−其他)(y e y f y Y μμ0≤z 时，，从而 0)(=z F Z 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ∫∞+−∞−=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ−−−−−−−==∫(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 为第i 周的销售量, i X 52,,2,1"=i (1分)i X )1(~P 则一年的销售量为 ，∑==521i iXY 52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<−<−=<<Y P Y P (4分) 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=−+=−Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X −−−+−−=−"")1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i −=−=−)1(1,0~2分⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−σn n N X X i dze nn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ−−∞+∞−∫−=−dz e nn znn z 221201212σσπ−−∞+∫−=)3(122分σπnn −=σπnn kn122−=σ令=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||）分（2)1(2−=n n k π5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ−=，拒绝域为 96.1)1(025.02==−≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==−=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg . 0H [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==−=U , 落在拒绝域外，故接受原假设，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)0H (2) 要检验的假设为 (1分) 221220048.0:,048.0:≠=σσH H []22122079.0:,79.0:≠=σσH H 检验用的统计量 )1(~)(2202512−−=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 或488.9)4()1(205.022==−>χχχαn711.0)4()1(295.0212==−<−χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[,落在拒绝域内，]711.0086.06241.0/0538.020<==χ 故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 0H 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP (2分)2q pq 22p )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；；)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P；)0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P . )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P 所以 Y X +与Z 相互独立. (5分)。
《概率论》模拟试卷
《概率论》模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共15分）1、把9本书任意放在书架上，则其中指定的4本书放在一起的概率为 ..________11~5.______25.013.002104.____)2(____,123.____3.07.022=>========+==-=）（），则，（、设随机变量）（则，）（，）（，已知，，取值为、设随机变量全部可能）（的指数分布，则服从参数为、设随机变量）（，则）（，）（为随机事件，且、、设X P N X X P X P X P X D X E X AB P B A P A P B A σλ二、选择题（每小题3分，共15分）.0421231302010),(),(313232)(.3.022*******)(121}2{1不独立与）（）（）（）（）（）；（）（）（）（独立；与）（），则必有（），（，已知，、设随机变量）（；）（；）（；）（）（则其它，）的联合密度为：，、设（）（；）（；）；（或）次，则最有可能失败（，每次投中的概率为、某人独立地投篮三次）（；）（；；）（）（点数之和一次，则、掷两颗均匀的骰子各Y X D Y E X E XY E C Y D X D XY D B Y X A Y X Cov Y X D C B A a y x y x a y x f Y X D C B A D C B A P ====⎩⎨⎧<<<<+==≤5、设随机变5、量X ～B (n , p),且E(X) = 0.6, D(X) = 0.48,则n , p 的值为( )(A) n = 2 , p= 0.2 ; (B) n = 6 , p = 0.1 ; (C) n = 3 , p = 0.2 ; (D) n = 2 , p = 0.3 .三、从1，2，…，10共十个数字中任取一个，假定每个数字都以101的概率被取中，取后还原，先后取出7个数字，试求下列事件概率： （1） 7个数字全不相同；（2）不含10与1；（3）10恰好出现两次；（4）至少出现两次10。
概率论模拟题及答案
p( A0
B)
=
p( A0 ) p(B p(B)
A0 )
= 0.413
24.设 X 为一年内投保人的死亡数, (1) 则 X ～ B(10000,0.006)
(2)公司的年利润为 Y=120000-1000X, 由于 EX=np=60,DX=npq=0.24,根据中心极限定理,可得 Z = X − EX 近似～ N (np,, npq) ,于是有:
F(x)=
⎧A + Be −2x ⎨
⎩0
x>0 其它
求 : (1)A,B 的值; (2) p(−2 < x ≤ 2) ;(3) X 的概率密度函数.
四.计算题(II) 20.设随机向量(X ,Y)的联合密度为
f
(
x,
y
)
=
⎧4xy
⎨ ⎩
0
0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ x ≤ 1 其它
求 (1) p( X < Y ) ; (2). X 与 Y 的协方差 cov( X ,Y ) .
DX
p(Y ≥ 60000) = p( X ≤ 60) = p( X − 60 ≤ 0) = Φ(0) = 0.5 0.24
六,证明题(满分 5 分)
因为 E( X − C)2 − DX = E( X 2 − 2CX + C 2 ) − (EX 2 − (EX )2 )
= E( X )2 − 2CEX + C 2
(6).0.96; (7).14; (8).( µ, σ 2 ); (9).-1; (10). nσ 2 n
二, 选择题 11.C;12.A;13.B;14.B;15.D 三,计算题(I) 16. 因为 A 与 B 相互独立,所以
概率论试题及答案(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。
２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。
(A) 取到2只红球(B) 取到1只白球(C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。
(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件，则（）。
(A) A (B) B(C) AB(D) φ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。
(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D)5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)6. 设相互独立，则（）。
(A) (B)(C) (D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。
(A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
(A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3(C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)39. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1(C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。
概率论与数理统计模拟试题参考答案
概率论与数理统计模拟试题参考答案概率论与数理统计模拟试题参考答案LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020练习题一一、填空题。
1、已知P(A)=，P(A+B)=，则当 A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。
2、已知X ～),(p n B ,且8EX =, 4.8DX =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。
3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。
4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为：则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立_ ____________（填独立或不独立）。
5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n=++服从__________。
6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为, , , 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为。
7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 0()1 010 x x x x x ?+≤<??=-≤≤其它，则E ξ=__________。
二、判断题。
1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ，它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。
（）2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，S 是样本方差，则222(1)~()n S n χσ-。
（）3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。
（）4、已知θ是θ的无偏估计，则2θ一定是2θ的无偏估计。
（）5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为。
（）三、选择题。
1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。
概率论与数理统计模拟试题(1)
P (9.95 < x < 10.05) =(
(
)
).
11.设 X ~ π (λ),( X1, X2 ,X10) 是从总体X中抽取的样本， 样本的一组观测值为 (1,2,4,3,3,4,5,6,4,8), 则样本均值 ( ) ,样本方差的观测值为( )。
2 12. 设 ( X1, X2,Xn ) 是取自正态总体 N , σ 的简单随机样本， 则
4. 在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p ，现进行 次独立试验， 则 A 至少发生一次的概率是( )，而事件 A 至多发生一次的概率, 是( )。 5.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%， 从中任取一件， 结果不是三等品，问取到的是一等品的概率为( )。 )。
axe 2 x , x ≥ 0 6.设随机变量X的分布密度为 p ( x) = , 则a=( 0, x < 0
(θ +1)xθ , 0 < x <1 (x 1 八.设总体X的密度函数为 p(x) = 其中 θ > 是未知参数 0 , 其他 ( X 1 , X 2 , X n ) 是取自总体的简单随机样本，分别用矩估计与最大似然估计
法求
θ
的估计量。 的正态分布，今随机抽查8件，
九.某种产品供方称其长度服从方差为 σ 2 = 4
在条件( )下，统计量服从 (
)， 在显著性水平α 下， 拒绝域为 ( 已知
)。
2 14.设总体 X ~ N ( ,σ ) , ( X 1 , X 2 , X n ) 是来自总体X的样本, 若
则参数 σ 2 的
置信区间为 ( )
)； 若 未知，则参数 σ 2 的
1 α 置信区间 (
15. 用打包机装棉花， 每包的净重量服从正态分布， 设每包净重量为 100千克， 某日开工后， 抽取 9 包检验重量的平均值为 99 千克， 问今天打包机是否 正常？ 应取检验假设 H 0 : ( 二.单选题 1.一合产品中有a只正品， b只次品, 有放回地任取两次， 第二次取到正品 的概率为( ) )，选取统计量 ( )。
概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社
（1） A1, , An 互不相容；（2） A1, , An 相互独立；（3）一般情形。
解：(1) 由概率的有限可加性可得
p= P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An)
(2)
P = P( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An )
= 1 − P( A1 A2 An )
= 1 − P( A1 )P(A2 ) P( An )
解：1) P{X = k} = Cnk pk (1 − )p n−k , k = 0,1,2..., n 或 X ~ B(n, p)
2) P{Y = k} = ( Cnk+k −1 pn 1 − p)k , k = 0,1,2...
22. 设事件 A，B，C 相互独立，且 P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2. 试求： （1） 三个事件都不发生的概率； （2） 三个事件至少有一个发生的概率； （3） 三个事件恰好有一个发生的概率； （4） 至多有两个事件发生的概率。 解：
23. 设有事件 A1, , An ，在下列各种条件下怎样求 A1, , An 至少有一个发生的概率。
第一章
（本章计算概率的习题除 3~6 以外， 其余均需写出事件假设及概率公式， 不能只有算式） 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1）同时抛三颗色子，记录三颗色子的点数之和； （2）将一枚硬币抛三次，(i)观察各次正反面出现的结果；(ii)观察正面总共出现的次数； （3）对一目标进行射击，直到命中 5 次为止，记录射击次数； （4）将一单位长的线段分成 3 段，观察各段的长度； （5）袋中装有 4 个白球和 5 个红球，不放回地依次从袋中每次取一球，直到首次取到红球 为止，记录取球情况。
=
1 21
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A和B是互斥的，那么下列哪个说法是正确的？A. P(A∪B) = P(A) + P(B)B. P(A∩B) = 0C. P(A∪B) = P(A) - P(B)D. P(A∩B) = P(A) + P(B)答案：B2. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么以下哪个是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 以下哪个是条件概率的定义？A. P(A|B) = P(A) / P(B)B. P(A|B) = P(A∩B) / P(B)C. P(A|B) = P(B) / P(A)D. P(A|B) = P(A∪B) / P(B)答案：B4. 如果随机变量X和Y是独立的，那么以下哪个是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) - P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)答案：A5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 样本均值收敛于总体均值B. 样本方差收敛于总体方差C. 样本中值收敛于总体中值D. 样本众数收敛于总体众数答案：A6. 以下哪个是中心极限定理的表述？A. 样本均值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布B. 样本方差的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布C. 样本中值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布D. 样本众数的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布答案：A7. 以下哪个是二项分布的参数？A. n和pB. n和σC. μ和pD. μ和σ答案：A8. 如果随机变量X服从泊松分布，那么其期望值E(X)等于？A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A9. 以下哪个是随机变量X的方差的定义？A. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2B. Var(X) = E(X) - [E(X)]^2C. Var(X) = E(X) - E(X^2)D. Var(X) = E(X^2) - E(X)答案：A10. 以下哪个是随机变量X的标准差的定义？A. SD(X) = √E(X^2) - [E(X)]^2B. SD(X) = √Var(X)C. SD(X) = E(X) - [E(X)]^2D. SD(X) = Var(X) - E(X^2)答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么其期望值E(X)为________。
概率论试题含答案)
第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。
2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。
4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3) 答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1)等于：A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：B2. 随机变量X和Y相互独立，且都服从二项分布，其中X~B(3, 0.5)，Y~B(2, 0.5)，则P(X+Y=3)等于：A. 0.5B. 0.375C. 0.25D. 0.75答案：B3. 设随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则P(X=1)等于：A. 0.2707B. 0.1353C. 0.5000D. 0.2707答案：B4. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)等于：A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A5. 设随机变量X服从指数分布，其参数为λ=2，则D(X)等于：A. 1/4B. 1/2C. 2D. 4答案：C6. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=3，σ^2=4，则P(1<X<5)等于：A. 0.6826B. 0.9545C. 0.6830D. 0.9500答案：B7. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，则P(X≥5)等于：A. 0.5B. 0.7C. 0.3D. 0.8答案：B8. 设随机变量X服从几何分布，其成功概率为p=0.4，则P(X=3)等于：A. 0.064B. 0.256C. 0.064D. 0.256答案：A9. 设随机变量X服从超几何分布，其中总体大小为N=20，成功状态的个体数为M=5，样本大小为n=4，则P(X=2)等于：A. 0.4B. 0.6C. 0.2D. 0.8答案：C10. 设随机变量X服从t分布，自由度为10，则P(|X|<2)等于：A. 0.9500B. 0.9545C. 0.975D. 0.9800答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从二项分布B(5, 0.2)，则P(X=3)=________。
概率论与数理统计模拟试题5套带答案
06-07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3. 设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___4.设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()n i i X μσ=-∑服从__________分布.5. 设),3(~),,2(~p B Y p B X，且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________. 二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A)11a a b -+-；(B) (1)()(1)a a a b a b -++-；(C) a a b +；(D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】(A) 2； (B)12； (C) 3； (D)13.3． 设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4. 设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是【 】()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；()B []π,0； ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5. 设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y 【 】()A ()222,b a b a N +-σμ； ()B ()222,b a b a N -+σμ；()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.四、（本题满分12分）设随机变量X 的密度函数为xx ee Ax f -+=)(，求： （1）常数A ； （2）}3ln 210{<<X P ； （3）分布函数)(x F .五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 求12+=X Y的概率密度.六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P>.七、（本题满分10分）二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()2(y x Ae y x f y x求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。
概率论模拟练习(含答案)
学号
密
fY (y ) = fX
(
1 2√y · √ ) ′ , 2 y h(y ) h (y ) = 0,
0<
√ y<1
其他
1, = 0,
0<y<1 其他
专业
福建师范大学协和学院试卷纸
共 5 页, 第 3 页
3. 已知二维随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为 24(1 − x)y, 0 < x < 1, 0 < y < x f (x, y ) = 0, 其他 (1) 求边缘概率密度 fX (x), fY (y );(2)X 与 Y 是否独立?(3) 求 P (X + Y ⩾ 1)
0, 若第二次取出正品, Y = 1, 若第二次取出次品,
线
0
16 25 4 25
1
4 25 1 25
姓名 学号 专业 密 座位号 封
福建师范大学协和学院试卷纸
共 5 页, 第 5 页
解：X 可能取的值为 0,1,Y 可能取的值也为 0,1, 且 8×8 16 P (X = 0, Y = 0) = = , P (X = 0, Y = 1) = 10 × 10 25 2×8 4 P (X = 1, Y = 0) = = , P (X = 1, Y = 1) = 10 × 10 25 即 (X, Y ) 的联合分布律为: Y X 0 1 8×2 4 = , 10 × 10 25 2×2 1 = , 10 × 10 25
姓名
= 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.014斯公式得 P (B |D) = P (B )P (D|B ) 0.35 × 0.04 28 = = , P (D ) 0.0345 69
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一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。
已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
二、（12分）设随机变量X的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。
三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。
四、（12分）设 ,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。
五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。
求：（1）的矩估计量；（2）的方差。
七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。
试求常数，使得服从分布。
八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：, , , ,一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。
若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x Ax x f ，求：（1）参数A ；（2）}35.0{<<X P ；（3）}{x X P <。
三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。
四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其它,010,10,),(y x y x y x f ． （1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。
五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。
已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。
现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？六、（8分）在总体)4,12(~N X ，从X 中随机抽取容量为6的样本),(61X X .求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率。
七、（14分）设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-其它,010,)(1x x x f θθ 其中θ是未知参数，且0>θ。
试求θ的最大似然估计量。
八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布)75.0,54(N ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取05.0=α）？ 附表一：5871.0)2222.0(=Φ,9495.0)64.1(=Φ,9505.0)65.1(=Φ,9750.0)96.1(=Φ,9826.0)108.2(=Φ,9901.0)33.2(=Φ,9929.0)45.2(=Φ，9950.0)575.2(=Φ.一、填空（16分） [模拟试卷3]1、设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.92，P(B)=0.93，)|(A B P =0.85，则=)|(B A P ___________. P （B A ⋃）=___________.2、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是___________.3、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它,010,2)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤21}出现的次数，则P{Y=2}___________. 4、设X~N （1，4），Y~N （0，16），Z~N （4，9），X 、Y 、Z 相互独立，则U=4X+3Y-Z 的概率密度是___________.E （2U-3）=___________.D （4U-7）=___________.5、设，，21X X …n X 是来自正态分布N （2,σμ）的样本，且2σ已知，X 是样本均值，总体均值μ的置信度为α-1的置信区间是___________.二、（12分）设有甲乙两袋，甲袋中装有m 只白球，n 只红球，乙袋中装有M 只白球,N 只红球。
今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？ 三、（12分）某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数服从参数为λ的泊松分布，已知任一分钟内无问讯的概率6-e为，求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。
四、（12分）设（X 、Y ）具有概率密度 ⎩⎨⎧<<<=其它,010,),(y x c y x f1）求常数c ；2）求P{Y >2X}；3）求F （0.5， 0.5） 五、（12分）设随机变量（X ，Y ）具有密度函数 ⎩⎨⎧<<<=其它,010,,1),(x x y y x f求E （X ），E （Y ），COV （X 、Y ）。
六、（12）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。
在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。
七、（12分）设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-其它,010,)(1x x x f θθ 其中θ是未知参数，且0>θ。
试求θ的最大似然估计量。
八、（12分）某工厂生产的铜丝的折断力测试（斤）服从正态分布N （576，64），某日抽取10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：578 572 570 568 572 570 572 596 584 570 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤（05.0=α）一、（12分）（1）已知21)()(==B P A P ,证明：)()(B A P AB P = （2）证明：若,0)(>A P 则)()(1)|(A P B P A B P -≥ 二、（14分）设X~N （2,σμ），023.0}96{,72=≥=X P μ。
求 （1）}8460{≤≤X P （2）Y=1-2X 的概率密度三、（12分）设X 与Y 是具有相同分布的随机变量，X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,83)(2x x x f已知事件}{a X A >=和}{a Y B >=相互独立，且43)(=⋃B A P 求（1）常数a （2）)(X e E - 四、（14分）设（X 、Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y求：（1）相关系数 XY ρ （2）}21{Y X P >五、（12分）设供电站供应某电去1000户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户日用电（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布，现要以0.99的概率保证该地区居民供应电量的需要，问供电站每天至少向该地区供应多少度电？六、（12分）设总体X~N （2,σμ），，假设我们要以0.997的概率保证偏差1.0<-μX ，试问在5.02=σ时，样本容量n 应为多少？七、（12分）设),,,(21n X X X 为来自总体概率密度为⎩⎨⎧<≥=--θϑθθx x e x f x ,0,),()( 的一个样本，求θ的矩估计量M ^θ。
八、（12分）电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min ）为42，65，75，78，59，57，68，54，55，71 。
问是否可以认为整批保险丝的平均熔化时间为70（min ）？（05.0=α，熔化时间为正态变量）一、（12分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率： （1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对 二、（12分）甲袋中有两个白球四个黑球，已袋中有四个白球两个黑球。
现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n 次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n 次（有返回）。
若已知摸到的n 个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率。
三、（12分）（1）设某商店中每月销售某种商品的数量（件）服从参数为7的泊松分布，求一个月内至少售出2件的概率 （2）设随机变量X 的分布函数 求常数A 及X 的数学期望和方差四、（14分）某种电池的寿命X 服从正态分布),(2σa N ，a=300（小时），σ=35（小时），（1）求电池寿命在250小时以上的概率（2）求x ，使寿命在a-x 与a+x 之间的概率不小于0.9（3）任取1000个这种电池，求其中最多有50个寿命在250小时以下的概率。
五、（12分）设随机变量（X ，Y ）具有密度函数 ⎩⎨⎧<<<=其它,010,,1),(x x y y x f（1）求X 与Y 的相关系数（2）问X 与Y 是否不相关（3）X 与Y 是否独立，为什么？ 六（12分）（1）在总体N （52，23.6）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到54.8之间的概率。
（2）设总体)5.0,(~μN X ，假如我们要以0.997的概率保证偏差1.0<-μX ，则样本容量n 应为多少？ 七、（12分）设总体X 服从指数分布，它的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0,00,,),(x x e x f x λλλ（1）求参数λθ1=λ的最大似然估计（2）验证所得θ的估计量的无偏性八、（14分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 101.4 100.5 已知各包重量服从正态分布N （2,σμ）（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取05.0=α）？ （2）求参数2σ的90%置信区间。
一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球。
今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。
二、12分)设随机变量)1,1(~-U X ,求2X Y =的分布函数与概率密度。