高等代数(北大版)第1章习题参考答案
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第一章 多项式
1. 用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r : 1)123)(,13)(2
2
3
+-=---=x x x g x x x x f ; 2)
2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1)由带余除法,可得9
2926)(,9731)(--=-=
x x r x x q ; 2)同理可得75)(,1)(2
+-=-+=x x r x x x q 。 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+3
2
|1, 2)q px x mx x ++++2
4
2
|1。
解 1)由假设,所得余式为0,即0)()1(2
=-+++m q x m p ,
所以当⎩⎨⎧=-=++0
012m q m p 时有q px x mx x ++-+3
2|1。
2)类似可得⎩⎨⎧=--+=--0
10
)2(2
2m p q m p m ,于是当0=m 时,代入(2)可得1+=q p ;而当022=--m p 时,代入(2)可得1=q 。
综上所诉,当⎩⎨
⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=2
12
m p q 时,皆有q px x mx x ++++2
42|1。 3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式:
1)5
3
()258,()3f x x x x g x x =--=+; 2)3
2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1)
432()261339109()327
q x x x x x r x =-+-+=-;
2)
2()2(52)()98q x x ix i r x i
=--+=-+。
4.把()f x 表示成0x x -的方幂和,即表成
2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+
的形式:
1)5
0(),1f x x x ==;
2)42
0()23,2f x x x x =-+=-;
3)432
0()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
解 1)由综合除法,可得2345
()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+-; 2)由综合除法,可得4
2
2
3
4
231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++; 3) 由综合除法,可得4
3
2
2(1)3(7)x ix i x x i +-+-++
234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++。
5.求()f x 与()g x 的最大公因式:
1)43232
()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--; 2)4332
()41,()31f x x x g x x x =-+=-+;
3
)42432
()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++。
解 1)((),())1f x g x x =+; 2)((),())1f x g x =;
3
)2
((),())1f x g x x =--。
6.求(),()u x v x 使()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=。 1)432432
()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---; 2)43232
()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+; 3)4322
()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--。
解 1)因为2
2((),())2()f x g x x r x =-=
再由11212()()()()
()()()()
f x q x
g x r x g x q x r x r x =+⎧⎨
=+⎩,
解得
22121212()()()()()()[()()()][()]()[1()()]()r x g x q x r x g x q x f x q x g x q x f x q x q x g x =-=--=-++,
于是
212()()1
()1()()11(1)2
u x q x x v x q x q x x x =-=--=+=++=+。
2)仿上面方法,可得((),())1f x g x x =-,且21122
(),()13333
u x x v x x x =-
+=--。 3)由((),())1f x g x =可得3
2
()1,()32u x x v x x x x =--=+--。
7.设3
2
()(1)22f x x t x x u =++++与3
2
()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式,求,t u 的值。 解 因为
32211212()()()()()(2)()()()()
f x q x
g x r x x tx u x x u g x q x r x r x =+=+++++=+,
2((2))(2)(24)(3)x t x x u u t x u t =+-++-+-+-,
且由题设知最大公因式是二次多项式,所以余式2()r x 为0,即
(24)0
(3)0
u t u t -+-=⎧⎨
-=⎩, 从而可解得1102u t =⎧⎨
=⎩ 或 22
2
3u t =-⎧⎨=⎩。 8.证明:如果()|(),()|()d x f x d x g x ,且()d x 为()f x 与()g x 的组合,那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。
证 易见()d x 是()f x 与()g x 的公因式。另设()x ϕ是()f x 与()g x 的任一公因式,下证
()|()x d x ϕ。
由于()d x 是()f x 与()g x 的一个组合,这就是说存在多项式()s x 与()t x ,使
()()()()()d x s x f x t x g x =+,
从而由()|(),()|()x f x x g x ϕϕ可得()|()x d x ϕ,得证。
9.证明:(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =,(()h x 的首系数为1)。 证 因为存在多项式(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+,