第三章,气体分子热运动的统计规律

（1）分布函数曲线又称为分布曲线
将函数的问题用图形的方式 来描述最为形象直观。以速 率为变量，作函数曲线 f (v) ~ v，如右图所示： 1）具有统计规律的肤浅 特点——中间大两头小； 2）f (v)的物理意义在图中 f (v) dv = N/dN， 表现为不同的面积；3） 归一化条件要求分布曲线 f (v ) dv 与横轴之间的面积是有限 0 的，必须等于1
麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的大 师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，发展成为 举世闻名的学术中心之一。他用缜密的分析和推理，大胆地提出有实验 基础的假设，建立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验， 逐渐完善，形成系统、完整的理论。
二，麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦主要从事
电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹 性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电 学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光 辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。他预言了电 磁波的存在，他为物理学树起了一座丰碑。造福于人类 的无线电技术，就是以电磁场理论为基础发展起来的。 1859年他首次用统计规律得出麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微 观量求统计平均值的更确切的途径。他引入了驰豫时间的概念，发展了 一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。
3/ 2
mv 2 v exp( )dv 2kT
积分计算很简单，课后自己求解。 再次表明，先倒数后平均于先平均 后倒数的结果不同，统计平均一般不同与算术平均！
3）求速率相关统计平均应注意的几个问题 （1）具有统计结果的共同特征，那就是必然伴随着涨落。 （2）是各种可能的统计平均，分析下面表达式的物理意义
v vf (v)dv
0
1）平均速率
m 4 2kT
3/ 4 2kT
3/ 2
4k 2T 2 2 2m
8 RT 8kT m
小巧门：在有关利用麦克斯维分布的计算中，做代换， x v / v p 再利用G 函数的定义和简单的结果，会使相关计算大大 dv v p dx 简化！试试看？
2
五，速率分布函数最重要的应用是 求与速率直接相关的统计平均
1．平均速率（1）定义：大量分子的速率 的平均值，称为平均速率，记为<v>或 v

f (v)dv 1
0
v vf (v)dv
2。求和的对象是全体分子，即全部可能的速率。如果积分限没有 包含整个速率间隔，就不是期望的统计平均。这时虽可运算，但结 果不是前面定义的统计平均。务必注意！ 由于这里不涉及分布函数的具体形式，这个结论具有普遍性。 3，几个基本的统计平均
2 2 dN 4 2 v / v p dv (v / v p ) e N vp
上面，令 x = v/vp
这是局域小区间的分子数与总分子数之比，采用微分形式。 并且，dv = 0.01vp，v = vp，代入麦克斯韦分布中
dN N v v p 4 v p 0.01v p ( v p / v p )2 0.04 f (v p )0.01v p e v v p e p
N Nf (v) dv
0

即
f (v)dv 1
0
这就是归一化条件 ！
（4）应该注意的几个问题 ：1）少数分子谈不上概率分布 ；2）统计 规律表现出涨落；3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说 法 ；4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现的 。
4．分布函数的作用
1．麦克斯韦速率分布律的数学形式及其意义
1）普通物理的热学范围内， 不能通过任何途径导出速率分 布函数的具体形式，这里直接 采用麦克斯韦和玻尔兹曼等人 由统计物理导出的结果
dN m 4 N 2kT
3/ 2
mv2 v 2 exp( )dv 2kT
m f (v) 4 2kT
大家一起讨论第二种情况 ② 不同种气体比较，相同的平衡态，即 不相同温度T相同，m ↓→vp↑→ fmax (v)↓（峰值减小），曲线变得 比原来平坦；可画出相应的新的分布曲线。 作业：P.107.习题2，3，4
三，与麦克斯韦分布律相关的几个问题
1，对麦克斯韦分布律正确性的实验验证涉及分子速率选择技术、 真空技术和表面技术等现代技术； 2，麦克斯韦分布律的数学形式具有较多的推广应用，例如指数衰 减形式；以此为基础的相关问题的计算例如统计平均； 3，概率分布的意义被直接应用于量子力学和热力学统计物理， 经典物理中，唯一采用概率方法的课程是热学，最先采用概率语 言的是本处。 4，可以推广到有外力作用、分子间有弱相互作用等更加实际的场 合，将在后面的章节和课程中讲解。
§1.
气体分子的速率分布律
一，速率分布函数 两个基本事实：1。分子的碰撞频繁，每个分子热运动的速率是变 化的，要问某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计 在某个速率间隔内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如 都是100ms-1，但是不同的速率附近其概率不等，例如，0~100 ms-1 和500~600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较 低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。为此，我们
引入速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。
1．速率分布函数的定义：处于一定温度下的 气体，分布在速率v 附近的单位速率间隔内的 分子数占总分子数的百分比只是速率v 的函数， 称为速率分布函数。记作
dN f (v ) Ndv
2．理解分布函数的几个要点：
（1）条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，即T和m是一定 的；（2）范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； （3）数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。 3．分布函数的物理意义 （1）分布函数f(v)实质上反映了分子运动速率取值的不等概率！ （2）根据分布函数的统计意义，可计算分子数比例或分子数 （3）归一化条件是概率意义的典型表现
v2
f (v)dv
v1

1
（2）分布函数曲线有一极大值，它 对应一个特征速率vp
将整个速率取值范围（0 ~∞）分为若干相等的小速率区间，有很多 个小的曲边梯形，它们的面积不相等，总会有一个小的曲边梯形有最大 的面积，速率区间分得越小，反映的情况就越细致，同一区间中速率的 差异也越小，最大的小曲边梯形对应的速率称为最可几速率，记为vp，
mv 2 v exp( )dv 2kT
4

3kT 3RT m
再开方
v2
3RT

这里的结果与第二章中的结果完全一致，但是根据不同。那里考虑的是 分子向各个方向运动的几率均等，这里考虑的是速率取值的概率分布。
（2）速率倒数的平均值
m 1 1 f (v)dv 4 2kT v v 0
2
dN 4 N 2 dN 4 v 1 x exp( x 2 ) F ( x 2 ) exp( x 2 )v p dx dx N vp vp
2
2,一道具有代表意义的习题
计算速率区间(vp，1.01 vp)内的分子数占总分子数之比 这里，涉及vp及附近邻域的分布函数取值，为此，利用最 可及速率的公式，将分布函数进行如下变形是很有用的
m 第三部分， 2kT
3/ 2
是归一化因子
指数衰减部分没有单位，4v2dv具有速度立方的单位，分布律只是 分子数的比值，也没有单位，所以，归一化因子必须具有速度负立方的 单位。 后面将看到(m/2kT)1/2是最可几速率。 记为
vp
2kT m
2．麦克斯韦速率分布律的数学分析
二，麦克斯维速率分布律
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831--1879)是19世纪伟大的 英国物理学家、数学家。 10岁时进入爱丁堡中学学习14岁就在爱丁 堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显 露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年 转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854年以第二名的成绩获史密 斯奖学金，毕业留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳 任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。 1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地 总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立的 卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874 年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑 桥逝世。
2
v vp
2kT 2RT m
可见，最可几速率是由温度T和参数m决定的。所以， 状态和分子性质都影响着速率分布的结果。
（3）分布曲线的变化——参数对曲线形状的影响
这里主要由vp和归一化条件决定
① 同种气体比较，不同的平 衡态，即 相同温度T不同， T ↑→vp↑→ fmax (v)↓ （峰值减小），曲线变得比 原来平坦；
2）<vn>的计算 （1）方均根速率 必须明确其含义：方，平方；均，平均；根，开平方。先平方， 后平均，最后再开方，步骤顺序错了结果的意义就变了。
(v )2 v 2
v n v n f (v)dv
v v f (v)dv
2 2
0

m 4 2kT
3/ 2
不同的平衡条件对应的分布情况不同，分布曲线也不同，最可几速 率的存在，使得不同的分布曲线按一定规律变化。 vp的取值着影响分布 曲线的形状。由极值条件求出最可几速率。
m f ' (v) 4 2kT