高等几何试题及答案

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系 专业 班 学号 姓名

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试卷类型： A

高等几何

使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页

题号 一 二 三 四 五 六

合计

得分

一、 填空题（每小题4分，共20分）

1、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)(321P P P 。

2、写出德萨格定理的对偶命题： 。

3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。

4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。

5、二次曲线的点坐标方程为042

2

31=-x x x ，则其线坐标方程为是 。 二、 选择题（每小题2分，共10分）

1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形

D.平行四边形

2.

22

1122280u u u u +-=表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点

B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点

C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点

D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点

3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( )

A.一次

B.两次

C.三次

D.四次

4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )：

A. 三角形的垂心

B. 梯形

C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点

D.椭圆

5.二次曲线按射影分类总共可分为( )

A.4类

B.5类

C.6类

D.8类

三、判断题（每小题2分，共10分）

1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（）

2.两直线能把射影平面分成两个区域。（）

3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1

±

±表示两个相异的点。（）

,1

,1

(±

4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此

射影变换一定是对合。（）

5.配极变换是一种非奇线性对应。（）

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四、作图题（8分）

已知线束中三直线a,b,c ，求作直线d ，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据）

五、证明题（10分）

如图，设FGH 是完全四点形ABCD 对边三点形，过F 的两直线TQ 与SP 分别交

AB ，BC ，CD ，DA 于T ，S ，Q ，P .试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS 与QP 的交点M 在直线GH 上。

六、计算题（42分）

1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP)

2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求

（1）l的齐次坐标方程；

（2）l上无穷远点的坐标；

（3）l上无穷远点的方程。

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3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P *,P 0, E ，(i)求此直线上任一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？

4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。

5. (6分)求由两个射影线束031=-x x λ，032='-x x λ，30λλ'-=所构成的二阶曲线的方程。

6. (8分) 试求二次曲线Γ：22212134x x x x +++2x 1x 3-4x 2x 3=0的中心与渐近线。

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一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、 1（4分）

2、 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线

交于一点。（4分） 3、 2（4分）

4、 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4

分） 5、

2

132u u u 0-=（4

分）

二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B) 三、 判断题（每小题2分，共10分） 1.( ×),2.( √),3.( ×),4.( √),5.( √) 四、 作图题（8分）

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作法过程：

1、设a,b,c 交于点A ，在c 上任取一点C, （2分）

2、过C 点作两直线分别与a 交于B 、E ，与b 交于F ，D ，（2分）

3、BD 与EF 交于G,

4、AG 即为所求的d 。（2分） 根据：完全四点形的调和共轭性（2分） 五、 证明题（10分）

证明： 在三点形BTS 与三点形DQP 中（4分） 对应顶点的连线BD,TQ,SP 三线共点，（2分） 由德萨格定理的逆定理知，（2分）

对应边的交点BT 与DQ 的交点G ，TS 与QP 的交点M 以及BS 与DP 的交点H 三点共线，即TS 与QP 的交点M 在直线GH 上。（2分） 六、计算题（42分） 1. （6分）

解：设P 点的坐标为（x 0，y o ）

()AP AP

ABP BP PB

λ==-=-（分割比）

， （2分）

00362,11x y λλ

λλ

-++==

++而: 且P 在直线x+3y-6=0上，

362()3()6011λλλ

λ

-++∴+-=++

解得λ=1， （2分）

即P 是AB 中点，且（ABP ）=－1 （2分）