【人教A版】2017版高中数学必修五：课时作业含答案1
最新人教a版高中数学必修五课时作业：1.1.1(一)(含答案)
最新人教版数学精品教学资料第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一) 课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2. 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135°答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60°∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 答案 1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角， ∴B 必为锐角，∴B ＝π6， ∴A ＝π6. ∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2. ∴sin(π4＋B )＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. 14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求a b的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°. 由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故a 的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：。
高中数学课时作业必修5
目第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 1正弦定理 (1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12正弦定理 (2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33余弦定理 (1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯54余弦定理 (2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 1．2用例⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 5正弦定理、余弦定理的合运用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯96正弦定理、余弦定理的用〔量距离、高度〕⋯⋯⋯⋯117正弦定理、余弦定理的用〔量角度〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13第二章数列2．1数列的概念与表示法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 1数列的概念与表示法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 2．2等差数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17 2等差数列的概念与通公式(1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯173等差数列的概念与通公式(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯19 2． 3等差数列的前 n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 4等差数列的前n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯215(1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯23 2．4等比数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 6等比数列的概念与通公式(1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯257等比数列的概念与通公式(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯27 2． 5等比数列的前 n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29 8等比数列的前n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯299一般数列求通⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3110 一般数列求和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3311(2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯35第三章不等式3．1不等关系与不等式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯37 1不等关系与不等式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯37 3．2 一元二次不等式及其解法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯39 2一元二次不等式及其解法(1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯393一元二次不等式及其解法(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41 3． 3 二元一次不等式〔〕与的性划⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯43 4二元一次不等式〔〕表示的平面区域⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯435的性划⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯456(1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯473． 4 根本不等式：ab ≤a b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 49 27根本不等式的明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯49 8根本不等式的用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51 9(2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯53附：第一章卷第二章检测卷第三章检测卷模块检测卷 (1)模块检测卷 (2)参考答案与点拨第一章三角形1． 1 正弦定理和余弦定理课时 1正弦定理(1)1．在△ ABC中，a=8,∠B=60° ,∠C= 75°，那么b等于()32A．42 B ．43 C ． 46 D ．32．在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边为 a、b、 c ，假设 a= 3 ，b= 2 ，∠B=45°，那么∠A等于()A． 30 ° B ． 30 °或 105° C ． 60 ° D ． 60 °或 120 °3．〔 2021·北京〕△ABC中， a= 2 ，b=3，∠B=60°，那么∠A等于()A． 135° B ．90° C ．45° D ．30°4．〔 2021·广东〕△ABC中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a， b，c，假设 a=c=6 +2且∠A=75°，那么b= ()A．2 B ．4+23 C ．4-2 3 D．6-25．在△ ABC中，假设 b=12，∠ A=30°，∠ B=120°，那么 a=．6．△ ABC中，假设 a=2， b= 2 ，∠A=45°，那么∠B=．7．〔2021·山东改编〕在△ ABC中， a、b、c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对边， a=1,b= 2 ,cosA= 3 ，2那么∠ C=．8．〔 2021·陕西〕△ ABC的内角∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为a、b、c．假设 c=2 ，b= 6 ，∠B=120°，则a=9．△ ABC中， a=50，B=45°， C=105°，求 b．10．△ ABC中， a= 6 ，b=2，∠A=60°，求∠B．11．〔 2021·四川〕 在△ ABC 中，∠ A 、∠B 为锐角，∠ A 、∠B 、∠C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 sinA=5 ，5sinB=10(1) 求 A+B 的值； (2)假设 a-b=2 -1 ，求 a 、b 、c 的值．1012．在△ ABC 中， tanA=1，tanB= 3． (1) 求∠ C 的大小． (2) 假设 AB 边的长为17 ，求 BC 边的长．4 513．在△ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假设 m =(b ，3a) ，n =〔c ，b) ，且 m ∥n ，∠ C-∠A=，2求∠ B ．14．〔 2021·全国Ⅱ〕在△ ABC 中，cosB=- 5，cosC=4．(1)求 sinA 的值． (2) 设△ ABC 的面积 S △ABC =33，13 52求 BC 的长，课时 2正弦定理 (2)1．假设sin A =cosB =cosC，那么△ ABC 是 ( )a b cA ．等边三角形B ．有一个内角是 30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是 30°的等腰三角形2．在△ ABC 中，根据以下条件解三角形，那么其中有两个解的是( )A ．b=10,A=45 °，∠ C=75°B ．a=60,b=48 ，∠ C=60°C ．a=7,b=5, ∠A=80°D．a=14,b=16, ∠A=45°3．△ ABC 中， a=x ， b=2，∠ B=45°，假设三角形有两解，那么x 的取值范围是 ( )A ．x>2B ．x<2C ．2<x< 22 D ．2<x< 2 34．〔2021·四川〕△ ABC 的三内角∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边边长分别为 a 、 b 、c ．假设 a= 5 b ，∠ A=2∠B ．那么2cosB= ()A ．5B ．5C ．5D ． 5345 65．在△ ABC 中， a=3 2 ，cosC= 1 ，S =4 3 ，那么b=____．△ ABC36．〔 2021．湖南〕在锐角△ ABC 中， BC=1, ∠B=2∠A ，那么AC的值等于 ____，AC 的取值范围为 ____．cos A 7．在△ ABC 中，a 2tanB=b 2 tanA ，那么△ ABC 为 ____ 三角形．.精品文档8．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一条件模糊不清，具体如下：“在△ ABC中，角∠ A、∠ B、∠ C所对的边分别为a、 b、c． a= 3 ，∠B=，____，求∠ A．〞经推断，破损处的条件为三角4形一边的长度，且答案提示∠A=，试在横线上将条件补充完整．69．在△ ABC中，a= 3 ，b= 2 ，∠B=45°，求∠A、∠C及c．10．在△ ABC中，假设∠ B=30°， AB=23 ，且AC=2，求△ABC的面积．11．〔 2021·全国Ⅱ〕设△ ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,cos(A-C)+cosB= 3 ，b2=ac，求∠B．212．在△ ABC中， 2∠A=∠B+∠C,b 2=ac ，求b sin B的值．c13．△ ABC中，∠ A、∠ B、∠C 对应的边是a、b、c，∠A=2∠ B,cosB=6 ．(1)求sinC的值．(2)3假设∠ A 的内角平分线AD的长为 2，求 b 的值．14．在锐角△ ABC中，假设∠ B=2∠ A，求b的取值范围，a课时 3余弦定理(1)1．在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别为 a、b、 c ，假设c2 a 2 b 2>0，那么△ABC ( )2 abA．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．是锐角或直角三角形2．在△ ABC中， a： b：c=1： 3 ：2，那么∠A：∠B：∠C的值为( )A． 1: 2:3 B．2:3:1 C．1:3:2 D．3:1:23．〔 2021·福建〕在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠C 的对边分别为a、b、c ，假设 a2 +c2-b 2＝ 3 ac，那么∠B的值为( )A． B ． C ．或5D ．或26366334．在△ ABC中，假设a=2bcosC，那么△ ABC的形状为( ) A．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形 D ．等腰或直角三角形5．〔 2021·重庆改编〕在△ABC中，∠ A=60°， c=3b，那么a____．.6．在△ ABC中， sinA ：sinB ：sinC=3 ： 5：7，那么最大角等于____．7．在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 所对的边分别为 a、b、c ．假设 a=1，b=7 ，c= 3 ，那么∠B=____．8．在△ ABC中， b= 3 ，c=3，∠B=30°，那么边a等于____．9．在△ ABC中，∠ B=30°， AB=23 ，面积S= 3 ，求AC．10．设锐角三角形 ABC的内角∠ A、∠B、∠C的对边 a、b、c，a=2bsinA ． (1) 求∠ B 的大小． (2) 假设 a=3 3，c=5，求 b。
人教A版高中数学必修五全册配套课时作业(12)
课时作业(十六)1．一直角三角形三边边长成等比数列，则( ) A ．三边边长之比为3∶4∶5 B ．三边边长之比为3∶3∶1 C ．较大锐角的正弦为5－12 D ．较小锐角的正弦为5－12 答案 D解析 不妨设A 最小，C 为直角，依题意⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ， ①a 2＋b 2＝c 2， ② 把①代入②得a 2＋ac ＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋ac －1＝0.∴a c ＝－1±52，∵a c >0，∴ac ＝5－12＝sin A .2．(2012·安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 9＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2答案 B解析 因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2，因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.4．如果某人在听到2010年4月10日玉树地震的消息后的1 h 内将这一消息传给另2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到消息的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把消息传遍一个有2 047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为( )A ．8 hB ．9 hC ．10 hD ．11 h答案 C解析 设需要n 个小时，则1＋2＋22＋…＋2n ＝2 047， ∴2n ＋1－1＝2 047，∴n ＋1＝11，n ＝10.5．(2012·新课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7答案 D解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7； 当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7.6．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3 B．2C．1 D．－2答案 B解析由题意得b＝1，c＝2，则ad＝bc＝2.答案 D解析答案 C解析9．某种产品平均每三年降低价格的14，目前售价为640元，9年后售价为( )A ．210元B ．240元C ．270元D ．360元答案 C解析 640×(1－14)3＝270元．10．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352 B ．4或352 C ．4 D.352答案 B解析 设这4个数为2，a ，b,20，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b ，2b ＝a ＋20，∴a 2－a －20＝0，解得a ＝5或－4. 当a ＝5时，b ＝252，∴a ＋b ＝352.当a＝－4时，b＝8，∴a＋b＝4.11．(2012·辽宁)已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.答案2n解析设数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a21·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，因为数列{a n}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，a n＝2n.12．已知公差不为零的等差数列的第1,4,13项恰好是某等比数列的第1,3,5项，那么该等比数列的公比为________．答案±3解析13．五个数1，x，y，z,4成等比数列，且x，y，z都是正数，则z＝________.答案2 2解析∵1、x、y、z、4成等比数列，∴1、y、4成等比，y2＝4，又y>0，∴y＝2.∵y 、z 、4成等比，即2，z,4成等比． ∴z 2＝8，又z >0，∴z ＝2 2.答案 5－12解析15．数列{a n }为等比数列，已知a n ＞0，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，则该数列的公比q 是__________答案 5－12解析答案243解析17．已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z＝0.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差d不为0，求证：x，y，z 成等比数列；(2)若正数x，y，z依次成等比数列，公比q不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明证三数成等差或等比数列，用等比、等差中项较好．(1)∵a，b，c成等差数列，d≠0，∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0.代入已知条件得－d(log m x－2log m y＋log m z)＝0.∵d ≠0，∴log m x ＋log m z ＝2log m y . 可知y 2＝xz ，由于x ，y ，z 均大于0， ∴x ，y ，z 成等比数列．(2)∵x ，y ，z 成等比数列，q ≠1，且x ，y ，z 均大于0， ∴y x ＝zy ＝q (q ≠1)． 两边取对数，得log m y －log m x ＝log m z －log m y ＝log m q ≠0， ∴log m x ＝log m y －log m q ，log m z ＝log m y ＋log m q . 代入已知条件中，可得(b －c )(log m y －log m q )＋(c －a )log m y ＋(a －b )(log m y ＋log m q )＝0. 即(a －2b ＋c )log m q ＝0.∴a ＋c ＝2b .即a ，b ，c 成等差数列． 18．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求此数列的通项公式．解析 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.得⎩⎪⎨⎪⎧ a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36.即⎩⎪⎨⎪⎧(a 3＋a 5)2＝100，(a 3－a 5)2＝36.∵数列{a n }的各项均为正数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8.∴公比q ＝a 5a 3＝12或2.∴a n ＝a 3·qn －3＝8×(12)n －3＝26－n 或a n ＝2×2n －3＝2n －2.即a n ＝26－n 或a n ＝2n －2.1．某工厂生产总值月平均增长率为P ，则年平均增长率为( ) A ．P 12 B ．12P C ．(1＋P )12 D ．(1＋P )12－1答案 D解析 a (1＋P )12－a a＝(1＋P )12－1.答案 A解析 前99组共有1＋2＋3＋…＋99＝99·(1＋99)2＝4 950个数亦即第99组中最后一个数为a 4 950＝34 949，∴第100组中第1个数为34 950.。
高中数学必修五课时作业 [整书][全套]
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§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)基础过关1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是()A.53 B.35C.37 D.57解析sin Asin B＝ab＝53.答案 A2.在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是()A.sin A＞sin BB.cos A＜cos BC.sin 2A＞sin 2BD.cos 2A＜cos 2B解析A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确.由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A＜cos B，B正确.∵sin A＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，1－2sin2A<1－2sin2B，∴cos 2A＜cos 2B，D正确.答案 C3.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150°解析 由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32， ∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析 在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ， 由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，3c sin 2π3＝c sin C ，sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6， 则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ， 则b c ＝1. 答案 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．解析 由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 答案 π36.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解 因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45， 由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b2sin B ＋2csin C＝________. 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A ＞B .则sin A ＋sin B 和cos A ＋cos B 的大小关系为________.解析 在锐角三角形中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，则有sin A ＞sin (π2－B )，即sin A ＞cos B ， 同理sin B ＞cos A ，故sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B.答案 sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45， ∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)，知sin A ＝35， 又B ＝π3，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sin π3＝65. 创新突破13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.解 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A .所以在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin A ＝26sin 2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A＝63.(2)由(1)知cos A＝6 3，所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝2A，所以cos B＝2cos2A－1＝13.所以sin B＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝539.所以c＝a sin Csin A＝5.1.1.2.2 正、余弦定理解三角形一课一练一. 选择题1．在∆ABC 中，acosA =bcosB =ccosC ，则∆ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2. 在∆ABC 中，若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则∆ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定3. 在∆ABC 中，a =80，b =100，A =30°，则角B 的解的个数是（ ） A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．不能确定4. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosA =bsinB ，则 sinAcosA + cos 2B =（ ）A ．−12B ．12C ．−1D ．15. 在∆ABC 中，AB =3，AC =2，BC =√10 ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．326. 已知∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c =√6+√2，且 A =75°，则b =（ ）A ．2B ．4+2√3C ．4−2√3D ．√6−√2 二. 填空题7. 在∆ABC 中，b =50√3，c =150，B =30°，则边长a =_____________.8. 若x 、x +1、x +2是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围是_____________.9. 设∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，cosB =513，b =3，则c = _____________.三. 解答题10. 在△ABC 中，已知 b =3，c =3√3，B =30°，解此三角形.11．在∆ABC 中，已知︒=120A ，7=a ，8=+c b ，求b ，c .12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin (A +π6)=2cosA ，求 A 的值； （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值；一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】D【解析】由a cosA =b cosB =c cosC 和正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得 tanA =tanB =tanC 故选D. 2.【答案】C 3.【答案】C【解析】∵ bsinA =100×sin30°=50 ∴ bsinA < a <b ∴ 该三角形有两组解，故选C.4.【答案】D【解析】由acosA =bsinB 及正弦定理得sinAcosA =sin 2B ，所以sinAcosA +cos 2B = sin 2B +cos 2B =1，故选D. 5.【答案】D【解析】 由余弦定理得cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC∙AC=22+32−√1022×2×3=14，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =3×2×14=32，故选D. 6.【答案】A【解析】 由题意，A =C =75°，所以B =30°，由正弦定理得b =asinA ∙sinB =√6+√2√6+√24×12=2，故选A.二. 填空题7.【答案】a =100√3 或 a =50√3【解析】由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得(50√3)2=a 2+1502−2a ×150×cos30°，即a 2−150√3a +15000=0，解得a =100√3 或 a =50√3.8.【答案】1<x <3【解析】由题意知 x +2 所对的角为钝角，所以 x 2+(x +1)2−(x +2)2<0，解得−1<x <3，又由x +(x +1)>x +2 解得x >1，所以x 的取值范围是1<x <3 9.【答案】145【解析】 由题设知sinA =45，sinB =1213，所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =5665，再由正弦定理得c =b sinB ∙sinC =145.三. 解答题10.【解析】方法1）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得32=a 2+(3√3)2−2a ×3√3×cos30°，整理得 a 2−9a +18=0，解得a =3 或 a =6.当a=3时，A=B=30°∴C=120°；当a=6 时，由正弦定理得sinA=asinBb =6×123=1∴A=90°，C=60°方法2）由正弦定理得sinC=csinBb =3√3×123=√32∵0°<C<180°且由c>b得C>B∴C=60° 或 C=120°当C=60°时，A=90°∴a=√b2+c2=6当C=120° 时，A=B=30°，a=b=311．【解析】由(b+c)2=b2+c2+2bc=64得 b2+c2=64−2bc 由a2=b2+c2−2bccosA得49=64−2bc+bc，即 bc=15又b+c=8∴b=3，c=5或b=5，c=312．【解析】（1）由题设知sinAcosπ6+cosAsinπ6=2cosA，即sinA=√3cosA∴cosA≠0，tanA=√3又0<A<π A=π3（2）由cosA=13，b=3c 和余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得a2=b2−c2∴∆ABC是直角三角形，且B=π2∴sinC=cosA=131.2.1 解三角形应用举例（一）测量距离的问题一课一练一．选择题1. 如图，为了测量障碍物两侧A ，B 间的的距离，给定下列四组数据，测量时能用到的数 据是（ ）A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b2． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°， 灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km3. 我军在海上有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须知道B 岛和C 岛间的距离，你作为我方士兵，计算B 、C 间的距离是（ ） A ．10√3 海里 B ．10√63海里 C ． 5√2 海里 D ． 5√6 海里4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向 上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie 5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ， 起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 m C ．153m D ．45m6． 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为 ( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m 二．填空题7．为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A 、B ，对岸有一标记物C ，测得∠CAB =30°， ∠CBA =75°，AB =120m ，则河的宽度是_____________.8. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于10km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯 塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为_____________.9．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险（填“有”或“无”）．三．解答题10．如图，一艘船以40 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东15°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东60°的方向，已知距离此灯塔6 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？11．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)12．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1) A处与D处的距离；(2) 灯塔C与D处之间的距离．一课一练参考答案一．选择题1.【答案】C2．【答案】B【解析】∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3.【答案】D4．【答案】C【解析】如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5 ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)． 5．【答案】D【解析】在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC×BC ＝152＋102－51922×15×10＝－12∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ACD 中，AD ＝AC sin ∠ACD ＝15×32＝1532(m)．故选D 6．【答案】A【解析】示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二．填空题 7．【答案】60m8.【答案】10√2 km9．【答案】无触礁的危险【解析】如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝ABsin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.∴ 此船无触礁的危险． 三．解答题10．【解析】在∆ASB 中，∠BAS =15°，∠ASB =60°−15°=45°，AB =20 (n mile)由正弦定理得 SB =ABsin ∠BAS sin ∠ASB=20sin15°sin45°=10(√3−1)(n mile)设点 S 到直线AB 的距离为d ,则d =SB ∙sin60°=15−5√3≈6.34(n mile)∵ d >6 n mile ∴ 这艘船可以继续一直沿正北方向航行.11．【解析】在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD·sin45°sin60°＝63CD .在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．∴ 炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.12．【解析】由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°.由正弦定理，得AD ＝ABsin45°sin60°＝24(n mile)(2) 在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，∴CD ＝83(n mile)∴ A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.1.2.2 解三角形应用举例之（Ⅱ）测量高度、角度的问题一课一练一.选择题1．某次测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55° 2．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡 高不变，则坡底需加长( )3. 若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得 金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) ( ) A ．110米 B ．112米 C ．220米 D ．224米4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为 60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( ) A ．20m B ．30m C ．40m D ．60m5．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测 得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521mB ．10m C.4 90013m D ．35m6．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行 驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿( )方向行 驶( )海里至海岛C ( ) A ．北偏东60°；10 2 B ．北偏东40°，10 3 C ．北偏东30°，10 3 D ．北偏东20°，10 2 二.填空题7．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的 仰角为2θ，再向塔前进10√3米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是__________米．8．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角 为30°，量得AB ＝AC ＝10m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.9．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船向正北行 驶．若甲船速度是乙船的3倍，则甲船应取方向______才能追上乙船，追上时甲船行驶 了_________海里．三.解答题10．如下图所示，两点C 、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1、D 1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)11. 如下图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.12. 如下图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．一课一练一.选择题1．【答案】D【解析】根据题意和方向角的概念画出草图，如下图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B 在A的南偏西55°.故应选D.2．【答案】A【解析】如下图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(6＋2)，CD＝100cos75°＝25(6－2)，BD＝ADtan30°＝256＋233＝25(32＋6)．∴BC＝BD－CD＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．3.【答案】A【解析】设金字塔高CD＝h米．如下图，在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，所以BC＝2CD＝2h米．在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，∴80sin15°＝2hsin30°∴2h ＝80×126－24＝1606＋24＝40(6＋2)，∴h ＝40(3＋1)米≈40×(1.73＋1)米＝109.2(米)． 故选A. 4．【答案】C【解析】设O 为塔顶在地面的射影， 在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203， 在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60，∴AB ＝OA －OB ＝40. 5．【答案】A【解析】作出如下示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h cot60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.6．【答案】B【解析】由已知得在△ABC 中∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10， 故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°， 由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，所以AC ＝10 3. 二.填空题 7．【答案】15【解析】作出示意图如下图所示，由题意知∠ABC ＝θ，∠ACD ＝2θ，∠ADE ＝4θ， AC ＝BC ＝30米，AD ＝CD ＝103米．在△ACD 中，cos2θ＝12AC CD ＝15103＝32，所以sin2θ＝12.在Rt △ACE 中，AE ＝AC sin2θ＝30×12＝15(米)．8．【答案】30°【解析】如下图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°. 9．【答案】北偏东30° 3a【解析】如下图所示，设在C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，∠B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，所以1sin ∠CAB ＝3sin120°，即sin ∠CAB ＝12，所以∠CAB ＝30°，∠ACB ＝30°，所以BC ＝AB ＝a ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，所以AC ＝3a .三.解答题 10．【解析】在△BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝120°，∠C 1BD 1＝15°.由正弦定理C 1D 1sin ∠C 1BD 1＝BC 1sin ∠BD 1C 1，∴BC 1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A 1B ＝22BC 1＝18＋63，则AB ＝A 1B ＋AA 1≈29.89(m)．11.【解析】设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 中，由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，①在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)， 即建筑物的高度为306m.12.【解析】(1) 在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BAC ＝α. 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14n mile/h.(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°，即sin α＝AB sin120°BC ＝12×3228＝3314.1.2.3 解三角形应用举例之（四）三角形中的计算问题一课一练一．选择题1．在∆ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在∆ABC 中，a =2bcosC ，则该三角形一定是（ ）A ．等腰∆B ．直角∆C ．等腰直角∆D ．等腰或Rt ∆ 3．在∆ABC 中，AB =3，BC =√13，AC =4，则边AC 上的高为（ ）A ．3√22B ．3√32C ．32D ．3√34．已知锐角∆ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5．在∆ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当∆ABC 的面积等于32时，sin C 等于( )A.32B.12C.33D.346．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C > 0B ．cos B ·cosC > 0 C ．cos A ·cos B > 0D ．cos A ·cos B ·cos C > 0 二．填空题7．在∆ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，且S ∆ABC =a 2+b 2−c 24，那么C = _________.8．半径为1的圆内接∆ABC 的面积为14，则abc = ______________.9．已知在∆ABC 中，B =30°，b =6，c =6√3，则∆ABC 的面积为_______________. 三．解答题10．在∆ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1) 求证：tanB =3tanA ；(2) 若cosC =√55，求A 值的.11. 已知非等边∆ABC 的外接圆半径长为2，最大边长BC =2√3. （1）求角 A 的大小；（2）求sinB +sinC 的取值范围.12．在∆ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求∆ABC 的面积．一课一练一．选择题 1．【答案】B【解析】由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵ sin A b ＝cos B b， ∴sin B ＝cos B ，又0°<B <180°，∴B ＝45°.2．【答案】A【解析】由 a =2bcosC 及正弦定理得 sinA =2sinBcosC又 A =π−(B +C) ∴ sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC∴ 再由sinA =2sinBcosC 得 sin (B −C )=0又 −π<B −C <π ∴ B −C =0，即B =C∴ 该三角形是等腰三角形，故选A. 3．【答案】B【解析】由余弦定理cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB∙AC =12，∴ sinA =√32 ∴h =AB ∙sinA =3√32 4．【答案】B【解析】∵ 33＝12×4×3sin C ∴ sin C ＝32，∵ ∆ABC 为锐角三角形 ∴ C ＝60°，故选B.5．【答案】B【解析】由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12.6．【答案】C【解析】由正弦定理得，a <b <c ∴ 角C 是最大角∴ 角C 为钝角 ∴ cos C <0，cos A >0，cos B >0.二．填空题 7．【答案】45°【解析】由三角形面积公式得12absinC =a 2+b 2−c 24∴ sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC又 0<C <π ∴ C =π48．【答案】1【解析】由三角形面积公式得12absinC =14，即absinC =12，两边同乘以c 得abcsinC =c 2∴ abc =c 2sinC=R =19．【解析】9√3或18√3【解析】由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac ∙cosB 得a 2−18a +72=0 解得a =6或a =12当a =6时，S ∆ABC =12acsinB =9√3；当a =12时，S ∆ABC =12acsinB =18√3.三．解答题 10．【解析】(1) 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c则由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ 得 cb ∙cosA =3ca ∙cosB ，即b ∙cosA =3a ∙cosB ， 由正弦定理得sinBcosA =3sinAcosB ，两边同除以cosAcosB 得 tanB =3tanA .(2) ∵ ∆ABC 中，A +C =π−B∴ tan (A +C)=−tanB ，即 tanA+tanC1−tanA∙tanB =−3tanA 又 cosC =√55，0<C <π ∴ tanC =2∴ tanA+21−2tanA =−3tanA ，整理得 3tan 2A −2tanA −1=0， 解得tanA =1或tanA =−13又由(1)知tanA >0 ∴ tanA =1 ∴ A =π4 .11. 【解析】（1）由正弦定理BCsinA =4，即sinA =BC4=√32∵ BC 为最大边长，∆ABC 为非等边三角形 ∴ 60°<A <180° ∴ A =120°（2）sinB +sinC =sinB +sin (60°−C )=12sinB +√32cos =sin (B +60°) ∵ 0°<B <60° ∴ 60°<B +60°<120° ∴√32<sinB +sinC ≤1∴ sinB +sinC 的取值范围是(√32,1].12．【解析】(1) 由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2.又 A ＋B ＋C ＝π ∴ 2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4.∴ cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2) 由(1)得cos A ＝63.又 由正弦定理，得BC ＝AC sin Asin B＝3 2.∴ S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.2.1.1 数列的概念 一课一练一. 选择题1. 已知数列 31=-+n n a a ，则数列}{n a 是（ ）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( )A ．18B ．21C ．25D ．303．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 4．数列1，－3，5，－7，…，a n ，… 中的第n 项可以为( )A ．2n －1B ．(－1)n (1－2n )C ．(－1)n (2n －1)D ．(－1)n (2n ＋1)5．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的第n 项不可能是( )A ．1＋(－1)n ＋1 B ．1－cos n πC ．2sin 2n π2D ．1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)6. 已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项 二. 填空题7. 在横线上填上适当的数：8. 根据下列5个图形及相应点的个数n 的变化规律，试猜测个第6个图中有_______个点.9. 观察下面数列的特点，用适当的数填空：（1）－12×1，12×2，( )，12×4，－12×5；（2）12，－12，38，( )，532，( )；（3）3，8，15，（ ），35，48. 三. 解答题10．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性．一课一练一. 选择题 1.【答案】A 2．【答案】D【解析】依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D. 3．【答案】A 4．【答案】B【解析】当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 5．【答案】D 6.【答案】B【解析】该数列可改写为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又25＝20 ∴ 应是11后的第3项，即第7项，选B. 二. 填空题 7.【答案】24【解析】该数列可改写为：1×3，2×4，3×5，__________，5×7，6×8. 因而，该数列的一个通项公式为n(n +2)，因而第4项为4×6=24. 8.【答案】n 2−n +1【解析】第n 个图形有n 个分支，去掉最中间的一个点，每支有n -1个点，因而，第n 个图中点的个数为:n (n −1)+1=n 2−n +1.9.【答案】（1）−12×3 ；（2）−14 （3）24三. 解答题10．【解析】∵ a n ＝nn ＋1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2∴ a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n+1)2−n(n+2)(n+2)(n+1)=1(n+2)(n+1).又n ∈N * ∴ n ＋2>0，n ＋1>0 ∴ 1(n+2)(n+1)>0 ∴ a n ＋1>a n . ∴ 数列{a n }是递增数列．2.1.2 数列的简单表示法一课一练一.选择题1．下面四个结论：① 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数． ② 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③ 数列的项数是无限的．④ 数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④2．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)3．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( )A ．1B ．1999C ．1000D ．－15．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－216．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x ) 的图象是( )A ．图象AB ．图象BC ．图象CD ．图象D 二. 填空题7．数列8，88，888，8888，…，88 ⋯8⏞ 第n 项,共n 个8，…的通项公式为__________．8．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n，则a 6＝__________.9. 已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＋1＝－a n ，则a 2014=_________. 三.解答题10．写出下列数列的一个通项公式．(1) −12，15，−110，117，⋯ ；(2) 13，115，135，163，⋯ ；(3) 1，√22，12，√24，14⋯ .（4）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，⋯11. 已知数列 2，74，2，⋯ 的通项公式为a n =an 2+b cn.(1) 求这个数列的通项公式；(2) 判断6是不是这个数列中的项？12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】A【解析】数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不惟一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0…的通项可以是a n ＝sin n π2，也可以是a n ＝cos n ＋3π2等等．2．【答案】D【解析】当n ＝1时，D 不满足，故选D. 3．【答案】A【解析】∵ f (n ＋1)－f (n )＝3(n ∈N *) ∴ f (2)>f (1)，f (3)>f (2)，f (4)>f (3)，…，f (n ＋1)>f (n )，…， ∴ f (n )是递增数列．4．【答案】A【解析】a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)．5．【答案】C【解析】∵对任意p 、q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ＋a q . ∴a 10＝a 8＋a 2＝a 4＋a 4＋a 2＝5a 2＝－30. 6．【答案】A【解析】据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A.二. 填空题7．【答案】a n ＝89(10n －1)8．【答案】－143【解析】a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴ a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25，a 5＝107，a 6＝－143.9.【答案】−1【解析】由题意a 1＝1，a 2＝－a 1＝－1，a 3＝－a 2＝1，a 4＝－a 3＝－1，……，a 2014=−1. 三. 解答题10．【解析】(1) 该数列可改写为−11+1，12+1，−13+1，14+1，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =(−1)n42+1(2) 该数列可改写为11×3，13×5，15×7，17×9，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =1(2n−1)(2n+1)=14n 2−1；(3) 该数列可改写为20，2−12，2−1，2−32，2−2，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =2−n−12.11.【解析】(1) ∵ 数列的前三项分别为2，74，2，且a n =an 2+b cn∴ { a+bc =24a+b2c =29a+b 3c=2，解得{a =1b =3c =2，∴ 这个数列的通项公式为 a n =n 2+32n(2) 令n 2+32n=6，整理得n 2−12n +3=0，解得n =6±√33，不是正整数∴ 6不是这个数列中的项.12．【解析】(1) 令a n ＝n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4，∵ n ∈N ＋ ∴ n ＝2，3∴ 数列{a n }中有两项是负数．(2) a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，∴ 当n ＝2或3时，a n 取得最小值，最小值为－2.2.2.1.1 等差数列（一） 等差数列的概念与通项公式一课一练一．选择题1. 已知数列3,9,15，……，3(2n －1)，……那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．152．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋5，则此数列是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列 3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．454．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.345．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d > 875B ．d < 325 C.875 < d < 325 D.875 < d ≤ 3256．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 二．填空题7．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为__________． 8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________． 9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 三． 解答题10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217.（1）求该数列的通项公式；（2）判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？11．若已知1，x ，y,10成等差数列，求x 、y 的值．12．某地区1997年底沙漠面积为9×105 hm 2. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化根据上表所给信息进行预测.(1) 如果不采取任何措施，到2010年年底，这个地区的沙漠面积将大约变成多少hm 2？ (2) 如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000 hm 2沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.一课一练参考答案一．选择题 1.【答案】C【解析】a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 2．【答案】A【解析】∵ a n ＝－n ＋5，∴ a n ＋1－a n ＝[－(n ＋1)＋5]－(－n ＋5)＝－1，∴ {a n }是公差d ＝－1的等差数列．3．【答案】C【解析】由条件a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴ a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3，由－89＝－2n ＋3得n ＝46.4．【答案】C【解析】由题意，得b ＝a ＋3d 1＝a ＋4d 2 ∴ d 1＝b －a 3，d 2＝b －a4，∴ d 1d 2＝b －a 3·4b －a ＝435．【答案】D【解析】由题意⎩⎨⎧a 10>1a 9≤1∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1 ∴875 < d ≤ 325.6．【答案】C【解析】a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴ d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴ n ＝50.二．填空题 7．【答案】12 2【解析】由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边，则⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c12ab ＝12a 2＋b 2＝c2，解得b ＝42，a ＝32，c ＝5 2 ∴ a ＋b ＋c ＝122．8．【答案】3【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.9. 【答案】6766【解析】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766∴ a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三． 解答题10．【解析】 （1）设首项为a 1，公差为d ，则由已知得{a 1+(15−1)d =33a 1+(61−1)d =217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4∴ a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27（2）令 a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *∴ 153是所给数列的第45项．11．【解析】由已知，x 是1和y 的等差中项，y 是x 和10的等差中项∴ 2x ＝1＋y ………… ① 2y ＝2x ＋10 ………… ② 由①、②解得x ＝4，y ＝7 ∴ x 、y 的值分别为4， 7.12．【解析】（1）从表中数据看，它们基本上是一个等差数列，公差 d 约为2000， ∴ 到2010年底，沙漠面积比原有面积的增加数为a 2010=a 2002+8d =0.26×105 又 原有沙漠面积9×105 hm 2 ∴ 如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变成9.26×105 hm 2 （2）设经过n 年，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.由(1)知，到2002年年底，该地区的沙漠面积为9.1×105又由题意，采取植树造林措施后，沙漠面积积仍成等差数列变化，且公差约为−6000 ，所以，经过n 年后，沙漠面积变为9.1×105+n ×(−6000)=9.1×105−0.06×105n令9.1×105−0.06×105n <8×105，得n >553又 n ∈N ∗，所以n 的最小值为19，所以到2021年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.2.2.2 等差数列（二） 等差数列的基本性质一课一练一．选择题1． 等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于 ( )A ．3B ．－6 C ． 4D ．－3 2． 在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于 ( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( )A ．64B ．30C ．31D ．154．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4等于()A.12B.13C.14D.165．在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( )A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n －16. 若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( ) A.38 B.1124 C.1324 D.3172 二． 填空题7．在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 8．在等差数列{a n }中，a 18＝95，a 32＝123，a n ＝199，则n ＝________. 9．在等差数列{a n }中，若a 3＝7，a 5＝a 2 + 6，则a 6 ＝________. 三． 解答题10．已知{a n }是递增数列，若a 2＋a 4＝16，a 1·a 5＝28，求通项a n ．11．已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．一课一练参考答案一．选择题 1．【答案】B【解析】由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．【答案】C【解析】由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35. 3．【答案】D【解析】解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16a 4＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋13d ＝16a 1＋3d ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2∴a 11＝a 1＋10d ＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16，∴a 11＝15. 4．【答案】A【解析】令b n ＝1a n ＋1，则b 2＝1a 2＋1＝13，b 6＝1a 6＋1＝1，由条件知{b n }是等差数列，∴b 6－b 2＝(6－2)d ＝4d ＝23，∴d ＝16，∴b 4＝b 2＋2d ＝13＋2×16＝23，∵b 4＝1a 4＋1，∴a 4＝12.5．【答案】C【解析】∵a 1＝a ，a n ＋2＝b ∴公差d ＝a n ＋2－a 1n ＋2－1＝b －an ＋1.6.【答案】D【解析】 ∵ 两个方程中，每个方程的两个根的和都为1∴ 必有一个方程的根为14和34，不妨设方程x 2－x ＋a ＝0的根为 14 和 34，则 14为等差数列的首项，34为等差数列4项中的某一项，又 x 2－x ＋b ＝0的两根和为1，且两根为等差数列中的后3项中的两项，∴ 只有 34为第4项，才能满足中间两项之和为1的条件，∴ 四根的排列顺序为 14，512，712，34 ∴ a ＋b ＝14×34＋512×712＝3172.二． 填空题7．【答案】12(A ＋B )【解析】∵m －n ，m ，m ＋n 成等差数列，又{a n }是等差数列．∴a m －n ，a m ，a m ＋n 成等差数列，∴2a m ＝a m －n ＋a m ＋n ＝A ＋B ，∴a m ＝12(A ＋B )．8．【答案】70【解析】∵ a 32－a 18＝(32－18)d ＝123－95 ∴ d ＝2又a 18＝a 1＋17d ＝95 ∴ a 1＝61∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝61＋2(n －1)＝199 ∴ n ＝70.9．【答案】13【解析】由a 5＝a 2 + 6 得3d ＝6 ，从而a 6 ＝a 3 +3d ＝13 三． 解答题10．【解析】∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝16，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 5＝16a 1·a 5＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 5＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14a 5＝2.又 等差数列{a n }是递增数列 ∴ a 1＝2，a 5＝14. ∴ d ＝a 5－a 15－1＝124＝3∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. 11．【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，根据题意，得{(a −d )+a +(a +d )=9(a +d)2+a 2+(a −d)2=35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3d ＝±2.∴这三个数为1,3,5或5,3,1. 【注】等差数列的常见设法(1) 若三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d ；(2) 若五个数成等差数列，可设为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ； (3) 若四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．【解析】 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即2a 2＋10d 2＝47…………①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，解得d ＝±32，代入①得a ＝±72，∴ 所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.。
人教A版高中数学必修五全册配套课时作业9
课时作业(九)1．已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为() A．2 B．3C．－2 D．－3答案 C解析可得a n＋1－a n＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0，则数列的通项a n 等于()A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n答案 D3．等差数列－3，－1,1，…，的第1 000项为()A．1 990 B．1 995C．2 010 D．2 015答案 B4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为() A．92 B．47C．46 D．45答案 C5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项答案 B6．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2 011，则n 等于()A ．671B ．670C ．669D ．668答案 A7．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( ) A ．0B ．lg 3－23＋2C ．lg(5－26)D ．1答案 A解析 等差中项为lg (3－2)＋lg (3＋2)2 ＝lg[(3－2)(3＋2)]2＝lg12＝0. 8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6答案 C9．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝( )A.32B.23C.43D.34答案 C解析 ∵d 1＝b －a 4－1，d 2＝b －a 5－1，∴d 1d 2＝43.10．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d >83B ．d <3 C.83≤d <3 D.83<d ≤3答案 D解析 从第10项起为正数，则a 10>0且，a 9≤0，由⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，可得83<d ≤3. 11．等差数列2,5,8，…，107共有________项． 答案 3612．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 答案 －12解析 法一 由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，则a 1＝1，又由于a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－12.法二 a 7＝a 3＋4d ＝4d ，a 4＝a 3＋d ＝d ，代入条件即可得d . 13．首项为18，公差为3的等差数列从第________项开始大于100. 答案 2914．已知一个等差数列的第8，第9，第10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项公式an ＝________.答案 2n －17解析 由(b －1)＋(2b ＋3)＝2(b ＋1)，可得b ＝0. ∴a 8＝－1，a 9＝1，a 10＝3. ∴d ＝2，a 1＝－15，∴an ＝2n －17.15．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N*)，且f (2)＝2，则f (101)＝____________.答案 －914解析 ∵{f (n )}为等差数列，公差为－14， ∴f (1)＝f (2)－(－14)＝2＋14＝94.∴f (101)＝f (1)＋100·d ＝94＋100×(－14)＝－914. 16．已知等差数列5,2，－1，…. (1)求数列的第20项； (2)问－112是它的第几项？ (3)数列从第几项开始小于－20? (4)在－20到－40之间有多少项？答案 (1)－52 (2)第40项 (3)从第10项开始 (4)6项 17．有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为17 cm ，前16排前后两排高度差8 cm ，从17排起，前后两排高度差是10 cm(含16,17排之间高度差)．求最后一排离教室地面的高度．解析 设从第一排起，各排的高度组成数列{a n }，则a 1＝17，∴a 16＝a 1＋15d 1＝17＋15×8＝137.∴a 25＝a 16＋10·d 2＝137＋10×10＝237(cm)． ►重点班·选作题18．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，则项n 的取值有________种可能．答案 519．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值． 答案 501．(2011·重庆)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18答案 D解析 设{a n }的公差为d ，∵a 2＝2，a 3＝4，∴d ＝a 3－a 2＝2. ∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18.2．已知数列{an }为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求an . 解析 设公差为d ，则由a 5＝11，a 8＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴an ＝19＋(n －1)(－2)，即an ＝－2n ＋21.3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解析 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .(2)当t ＝1(min)＝60(s)时，s＝9.8t＝9.8×60＝558(cm)．s＝49(cm)时，t＝s9.8＝494.8＝5 (s)．。
人教A版高中数学必修五全册配套课时作业8
课时作业(八)1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 答案 B解析 逐项验证可知B 选项合适．2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 B解析 由a 1>0，且a n ＋1＝12a n ， 则a n >0，又a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n .因此数列{a n }为递减数列．3．已知数列{a n }的项满足a n ＋1＝nn ＋2a n，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1) C.12n －1 D.12n －1答案 B解析 a 1＝1＝21×2，∵a n ＋1＝n n ＋2a n ，∴a 2＝13＝22×3.同理a 3＝16＝23×4.猜想a n ＝2n (n ＋1).4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21答案 C解析 由题可得，a 2＝a 1＋a 1，所以a 1＝－3，a 10＝a 1＋a 9＝…＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝－30.5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.259 B.2516 C.6116 D.3115答案 C6．在数列{a n }中，已知a n ＝n ＋cn ＋1(c ∈R )，则对于任意正整数n 有( )A ．a n <a n ＋1B ．a n 与a n ＋1的大小关系和c 有关C ．a n >a n ＋1D ．a n 与a n ＋1的大小关系和n 有关 答案 B解析 ∵a n ＝n ＋c n ＋1＝n ＋1＋c －1n ＋1＝1＋c －1n ＋1，∴a n －a n ＋1＝c －1n ＋1－c －1n ＋2＝c －1(n ＋1)(n ＋2).当c －1>0时，a n >a n ＋1；当c －1<0时，a n <a n ＋1； 当c －1＝0时，a n ＝a n ＋1.7．下列叙述中正确的个数为( ) ①数列a n ＝2是常数列； ②数列{(－1)n·1n }是摆动数列；③数列{n 2n ＋1}是递增数列；④若数列{a n }是递增数列，则数列{a n ·a n ＋1}也是递增数列． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①②③正确．对于④，如a n 为－2，－1,0,1,2,3，…，即不合要求．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中最大的项为第________项．答案 5解析 ∵f (n )＝－2n 2＋21n ＝－2(n －214)2＋4418(n ∈N *)， ∴n ＝5或6时a n 最大．∵a 5＝55，a 6＝54，∴最大项为第5项．9．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 012＝________.答案解析 由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2,1,5,2,1，…，故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2 012＝x 3×670＋2＝x 2＝1.10．已知数列{an }的通项公式是an ＝⎩⎨⎧2－n ， n 是奇数，11＋n －2， n 是偶数.则它的前4项为________．答案 12，45，18，161711．数列{a n }中a 1＝1，a 2＝3，a 2n －a n －1·a n ＋1＝(－1)n －1(n ≥2)，那么a 4＝________.答案 33解析 令n ＝2，得a 22－a 1·a 3＝－1，∴a 3＝10. 令n ＝3代入，得a 23－a 2a 4＝(－1)2，∴a 4＝33.12．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．解析 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 可猜想a n ＝2n －1＋1.13．已知a n ＝a (12)n (a 为常数且a ≠0)，试判断{a n }的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．∵a n －a n －1＝a (12)n －a (12)n －1＝－a (12)n <0， ∴{a n }是递减数列．解析 这种解法误认为a >0，所以不对，对于非零实数a 应讨论a >0和a <0两种情况．∵a n －a n －1＝－a (12)n (n ≥2)， ∴当a >0时，a n －a n －1<0. ∴a n <a n －1.∴{a n }是递减数列； 当a <0时，a n －a n －1>0， ∴a n >a n －1.∴{a n }是递增数列．14．已知数列{a n }：13，－12，35，－23， … (1)写出数列的通项公式； (2)计算a 10，a 15，a 2n ＋1；(3)证明：数列{|a n |} 是递增数列．解析 (1)原数列变形为：13，－24，35，－46，…，分别考查数列的分子，分母与项数n 的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1nn ＋2.(2)当n ＝10，则a 10＝－1012＝－56；当n ＝15时，则a 15＝1517；将a n 中n 换成2n ＋1时，得a 2n ＋1＝2n ＋12n ＋3.(3)令b n ＝|a n |(n ∈N *)， 则b n ＝|(－1)n ＋1n n ＋2|＝n n ＋2. ∵b n ＋1－b n ＝n ＋1(n ＋1)＋2－n n ＋2＝2(n ＋3)(n ＋2)>0.∴b n ＋1>b n .即对一切正整数n ，恒有|a n ＋1|>|a n |成立．因此数列{|a n |}为递增数列．讲评 本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，a n ＝f (n )即为函数的解析式；a 10＝f (10)，即是函数在n ＝10的函数值；a 2n ＋1＝f (2n ＋1)即为函数代换，将函数中的变量n 换成了2n ＋1；当|a n ＋1|>|a n |时，则数列在n ∈N *时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n 当n ＋1>n ，都有|a n ＋1|>|a n |，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．15．数列{an }满足a 1＝1，且an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0. (1)写出数列{an }的前5项；(2)由(1)写出数列{an }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？ 解析 (1)∵a 1＝1，an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0， ∴a 2＋2a 1a 2－a 1＝0，解得a 2＝13. 同理，可以解得a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19. ∴数列的前5项为1，13，15，17，19. (2)由以上可得an ＝12n －1.(3)令12n －1＝199，得n ＝50.即199是这个数列的第50项．►重点班·选作题16．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30答案 C17．根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解析 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求a n .解析 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. ∴a n ＋1a n＝n n ＋1.∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n .。
数学作业本必修五答案
数学作业本必修五答案【篇一：高中数学课时作业必修5】形1．1正弦定理和余弦定理............................................................1 课时1 正弦定理(1)..................................................................1 课时2 正弦定理(2)..................................................................3 课时3 余弦定理(1)..................................................................5 课时4 余弦定理(2) (7)1．2应用举例…………………………………………………………………9 课时5 正弦定理、余弦定理的综合运用…………………………………9 课时6 正弦定理、余弦定理的应用（测量距离、高度问题）…………11 课时7 正弦定理、余弦定理的应用（测量角度问题）…………………13 第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法...................................................15 课时1 数列的概念与简单表示法................................................15 2．2等差数列...........................................................................17 课时2 等差数列的概念与通项公式(1) (17)课时3 等差数列的概念与通项公式(2)……………………………………19 2． 3 等差数列的前n项和…………………………………………………21 课时4 等差数列的前n项和………………………………………………21 课时5 习题课(1)……………………………………………………………23 2．4等比数列 (25)课时6 等比数列的概念与通项公式(1)……………………………………25 课时7 等比数列的概念与通项公式(2)……………………………………27 2． 5 等比数列的前n项和…………………………………………………29 课时8 等比数列的前n项和………………………………………………29 课时9 一般数列求通项……………………………………………………31 课时10 一般数列求和……………………………………………………33 课时11 习题课(2) (35)第三章不等式3．1 不等关系与不等式……………………………………………………37 课时1 不等关系与不等式…………………………………………………37 3．2 一元二次不等式及其解法……………………………………………39 课时2 一元二次不等式及其解法(1) (39)课时3 一元二次不等式及其解法(2)………………………………………41 3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题……………………43 课时4二元一次不等式（组）表示的平面区域…………………………43 课时5 简单的线性规划问题………………………………………………45 课时6 习题课(1)…………………………………………………………47 3． 4a?b…………………………………………49 2课时7 基本不等式的证明………………………………………………49 课时8 基本不等式的应用………………………………………………51 课时9 习题课(2)…………………………………………………………53 附：第一章检测卷第二章检测卷第三章检测卷模块检测卷(1) 模块检测卷(2) 参考答案与点拨第一章三角形1．1正弦定理和余弦定理课时1 正弦定理(1)a．2．在△abc中，∠a、∠b、∠c的对边为a、b、c，若．．．323a．2 b．．6．已知△abc中，若a=2，则∠c=．则a=10．△abc中，，求a+b的值； (2)若，求a、b、c的值．12．在△abc中，tana=1，tanb=3． (1)求∠c的大小． (2)若abbc边的长．4513．在△abc中，∠a、∠b、∠c的对边分别为a、b、c，若m=(b，3a)，n=（c，b)，且m∥n，∠c-∠a=求∠b．2，54，cosc=135． (1)求sina的值． (2)设△abc的面积s△abc=33，2课时2 正弦定理(2)1．若sinacosbcosc==，则△abc是 ( )abca．x2 b．x2 c．2x．2xcosb= ( )a．5．在△abc中，6．（2009．湖南）在锐角△abc中，bc=1, ∠b=2∠a，则ac的值等于____，ac的取值范围为____．cosa7．在△abc中，已知atanb=btana，则△abc为____三角形．22，∠a=2∠b．则cosc=1，s△abcb=____．38．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一条件模糊不清，具体如下：“在△abc中，角∠a、∠b、∠c所对的边分别为a、b、c．已知”经推断，破损处的条件为三角b=?，____，求∠a．4形一边的长度，且答案提示∠a=?，试在横线上将条件补充完整． 69．在△abc中，已知22ac=2，求△abc的面积．212．在△abc中，2∠a=∠b+∠c,b=ac，求bsinb的值．c13．已知△abc中，∠a、∠b、∠c对应的边是a、b、c，∠a=2∠若∠a的内角平分线ad的长为2，求b的值．14．在锐角△abc中，若∠b=2∠a，求b的取值范围，a(1)求sinc的值． (2)课时3 余弦定理(1)2221．在△abc中，∠a、∠b、∠c的对边分别为a、b、c，若c?a?b0，则△abc ( )2aba．一定是锐角三角形 b．一定是直角三角形 c．一定是钝角三角形 d．是锐角或直角三角形2．在△abc中，a：b：c=12，则∠a：∠b：∠c的值为 ( )a． 1: 2:3 b．2:3:1 c．1:3:2 d．3:1:2a．? b．? c．?或5? d．?或2?6363634．在△abc中，若a=2bcosc，则△abc的形状为 ( ) a．直角三角形 b．等腰三角形 c．等边三角形 d．等腰或直角三角形c222，则∠b的值为6．在△abc中，sina：sinb：sinc=3：5：7，则最大角等于____． 7．在△abc中，∠a、∠b、∠c所对的边分别为a、b、c．若a=1， 8．在△abc中，10．设锐角三角形abc的内角∠a、∠b、∠c的对边a、b、c，a=2bsina． (1)求∠b的大小． (2)若c=5，求b。
高中数学人教版必修5课后习题答案[电子档]
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..高中数学必修5课后习题答案..下载可编辑..第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）2,6,22,3,10,23,14,15,4,32； （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-； （2）1，2，（3），2，5，（6），7； n a n =.4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+. 6、15,21,28； 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.n 1 2 … 5 … 12 … n n a 21 33 … 69 … 153 … 3(34)n +该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2.2 等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯； （2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯.2、略.2.3 等差数列的前n 项和练习（P45） 1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-.（2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++L L 7812a a a =+++L126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++L 126()36a a a d =++++L 636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++L 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2.4 等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++L . 令,1,2,k i b a i +==L ，则数列12,,k k a a ++L 可视为12,,b b L . 因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++L 是等比数列. （2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a L ，则235211321(1)k k a a aq k a a a +-=====L L ≥. 所以，数列135,,,a a a L 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列. （3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a L ，1a 3a 5a 7aq2 4 8 16 2或2-50 20.080.00320.2则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====L L ≥ 所以，数列11223,,,a a a L 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. 习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩L L L L ①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=，得111(1)22111()n n n n a a qa qa q ---===.那么数列{}n a 是以1a 为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得24010.51105q =-≈ 6、由已知条件知，,2a bA G ab +==，且22()0222a b a b ab a b A G ab ++---=-==≥ 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===.解得 4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5 等比数列的前n 项和练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++L L 555S q S =+55(1)q S =+50= 同理 1015105S S q S =+. 因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. a sa q a pa ksq p kOna n （第3题）（2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-L L 当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++L L L(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++L L11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+---（3）设21123n n S x x nx -=++++L ……① 则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+L ……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-L ……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=L ；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯L1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈-L （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-L所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n = 6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n bb b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==--L L2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=L L 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=L L 所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ） 可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元）（5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=L ﹪﹪﹪ 根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+； （3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++L L 2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+L32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++L L 2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+L 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪. 4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -. 所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）第三章 不等式3.1 不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）3274+<； （2）710314+>+.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)(1)02x x +>+>，所以112xx +>+4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd>于是0a bd c>>，所以a b d c > 3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3.2 一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是331,133⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为331,133x x x ⎧⎫⎪⎪<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或； 使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是331133x x ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅；使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）131322x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以249y x x =-+的定义域是R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x = 所以221218y x x =-+-的定义域是{}3x x = 3、{}322,322m m m <-->-+或； 4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）55255222x x ⎧⎫-+⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为42423,322x x x ⎧⎫⎪⎪<-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或. 4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则3002a =，所以22(3002)450b +<，即150150b -<< 而300215015(221)13.7202-=-≈（h ），3001520=. 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86）1、B .2、D .3、B .4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元 打磨 着色 上漆桌子A 10 6 6 40桌子B 5 12 9 30 工作最长时间 450 480 450解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=...（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+，当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元.习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥y=x x+y=1CBA -1O1yx5x +3y=15x -5y=3y=x+1yx15B3AO（1）（2）（第1题）（第2题）xyA500200400250Oy=2x -2y xO1-11yx22Oxy321Oxy -2O2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分 广告时间/分 收视观众/万连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 播放最长时间 320 最少广告时间 6解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==y=x 3+1y=x+2y=4-x -1-15424O 1（第2题）yx586O1（第3题）y=120-3xy=100-xxy12010010040MO得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为 122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元）y=-2-23xy=4-23xyx-3-22564O1（第1题）y=12-x 2y=x+3yx-2-33O1（第2题）所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.4 基本不等式2a bab +≤练习（P100）1、因为0x >，所以1122x x x x+⨯=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以 2210020a b ab +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()3242323264S ab bc ac a b ab =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 223612a b ab +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大. 4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x= 12360031200680058004800580023600124800580034600z y x x x⨯=⨯+⨯+=++⨯⨯+=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质 6[27218]6(18122)108722S ⨯-+=⨯-=-≤当72x x=，即62x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108722)-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+()()2()()2a b a ba cbc a c b c x x--=----⋅≤当且仅当()()a cbc x x--=，即()()x a c b c =--时，tan β取得最大，从而视角也最大.第三章 复习参考题A 组（P103）1、511212537+<+. 2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<I3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为 2224Z x y xy S =+=≥当2x y =，即x S =，2y S =时，Z 可以取得最小值，最小值为4S . 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤ 当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P 时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即a v b =且a cb ≤时，y 有最小值. 22sa say sbv sbv s ab v v=+⨯=≥，最小值为2s ab . 当a cb >时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，vc =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 （2）231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方 所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ x+y=62x+y=10x+y=10yx1010656O（第4题）xy12L 1L 3L 2AB C （第5题）比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。
人教A版高中数学必修五全册配套课时作业(10)
课时作业(十四)1．(2013·安徽)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2答案 A解析 由S 8＝4a 3知a 1＋a 8＝a 3，a 8＝a 3－a 1＝2d ＝a 7＋d ，所以a 7＝d ＝－2.所以a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 B3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1答案 B4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12答案 A5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19答案 A6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27答案 C8．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663答案 B9．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d <0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为( )A ．11B ．12C ．13D ．14答案 A10．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15答案 D11．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15.若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．30B ．45C ．90D ．186答案 C解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15，∴a 1＝3，d ＝3，又b n ＝a 2n ＝a 1＋(2n－1)d ＝6n ，即S 5＝5(b 1＋b 5)2＝5(6＋6×5)2＝90，选C. 12．等差数列{a n }的首项a 1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值4.6，则抽出的是( )A ．a 6B ．a 8C ．a 9D ．a 10答案 B解析 据题意S n ＝55＝11a 6，∴a 6＝5. 又a 1＝－5，∴公差d ＝5－(－5)6－1＝2.设抽出的一项为a n ，则a n ＝55－46＝9. 由9＝－5＋(n －1)·2，得n ＝8.13．数列{a n }中，a 1＝－60且a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项绝对值之和是( )A ．－495B ．765C ．3 105D ．以上都不对答案 B解析14.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29答案 B15．(2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.答案 1 14(n 2＋n )解析 由a 1＝12，S 2＝a 3，得a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝12. ∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列． ∴a n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∴a 2＝1，S n ＝n 2(a 1＋a n )＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n )．16．设a 1，d 为实数，首项为a 1公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．答案 (－∞，－22]∪(22，＋∞)解析 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )·(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，∴d 2≥8.则d 的取值范围是(－∞，－22]∪(22，＋∞)． 17．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 值最大的序号n 的值． 解析 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．18．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析 (1)设n 分钟后第1相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70， 整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．。
精编人教版高中数学必修5课后习题答案[电子档]
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.......高中数学必修5课后习题答案.......第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N n a n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）2,6,22,3,10,23,14,15,4,32； （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；n 1 2 … 5 … 12 … n n a2133…69…153…3(34)n +（2）1，2，（3），2，5，（6），7； n a n =.4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2.2 等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯； （2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略.2.3 等差数列的前n 项和练习（P45）1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =. （2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考.（1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-. 3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2.4 等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.1a3a5a7aq2 4 8 16 2或2-5020.080.00320.2（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅（2）用上面的方法不难证明211(1)n n n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)n n k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪.（2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =. 当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==.2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷）3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=，得111(1)22111()n n n n a a qa qa q ---===.那么数列{}n a 是以1a 为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为50505013100.052 5.6310 m m 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得24010.51105q =-≈ 6、由已知条件知，,2a bA G ab +==，且22()0222a b a b ab a b A G ab ++---=-==≥ 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >. 7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个 问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a s a q= 根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5 等比数列的前n 项和练习（P58）1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----. a sa q a pa ksq p kOna n（第3题）2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元） 习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列 所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=--（2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n = 6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b b b a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==-- 2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ） 可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率. 因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪ 故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元. （4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪ 解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元） 故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+； （3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万）7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布. 110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>. 所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =. 10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n nS a a a a n d a n d a n d ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n n d S n d =++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯.所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦7、设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x﹪+-2003年底剩余资金是2+-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x……5年后达到资金5432﹪﹪﹪﹪﹪+-+-+-+-+=1000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x 解得459x≈（万元）第三章 不等式3.1 不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）3274+<； （2）710314+>+.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)(1)02x x +>+>，所以112xx +>+4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入. 所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥. 习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >> 又因为0cd >，所以10cd> 于是0a bd c>>，所以a b d c > 3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3.2 一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是331,133⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为331,133x x x ⎧⎫⎪⎪<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是331133x x ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）131322x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以249y x x =-+的定义域是R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x = 所以221218y x x =-+-的定义域是{}3x x =3、{}322,322m m m <-->-+或； 4、R. 5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）55255222xx ⎧⎫-+⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为42423,322x x x ⎧⎫⎪⎪<-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则3002a =，所以22(3002)450b +<，即150150b -<< 而300215015(221)13.7202-=-≈（h ），3001520=.所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元打磨着色 上漆 桌子A 10 6 6 40 桌子B 5 12 9 30 工作最长时间450480450解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩ 得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.y=x x+y=1CBA -1O1yx5x +3y=15x -5y=3y=x+1yx15B3AO（2）目标函数为35z x y=+，可行域如图所示，作出直线35z x y=+可知，直线经过点B时，Z取得最大值. 直线经过点A时，Z取得最小值.解方程组153y xx y=+⎧⎨-=⎩，和15315y xx y=+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A--和点(1.5,2.5)B.所以max 3 1.55 2.517z=⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z=⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为30002000z x y=+，需要满足的条件是24002500x yx yxy+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y=+，当直线经过点A时，z取得最大值.解方程组2400 2500 x yx y+=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A，z的最大值为800000元. 习题3.3 A组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（第2题）x yA500200400250O（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分广告时间/分收视观众/万连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 播放最长时间 320 最少广告时间6解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z .目标函数为6020z x y =+，y=2x -2y xO1-1-21yx22Oxy321Oy≤-2xy -2O（1） （2） （3） （4）y=x 3+1y=x+2y=4-x-1-15424O1（第2题）y86所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图y=120-3xy=100-xxy12010010040MOy=-2-23xy=4-23xyx-3-22564O1（第1题）2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)60z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++. 所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）y=12-x2y=x+3yx-2-33O1（第2题）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.4 基本不等式2a bab +≤练习（P100）1、因为0x >，所以1122x x x x+⨯=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50. 即1502ab =，所以 2210020a b ab +==≥，当且仅当10a b ==时取等号. 答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b += 所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号. 答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()3242323264S ab bc ac a b ab =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 223612a b ab +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b += 所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m . 3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=1236003120068005800480058002360012480058000z y x x x⨯=⨯+⨯+=++⨯⨯+=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++ 由基本不等式与不等式的性质 6[27218]6(18122)108722S ⨯-+=⨯-=-≤ 当72x x=，即62x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108722)-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D . 设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =. 在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+()()2()()2a ba ba cbc a c b c x x--=----⋅≤当且仅当()()a cbc x x--=，即()()x a c b c =--时，tan β取得最大，从而视角也最大. 第三章 复习参考题A 组（P103）1、511212537+<+. 2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<.4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为 2224Z x y xy S =+=≥当2x y =，即x S =，2y S =时，Z 可以取得最小值，最小值为4S . 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即a v b =且a cb ≤时，y 有最小值. 22sa say sbv sbv s ab v v=+⨯=≥，最小值为2s ab . 当a cb >时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，vc =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 （2）231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg x+y=62x+y=10x+y=10yx1010656O（第4题）xy12L 1L 3L 2ABC （第5题）.............. 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。
人教A版高中数学必修五全册配套课时作业(2)
课时作业(二)1．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于()A.32 B.34C.32或 3 D.34或32答案 D3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()A．－223 B.223C．－63 D.63答案 D解析依题意得0°<B<60°，asin A＝bsin B，sin B＝b sin Aa＝33，cos B＝1－sin2B＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．2 3 B．2C. 2 D．1答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B . 又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋(3)2＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形． 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60° C ．A ＝30°或150° D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________．答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 的形状是________．答案 等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案 直角三角形 解析 由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ，∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． 答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断三角形的形状．解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b 2. 证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb 2 ＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b 2)，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb 2＝0. ∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( ) A ．(152，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23， 得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 答案 1解析 在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B ＝3sin 2π3，解得sin B ＝12，因为b<c，故角B为锐角，所以B＝π6，则A＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a＝1.。
高中数学课时作业8等差数列的性质及简单应用新人教A版必修5
对于p3： ＝ ＋ d，
所以 － ＝ ，
当d－a1>0，即d>a1时，数列 递增，
但d>a1不一定成立，则p3不正确．
对于p4：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0.
所以数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．
综上，正确的命题为p1，p4.
(1)a3＋a5＋a7＝93；
(2)满足an>100的n的最小值是15.
试求公差d和首项a1的值．
解析：因为a3＋a5＋a7＝93，
所以3a5＝93，所以a5＝31，
所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n> ＋5.
因为n的最小值是15，所以14≤ ＋5<15，
所以6 <d≤7 ，
又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.
答案：1
7．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．
解析：∵a5＋a7＝2a6＝4，a6＋a8＝2a7＝－2，
∴a6＝2，a7＝－1，∴d＝a7－a6＝－3，
∴an＝a6＋(n－6)d＝2＋(n－6)×(－3)＝－3n＋20.
令an≥0，解得n≤ ，即n＝1,2,3，…，6，故该数列的正数项共有6项．
答案：2026
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值；
(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.
解析：(1)因为{an}是等差数列，
所以a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.
高中数学人教版必修5课后习题答案[电子档]之欧阳引擎创编
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欧阳引擎创编 2021.01.01高中数学必修5课后习题答案欧阳引擎创编 2021.01.01第二章数列2.1数列的概念与简单表示法练习（P31）2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈习题2.1 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）； （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-； （2）12； n a =4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪.3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2.2等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d .5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略.2.3等差数列的前n 项和练习（P45）1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐.现提供2个证明方法供参考.（1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2.4等比数列练习（P52）1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列. （2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =. 当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==.2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n q --===.那么数列{}n a12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列.由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈ 6、由已知条件知，,2a bA G +==，且02a b A G +-===所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m nm n n a a q q a a q ---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730 则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a s a q= 根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5等比数列的前n 项和练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n nn x nx S x x-=---5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =.所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ） （2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税 所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪ 解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪.根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+； （3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=--223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列. （2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪. 4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -. 所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=-- 所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪ 2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ (5)年后达到资金54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪解得 459x ≈（万元）第三章不等式3.1不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥；（2）4h ≤；（3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>；（2）<；（3）>；（4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）24+；（2>3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++（2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥所以28x ≥，且30x ≤所以2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3.2一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤；（2）R ；（3）{}2x x ≠；（4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x的集合是1⎧⎪+⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或； 使2362y x x =-+的值小于0的x的集合是11x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或.（3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R.（4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （3）{}2,5x x x <->或；（4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y {}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒. 依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}37x x <<；（3）∅；（4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为33x x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =，所以22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=. 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86）1、B .2、D .3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+ 可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+， 当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元.习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤；（2）22x y ->；（3）2y -≤；（4）3x ≥2、3解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组2312 236x yx yxy+⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y+--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A镇运送大米x吨、向B镇运送大米y吨，总运费为z. 则乙粮库要向A镇运送大米(70)x-吨、向B镇运送大米(110)y-吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)609030200 z x y x y x y=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为100(70)(110)80 070x yx yxy+⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y==时，总运费最省min 37100z=（元）所以当0,100x y==时，总运费最不合理max 39200z=（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A镇运送大米70吨，向B镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A镇运送大米0吨，向B镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.42 a b+≤练习（P100）1、因为0x>，所以12xx+=≥当且仅当1xx=时，即1x=时取等号，所以当1x=时，即1xx+的值最小，最小值是2.2、设两条直角边的长分别为,a b，0,a>且0b>，因为直角三角形的面积等于50.即1502ab=，所以20a b+=≥，当且仅当10a b==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以12a b +=≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=.所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=123600312006800580048005800580034600z y x x x⨯=⨯+⨯+=++=≥当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元.习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-.设PC a =，则DP x a =-所以222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质6[18]6(18108S ⨯-=⨯-=-≤当72x x=，即x =时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+=当且仅当()()a cbc x x --=，即x =tan β取得最大，从而视角也最大.第三章复习参考题A 组（P103）1<2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为12S xy =扇形的周长为2Z x y =+=≥当2x y =，即x =，y =时，Z可以取得最小值，最小值为. 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤ 当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ，2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即v =c 时，y 有最小值.2sa y sbv v =+=≥2c 时，由函数say sbv v=+的单调性可知，v c =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或（2）231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方 所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1mp kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济.一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。
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课时作业(一)
1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A
答案 D
2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C
3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A
4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B
b ，则∠B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
答案 B
解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B
b ，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.
5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π
3 B.π6 C.π3或23π D.π6或56π 答案 C
解析由3a＝2b sin A，得3sin A＝2sin B·sin A.
∴sin B＝
3
2.∴B＝
π
3或
2π
3.
6．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为()
A．3∶1∶1 B．2∶1∶1
C.2∶1∶1
D.3∶1∶1
答案 D
解析由已知得A＝120°，B＝C＝30°，
根据正弦定理的变形形式，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶1∶1.
7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误
．．的是() A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，a＝b⇔sin2A＝sin2B
C．在△ABC中，a
sin A＝
b＋c sin B＋sin C
D．在△ABC中，正弦值较大的角所对的边也较大
答案 B
解析对于B项，当a＝b时，sin A＝sin B且cos A＝cos B，∴sin2A ＝sin2B，但是反过来若sin2A＝sin2B.2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B
或A＋B＝π
2.不一定a＝b，∴B选项错误．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c ＝3a，B＝30°，那么角C等于()
A．120°B．105°
C．90°D．75°
答案 A
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
答案 π6
解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π
4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·sin π4
2＝12，所以A ＝π6或5π
6(舍去)．
10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.
答案 12
解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.
11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.
答案 2
解析
如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3
sin60°，
即
AC 22＝3
32
，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．
答案 π2
解析 由正弦定理，得a sin ∠A ＝b
sin ∠B .
从而332＝3sin ∠B ，即sin ∠B ＝12.
∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.
由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.
13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．
答案
3－1
14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 答案
10
2
15．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.
答案 0
解析 ∵a sin A ＝b
sin B ，∴a sin B ＝b sin A . 同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .
∴原式＝0.
16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝102 b ＝5(6＋2) B ＝105°
17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．
答案
2
解析 由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形． 解析 由正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝3
2.
因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°.
又因为b ＝a sin B
sin A ，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题
19．下列判断中正确的是( )
A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解
B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解
C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解
D ．当a ＝3
22，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解 答案 D
20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋b R 的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)
答案 C。