北京牛栏山第一中学数学圆 几何综合单元测试卷(解析版)
2024-2025学年北京市顺义牛栏山第一中学高三上学期月考数学试卷含答案
①对任意实数 ,函数 总存在零点.
②存在实数 ,使得函数 恒大于0.
③对任意实数 ,函数 一定存在最小值.
④存在实数 ,使得函数 在 上始终单调递减.
其中所有正确结论的序号是______.
三,解答题：共6个小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.已知 ,且 , ,且 .
A.0.3B.0.5C.0.7D.1.5
9.已知函数 （ 且 ）,若存在实数 使得函数 有三个零点,则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
10.已知函数 的定义域为 ,定义集合 ,在使得 的所有 中,下列成立的是（）
A.存在 ,使得 是偶函数
B.存在 ,使得 在 上单调递减
C.存在 ,使得 在 处取极大值
（1）求 的函数关系式.
（2）当投入的肥料费用为多少元时,该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
19.已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）讨论函数 的单调性.
（3）若 ,设函数 , 在 上的最大值为2,求 的取值范围.
20 已知函数 .
（1）求函数 极值.
（2）若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
牛山一中2024-2025上学期高三月考试卷
数学
第一部分（选择题共40分）
一,选择题：共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求.
1.已知集合 , ,则集合 （）
A. B. C. D.
2.下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的是（）
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是（）
则称集合 为可分集合.
2025届北京市牛栏山一中高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2025届北京市牛栏山一中高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C ．33D ．32．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A ．B ．C ．D ． 4．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．765．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）A ．()lg 1y x =+B ．12y x = C ．2x y = D ．ln y x =6．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．4D ．4i 7．已知集合{}{}22(,)4,(,)2x A x y x y B x y y =+===，则A B 元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 9．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6 10．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ） A ．32y x =± B ．y x =± C ．2y x = D ．3y x =11．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <12．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．26B ．13C ．23D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高一(下)月考数学试卷(4月份)+答案解析
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为()A. B. C. D.2.在平面直角坐标系xOy中，若角的终边经过点，则，分别为()A.，3B.3，C.，D.，3.设O，A，B，C为平面四个不同点，它们满足，则()A.A，B，C三点共线B.O，B，C三点共线C.A，O，C三点共线D.A，B，O三点共线4.下列条件满足为直角三角形的个数为()①；②；③A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知，那么下列命题成立的是()A.若，是第一象限角，则B.若，是第二象限角，则C.若，是第三象限角，则D.若，是第四象限角，则6.函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是()A. B. C. D.二、填空题：本题共9小题，共41分。
7.两个非零向量，共线，则______.8.设，为方程的两个根，且，则m的值为______.9.函数在上的值域为______.10.已知，，则与的夹角为______.11.函数图像上的点向右平移个单位后得到，若落在函数上，则s的最小值为______.12.若，则的值______.13.如图，函数，则______；______.14.若是奇函数，则有序实数对可以是______写出你认为正确的一组数即可15.在平面直角坐标系xOy中，，集合，下列结论正确的是______.①点；②若，则；③若，则的最小值为三、解答题：本题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题13分已知函数的最小正周期为Ⅰ求的值；Ⅱ求函数的单调递增区间．17.本小题13分在中，角A，B，C对应边长分别为a，b，c，其中，，求c；求18.本小题14分在中，角A，B，C对应边长分别为a，b，设AD，BE，CF是的三条中线，用，表示，，；设，，求证：用向量方法证明19.本小题15分设是方程的一组解，计算：；求的值.20.本小题15分已知函数，求，的值并直接写出的最小正周期；求的最大值并写出取得最大值时x的集合；定义，，求函数的最小值.21.本小题15分已知集合…，，，，2，…，，对于…，，…，，定义A与B的差为…，，A与B之间的距离为直接写出中元素的个数，并证明：任意A，，有；证明：任意A，B，，有是偶数；证明：，B，，有答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.由，及特殊角的三角函数值解之．【解答】解：，故选2.【答案】D【解析】解：因为角的终边经过点，由三角函数的定义可知，，故选：根据三角函数的定义计算可得．本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，，即，，则，可得A，B，C三点共线．故选：根据平面向量线性运算法则得到，即可判断．本题考查平面向量的加减运算，考查共线向量基本定理的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：对于①：，所以，所以，，所以，又，所以，则为直角三角形，故①正确；对于②：，则，即，又，所以，则，即为直角三角形，故②正确；对于③：当，，则，，满足，但是为钝角三角形，故③错误．故选：利用和差角公式判断①②，利用特殊值判断③．本题主要考查了和差角公式的应用，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：因为，A：若，是第一象限角，，在为减函数，则，故A选项错误，B：若，是第二象限角，，在为减函数，则，故B选项错误，C：若，是第三象限角，，在为增函数，则，故C选项错误，D：若，是第四象限角，，在为增函数，则，故D选项正确．故选：根据已知条件，可知角的大小，再根据角的大小判断选项即可．本题考查了三角函数线相关的知识，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题知，，，均在上，，，，故有：，，两等式联立，解得，，，，，综上选项B正确．故选：根据，在上，可得出，，再联立，得到s的值，根据缩小s的取值范围，进而代入求值即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．7.【答案】1【解析】解：根据题意，因为，共线，故，故或，而当时，，与题意不合，舍，故，故答案为：根据题意，根据共线向量的坐标形式可求x的值，即可得答案．本题考查向量平行的判断，注意零向量的定义，属于基础题．8.【答案】8【解析】解：因为，为方程的两个根，所以即，且，又，所以，所以，解得故答案为：8利用韦达定理计算可得．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．9.【答案】【解析】解：由余弦函数的性质，可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，又因为，所以函数的值域为故答案为：根据题意结合余弦函数的图象与性质即可求解．本题考查了余弦函数的图象与性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．10.【答案】【解析】解：已知，，，，故答案为由内积公式知将两向量的坐标代入即可求得两向量夹角的余弦，再由三角函数值求角本题考查向量的内积公式，用内积公式的变形形式求两个向量的夹角．11.【答案】【解析】解：因为点在函数图像上，所以，由题意可知，又落在函数上，所以，解得或，即或，又，所以，即s的最小值为故答案为：先把点代入求出，再把代入，求出s值，结合求出其最小值即可．本题主要考查了三角函数图象的变换的应用，属于中档题．12.【答案】【解析】解：因为，则，即，所以所以故答案为：利用两角和的正切公式计算可得．本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由图象可知，函数的周期为，所以，根据五点法，当时，，所以，因为，所以故答案为：；由周期的定义结合图象可得，代入点后再结合余弦函数值可得，即可得解．本题考查了由的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：因为，，若是奇函数，则即可，可以取，故答案为：答案不唯一首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a，b应该满足的条件，按等式关系选取答案即可．本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用，还考查了奇函数的定义，属于基础题．15.【答案】②③【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，，，，集合，，，，点P在边长为2的正方形OBEF区域内包括边界上的点，如图所示：显然，①错误；若，即P在OE上，则，又，，又、不共线，，②正确；又，则N在以原点为圆心，半径为1的圆上，由图可知当P在E点且N在EO的延长线与圆的交点时，取得最小值，即的最小值为，③正确．综上所述，①错误．正确的为②③．故答案为：②③．首先求出点P所在的平面区域，再数形结合即可判断．本题考查平面向量数量积的性质及其坐标运算，考查方程思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．16.【答案】解：Ⅰ的最小正周期为，且，从而有，故Ⅱ由Ⅰ知，令，，有，，解得，故得的单调递增区间为，【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．Ⅰ利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求的值Ⅱ将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；17.【答案】解：因为，，，由余弦定理得，即，解得负值舍去，故c值为；由正弦定理可得：，即故值为【解析】利用余弦定理求解即可；利用正弦定理求解即可．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．18.【答案】解：在中，，BE，CF是的三条中线，；；证明：在中，，，令，，，则，，，；，，，即【解析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；根据题意，得到，结合向量的数量积的运算公式和数量积的几何意义，即可得证．本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查数形结合思想的运用，属于中档题．19.【答案】解：因为是方程的一组解，所以，即，即，则因为，又，所以原式，即【解析】依题意可得，即，再将所求式子化简，最后整体代入即可；由将所求式子展开，再代入计算可得．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．20.【答案】解：，又，而的最小正周期为，故的最小正周期为因为，故，故，此时即即，此时即即综上，，对应的x的集合为；，对应的x的集合为当时，，由可得；当时，，由可得；当时，，综上，，故【解析】根据特殊角的三角函数值可求，的值，而，故可求的最小正周期．先求出，结合的化简结果可得何时取何最值．利用的结合可求的解析式，故可求其最小值．本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：因为，，2，，n，，可知均为2个值可取，所以中元素的个数为，对于任意，，可知，，，2，，n，，则的结果如下表所示：01001110可得，所以证明：设，，，由题意知：，，，当时，；当时，；综上所述：，所以；设，，，，可知，，，则，所以中1的个数为k，中1的个数为l，设t是使成立的i的个数，则，可得，由此可知：k，l，h三个数不可能都是奇数，即，，三个数中至少有一个是偶数．故任意A，B，，有是偶数．证明：设，，由可知：，，，由题意知：，，，当时，；但，可得，即；当时，，但，可得，即；综上所述：，由i的任意性可得：，所以【解析】根据题意分析可知中元素的个数为，结合定义可得，即可证明结论；根据题意先证，设，，，，t是使成立的i的个数，可知，即可分析证明；根据题意分析可得，进而可得结果．本题考查数列的综合应用，属于难题．。
2024届北京市顺义牛栏山一中数学高一下期末经典模拟试题含解析
2024届北京市顺义牛栏山一中数学高一下期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A ．32B ．53C ．12D ．232．已知函数lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((2))f f -=（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为( ) A ．33B ．32C ．3D ．234．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222190a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．20205． “”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（ ）A ．13B ．16C ．32D ．357．如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（ ）A ．中位数为14B ．众数为13C ．平均数为15D ．方差为198．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A ．22ca ac >B ．ac bc >C ．22ab cb >D ．ab ac >10．已知向量(),2m a =，()1,1n a =+，若//m n ，则实数a 的值为( ) A ．23-B ．2或1-C ．2-或1D ．2-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x−2≤0}，B={x|y=x}，则集合A∩B=( )A. [0,2]B. (0,2]C. (−∞,2]D. [2,+∞)2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y=1x B. y=−e−x C. y=log2|x| D. y=x−1x3.下列命题为真命题的是( )A. 若a>b，则1a <1bB. 若ac2>bc2，则a>bC. 若ba<1，则b<a D. 若a>b，则a+c>b−c4.若a∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A. a−1>a−2B. log a3<log a4C. 2a<3aD. a<ln a5.已知a∈R，则“|a|≥1”是“|a+1a|≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=log2x−x+1，则不等式f(x)<0的解集是( )A. (0,1)B. (0,1)∪(1,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)7.已知x3−y3<2−x−2−y，则下列结论中正确的是( )A. ln|y x|>0B. ln(y−x+1)>0C. ln|y+x|>0D. ln|y−x|>08.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%∼100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0e Kt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为()(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10)A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 1.59.已知函数f(x)={x−2+a,x≥2|a x−2|,x<2(a>0且a≠1)，若存在实数a使得函数y=f(x)−a有三个零点，则实数a的取值范围是( )A. 0<a<1B. a>1C. 12<a<1 D. 1<a<210.已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M={x0∈R|x∈(−∞,x0),f(x)>f(x0)}，在使得M=[−1,1]的所有f(x)中，下列成立的是( )A. 存在f(x)，使得f(x)是偶函数B. 存在f(x)，使得f(x)在R上单调递减C. 存在f(x)，使得f(x)在x=−1处取极大值D. 存在f(x)，使得f(x)的最小值是f(2)二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2025届北京市顺义区牛栏山第一中学高考考前模拟数学试题含解析
2025届北京市顺义区牛栏山第一中学高考考前模拟数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22log log b a < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <2．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．73．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．162 B ．15C ．3D ．834．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．25．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．16．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，7．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-8．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一9．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-10．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．12012．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．233D ．433二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年数学高一上期末调研试题含解析
北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年数学高一上期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若函数()f x 满足(1)2-=f x x ，则()f x = A.22x + B.21x + C.21x -D.22x -2．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A.()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C.()π2sin 46f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭3．已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（） A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥D.2,10x R x x ∀∈-+<4．已知集合{}{}|1,|21xM x x N x =<=>，则M N ⋂=A.∅B.{}|01x x <<C.{}|0x x <D.{}|1x x <5．函数()cos 26sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值为（）A.112-B.5-C.1D.76．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2x f x g x -=，则有（） A.(2)(3)(0)f f g << B.(0)(3)(2)g f f << C.(2)(0)(3)f g f <<D.(0)(2)(3)g f f <<7．将函数cos 2y x =的图象先向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（） A.22cos x - B.22sin x C.cos2x -D.sin 2x8．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是 A.()4,2-- B.()1,0-C.()2,1--D.()()4,11,0--⋃-9．函数()122xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点一定位于下列哪个区间（）.A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B =，则()U C A B 为A.{}245，，B.{}134，， C.{}124，， D.{}2,3,4,5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目） 1．若直线x +y ﹣3＝0与2x +ay ﹣1＝0垂直，则a ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．−122．椭圆的两个焦点是（﹣4，0）和（4，0），椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A ．x 25+y 24=1 B ．x 25+y 23=1C ．x 225+y 29=1D ．x 216+y 29=13．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5） B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）4．若双曲线C ：x 29−y 2m=1的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√74x B ．y =±54xC ．y =±43xD ．y =±√73x5．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为3的点M 到焦点F 的距离为6，则p ＝（ ） A ．2B ．3C ．6D ．86．已知平面α的法向量为n →=(2，1，1)，若平面α外的直线l 的方向向量为a →=(−1，0，3)，则可以推断（ ） A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α斜交D ．l ⊂α7．已知点M 的坐标为（a ，b ），圆M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，则“|AB |＝|CD |”是“a ＝b ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件8．已知三棱锥O ﹣ABC ，点D 是OA 的中点，点G 是△ABC 的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则向量DG →用基底{a →，b →，c →}可表示为（ ）A ．−16a →+12b →+13c →B ．−16a →+13b →+13c →C ．16a →+16b →+16c → D ．23a →+13b →+13c →9．设点P 为函数y =√3|x|图象上的动点，Q 是圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝3（其中ab ＝0）上的动点，若|PQ |的最小值为√3，则以所有满足条件的点C 为顶点的多边形的面积为（ ） A ．24√3B ．16√3C ．8√3D ．8√3310．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段BC 1的中点，点F 是线段BD 上的动点，下列结论中错误的是（ ）A ．对于任意的点F ，均有EF ⊥A 1CB ．存在点F ，使得EF ∥平面AA 1B 1BC ．存在点F ，使得EF 与CC 1所成角是60°D ．不存在点F ，使得EF 与平面ABC 1D 1的所成角是30°二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11．直线y ＝1的倾斜角为 ．12．平面直角坐标系中，已知直线l 过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方程为 ．13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，则F 到l 的距离是 ；若斜率为√3的直线经过焦点F 在第一象限与抛物线交于点M ，过M 作MN 垂直于l 于点N ，则△MNF 的面积为 ． 14．已知椭圆C ：x 225+y 29=1与双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1有共同的焦点F 1，F 2，设两曲线的其中一个交点为P ，且cos ∠F 1PF 2=18，则双曲线的离心率为 ． 15．关于曲线W 1：x 2+y 2＝m 2，W 2：x 4+y 2＝m 2（m ＞0）． ①曲线W 2关于x 轴、y 轴和原点对称； ②当m ＝1时，两曲线共有四个交点；③当0＜m ＜1时，曲线W 1围成的区域面积大于曲线W 2所围成的区域面积；④当m =√2时，曲线W 2对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3． 上述结论中所有正确命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.16．（13分）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是C （0，1），且经过点M(√3，0)，直线l 的方程为x +y +m ＝0．（Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）若l 与圆C 相切，求m 的值；（Ⅲ）若直线l 被圆截得的弦长|MN|=2√3，求m 的值．17．（14分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，且经过点P （1，2）． （Ⅰ）求抛物线的标准方程、焦点坐标；（Ⅱ）经过焦点F 且斜率是1的直线l ，与抛物线交于A 、B 两点，求|AB |以及△OAB 的面积． 18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ＝2，点E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：BC ∥平面P AD ；（Ⅱ）求直线AC 与EB 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线EB 与平面P AD 所成角的正弦值．19．（16分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC =BC =√5，AB ＝2，AA 1＝3，M 为棱AB 的中点，点N 是A 1C 上靠近C 的三等分点． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面MCC 1； （Ⅱ）求二面角N ﹣B 1M ﹣A 的余弦值；（Ⅲ）棱AC 上是否存在点P ，使得点P 在平面B 1MN 内？若存在，求AP AC的值；若不存在，说明理由．20．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为2√2，离心率为√22，过右焦点且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，1），记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当|AB|=5√24时，求直线l 的方程； （Ⅲ）求证：k 1+k 2为定值．21．（13分）对于空间向量m →=(a ，b ，c)，定义||m →||=max{|a|，|b|，|c|}，其中max {x ，y ，z }表示x ，y ，z 这三个数的最大值．（Ⅰ）已知a →=(3，−4，2)，b →=(x ，−x ，2x)． ①直接写出||a →||和||b →||（用含x 的式子表示）； ②当0≤x ≤4，写出||a →−b →||的最小值及此时x 的值；（Ⅱ）设a →=(x 1，y 1，z 1)，b →=(x 2，y 2，z 2)，求证：||a →+b →||≤||a →||+||b →||；（Ⅲ）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，0，2），点Q 是△ABC 内部的动点，直接写出||OQ →||的最小值（无需解答过程）．2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目） 1．若直线x +y ﹣3＝0与2x +ay ﹣1＝0垂直，则a ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．−12解：直线x +y ﹣3＝0与2x +ay ﹣1＝0垂直，则1×2+1×a ＝0，解得a ＝﹣2． 故选：A ．2．椭圆的两个焦点是（﹣4，0）和（4，0），椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A ．x 25+y 24=1 B ．x 25+y 23=1C ．x 225+y 29=1D ．x 216+y 29=1解：椭圆的两个焦点是（﹣4，0）和（4，0），椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于10，则2a ＝10，即a ＝5，c ＝4，故b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣16＝9，所以椭圆的标准方程是x 225+y 29=1．故选：C ．3．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ． 4．若双曲线C ：x 29−y 2m=1的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√74x B ．y =±54xC ．y =±43xD ．y =±√73x解：由题意可知9+m =(82)2⇒m =7，即C ：x 29−y 27=1，所以a ＝3，b =√7，又双曲线的焦点在x 轴上， 则该双曲线的渐近线方程为y =±b ax =±√73x ． 故选：D ．5．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为3的点M 到焦点F 的距离为6，则p ＝（ ） A ．2B ．3C ．6D ．8解：由抛物线的方程可得准线方程为：x =−p2， 由抛物线的性质可得|MF |＝3+p2=6，解得p ＝6． 故选：C ．6．已知平面α的法向量为n →=(2，1，1)，若平面α外的直线l 的方向向量为a →=(−1，0，3)，则可以推断（ ） A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α斜交D ．l ⊂α解：因为平面α的法向量为n →=(2，1，1)，平面α外的直线l 的方向向量为a →=(−1，0，3)，则l ⊄α， 又n →⋅a →=−2+3＝1≠0，则l 与α不平行， 又不存在实数λ，使得n →=λa →，故l 与α不垂直， 故l 与α斜交． 故选：C ．7．已知点M 的坐标为（a ，b ），圆M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，则“|AB |＝|CD |”是“a ＝b ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件解：设圆M 的半径为r ，则圆心M 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |， 若|AB |＝|CD |，则2√r 2−b 2=2√r 2−a 2，可得|a |＝|b |，则a ＝±b ． 因为“a ＝±b ”⇏“a ＝b ”，且“a ＝±b ”⇐“a ＝b ”， 因此，“|AB |＝|CD |”是“a ＝b ”的必要不充分条件． 故选：B ．8．已知三棱锥O ﹣ABC ，点D 是OA 的中点，点G 是△ABC 的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则向量DG →用基底{a →，b →，c →}可表示为（ ）A ．−16a →+12b →+13c → B ．−16a →+13b →+13c → C ．16a →+16b →+16c →D ．23a →+13b →+13c →解：记BC 的中点为E ，连接AE ，则AE →=12(AB →+AC →)，又AB →=OB →−OA →=b →−a →，AC →=OC →−OA →=c →−a →， 所以AE →=12(b →−a →+c →−a →)=−a →+12b →+12c →，由重心性质可知AG →=23AE →， 所以AG →=23(−a →+12b →+12c →)，所以DG →=DA →+AG →=12a →+23（−a →+12b →+12c →）=−16a →+13b →+13c →．故选：B ．9．设点P 为函数y =√3|x|图象上的动点，Q 是圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝3（其中ab ＝0）上的动点，若|PQ |的最小值为√3，则以所有满足条件的点C 为顶点的多边形的面积为（ ） A ．24√3B ．16√3C ．8√3D ．8√33解：当a ＝0，b ＝0时，显然不满足题意；当a ＞0，b ＝0时，由图可知，|PQ |的最小值为圆心到直线y =√3x 的距离减去半径， 因为|PQ |的最小值为√3， 所以√3a|√3+1−√3=√3，解得a ＝4，此时圆心为（4，0）；当a ＜0，b ＝0时，由可对称性可知，此时圆心为（﹣4，0）；当a ＝0，b ＞0时，由图可知，|PQ |的最小值为圆心到直线y =√3x 的距离减去半径， 因为|PQ |的最小值为√3， 所以√3+1−√3=√3，解得b ＝4√3，此时圆心为（0，4√3）；当a ＞＝0，b ＜0时，由图可知，|PQ |的最小值为|OC |减去半径， 因为|PQ |的最小值为√3， 所以圆心为（0，﹣2√3）．连接四点得如图所示四边形，则该四边形的面积为：S=12×8×4√3+12×8×2√3=24√3．故选：A．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是线段BC1的中点，点F是线段BD上的动点，下列结论中错误的是（）A．对于任意的点F，均有EF⊥A1CB．存在点F，使得EF∥平面AA1B1BC．存在点F，使得EF与CC1所成角是60°D．不存在点F，使得EF与平面ABC1D1的所成角是30°解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，1），因为点F 是线段BD 上的动点，所以设DF →=λDB →=（2λ，2λ，0）（0＜λ＜1），即F （2λ，2λ，0）， 对于A ，因为EF →=(2λ−1，2λ−2，−1)，A 1C →=(−2，2，−2)，因为EF →⋅A 1C →=−2(2λ−1)+2(2λ−2)+2=0，所以对于任意的点F ，均有EF ⊥A 1C ，故A 正确； 对于B ，因为EF →=(2λ−1，2λ−2，−1)，平面AA 1B 1B 的一个法向量为DA →=(2，0，0)， 因为EF ⊄平面AA 1B 1B ，若EF →⋅DA →=2(2λ−1)=0，即λ=12时，EF ∥平面AA 1B 1B ， 所以存在点F ，使得EF ∥平面AA 1B 1B ，故B 正确；对于C ，因为EF →=(2λ−1，2λ−2，−1)，CC 1→=(0，0，2)， 所以|cos ＜EF →，CC 1→＞|=|EF →⋅CC 1→||EF →||CC 1→|=22×√(2λ−1)+(2λ−2)+1=12，解得λ=3±√54， 所以存在点F ，使得EF 与CC 1所成角是60°，故C 正确；对于D ，因为EF →=(2λ−1，2λ−2，−1)，AB →=(0，2，0)，AD 1→=（﹣2，0，2）， 设平面ABC 1D 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2y =0n →⋅AD 1→=−2x +2z =0，解得{z =x y =0，令x ＝1，得n →=(1，0，1)， 若EF 与平面ABC 1D 1的所成角是30°， 则sin30°=|cos ＜EF →，n →＞|=|2λ−1−1|√2×√(2λ−1)2+(2λ−2)2+1=12，解得：λ=5±√54， 所以存在点F ，使得EF 与平面ABC 1D 1的所成角是30°，故D 错误． 故选：D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11．直线y ＝1的倾斜角为 0° ． 解：直线y ＝1的斜率为0，倾斜角为0°． 故答案为：0°．12．平面直角坐标系中，已知直线l 过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方程为 y ＝±2x +4 ．解：设直线方程为y ＝kx +4，交x 轴于A(−4k ，0)，B （0，4）．可得S △AOB =12×|−4k|×4=4，解得k ＝±2，所以直线l 的方程为y ＝±2x +4． 故答案为：y ＝±2x +4．13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，则F 到l 的距离是 4 ；若斜率为√3的直线经过焦点F 在第一象限与抛物线交于点M ，过M 作MN 垂直于l 于点N ，则△MNF 的面积为 16√3 ． 解：由抛物线C ：y 2＝8x 的方程可得焦点为F （2，0），准线为l ：x ＝﹣2，所以F 到l 的距离为2+2＝4；设直线MF 的方程为x =√33y +2，联立{x =√33y +2y 2=8x，整理可得y 2−8√33y ﹣16＝0，因为M 在第一象限，所以y M =8√33+(8√33)22=4√3，x M =(4√3)28=6，所以S △MNF =12|MN |•y M =12×（6+2）×4√3=16√3． 故答案为：4；16√3． 14．已知椭圆C ：x 225+y 29=1与双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1有共同的焦点F 1，F 2，设两曲线的其中一个交点为P ，且cos ∠F 1PF 2=18，则双曲线的离心率为 43 ．解：由题知，椭圆长半轴长为5，短半轴长为3，所以c ＝4，不妨设交点P 在第一象限，记|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆和双曲线定义知，{m +n =10m −n =2a ，解得m ＝5+a ，n ＝5﹣a ，又因为cos ∠F 1PF 2=18，由余弦定理可得(5+a)2+(5−a)2−2(5+a)(5−a)×18=64，解得a ＝3，所以e =ca =43． 故答案为：43．15．关于曲线W 1：x 2+y 2＝m 2，W 2：x 4+y 2＝m 2（m ＞0）． ①曲线W 2关于x 轴、y 轴和原点对称； ②当m ＝1时，两曲线共有四个交点；③当0＜m ＜1时，曲线W 1围成的区域面积大于曲线W 2所围成的区域面积；④当m=√2时，曲线W2对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3．上述结论中所有正确命题的序号是①②④．解：①由点（x，y）在W2：x4+y2=m2(m＞0)上，对于点（x，﹣y），代入方程x4+（﹣y）2＝x4+y2＝m2，也在W2上；对于点（﹣x，y），代入方程（﹣x）4+y2＝x4+y2＝m2，也在W2上；对于点（﹣x，﹣y），代入方程（﹣x）4+（﹣y）2＝x4+y2＝m2，也在W2上；所以曲线W2关于x轴、y轴和原点对称，故①对；②当m＝1时，W1：x2+y2=1，W2：x4+y2=1，联立可得x4+1﹣x2＝1，即x2（x2﹣1）＝0⇒x＝0或x＝±1，当x＝0时，都有y＝±1，即存在交点（0，﹣1），（0，1）；当x＝±1时，都有y＝0，即存在交点（﹣1，0），（1，0）；综上，共有四个交点，故②对；③当0＜m＜1时，对于曲线W1是圆心为原点，半径为m的圆，对于曲线W2，有y2＝m2﹣x4≥0，即0≤x2≤m，所以曲线W2上任意一点（x，y）到原点距离d=√x2+y2=√−(x2−12)2+14+m2，由0＜m＜1，结合二次函数的性质知x2＝0时，d min＝m，即d≥m恒成立，所以曲线W2面积更大，故③错；④当m=√2时，则W2：x4+y2=2，故y2＝2﹣x4≥0，可得−√2≤x2≤√2，曲线W2上任意一点（x，y）到原点距离d=√x2+y2=√−(x2−12)2+94，当x2=12时，d max=32，结合对称性知，曲线W2对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3，故④对．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.16．（13分）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是C（0，1），且经过点M(√3，0)，直线l的方程为x+y+m ＝0．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若l与圆C相切，求m的值；（Ⅲ）若直线l被圆截得的弦长|MN|=2√3，求m的值．解：（I）由圆的圆心是C（0，1），且经过点M(√3，0)，所以r ＝|CA |＝2，所以圆C 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝4． （Ⅱ）由l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d =|0+1+m|√1+1=|m+1|√2=2， 解得m =2√2−1或−2√2−1； （Ⅲ）设圆心C 到直线l 的距离为d ′，由直线l 被圆截得的弦长|MN|=2√3，得(d ′)2+(|MN|2)2=4， 因为|MN|=2√3，所以d ′＝1， 即有d ′=|0+1+m|√1+1=|m+1|√2=1，解得m =−1+√2或−1−√2． 17．（14分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，且经过点P （1，2）． （Ⅰ）求抛物线的标准方程、焦点坐标；（Ⅱ）经过焦点F 且斜率是1的直线l ，与抛物线交于A 、B 两点，求|AB |以及△OAB 的面积． 解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴， 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px （p ＞0）， 因为抛物线经过点P （1，2），解得p ＝2所以抛物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为（1，0）； （Ⅱ）因为直线l 经过焦点F 且斜率是1， 所以直线l 的方程为y ＝x ﹣1联立{y =x −1y 2=4x ，消去y 并整理得x 2﹣6x +1＝0不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由韦达定理得x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1，此时|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8， 又ℎ=d =12=√22， 故S =12×8×√22=2√2． 18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ＝2，点E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：BC ∥平面P AD ；（Ⅱ）求直线AC 与EB 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线EB 与平面P AD 所成角的正弦值．（I ）证明：因为ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ， 因为BC ⊄平面PCB ，AD ⊂平面P AD ， 所以BC ∥平面P AD ．（Ⅱ）解：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥DC ， 又因为底面ABCD 是正方形，所以AD ⊥DC ，如图，以DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由题意则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），E （0，1，1），C （0，2，0）， 则AC →=(−2，2，0)，EB →=(2，1，−1)，所以AC →•EB →=−2×2+2×1+0×（﹣1）＝﹣2，|AC →|=√(−2)2+22+02=2√2，|EB →|=√22+12+(−1)2=√6，所以cos〈AC →，EB →〉=AC →⋅EB →|AC →||EB →|=−22√2×6=√36，所以线线所成角的余弦值为√36． （Ⅲ）解：平面P AD 的法向量为n →=(0，1，0)，EB →=(2，1，−1)，所以n →•EB →=0×2+1×1+0×（﹣1）＝1，|n →|＝1， 设直线EB 与平面P AD 所成角为θ， 则sinθ=|cos〈EB →，n →〉|=|EB →⋅n →||EB →||n →|=1√6=√66．19．（16分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC =BC =√5，AB ＝2，AA 1＝3，M 为棱AB 的中点，点N 是A 1C 上靠近C 的三等分点． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面MCC 1； （Ⅱ）求二面角N ﹣B 1M ﹣A 的余弦值；（Ⅲ）棱AC 上是否存在点P ，使得点P 在平面B 1MN 内？若存在，求AP AC的值；若不存在，说明理由．解：（I ）证明：连接AC 1，BC 1，由于AM ＝MB ，AC ＝BC ，所以AB ⊥CM ， 在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AB ， 又CM ∩CC 1＝C ，所以AB ⊥平面CC 1M ； （Ⅱ）如图，取A 1B 1中点Q ，由于AA 1⊥平面ABC ，MQ ∥AA 1，因此MQ ⊥平面ABC ， 又因为AC ＝BC ，所以MB ⊥MC ，故MB ，MC ，MQ 两两垂直，以M 为坐标原点，分别以MB →，MC →，MQ →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系M ﹣xyz ， 则A 1（﹣1，0，3），C （0，2，0），B 1（1，0，3），M （0，0，0），N(−13，43，1)， A 1C →=(1，2，−3)，MB →1=(1，0，3)，MN →=(−13，43，1)， 设平面B 1MN 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)，则有{n 1→⋅MB 1→=x +3z =0n 1→⋅MN →=−13x +43y +z =0， 取z ＝﹣1，则有x ＝3，y =32，则n 1→=(3，32，−1)， 平面B 1MA 的法向量为n 2→=(0，1，0)， 设所求二面角为θ， 则cosθ=|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=，32，−1)⋅(0，1，0)√32+(32)+(−1)2=37；（Ⅲ）设AP →=λAC →=λ(1，2，0)=(λ，2λ，0)(0≤λ≤1)， 则MP →=MA →+AP →=(−1，0，0)+λ(1，2，0)=(λ−1，2λ，0)， 因为平面B 1MN 的法向量n 2→=(3，32，−1)， 若点P 在平面B 1MN 内，则MP →垂直于n 2→，所以MP →⋅n 2→=(λ−1，2λ，0)⋅(3，32，−1)=6λ−3=0， 解得λ=12∈[0，1]，所以棱AC 上存在点P 在平面B 1MN 内，此时AP AC=12．20．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为2√2，离心率为√22，过右焦点且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，1），记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当|AB|=5√24时，求直线l 的方程； （Ⅲ）求证：k 1+k 2为定值．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的长轴长为2√2， 所以2a =2√2，解得a =√2，因为椭圆C 的离心率e =ca =√22，解得c ＝1，所以b 2＝a 2﹣c 2＝1， 则椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的右焦点F （1，0）， 易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 22+y 2=1y =k(x −1)，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2（k 2﹣1）＝0，此时Δ＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=4k21+2k2，x 1x 2=2(k 2−1)1+2k2，因为|MN|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=5√24 所以√1+k 2⋅√(4k21+2k2)2−4⋅2(k 2−1)1+2k2=5√24，即2(1+k 2)1+2k 2=54，解得k =±√62， 则直线l 的方程为y =±√62(x −1)；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知k 1+k 2=1−y12−x 1+1−y22−x 2=(1−y 1)(2−x 2)+(1−y 2)(2−x 1)4−2(x 1+x 2)+x 1x 2因为4﹣（x 1+x 2）﹣2（y 1+y 2）+x 2y 1+x 1y 2＝2kx 1x 2﹣（1+3k ）（x 1+x 2）+4k +4．所以k 1+k 2=2k×2(k 2−1)1+2k 2−(1+3k )×4k21+2k2+4k+44−2×4k 21+2k 2+2(k 2−1)1+2k2=2k×2(k 2−1)−4k 2(1+3k)+4(k+1)(1+2k 2)4(1+2k 2)−8k 2+2(k 2−1)=4k 2+42k 2+2=2，综上所述，k 1+k 2为定值2．21．（13分）对于空间向量m →=(a ，b ，c)，定义||m →||=max{|a|，|b|，|c|}，其中max {x ，y ，z }表示x ，y ，z 这三个数的最大值．（Ⅰ）已知a →=(3，−4，2)，b →=(x ，−x ，2x)． ①直接写出||a →||和||b →||（用含x 的式子表示）； ②当0≤x ≤4，写出||a →−b →||的最小值及此时x 的值；（Ⅱ）设a →=(x 1，y 1，z 1)，b →=(x 2，y 2，z 2)，求证：||a →+b →||≤||a →||+||b →||；（Ⅲ）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，0，2），点Q 是△ABC 内部的动点，直接写出||OQ →||的最小值（无需解答过程）．解：（Ⅰ）（1）因为|﹣4|≥|3|≥|2|，|2x |≥|x |＝|﹣x |，所以||a ||＝4，||b ||＝|2x |； （2）由题意，可得a →−b →=(3−x ，−4+x ，2−2x)， y ＝|3﹣x |，y ＝|﹣4+x |，y ＝|2﹣2x |的图象，如图所示．由图可知，‖a →−b →‖={−x +4，0≤x ≤22x −2，2＜x ≤4，所以|a ﹣b |min ＝2，此时x ＝2．（Ⅱ）‖a →+b →‖=max{|x 1+x 2|，|y 1+y 2|，|z 1+z 2|}≤max{|x 1|+|x 2|，|y 1|+|y 2|，|z 1|+|z 2|}， 因为‖a →‖=max{|x 1|，|y 1|，|z 1|}，‖b →‖=max{|x 2|，|y 2|，|z 2|}， 所以|x 1|，|y 1|，|z 1|≤‖a →‖，|x 2|，|y 2|，|z 2|≤‖b →‖，所以|x 1|+|x 2|≤‖a →‖+‖b →‖，|y 1|+|y 2|≤‖a →‖+‖b →‖，|z 1|+|z 2|≤‖a →‖+‖b →‖， 所以‖a →+b →‖≤max{‖a →‖+‖b →‖，‖a →‖+‖b →‖，‖a →‖+‖b →‖}=‖a →‖+‖b →‖． （Ⅲ）由题意Q ，A ，B ，C 四点共面，所以由四点共面的充要条件可知， OQ →=xOA →+yOB →+(1−x −y)OC →=(2x ，2y ，2−2x −2y)，由（Ⅱ）可知，‖OQ →‖=max{|2x|，|2y|，|2−2x −2y|}≥|2x|，|2y|，|2−2x −2y|， 所以‖OQ →‖=max{|2x|，|2y|，|2−2x −2y|}≥|2x|+|2y|+|2−2x−2y|3≥|2x+2y+2−2x−2y|3=23， 所以‖OQ →‖min =23，等号成立当且仅当x =y =13．。
北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若向量(1,2,2)a =- ，(2,4,4)b =-- ，则向量a与bA ．不共线B ．垂直C ．平行D ．以上都不对二、多选题2．直线:40l x y ++=的一个方向向量（）A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ．(1,1)-三、单选题3．直线220x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．14．圆22(1)(1)1x y ++-=关于直线1x =对称的圆的方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(3)(1)1x y -+-=C ．22(1)1y x +-=D ．22(1)(3)1x y ++-=5．已知椭圆方程为：223412x y +=，则该椭圆的长轴长为（）A ．4B ．2C ．D6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1CC 上一动点，2AD =，则11AP A D ⋅等于（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-7．如图，过点P 分别作平面α，β，γ截圆柱得到椭圆1C ，2C ，3C .其中，椭圆1C ，3C 所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆1C ，2C ，3C 的离心率分别为1e ，2e ，3e ，它们的大小关系为（）A ．123e e e >>B ．123e e e =>C ．132e e e =>D ．213e e e >=8．圆22:(1)1C x y -+=上的点P 到直线cos sin 3()x y θθθ+=∈R 的距离为d ，点P 和θ在变化过程中，d 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．定义一个集合M ，集合中的元素是空间中的点，任取1A ，2A ，3A M ∈，存在不全为0的实数1λ，2λ，3λ，使得1122330OA OA OA λλλ++=（其中O 为空间直角坐标系中的原点）.若()0,0,2M ∈，则()2,0,0M ∉的一个充分条件为（）A ．()0,0,1M -∈B ．()1,1,0M ∈C ．()1,0,1M∈D ．()1,0,0M∈10．已知曲线()32222:4C x y x y +=，则下列说法正确的有几个（）（1）C 关于原点对称；（2）C 只有两条对称轴；（3）曲线C 上点到原点最大距离是1；（4）曲线C 所围成图形的总面积小于π；A ．1B ．2C ．3D ．4四、填空题11．直线y x =与直线1y x =-之间的距离为.12．已知椭圆221x y m+=的一个焦点为(1,0)，则m =.13．如图，空间四边形OABC 中，6条棱长都为a ，且2OM MA = ，BN NC =，则MN =（用OA ，OB，OC 表示）.14．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成4等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ，2P ，3P ，3个点，F 是椭圆的一个焦点，则123PF P F P F ++=.15．已知圆2216x y +=和定点()2,0P ，动点M 在圆上，Q 为PM 中点，O 为坐标原点．则下面说法正确的是．①点Q 到原点的最大距离是4；②若OMP 是等腰三角形，则其周长为10；③点Q 的轨迹是一个圆；④OMP ∠的最大值是π6．五、解答题16．已知圆C 的圆心在y 轴上，若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --.(1)求出圆C 的标准方程；(2)过原点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程.17．如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，对角线1BC ，1B C 相交于O ，1AB B C ⊥，1AB AC =.(1)求证：AO ⊥平面11BB C C ；(2)若1AC AB ⊥，AC =160CBB ∠=︒，棱1BB 的中点为D ，以棱CD ，1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系-C xyz （如图）.①直接写出1A ，1B 的坐标；②求异面直线1B C 与11A C 所成角的余弦值.18．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点()，)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与C 交于不同的两点A ，B .(1)求轨迹C 的方程；(2)求斜率k 的取值范围；(3)当1k =-时，求A ，B 两点坐标.19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒.(1)若E 为棱PD 的中点，求证：直线//CE 平面PAB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在棱PC 上，且二面角M AB D --的大小为45︒，求直线BM 与底面ABCD 所成角的正弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，其长轴的左、右两个端点分别为1A ，2A ，短轴的上、下两个端点分别为1B 、2B ，四边形1221A B A B 的面积为4.(1)求椭圆Γ的方程；(2)P 是椭圆上不同于1A ，2A 的一个动点.①直线1PA 、2PA 与y 轴分别交于,C D 两点，求证：||||OC OD ⋅为定值；②直线1PA 、2PA 分别与直线4x =交于,M N ，判断以线段MN 为直径的圆是否经过定点并说明.21．设,m n *∈N ，已知由正整数组成的集合{}()1212,,,n n S a a a a a a =⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<，集合1S ，2S ，…，m S 是S 的互不相同的非空子集，定义n m ⨯数表：111212122212m m n n nm x x x x x x x x x χ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，其中1,0,i jij i j a S x a S ∈⎧=⎨∉⎩，设()12(1,2,,)i i i im d a x x x i n =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅，令()d S 是()1d a ，()2d a ，…，()n d a 中的最大值．(1)若3m =，{1,2,3}S =，且101011100χ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求1S ，2S ，3S 及()d S ；(2)若{1,2,,}S n =⋅⋅⋅，集合1S ，2S ，…，m S 中的元素个数均相同，若()3d S =，求n 的最小值；(3)若7m =，{1,2,,7}S =⋅⋅⋅，集合1S ，2S ，…，7S 中的元素个数均为3，且(17)i j S S i j ≠∅≤<≤ ，求证：()d S 的最小值为3．。
北京牛栏山第一中学数学圆 几何综合单元测试卷(解析版)
北京牛栏山第一中学数学圆 几何综合单元测试卷（解析版）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．（1）求证：△ABD ≌△AFE（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24S DE π=，所以利用二次函数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB =， ∴BF=2cos cos45AB ABF =∠=8，设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，∵BE 2=EF 2+BF 2， 82＜BE ≤413 ，∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()222844S DE x x ππ⎡⎤==+-⎣⎦=()2482x ππ-+，∵2π＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.2．已知：在△ABC 中，AB=6，BC=8，AC=10，O 为AB 边上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径作圆交AC 于D 点，过D 作⊙O 的切线交BC 于E.（1）若O 为AB 的中点(如图1)，则ED 与EC 的大小关系为：ED EC （填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？ （3）当⊙O 过BC 中点时（如图3），求CE 长. 【答案】（1）ED=EC ；（2）成立；（3）3 【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．3．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒5AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x =-+（2）d =5t （3）故当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）． 【解析】试题分析：（1）由C （0，8），D （-4，0），可求得OC ，OD 的长，然后设OB=a ，则BC=8-a ，在Rt △BOD 中，由勾股定理可得方程：（8-a ）2=a 2+42,解此方程即可求得B 的坐标，然后由三角函数的求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式；（2）在Rt △AOB 中，由勾股定理可求得AB 的长，继而求得∠BAO 的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ，则可求得d 与t 的函数关系式；（3）首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，易证得四边形NTOS 是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解; 试题解析：（1）∵C （0，8），D （-4，0）， ∴OC=8，OD=4， 设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ， 在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2， 则（8-a ）2=a 2+42， 解得：a=3， 则OB=3， 则B （0，3）， tan ∠ODB=34OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k b b +== ，解得：1{23k b =-= ，故直线AB 的解析式为：y=-12x +3； （2）如图所示：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6， 则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OAcos BAO AB∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，则AQ=10cos APt BAO =∠ ,∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，∴QR=12 AQ=5t, 即d=5t;（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形， 则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ， 解得：85t = ;若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：132n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，即1524t =, 解得：t=815∴当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。
北京市顺义牛栏山2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷含答案
数学试卷（答案在最后）（120分钟）2024.04第一部分（选择题共24分）一、选择题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要求的一项.1.sin 585︒的值为（）A.2B.2-C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.【详解】2sin585sin(360225)sin(18045)sin 452︒=︒+︒=︒+︒=-︒=-.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy 中，若角α的终边经过点()4,3-，则sin α，cos α分别为（）A.4-，3B.3，4- C.45-，35D.35，45-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】因为角α的终边经过点()4,3-，所以3sin 5α==，4cos 5α==-.故选：D3.设O ，A ，B ，C 为平面四个不同点，它们满足34OB OC OA +=，则（）A.A ，B ，C 三点共线B.O ，B ，C 三点共线C.A ，O ，C 三点共线D.A ，B ，O 三点共线【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则得到3AB CA =，即可判断.【详解】因为34OB OC OA +=，所以33OB OA OA OC -=-，即()3OB OA OA OC -=- ，所以3AB CA = ，所以//AB CA，所以A ，B ，C 三点共线.故选：A4.下列条件满足ABC V 为直角三角形的个数为（）①()()sin sin A B A B -=+；②sin sin cos cos C B C B =；③22sin sin 1C B +=A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】利用和差角公式判断①②，利用特殊值判断③.【详解】对于①：()()sin sin A B A B -=+，所以sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，所以cos sin 0=A B ，又()0,πB ∈，sin 0B >，所以cos 0A =，又()0,πA ∈，所以π2A =，则ABC V 为直角三角形，故①正确；对于②：sin sin cos cos C B C B =，则cos cos sin sin 0C B C B -=，即()cos 0B C +=，又()0,πB C +∈，所以π2B C +=，则π2A =，即ABC V 为直角三角形，故②正确；对于③：当π6B =，2π3C =，则1sin 2B =，sin 2C =，满足22sin sin 1C B +=，但是ABC V 为钝角三角形，故③错误.故选：C5.已知tan tan αβ>，那么下列命题成立的是（）A.若α，β是第一象限角，则cos cos αβ>B.若α，β是第二象限角，则sin sin αβ>C.若α，β是第三象限角，则cos cos αβ<D.若α，β是第四象限角，则sin sin αβ>【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若α，β是第一象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线，如图1所示，则cos ,cos OA OA OPOQαβ==，因为OP OQ >，所以cos cos αβ<，所以A 错误；对于B 中，若α，β是第二象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线得到有向线段11,N N M M ，如图2所示，则11sin ,sin N N M M αβ==，所以sin sin αβ<，所以B 错误；对于C 中，若α，β是第三象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线得到有向线段11,OM ON ，如图3所示，则11cos ,cos OM ON αβ==，所以cos cos αβ>，所以C 错误；对于D 中，若α，β是第四象限角，且tan tan αβ>，作出三角函数线得到有向线段11,M M N N ，如图4所示，则11sin ,cos M M N N αβ==，所以sin sin αβ>，所以D 正确.故选：D.6.函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>图像上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足π6r s -=，则下列结论成立的是（）A.π162f s 骣琪+=琪桫 B.π362f s 骣琪+=琪桫C.π162f s 骣琪-=-琪桫 D.π362f s 骣琪-=-琪桫【答案】B 【解析】【分析】先求出周期，其次根据(),P s t ，()(),0Q r t t >在函数()f x 图象上，根据正弦函数的对称性可得22π2π,Z r s k k j j +++=+Î，再联立π6r s -=得到2s j +值，根据0t >缩小2s j +的取值范围，最后代入π6f s 骣琪+琪桫和π6f s 骣琪-琪桫求值即可.【详解】周期2ππ2T ==，因为函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>图像上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >，所以()()sin 2sin 20s r t jj +=+=>，因为ππ644T r s -=<=，所以0222T r s <-<，故由正弦函数图像的性质可得22π2π,Z r s k k j j +++=+Î，联立22π2π2π6r s k r s ϕ+=+-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得π2π3s k j =+-，则π2π3s k j +=+，又()()sin 2sin 20s r t jj+=+=>，所以11π22π,Z 3s k k j +=+Î，所以πππsin 2sin 2663f s s s j j 轾骣骣骣犏琪琪琪+=++=++琪琪琪犏桫桫桫臌1π2πsin sin 332π2π3k 骣琪=+==琪ø+è，故B 正确；A 错误；πππsin 2sin 2663f s s s j j 轾骣骣骣犏琪琪琪-=-+=-+琪琪琪犏桫桫桫臌1πsin sin 0π2π303k 骣琪==÷桫+-=ç，故C 、D 错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据正弦函数的对称性得到22π2π,Z r s k k j j +++=+Î.第二部分（非选择题共126分）二、填空题共9道小题，其中7-10题，每小题4分，共16分，11-15题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.7.两个非零向量()1,1a x =- ，()21,0b x =-共线，则x =______.【答案】1【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示可求x 的值.【详解】因为()1,1a x =-，()21,0b x =- 共线，故()()10121x x ⨯=--，故1x =或12x =，而当12x =时，0b = ，与题意不合，舍，故1x =，故答案为：1.8.设1x ，2x 为方程220x x m --=的两个根，且1220x x +=，则m 的值为______.【答案】8【解析】【分析】利用韦达定理计算可得.【详解】因为1x ，2x 为方程220x x m --=的两个根，所以440m ∆=+≥即1m ≥-，且12122x x x x m +=⎧⎨=-⎩，又1220x x +=，所以1224x x =-⎧⎨=⎩，所以24m -=-⨯，解得8m =.故答案为：89.函数()cos f x x =在π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据题意，结合余弦函数的图象与性质，即可求解.【详解】由余弦函数的性质，可得()cos f x x =在π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,π上单调递减，所以，当0x =时，()()max 01f x f ==，又因为π1(,(π)132f f -==-，所以函数()f x 的值域为[1,1]-.故答案为：[1,1]-.10.已知)a =，()b =- ，则a与b 的夹角为______．【答案】2π3【解析】【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.【详解】由题意可知：624,2,4a b a b ⋅=-+=-==r r rr ，可得1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅r r r r r r ，且[],0,πa b ∈ ，所以a与b 的夹角为2π3.故答案为：2π3.11.函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭向右平移()0s s >个单位后得到P '，若P '落在函数sin 2y x =上，则s 的最小值为______.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先把点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭代入πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭求出12t =，再把π,4P s t 骣¢琪+琪桫代入sin 2y x =，求出s 值，结合0s >求出其最小值即可.【详解】因为点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上，所以ππ1sin 2432t 骣琪=´+=琪桫，由题意可知π,4P s t 骣¢琪+琪桫，又P '落在函数sin 2y x =上，所以ππ1sin 2sin 2cos 2422s s s 轾骣骣犏琪琪´+=+==琪琪犏桫桫臌，解得π22π3s k =+或π2π,Z 3k k -Î，即ππ6s k =+或ππ,Z 6k k -Î，又0s >，所以π6s =，即s 的最小值为π6.故答案为：π6.12.若π3αβ+=，则tan tan tan αβαβ++的值______.【解析】【分析】利用两角和的正切公式计算可得.【详解】因为π3αβ+=，则()πtan tan 3αβ+==，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-所以)tan tan 1tan tan αβαβ+=-所以tan tan tan αβαβ++=13.如图，函数()()()cos 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>>≤<，则ω=______；ϕ=______.【答案】①.π4②.7π4【解析】【分析】由周期的定义结合图象可得π4ω=，代入点()3,0后再结合余弦函数值可得7π4ϕ=.【详解】由图象可知，函数的周期为()718T =--=，所以2ππ4T ω==；根据五点法，当3x =时，ππ32π,Z 42k k ϕ⨯+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=-∈，因为0πϕ≤<2，所以π47ϕ=；故答案为：π4；7π4.14.若()()sin sin 044f x a x b x ab ππ⎛⎫⎛⎫=++-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则有序实数对(),a b 可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】()1,1（答案不唯一）【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a ，b 应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.【详解】已知0ab ≠，()sin sin cos cos 442222f x a x b x a x x b x x ππ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭)()sin cos 22a b x a b x =++-，若()f x 是奇函数，则0a b -=即可，可以取1a =，1b =.故答案为：()1,1（答案不唯一）15.在平面直角坐标系xOy 中，()1,0A ，()0,2B .集合{},02,01M P OP OA OB λμλμ==+≤≤≤≤，下列结论正确的是______.①点()3,1C M ∈；②若45AOP ∠=︒，则2λμ=；③若1ON = ，则OP ON ⋅的最小值为-.【答案】②③【解析】【分析】首先求出点P 所在的平面区域，再数形结合即可判断.【详解】对于①，因为()1,0A ，()0,2B ，所以()1,0OA = ，()0,2OB =，又()()()1,00,2,2OP OA OB λμλμλμ=+=+=，因为02λ≤≤，01μ≤≤，所以点P 在边长为2的正方形OBEF 区域内（包括边界上的点），如下图所示：显然()3,1C M ∉，故①错误；对于②，若45AOP ∠=︒，即P 在OE 上，则OP tOE =()01t <≤，又2OE OA OB =+ ，所以2OP tOA tOB =+，又OP OA OB λμ=+ ，OA 、OB不共线所以2t t λμ=⎧⎨=⎩，所以2λμ=，故②正确；对于③，因为1ON =，则N 在以圆点为圆心，半径为1的圆上，由图可知当P 在E 点且N 在EO 的延长线与圆的交点时OP ON ⋅取得最小值，且()()min11OP ON⋅=⨯-=-.故答案为：②③三、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16.函数()()22cos sin 0f x x x ωωω=->的最小正周期为π.（1）求ω；（2）求()f x 的单调递增区间，【答案】（1）1ω=（2）ππ,π,Z 2k k k 轾-Î犏犏臌【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简()cos 2f x x w =，再由周期的定义求出1ω=；（2）由余弦函数的单调递增区间解出即可.【小问1详解】因为()22cossin cos 2f x x x x w w w =-=，所以2ππ12w w=Þ=，【小问2详解】由（1）可知，()cos 2f x x =，所以π2ππ22π,Z ππ,Z 2k x k k k x k k -＃无-＃，所以()f x 的单调递增区间为ππ,π,Z 2k k k 轾-Î犏犏臌.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对应边长分别为a ，b ，c ，其中4a =，2b =，60A =︒.（1）求c ；（2）求sin B .【答案】（1）1+（2）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可（2）利用正弦定理求解即可【小问1详解】由余弦定理得2222cos a c b bc A =+-，即21642c c =+-，解得1c =（负值舍去）.故c 值为1+.【小问2详解】由正弦定理得sin 2sin 60sin 44b A B a ︒⨯===.故sin B 值为34.18.在ABC V 中，角A ，B ，C 对应边长分别为a ，b ，c .（1）设AD ，BE ，CF 是ABC V 的三条中线，用AB ，AC 表示AD ，BE ，CF ；（2）设90A ∠=︒，AD BC ⊥，求证：2AD BD DC =⋅.（用向量方法证明）【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；（2）根据题意，得到,D BD C AD AB AC AD =-=- ，结合向量的数量积的运算公式和数量积的几何意义，即可得证.【小问1详解】解：由AD ，BE ，CF 是ABC V 的三条中线，可得1111()2222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，1122BE AE AB AC AB AB AC =-=-=-+ ，12CF AF AC AB AC =-=-uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r.【小问2详解】证明：在ABC V 中，因为90A ∠=︒，AD BC ⊥，所以0AB AC ⋅= ，可得,D BD C AD AB AC AD =-=-，则()()2BD DC AD AB AC AD AD AC AD AB AC AD AB ⋅=-⋅-=⋅--⋅+⋅ 2AD AC AD AB AD =⋅+⋅- ，因为22cos ,cos AD AC AD AC A CA D AD AB AD A D BA D D B A ⋅=∠=⋅=∠= ，所以2222BD DC AD AD AD AD +-=⋅= ，即2AD BD DC =⋅.19.设00x x y y =⎧⎨=⎩是方程2214x y +=的一组解，计算：（1）000022y y x x ⋅+-；（2）求000022112x y y x ++--的值.【答案】（1）14-（2）4【解析】【分析】（1）依题意可得220014x y +=，即220044x y +=，再将所求式子化简，最后整体代入即可；（2）由a b ab =将所求式子展开，再代入220044x y +=计算可得.【小问1详解】因为00x x y y =⎧⎨=⎩是方程2214x y +=的一组解，所以220014x y +=，即220044x y +=，即220044x y -=-，则220000220000122444y y y y x x x y ⋅===-+---.【小问2详解】因为000022112x y y x ++--000000222122y x y x y x -=-++--()()()200002122y x y x =-+--2200000000004444282y x x y x x y y x y +++-+---=又220044x y +=，所以原式000000008448242y x y x x y y x =----+=+，即0000221412x y y x ++=--.20.已知函数()sin cos f x x x =+，∈.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值并直接写出()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值并写出取得最大值时x 的集合；（3）定义()()max x g a f x a ∈=-R，a ∈R ，求函数()g a 的最小值.【答案】（1）π2π1632f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期为π2.（2）()max f x =x 的取值集合为ππ|,Z 42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（3）()min 12g a -=【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，而()f x =，故可求()f x =的最小正周期.（2）先求出0sin 21x ≤≤，结合（1）的化简结果可得()f x 何时取何最值.（3）利用（2）的结合可求()g a 的解析式，故可求其最小值.【小问1详解】πππ312π2π2π31sin cos ,sin cos 66623332f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x =，而sin 2y x =的最小正周期为π2，故()f x =的最小正周期为π2.【小问2详解】因为0sin 21x ≤≤，故()1f x ≤≤故()max f x =，此时sin 21x =±即π2π2x k =+即ππ,Z 42k x k =+∈.对应的x 的集合为ππ|,Z 42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；【小问3详解】由（2）可知，()min 1f x =，()max f x =，当1a ≤时，()()f x a f x a -=-，所以()g a a =；当a ≥()()f x a a f x -=-，所以()1g a a =-；当1a <<时，()}1,12max ,111,2a a g a a a a a +-<≤=-=⎨⎪-<<⎪⎩，综上，()1,211,2a a g a a a +-≤=⎨+⎪->⎪⎩，故()min 12g a -=.21.已知集合(){}{}()12,,,,0,1,1,2,,2n n i S X X x x x x i n n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅≥，对于()12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，()12,,,n n B b b b S =⋅⋅⋅∈，定义A 与B 的差为()1122,,,n n A B a b a b a b -=--⋅⋅⋅-，A 与B 之间的距离为()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）直接写出n S 中元素的个数，并证明：任意,n A B S ∈，有n A B S -∈；（2）证明：任意,,n A B C S ∈，有()()(),,,d A B d A C d B C ++是偶数；（3）证明：,,n A B C S ∀∈，有()()()(),,,,d B C d A B d A C d B C -≤-≤.【答案】（1）n S 中元素的个数为2n ；证明见详解（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意分析可知n S 中元素的个数为2n ，结合定义可得{}0,1i i a b -∈，即可证明结论；（2）分类讨论可知i i i i i i a b a c b c -+-+-为偶数，结合定义分析证明即可；（3）根据题意分析可得i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-，进而可得结果.【小问1详解】因为{}0,1,1,2,,,2i x i n n ∈=⋅⋅⋅≥，可知i x 均为2个值可取，所以n S 中元素的个数为2n ，对于任意1212(,,,),(,,,)n n n A a a a B b b b S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，可知{}0,1,1,2,,,2,i i b a i n n ∈=⋅⋅⋅≥，则i i a b -的结果如下表所示：ia ib 01001110可得{}0,1i i a b -∈，所以n A B S -∈.【小问2详解】设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，{},,0,1(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅，对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，均有i i i i a b b a -=-，则()(),,d A B D B A =，若,,i i i a b c 均为0或,,i i i a b c 均为1，则0i i i i i i a b a c b c -=-=-=，所以0i i i i i i a b a c b c -+-+-=为偶数；若,,i i i a b c 中有1个0，2个1，不妨设,01i i i a b c ===，则1,0i i i i i i a b a c b c -=-=-=，所以2i i i i i i a b a c b c -+-+-=为偶数；若,,i i i a b c 中有2个0，1个1，不妨设,10i i i a b c ===，则1,0i i i i i i a b a c b c -=-=-=，所以2i i i i i i a b a c b c -+-+-=为偶数；综上所述：i i i i i i a b a c b c -+-+-为偶数，所以()()()111,,,n n n i i i i i i i i i d A B d A C d B C a b a c b c ===++=-+-+-∑∑∑()1n i i i i i i i a b a c b c ==-+-+-∑为偶数.【小问3详解】设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n nA a a aB b b bC c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈由（1）可知：,,n A C B C A B S ---∈，由题意知：{},,0,1(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅，当0i a =时，1,1,00,1,0,1i i i i i i i i i i i i b c a b a c b c b c b c ==⎧⎪---=-==⎨⎪-==⎩；但1,1,00,1,0,1i i i i i i ii b c b c b c b c ==⎧⎪-==⎨⎪==⎩，可得i i i i i i b c b c b c --≤-≤-，即i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-；当1i a =时，()()1,1,00,1,0,1i i i i i i i i i i i i i i ii b c a b a c a b a c c b b c b c -==⎧⎪---=---=-==⎨⎪==⎩，但1,1,00,1,0,1i i i i i i ii b c b c b c b c ==⎧⎪-==⎨⎪==⎩，可得i i i i i i b c c b b c --≤-≤-，即i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-；综上所述：i i i i i i i i b c a b a c b c --≤---≤-，由i 的任意性可得：1111n n n n i i i i i i i i i i i i b c a b a c b c====--≤---≤-∑∑∑∑，所以()()()(),,,,d B C d A B d A C d B C -≤-≤.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{0，1}2．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 3+xB ．y ＝9+x 2C ．y ＝|x |D ．y =1x3．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tan α＝﹣2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝5，b ＝6，满足条件的△ABC （ ） A ．有无数多个 B ．有两个 C ．有一个D ．不存在5．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．a 3＜b 3D ．e a ﹣b ＜e b6．在△ABC 中，AD →=32DC →，P 是直线BD 上的一点，若AP →=tAB →+25AC →则实数t 的值为（ ）A ．−13B ．13C ．−23D ．237．已知正项等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC ＝100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m9．已知函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，若定义max{a，b}={a，a≥bb，a＜b，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}在区间(π2，3π2)内的图象是（）A．B．C．D．10．过直线x+y＝4上一动点M，向圆O：x2+y2＝4引两条切线，A、B为切点，则圆O上的动点P到直线AB距离的最大值等于（）A．1+√2B．2+√2C．√3+√2D．3+√2二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为．12．已知复数z＝2+i，则z•z=．13．已知方程x2m+2+y21−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围．14．如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧CÊ的中点，H是圆弧DF̂上的动点（含端点），给出下列四个结论：①存在点H，使得EH⊥BG；②不存在点H，使得EH∥BD；③存在点H，使得EH∥平面BDG；④不存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°．其中，所有正确结论的序号为．15．首项为正数的数列{a n}满足a n+1=14(a n2+3)，n∈N+，若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，则a1的取值范围是．三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a 的最大值为1． （1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间； （3）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合．17．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b （√3sin C +cos C ）． （1）求B ；（2）已知BC ＝2√3，D 为边AB 上的一点，若BD ＝1，∠ACD =π2，求AC 的长．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝1．在底面ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2． （Ⅰ）求证：AB ∥平面POC ； （Ⅱ）求二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值．19．（14分）已知函数f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，令g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ），x ∈[1，2]，求证：g(x)≥12． 20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且点T （2，1）在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点． （I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断|OM |+|ON |的值是否为定值，并证明你的结论．21．（15分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0}D．{0，1}解：集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：D．2．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3+x B．y＝9+x2C．y＝|x|D．y=1x解：y＝x3+x为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，A满足条件．y＝9+x2为偶函数，B不满足条件；y＝|x|是偶函数，C不满足条件；y=1x在（0，+∞）上单调递减，D不满足条件．故选：A．3．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tanα＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：当角α的终边过点（﹣1，2）时，根据三角函数的定义，可得tanα＝﹣2，充分性成立；当tanα＝﹣2时，α为第二象限角或第四象限角，若α为第四象限角，则角α的终边不过点（﹣1，2），必要性不成立．所以“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tanα＝﹣2”的充分不必要条件．故选：A．4．在△ABC中，∠A＝60°，a＝5，b＝6，满足条件的△ABC（）A．有无数多个B．有两个C．有一个D．不存在解：∵A＝60°，a＝5，b＝6，∴由正弦定理可得5sin60°=6sinB∴sin B =6×√325=3√35＞1，故∠B 不存在． 故选：D ．5．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．a 3＜b 3D ．e a ﹣b ＜e b解：a ＜b ＜0，则1a＞1b，故A 错误；ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＞0，即ab ＞b 2，故B 错误； y ＝x 3在R 上单调递增，a ＜b ，则a 3＜b 3，故C 正确； 令a ＝﹣2，b ＝﹣1，满足a ＜b ＜0，但e a ﹣b ＝e b ，故D 错误．故选：C ．6．在△ABC 中，AD →=32DC →，P 是直线BD 上的一点，若AP →=tAB →+25AC →则实数t 的值为（ ）A ．−13B ．13C ．−23D ．23解：因为AD →=32DC →，且AP →=tAB →+25AC →，所以AP →=t AB →+25AC →=t AB →+23AD →；因为B ，P ，D 三点共线， 所以t +23=1， 所以t =13． 故选：B ．7．已知正项等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，正项等比数列{a n }的公比为q ，若0＜q ＜1，则数列{a n }为递减的等比数列，则有a 8＜a 7，即S 9﹣S 8＜S 8﹣S 7，变形可得S 7+S 9＜2S 8， 故“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的充分条件，当q ＝1时，数列{a n }为常数列，有S n ＝na 1，则有S 7+S 9＝16a 1＝2S 8， 故“0＜q ＜1”不是“S 7+S 9≤2S 8”的必要条件，故“0＜q＜1”是“S7+S9≤2S8”的充分不必要条件．故选：A．8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m解：如图，设球的半径为R，则AB=√3R，∵BC=Rtan10°−√3R=100，∴R=1001tan10°−√3=100sin10°cos10°−√3sin10°=100sin10°2sin(30°−10°)=50sin10°sin20°=50sin10°2sin10°cos10°=25cos10°=250.985，∴2R=500.985≈50.76，故选：B．9．已知函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，若定义max{a，b}={a，a≥bb，a＜b，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}在区间(π2，3π2)内的图象是（）A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，即f（x）＝2tan（ωx）的周期为π，必有πω=π，则ω＝1，则f（x）＝2tan x，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}＝max{2tan x，2sin x}={2sinx，π2＜x＜π2tanx，π≤x＜3π2，分析选项：A符合；故选：A．10．过直线x+y＝4上一动点M，向圆O：x2+y2＝4引两条切线，A、B为切点，则圆O上的动点P到直线AB距离的最大值等于（）A．1+√2B．2+√2C．√3+√2D．3+√2解：由题意知，设点M（a，b）在直线x+y＝4上，则a+b＝4，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则MA⊥OA，MB⊥OB，所以点A，B在以OM为直径的圆上，且该圆的方程为(x−a2)2+(y−b2)2=14(a2+b2)，又圆O的方程为x2+y2＝4，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为ax+by＝4，即ax+by﹣4＝0．因为a+b＝4，所以b＝4﹣a，所以a（x﹣y）+4y﹣4＝0．当x＝y且4y﹣4＝0，即x＝y＝1时，该方程恒成立，所以直线AB恒过定点N（1，1），所以点P到直线AB距离的最大值即为点O，N之间的距离加上圆O的半径．又O（0，0），r＝2，所以|ON|=√2，即动点P到直线AB距离的最大值为√2+2．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}．解：要使函数f（x）＝log2（1﹣x）有意义，则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}12．已知复数z＝2+i，则z•z=5．解：z＝2+i，则z•z=（2+i）（2﹣i）＝5．故答案为：5．13．已知方程x2m+2+y21−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围(−2，−12)∪(−12，1)．解：已知方程x 2m+2+y 21−m=1表示椭圆，则{m +2＞01−m ＞0m +2≠1−m，则−2＜m ＜−12或−12＜m ＜1，则实数m 的取值范围(−2，−12)∪(−12，1)． 故答案为：(−2，−12)∪(−12，1)．14．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧CE ̂的中点，H 是圆弧DF ̂上的动点（含端点），给出下列四个结论： ①存在点H ，使得EH ⊥BG ； ②不存在点H ，使得EH ∥BD ； ③存在点H ，使得EH ∥平面BDG ；④不存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°． 其中，所有正确结论的序号为 ①②③ ．解：由题意可将图形补全为一个正方体ADMF ﹣BCNE ，如图所示： 对于①，因为EF ⊥平面BCNE ，BG ⊂平面BCNE ，所以EF ⊥BG ， 所以当F ，H 重合时，有EH ⊥BG ，故①正确；对于②，因为BD ∥EM ，若EH ∥BD ，则EH ∥EM ，又EH ∩EM ＝E ，则EH ，EM 重合， 因为H 是圆弧DF̂上的动点，EH ，EM 不可能重合，所以EH ∥BD 不成立，故②正确； 对于③，以A 为原点，AD ，AF ，AB 所在直线为x ，y ，z 轴的建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝2，则A （0，0，0），D （2，0，0），E （0，2，2），F （0，2，0），B （0，0，2），C （2，0，2），G(√2，√2，2)，H （m ，n ，0）（m 2+n 2＝4，m ＞0，n ＞0），所以BD →=(2，0，−2)，BG →=(√2，√2，0)，EH →=(m ，n −2，−2)，设平面BDG 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=2x −2z =0n →⋅BG →=√2x +√2y =0，令x ＝1，得y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=(1，−1，1)，假设EH ∥平面BDG ，则n →⋅EH →=m −n +2−2=0，所以m ＝n ，因为m 2+n 2＝4，m ＞0，n ＞0，所以m =n =√2，即H 是圆弧DF ̂的中点，符合题意，所以存在点H ，使得EH ∥平面BDG ，故③正确；对于④，当点H 与点F 重合时，直线EH 与平面BDG 所成角最大，因为EF →=BA →=(0，0，−2)， 所以cos ＜n →，EF →＞=n →⋅EF→|n →||EF →|=−2√3×2=−√33，此时直线EH 与平面BDG 的所成角的正弦值为√33，由√33＞12，得直线EH 与平面BDG 的所成角的最大角大于30°，所以存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°，故④错误． 故答案为：①②③．15．首项为正数的数列{a n }满足a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n +1＞a n ，则a 1的取值范围是 0＜a 1＜1或a 1＞3 ． 解：由a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n +1＞a n ，得：14(a n 2+3)＞a n 解得：a n ＜1或a n ＞3又∵首项为正数 ∴0＜a 1＜1或a 1＞3 故答案为：0＜a 1＜1或a 1＞3三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a 的最大值为1． （1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间； （3）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合．解：（1）由题意：函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a ， 化简得：f （x ）＝sin x cos π6+cos x sin π6+sin x cos π6−cos x sin π6+cos x +a=√3sin x+cos x+a＝2sin（x+π6）+a，∵sin（x+π6）的最大值为1，∴f（x）＝2×1+a＝1，解得：a＝﹣1．（2）∵由（1）可知f（x）＝2sin（x+π6）﹣1．根据三角函数的性质可得：x+π6∈[2kπ+π2，2kπ+3π2]（k∈Z）．即2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，（k∈Z）∴解得：2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+π3，2kπ+4π3]（k∈Z）；（3）∵由题意：f（x）≥0，即2sin（x+π6）﹣1≥0，可得：sin（x+π6）≥12．∴2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6，（k∈Z）．解得：2kπ≤x≤2kπ+2π3．∴f（x）≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ+2π3}，（k∈Z）．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b（√3sin C+cos C）．（1）求B；（2）已知BC＝2√3，D为边AB上的一点，若BD＝1，∠ACD=π2，求AC的长．解：（1）因为a＝b（√3sin C+cos C），所以sin A＝sin B（√3sin C+cos C），即sin B cos C+cos B sin C=√3sin B sin C+sin B cos C，所以cos B sin C=√3sin B sin C，因为sin C＞0，所以cos B =√3sin B ，所以tan B =√33，因为B ∈（0，π），所以B =π6．（2）因为BC ＝2√3，BD ＝1，∠B =π6，根据余弦定理得CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD •cos B ＝1+12﹣2×1×2√3×√32=7，所以CD =√7，因为∠BDC =π2+∠A ，所以sin ∠BDC ＝sin （π2+∠A ）＝cos A ， 在△BDC 中，由正弦定理知，BC sin∠BDC =CD sin∠B ， 所以2√3cosA =√712， 所以cos A =√217，tan A =2√33=CD AC ， 所以AC =√212．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝1．在底面ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2．（Ⅰ）求证：AB ∥平面POC ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值．（Ⅰ）证明：在四边形ABCD 中，因为BC ∥AD ，BC =12AD ，O 是AD 的中点，则BC ∥AO ，BC ＝AO ，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以AB ∥OC ，又因为AB ⊄平面POC ，CO ⊂平面POC ，所以AB ∥平面POC ；（Ⅱ）连结OB ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥OB ，PO ⊥OD ，又因为点O 时AD 的中点，且BC =12AD ，所以BC ＝OD ，因为BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ，所以四边形OBCD 是正方形，所以BO ⊥AD ，建立空间直角坐标系如图所示，则A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），P （0，0，1），所以AB →=(1，1，0)，AP →=(0，1，1)，设平面BAP 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0m →⋅AP →=0，即{x +y =0y +z =0，令y ＝1，则x ＝z ＝﹣1，故m →=(−1，1，−1)， 因为OB ⊥平面P AD ，所以OB →=(1，0，0)是平面P AD 的一个法向量，所以|cos ＜m →，OB →＞|=|m →⋅OB →||m →||OB →|=|−1|3×1=√33， 由图可知，二面角B ﹣AP ﹣D 为锐角，所以二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值为√33． 19．（14分）已知函数f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，令g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ），x ∈[1，2]，求证：g(x)≥12． 解：（1）已知f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′(x)=a −a x −2x 2+2x 3=(ax 2−2)(x−1)x 3， 若a ＝0，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；若0＜a ＜2，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当1＜x ＜√2a 时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞√2a 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；若a ＝2，此时√2a =1， 则f ′（x ）≥0，f （x ）单调递增，综上，当a ＝0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当0＜a ＜2时，f （x ）在（0，1）和（√2a ，+∞）上单调递增，在（1，√2a ）上单调递减； 当a ＝2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（2）证明：当a ＝1时，f （x ）＝（x ﹣lnx ）+2x−1x 2， 可得f ′（x ）＝1−1x −2x 2+2x 3， 此时g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ）=x −lnx +2x−1x 2−(1−1x −2x 2+2x 3)−（x ﹣lnx ） =3x +1x 2−2x 3−1，函数定义域为[1，2]， 可得g ′(x)=−3x 2−2x+6x 4， 不妨设h （x ）＝﹣3x 2﹣2x +6，函数定义域为[1，2]，易知函数h （x ）是开口向下的二次函数，对称轴x =−13，所以函数h （x ）在[1，2]上单调递减，因为h （1）＝1，h （2）＝﹣10，所以∃x 0∈（1，2），使得h （x 0）＝0，当1＜x ＜x 0时，h （x ）＞0，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当x 0＜x ＜2时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，又g （1）＝1，g （2）=12，所以g （x ）≥g （2）=12，当且仅当x ＝2时，等号成立．20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且点T （2，1）在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点． （I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断|OM |+|ON |的值是否为定值，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由题意{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32， 解得：a =2√2，b =√2，c =√6故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；（Ⅱ）根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为（2，﹣1）， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2．联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2，得x 2﹣4x +4＝0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意．故直线TP 和TQ 的斜率存在．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线TP ：y −1=y 1−1x 1−2(x −2)， 直线TQ ：y −1=y 2−1x 2−2(x −2) 故|OM|=2−x 1−2y 1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT ：y =12x ，设直线PQ ：y =12x +t （t ≠0）联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t ⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当Δ＞0时，x 1+x 2＝﹣2t ，x 1⋅x 2=2t 2−4，|OM |+|ON |=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)⋅(−2t)+(t−1)2=4．21．（15分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．解：（1）由题可知，数列A n必满足：a1＝l，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t．i，j，s，t∈{1.2...…．n}且两两不相等，对①，a1+a2＝2，不满足a i+a j＝a s+a t，故①不符合；对②，当a i+a j＝2时，存在a s+a t＝2，同理当a i+a j＝4时，存在a s+a t＝4，当a i+a j＝3时，存在a s+a t＝3，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）证明：当m＝3时，设数列A n中1，2，3出现的频次为q1，q2，q3，由题意知，q i≥1，假设q1＜4时，a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，故q1≥4，同理可证q3≥4，假设q2＝1，数列A n可表示为：1，l，l，1，2，3，3，3，3，显然，a4+a5≠a s+a t，故q2≥2，经验证q2＝2时，显然符合a i+a j＝a s+a t，所以q1≥4，q2≥2，q3≥4，数列A的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故S＝4+4+12＝20；解：（3）由（2）知，数列A n首尾应该满足B n：1，1，1，1，2，2，3，…，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，…，998各出现一次，此时n＝1008，显然满足a k+1﹣a k＝0或l，对a i＝a j＝1或a i＝a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q1000＝4）；对a i＝1，a j＝2或a i＝999，a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q2＝2，q999＝2，q1000＝4）；对a i＝1，a j＞2时，则可选取a s＝2，a k＝a j﹣1，满足a i+a j＝a s+a t，同理若a i＝1000，a j＜999，则可选取a s＝999，a i＝a j+1，满足a i+a j＝a s+a t；如果1＜a i≤a j＜1000，则可取a d＝a i﹣1，a t＝a j+1，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2..…．n}且两两不相等，故n的最小值为1008．。
北京市顺义牛栏山第一中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
北京市顺义牛栏山第一中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．233D ．433 2．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c << D ．c b a <<3．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π= B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π= 4．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<22x y1|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y x =C ．y x =±D ．y =6．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．847．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( ) A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2 D ．(1,3)11．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．9 B ．8 C ．17 D ．912．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种A ．96B ．120C ．48D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(原卷版)
数学试卷（120分钟）2024.04第一部分（选择题共24分）一、选择题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要求的一项.1. 的值为（ ）A.B. C.D. 2. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则，分别为（ ）A. ，3B. 3，C.， D.，3. 设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（ ）A. ，，三点共线B. ，，三点共线C. ，，三点共线D. ，，三点共线4. 下列条件满足为直角三角形的个数为（ ）①；②；③A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 已知，那么下列命题成立的是（ ）A. 若，是第一象限角，则B. 若，是第二象限角，则C. 若，第三象限角，则D. 若，是第四象限角，则6. 函数图像上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ）是sin 585︒xOy α()4,3-sin αcos α4-4-45-353545-O A B C 34OB OC OA +=A B C O B C A O C A B O ABC ()()sin sin A B A B -=+sin sin cos cos C B C B =22sin sin 1C B +=tan tan αβ>αβcos cos αβ>αβsin sin αβ>αβcos cos αβ<αβsin sin αβ>()()()sin 20f x x ϕϕ=+>(),P s t ()(),0Q r t t >π6r s -=A B. C. D. 第二部分（非选择题共126分）二、填空题共9道小题，其中7-10题，每小题4分，共16分，11-15题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.7. 两个非零向量，共线，则______.8. 设，为方程的两个根，且，则的值为______.9. 函数在上的值域为______.10. 已知，，则与的夹角为______．11. 函数图像上的点向右平移个单位后得到，若落在函数上，则的最小值为______.12. 若，则的值______.13. 如图，函数，则______；______.14.若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．15. 在平面直角坐标系中，，.集合，下列结论正确的是______.①点；.π162f s æöç÷+=ç÷èøπ6f s æöç÷+=ç÷èøπ162f s æöç÷-=-ç÷èøπ6f s æöç÷-=-ç÷èø()1,1a x =- ()21,0b x =-x =1x 2x 220x x m --=1220x x +=m ()cos f x x =π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦)a = ()2b =- a bπsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭()0s s >P 'P 'sin 2y x =s π3αβ+=tan tan tan αβαβ++()()()cos 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>>≤<ω=ϕ=()()sin sin 044f x a x b x ab ππ⎛⎫⎛⎫=++-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),a b xOy ()1,0A ()0,2B {},02,01M P OP OA OB λμλμ==+≤≤≤≤()3,1C M ∈②若，则；③若，则的最小值为.三、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16. 函数最小正周期为.（1）求；（2）求单调递增区间，17. 在中，角A ，B ，C 对应边长分别为a ，b ，c ，其中，，.（1）求c ；（2）求.18. 在中，角A ，B ，C 对应边长分别为a ，b ，c .（1）设，，是的三条中线，用，表示，，；（2）设，，求证：.（用向量方法证明）19. 设是方程的一组解，计算：（1）；（2）求值.20. 已知函数，.（1）求，的值并直接写出的最小正周期；（2）求的最大值并写出取得最大值时x 的集合；（3）定义，，求函数的最小值.21. 已知集合，对于，，定义A 与B 的差为，A 与B 之间的距离为.的的的45AOP ∠=︒2λμ=1ON = OP ON ⋅ -()()22cos sin 0f x x x ωωω=->πω()f x ABC 4a =2b =60A =︒sin B ABC AD BE CF ABC AB AC AD BE CF90A ∠=︒AD BC ⊥2AD BD DC =⋅00x x y y =⎧⎨=⎩2214x y +=000022y yx x ⋅+-000022112x y y x ++--()sin cos f x x x =+x ∈R π6f ⎛⎫⎪⎝⎭2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x ()()max x g a f x a ∈=-Ra ∈R ()g a (){}{}()12,,,,0,1,1,2,,2n n i S X X x x x x i nn ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅≥()12,,,nA a a a =⋅⋅⋅()12,,,n nB b b b S =⋅⋅⋅∈()1122,,,n n A B a b a b a b -=--⋅⋅⋅-()1,ni i i d A B a b ==-∑（1）直接写出中元素的个数，并证明：任意，有；（2）证明：任意，有是偶数；（3）证明：，有.n S ,n A B S ∈n A B S -∈,,n A B C S ∈()()(),d A B d A C d B C +-+-,,n A B C S ∀∈()()()(),,,,d B C d A B d A C d B C -≤-≤。
北京牛栏山第一中学九年级数学上册第四单元《圆》测试题(答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．点P 到圆上各点的最大距离为10cm ，最小距离为6cm ，则此圆的半径为（ ）A ．8cmB ．5cm 或3cmC ．8cm 或2cmD ．3cm 3．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在的圆的圆心，20cm AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且5cm CD =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．10cmB ．12.5cmC ．15cmD ．17cm4．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，不等边ABC 内接于O ，下列结论不成立的是（ ）A ．12∠=∠B ．14∠=∠C ．2AOB ACB ∠=∠D ．23ACB ∠=∠+∠ 6．如图所示，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，21BDC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A ．136°B ．137°C ．138°D ．139°7．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）A ．若EF AC ⊥，则EF 是O 的切线B ．若EF 是O 的切线，则EF AC ⊥ C ．若3BE EC =，则AC 是O 的切线D ．若BE EC =，则AC 是O 的切线 8．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．75°9．如图，大半圆中有n 个小半圆，若大半圆弧长为1L ，n 个小半圆弧长的和为2L ，大半圆的弦AB ，BC ，CD 的长度和为3L ．则（ ）A ．123L L L =>B ．123L L L =<C ．无法比较1L 、2L 、3L 间的大小关系D ．132L L L >>10．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）A ．12B ．45C ．1D ．4311．如图，⊙O 的直径2AB AM =，和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为（ ）A ．1B 2C ．2D ．4 12．在扇形中，∠AOB =90°，面积为4πcm 2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ( )A ．1cmB ．2cmC ．3nD ．4cm 二、填空题13．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为_______________________．15．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是____________．16．如图，已知O 是以数轴上原点O 为圆心，半径为2的圆，45AOB ∠=︒，点P 在x正半轴上运动，若过点P 与OA 平行的直线与O 有公共点，设P 点对应的数为x ，则x 的取值范围是______．17．如图，A 是半径为1的O 外一点，2OA =，AB 是O 的切线，点B 是切点，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为________．18．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.19．已知圆心O 到直线l 的距离为5，⊙O 半径为r ，若直线l 与⊙O 有两个交点，则r 的值可以是________．（写出一个即可）20．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．三、解答题21．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．（1）若50A ∠=︒，求OCE ∠的度数；（2）若42CD =，2AE =，求O 的半径． 22．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线相互垂直，垂足为D ，且交O 于点E ，连接OC ，BE ，相交于点F ．（1）求证：EF BF =；（2）若4DC =，2DE =，求直径AB 的长．23．如图，以Rt ABC 的AC 边为直径作O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点P 为BC 的中点，连接EP ，AD ．（1）求证：PE 是O 的切线； （2）若O 的半径为3，30B ∠=︒，求P 点到直线AD 的距离．24．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为()2,1-．（1）画出将ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）画出ABC 绕点O 的逆时针旋转90°得到的图形222A B C △，并求出在此旋转过程中点A 运动到点2A 所经过路径的长．25．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()10,0，点B 的坐标是()8,0，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．（1）求CD 的长；（2）求直线BC 的解析式．26．已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，求∠ACB 的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ．若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=， 所以圆锥的侧面积165152ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．2．C解析：C【分析】分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P 在圆内；（2）点P 在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P 到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．【详解】当点P 在圆内时，圆的直径是10+6=16cm ，所以半径是8cm ．当点P 在圆外时，圆的直径是10-6=4cm ，所以半径是2cm ．故选C ．【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝10，若设半径为r，则OD＝r﹣5，OA＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】解：∵OC⊥AB，AB＝20，∴AD＝DB＝10，在Rt AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣5）2+102，解得：r＝12.5，∴这段弯路的半径为12.5，故选：B．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．4．C解析：C【分析】根据对称轴是一条直线，即可判断①；根据外心的性质即可判断②；利用确定圆的条件即可判断③；根据弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，即可判断④；根据垂径定理的推论，即可判断⑤．【详解】∵圆是轴对称图形，直径所在直线是它的对称轴，∴①错误；∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴②正确；∵经过不在同一直线上的三点确定一个圆，∴③错误；∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，∴④错误；∵垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，∴⑤正确；综上，正确的是②⑤，共2个，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，三角形的外接圆与外心等知识点的应用，正确把握相关定义是解题关键．5．B解析：B【分析】利用OB=OC可对A选项的结论进行判断；由于AB≠BC，则∠BOC≠∠AOB，而∠BOC=180°-2∠1，∠AOB=180°-2∠4，则∠1≠∠4，于是可对B选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C选项的结论进行判断；利用∠OCA=∠3，∠1=∠2可对D选项的结论进行判断．【详解】解：∵OB=OC，∴∠1=∠2，所以A选项的结论成立；∵OA=OB，∴∠4=∠OBA，∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，∵△ABC为不等边三角形，∴AB≠BC，∴∠BOC≠∠AOB，而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立；∵∠AOB与∠ACB都对弧AB，∴∠AOB=2∠ACB，所以C选项的结论成立；∵OA=OC，∴∠OCA=∠3，∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D选项的结论成立．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．6．C解析：C【分析】利用圆周角定理求出∠BOC即可解决问题．【详解】解：∵∠BOC=2∠BDC，∠BDC=21°，∴∠BOC=42°，∴∠AOC=180°-42°=138°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．7．D解析：D【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=32A O≠OB，于是得到C选项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】解：A、如图，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、如图，∵3，∴23BE，∵AB=BC，BO=BE，∴23OB，∴3，∴AC是⊙O的切线，∴C选项正确．D、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB ，∵BE=CE ，∴BC=AB=2BO ，∴AO=OB ，如图，过O 作OH ⊥AC 于H ，∵∠BAC=60°，∴OH=3AO≠OB ， ∴D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．B解析：B【分析】连接AO ，BO ，OE 由切线的性质可得90PAO PBO ︒∠=∠=，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数.【详解】如图，连接AO ，BO ，OE ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴∠PAO =∠PBO =90∘，∵60APB ∠=︒，∴36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒，∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠ACO =∠ECO ，∠DBO =∠DEO ，∴∠AOC =∠EOC ，∠EOD =∠BOD ，∴1602COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=∠=︒， 故选B.【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.9．A解析：A【分析】利用圆周长公式计算1L 和2L 的长．根据圆周长公式分别写出1L 和2L 的表达式进行比较，再根据“两点之间线段最短的性质”得出13L L >，即可选出答案．【详解】解：设n 个小半圆半径依次为1r ，2r ，⋯，n r ．则大圆半径为()12n r r r ++⋯+()112n L r r r π∴=++⋯+，212n L r r r πππ=++⋯+()12n r r r π=++⋯+，12L L ∴=；根据“两点之间线段最短的性质”可得：13L L >，123L L L ∴=>．．故选A ．【点睛】本题考查了半圆弧长的计算，两点之间线段最短的性质，是基础题，难度不大． 10．C解析：C【分析】连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，根据切线的性质可知PC ⊥y 轴，故可得出四边形PDOC 是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB 的长，由垂径定理可得出AD 的长，故可得出OD 的长，进而得出P 点坐标，再把P 点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．【详解】解：连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，∵⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），∴PC ⊥y 轴，∴四边形PDOC 是矩形，∴PD=OC=3，∵A（1，0），B（7，0），∴AB=7-1=6，∴AD=12AB=12×6=3，∴OD=AD+OA=3+1=4，∴P（4，3），∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，∴3=4k-1，解得k=1．故选：C．【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论．11．C解析：C【分析】由切线的性质得到AM、BN与AB垂直，过点D作DF⊥BC于F，，构造一个直角三角形DFC，再由切线长定理和勾股定理列方程，得出关于y的函数关系式，根据直角梯形的面积公式求解．【详解】∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN．过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF．∴四边形ABFD为矩形．∴DF＝AB＝2，BF＝AD．∵DE、DA，CE、CB都是切线，∴根据切线长定理，设DE＝DA＝x，CE＝CB＝y．在Rt△DFC中，DF＝2，DC＝DE+CE＝x+y，CF＝BC﹣BF＝y﹣x，∴（x+y）2＝22+（y﹣x）2，∴y ＝1x， ∴四边形的面积S ＝12AB （AD +BC ）＝12×2×（x +1x ），即S ＝x +1x （x ＞0）． ∵（x +1x ）﹣2＝x ﹣2+1x 2≥0，当且仅当x ＝1时，等号成立． ∴x +1x≥2，即S ≥2， ∴四边形ABCD 的面积S 的最小值为2．故选：C ．【点睛】考查了切线的性质、平行线的判定、矩形的性质和勾股定理，解题关键是作出辅助线． 12．A解析：A【分析】圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而要先求扇形的弧长，根据扇形的面积公式2360n R S π=，可以求出扇形的半径，就可以求出弧长． 【详解】 解：根据扇形的面积公式2360n R S π=得到：2904360R ππ=； ∴R=4，则弧长9042180cm ππ⋅==， 设圆锥的底面半径为r ，则2π=2πr ；∴r=1cm ．故选：A ．【点睛】 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．二、填空题13．【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解解析：13,12⎛⎫+⎪⎪⎝⎭33,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭【分析】先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得12FH=、12CJ=，再根据勾股定理求得63JM=，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得32JF=，即可得解．【详解】解：经历六次旋转后点M落在点6M处，过M作MH x⊥于点H，过6M作6M J x⊥于点J ，连接6IM，如图：∵在Rt AFH中，1AF=，60AFH∠=︒，30FAH∠=︒∴1122FH AF==∵已知点M的纵坐标是3131MH=∴点M的坐标是：13,122⎛+⎝⎭；∵在6Rt CJM中，61CM=，660JCM∠=︒，630CM J∠=︒∴61122CJ CM==，226632JM CM CJ=-=∵点I 是正六边形的中心∴1IC IF == ∴32JF IF IC CJ =+-=∴点6M 的坐标是：32⎛ ⎝⎭．故答案是：1,122⎛+⎝⎭；3,22⎛ ⎝⎭【点睛】本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想． 14．【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（解析：()3,3【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．【详解】解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC 的垂直平分线为直线x=3，∵OA=OB ，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，∴M 点的坐标为（3，3），∵MB ==∴⊙M．故答案为（3，3．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．15．【分析】连接DO 交AC 于点F 由垂径定理得F 是AC 中点再由中位线定理得接着证明得到DF=CB 就可以求出OF 的长就得到BC 的长最后用勾股定理求出AC 的长【详解】解：如图连接DO 交AC 于点F ∵D 是的中点∴解析：42【分析】连接DO ，交AC 于点F ，由垂径定理得F 是AC 中点，再由中位线定理得12OF BC =，接着证明()EFD ECB AAS ≅，得到DF=CB ，就可以求出OF 的长，就得到BC 的长，最后用勾股定理求出AC 的长．【详解】解：如图，连接DO ，交AC 于点F ，∵D 是AC 的中点，∴OD AC ⊥，AF CF =，∴90DFE ∠=︒，∵OA OB =，AF CF =，∴12OF BC =， ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒，在EFD △和ECB 中，90DFE BCE DEF BECDE BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()EFD ECB AAS ≅，∴DF BC =， ∴12OF DF =， ∵3OD =，∴1OF =，∴2BC =，在Rt ABC 中，2242AC AB BC =-=．故答案是：2【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理．16．【分析】根据题意知直线和圆有公共点则相切或相交相切时设切点为C连接OC根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2求得斜边是2所以x的取值范围是0＜x≤2【详解】解：设切点为C连接OC则圆的半径OC=2O解析：022<≤x【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2，求得斜边是22．所以x的取值范围是0＜x≤22．【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=2，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA//PC，∴∠OPC=45°，∴PC=OC=2，∴OP=22+=22，22所以x的取值范围是0＜x≤22，故答案为0＜x≤22．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．17．【分析】连接OCOB易证△OAB为等边三角形由BC∥OA得S△OCB＝S△ACB把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积【详解】连接OCOB∵是的切线∴OB⊥AB在Rt△OBA中∵OB=1OA=2∴∠π解析：6【分析】连接OC，OB，易证△OAB为等边三角形，由BC∥OA，得S△OCB＝S△ACB，把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积．【详解】连接OC，OB∵AB是O的切线∴OB⊥AB在Rt △OBA 中∵OB=1，OA=2∴∠AOB=60°又∵//BC OA∴∠OBC=60°∵OB=OC∴△OAB 为等边三角形又∵BC ∥OA∴S △OCB ＝S △ACB∴S 阴＝S 扇形OBC =2601360π⨯⨯ =6π故答案为：6π 【点睛】 本题考查扇形面积的求解，将不规则图形转化成规则的扇形是解题的关键．18．3或5【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切过P 作PE ⊥CD 与E 根据切线的性质得到PE=1cm 再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm 则⊙P 的圆心在直线AB 上解析：3或5【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与E ，根据切线的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．【详解】当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与E ，∴PE=1cm ，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm ，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间=822-=3（秒）； 当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与F ，∴PF=1cm ，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm ，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间=822+=5（秒）． 故答案为3或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 19．答案不唯一如516等（满足即可）【分析】根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系再取r 的值即可【详解】解：∵直线l 与⊙O 有两个交点圆心O 到直线l 的距离为5∴∴在此范围内取值即可如516解析：答案不唯一，如5.1，6等（满足5r >即可）【分析】根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系，再取r 的值即可．【详解】解：∵直线l 与⊙O 有两个交点，圆心O 到直线l 的距离为5，∴5r >∴在此范围内取值即可，如5.1，6等．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系---相交，熟知直线与圆相交满足的条件是解答此题的关键．20．8【分析】以AB 为直径作圆O 则∠AGB=90º当CF 与圆O 相切时AF 最大AF=2由切线长定理的AF=FGBC=CG 过F 作FH ⊥BC 与H 则四边形ABHF 为矩形AB=FHAF=BH=2设正方形的边长为x解析：8．【分析】以AB 为直径作圆O ，则∠AGB=90º，当CF 与圆O 相切时，AF 最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．【详解】以AB为直径作圆O，∵AB为直径，∴∠AGB=90º，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，在Rt△FHC中，由勾股定理得，x2+(x-2)2=(x+2)2，整理得：x2-8x=0，解得x=8，x=0（舍去），故答案为：8．【点睛】本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．三、解答题21．（1）10 ；（2）3【分析】(1)首先求出∠ADE 的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC 的度数，最后求出∠OCE 的度数；(2)由弦CD 与直径 AB 垂直，利用垂径定理得到 E为CD 的中点，求出 CE 的长，在直角三角形 OCE 中，设圆的半径 OC = r ，OE = OA-AE ，表示出 OE ，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解即可得到圆的半径 r 的值．【详解】解：()1CD AB ⊥，50A ∠=︒，40ADE ∴∠=︒．280AOC ADE ∴∠=∠=︒，908010OCE ∴∠=︒-︒=︒；()2因为AB 是圆O 的直径，且CD AB ⊥于点E ，所以1122CE CD ==⨯= 在Rt OCE 中，222OC CE OE =+，设圆O 的半径为r ，则OC r =，2OE OA AE r =-=-，所以222(2)r r =+-， 解得：3r =．所以圆O 的半径为3．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 22．（1）见解析（2）10【分析】（1）根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立；（2）根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题．【详解】（1）证明：∵OC ⊥CD ，AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ，∴∠AEB ＝∠OFB ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠OFB ＝90°，∴OF ⊥BE 且平分BE ，∴EF ＝BF ；（2）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵∠OCD ＝∠CFE ＝90°，∴四边形EFCD 是矩形，∴EF ＝CD ，DE ＝CF ，∵DC ＝4，DE ＝2，∴EF ＝4，CF ＝2，设⊙O 的为r ，∵∠OFB ＝90°，∴OB 2＝OF 2＋BF 2，即r 2＝（r−2）2＋42，解得，r ＝5，∴AB ＝2r ＝10，即直径AB 的长是10．【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．（1）证明见解析；（2）1221.7 【分析】（1）连接CE ，由AC 是⊙O 的直径，得出CE ⊥AE ，由P 为BC 的中点，可得EP=BP=CP ，可得∠PEC=∠PCE ， 再由∠ACB=90°，即可得到结论．（2）设P 点到直线AD 的距离为d ，根据三角形的面积得到PD AC d AD= ①由勾股定理得63BC =，根据平行线的性质得到∠OPC=∠B=30°，推出OEA △为等边三角形，得到∠EOA=60°，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD =+=，将以上数据代入①得即可得到结论． 【详解】证明：（1）连接CE ，如图所示：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点P 为BC 的中点，∴EP=BP=CP ．∴∠PEC=∠PCE ．∵OE=OC ，∴∠OEC=∠OCE ．∵∠PCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠PEC+∠OEC=∠OEP=90°．E 在O 上，∴EP 是⊙O 的切线；（2）解：设P 点到直线AD 的距离为d ， 连接,AP OP ，则有：1122PAD SAD d PD AC ==， ∴PD AC d AD= ①∵⊙O 的半径为3，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12， 由勾股定理得：3BC = ∴33PC =∵O ，P 分别是AC ，BC 的中点，∴//OP AB ，∴∠OPC=∠B=30°，∵OE=OA ，∠OAE=60°，∴OEA △为等边三角形，∴∠EOA=60°，∴∠ODC=90°-∠COD=90°-∠EOA=30°，∴∠ODC=∠OPC=30°，∴OP=OD ，∵OC ⊥PD ， ∴33CD PC ==，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD +=将以上数据代入①得： 631221737PD AC d AD ===． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30的直角三角形的性质，等面积法，掌握以上知识是解题的关键．24．（1）见解析；（2）图见解析，52π【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到△A 2B 2C 2，再根据弧长计算公式，即可得出旋转过程中点A 运动到点A 2所经过路径的长．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；∵OA=22345+=，∠AOA 2=90°，∴在此旋转过程中点A 运动到点A 2所经过路径的长为：90551802ππ⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换以及旋转变换进行作图，勾股定理，以及弧长公式，熟练掌握旋转变换与轴对称变换的定义和性质是解题的关键．25．（1）8CD =；（2）32477y x =-+ 【分析】（1）根据平行四边形的性质即可求得答案；（2）添加辅助线构造直角三角形，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的和差即可求得()1,3C，再根据待定系数法即可求得直线解析式．【详解】解：（1）∵点B 的坐标是()8,0∴8OB =∵四边形OCDB 是平行四边形∴8CD OB ==．（2）过点M 作MN CD ⊥，连接MC ，过点C 作CH OA ⊥，如图：∵MN CD ⊥，8CD =∴142CN CD == ∵()10,0A∴10OA = ∴152OM OA == ∴在Rt CMN中，3MN ==∵四边形OCDB 是平行四边形∴//CD OB∵CH OA ⊥∴四边形CHMN 是平行四边形∴3CH MN ==，4HM CN ==∴1OH OM HM =-=∴()1,3C∴设直线BC 的解析式为：y kx b =+ ∴083k b k b =+⎧⎨=+⎩ ∴37247k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BC 的解析式为：32477y x =-+． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、垂径定理、勾股定理、线段的和差、待定系数法等，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．26．（Ⅰ）50°；（Ⅱ）20°【分析】（I ）连接OA 、OB ，根据切线的性质可得∠OAP ＝∠OBP ＝90°，利用四边形内角和即可求解；（II ）连接CE ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACE ＝90°，利用圆周角定理即可得到∠BAE ＝∠BCE ＝40°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（Ⅰ）连接OA 、OB ，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，由圆周角定理得，∠ACB＝12∠AOB＝50°；（Ⅱ）连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAE＝∠BCE＝40°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等内容，作出合适的辅助线是解题的关键．。
北京牛栏山第一中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π3．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．4．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D5．已知1122(,),(,)A x y B x y 是不同的两点，点(cos ,sin )C θθ，且11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，则直线AB 与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能6．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．23D ．457．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．59．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k的取值范围是（ ）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 10．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或511．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交12．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B ．)1- C ．()1-D ．()1二、填空题13．已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为__________．14．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________15．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 16．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个17．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.18．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.19．若直线l ：y x b =+与曲线C ：y 有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是________20．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.三、解答题21．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点()1,0A -与点()2,0B 的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()5,4P -作曲线C 的切线，求切线方程.22．如图，已知圆22:4O x y +=和点()2,2A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且PQ PA =．（1）求证：3a b +=； （2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程． 23．已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.24．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值.25．当实数m 的值为多少时，关于,x y 的方程()()222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆?26．已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，－2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.（1）求圆心为C 的圆的一般式．．．方程； （2）是否存在过原点的直线l ′与⊙C 交于E 、F 两点且使EF 为直径的圆过点M （230），若存在，求出直线l ′方程，若不存在说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由PA =②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2PM =④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2PM =故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.2．B解析：B 【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积 【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：4d ==，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π. 故选：B 【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.3．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.4．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=， 圆心到直线的距离为22d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长()222(6)24l =-=；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.5．C解析：C 【分析】根据题意，可知直线BC 与OC 垂直，且点O 到直线AB 的距离为13，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系. 【详解】因为(cos ,sin )C θθ，所以点C 在圆221x y +=上，根据圆的对称性，可知C 点取圆上的任意点都可以，不妨设(1,0)C ， 因为11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，所以,OA OB 在OC 上的投影均为13，如图所示：所以有直线AB 与OC 垂直，且O 到直线AB 的距离为113<， 所以直线AB 与圆221x y +=的位置关系是相交， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意： （1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系； （2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.6．D解析：D 【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=， 因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7．C解析：C 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C8．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==,∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.9．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D.方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-； （3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.10．C解析：C 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】 解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C. 【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；11．C【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点，原点到直线20x y --=的距离为d∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为1d '=，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>，即1r ，实数r 的取值范围是)1,+∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】由两圆方程相减可得公共弦的方程再由直线和圆相交的弦长公式计算可得所求值【详解】解：由圆和圆相减可得公共弦的方程为又圆的圆心为半径为可得到直线的距离为则故答案为：【点睛】关键点点睛：两圆相交相 解析：5【分析】由两圆方程相减可得公共弦AB 的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值． 【详解】解：由圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相减可得，公共弦的方程为240x y -+=，又圆221:210240C x y x y +-+-=的圆心为(1,5)-，半径为52可得1C 到直线240x y -+=的距离为3514d =+则22||2(52)(35)25AB =- 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好．14．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得25y x =，即250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92b =，即直线方程为1992x y+=，即290x y +-=.故答案为：250x y -=或290x y +-=【点睛】讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.15．或【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论可求得结果【详解】当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时直线的方程为；当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时设直线的方程为又直线过点则解得所以直线的方程为；所以解析：12y x =-或1y x =--. 【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果. 【详解】当直线l 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l 的方程为12y x =-； 当直线l 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=，又直线l 过点(2,1)A -，则211a a-+=，解得1a =-，所以直线l 的方程为1y x =--； 所以直线l 的方程为12y x =-或1y x =--. 故答案为：12y x =-或1y x =--. 【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式1x ya b+=，只适用于不过原点或不垂直于x 轴、y 轴的直线，表示与x 轴、y 轴相交，且x 轴截距为a ，y 轴截距为b 的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.16．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b 4b =⇒=±∴22(9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为223()(92x y ++±=和223()(92x y -+=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.17．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．18．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13 【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B --联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：PA =PB =2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．【分析】曲线表示以为圆心半径等于1的半圆当直线过点时可得满足条件当直线和半圆相切时由解得数形结合可得实数的取值范围【详解】解：曲线方程变形为表示圆心为半径为1的上半圆根据题意画出图形如图所示：当直线解析：⎡⎣【分析】曲线表示以(0,0)C 为圆心、半径等于1的半圆，当直线y x b =+过点(0,1)时，可得1b =，满足条件．当直线y x b =+和半圆相切时，由1=b =结合可得实数b 的取值范围．解：曲线方程变形为221(0)x y y +=，表示圆心C 为(0,0)，半径为1的上半圆， 根据题意画出图形，如图所示：当直线y x b =+过点(0,1)时，可得1b =，满足直线y x b =+与曲线21y x =-有两个不同的公共点．当直线y x b =+和半圆相切时，由111=+，解得2b =或2b =- （舍去），故直线y x b =+与曲线21y x =-有两个不同的公共点时，实数b 的取值范围为)1,2⎡⎣， 故答案为：)1,2⎡⎣．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．20．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）()2234x y -+=；（2）50x -=或3410x y ++=. 【分析】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，由题意得2MA MB==，化简得()2234x y -+=，即为动点M 的轨迹方程；（2）分类讨论过点P 的直线斜率不存在与存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于半径求解，即可得到答案. 【详解】（1）设动点M的坐标为(),x y ，则MA=，MB =由题意得2MA MB==，化简得()2234x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为()2234x y -+=； （2）当过点P 的直线斜率不存在时，直线方程为5x =，圆心()3,0C 到直线5x =的距离等于2，此时直线50x -=与曲线C 相切； 当过点P 的直线斜率存在时，不妨设斜率为k ， 则切线方程为()45y kx +=-，即540kx yk ---=，2=，解得34k =-.所以，切线方程为3410x y ++=.综上所述，切线方程为50x -=或3410x y ++=. 【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，及直线与圆相切求切线，求圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题.22．（1）证明见解析；（2）22；（3）22331762222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）在Rt OPQ 中，利用勾股定理和PQ PA =可构造关于,a b 的等量关系，整理即可得到结论；（2）利用两点间距离公式可整理得到2265PQ a a =-+，结合a 的范围，根据二次函数的性质可求得最小值；（3）根据（1）中结论可知P 在直线30x y +-=上移动，由圆的性质知圆心到直线距离即为min OP ，根据题意可知所求半径最小的圆与圆O 相外切，由此确定min r ，结合P 点坐标可确定所求圆的方程. 【详解】 （1）连接OP ，PQ ∵为圆O 的切线，OQ PQ ∴⊥，在Rt OPQ 中，222OQ PQ OP +=，又PQ PA =，222OQ PA OP ∴+=， 即()()2222422a b a b +-+-=+，整理可得：4412a b +=，3a b ∴+=. （2）由（1）知：()()()()222222221265PQ PA a b a a a a ==-+-=-+-=-+(),P a b 在圆O 外，224a b ∴+>，即()2234a a +->，解得：a R ∈，∴当32a =时，PQ 取得最小值，则min 929522PQ =-+=. （3）由（1）知：3a b +=，则P 在直线30x y +-=上移动，圆心O 到直线30x y +-=的距离2d ==，即min OP =， 若以P 为圆心作圆，与圆O 有公共点，则其中半径最小的圆与圆O 相外切， 此时圆的半径2r OP =-，min 2r ∴=-. 由30y x x y =⎧⎨+-=⎩得：3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP 取最小值时，33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴所求圆的方程为：223317222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的综合应用，解题关键是能够根据两圆有公共点，确定两圆相外切时，所求圆的半径最小；求解圆的半径的过程中，涉及到圆上的点到与圆相离的直线上的点的距离的最小值的求解，若圆心到直线距离为d ，圆的半径为r ，则：圆上的点到与圆相离的直线上的动点之间距离的最小值为：d r -；最大值为：d r +. 23．（1）22(4)4x y -+=；（2）y x =或4x y +=± 【分析】（1）设(),P x y ，()00,M x y ，用,x y 表示出00,x y ，把00(,)x y 代入已知圆方程化简后可得P 点轨迹方程；（2）截距均为0时，设切线y kx =，截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程． 【详解】解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据中点公式得008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩．由220016x y +=，得22(28)(2)16x y -+=∴点P 的轨迹方程是22(4)4x y -+=．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y kx =2=∴3k =±，所以切线方程为3y x =±，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠2=，∴4a =±4x y +=±综上：切线方程为y x =或4x y +=± 【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：直接法：设曲线上动点坐标为(,)x y 后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。
北京牛栏山第一中学数学几何模型压轴题单元测试卷(解析版)
北京牛栏山第一中学数学几何模型压轴题单元测试卷（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝53．【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．【详解】解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；②成立，理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC22AB AC+4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中AD ADFAD EAD AF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝53，即DE＝53．【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．2．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴ BD2+EC2=DE2．∴．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．3．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．4．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD 旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD ∥AB ，∴， ∴， ∴， 又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′， 又∠AFO=∠BFE ，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．5．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中90,2,2ACB DCE AC CD ︒∠=∠===观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度；操作证明（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论.探究发现（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥【解析】【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥.【详解】（1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，BE AD ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，//,//HF AD FG BE ∴，AD BE ⊥，HF GF ∴⊥，90HFG ∴∠=︒；（2）证明：如下图，连接AD BE ，，由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒，又∵AC=BC ，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，11,22FH AD FG BE ∴==， FH FG ∴=；（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形，2CD =1CF DF ∴==，2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=，31BD BF DF ∴=-=-，G 是BD 的中点，312DG -∴=， 31BD BF DF ∴=-=-；（4）AD BE ⊥. 连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，∵ECD ∆是等腰直角三角形，∴F 是ED 中点，又∵H 是AE 中点，∴AD ∥HF ，∵HF ⊥ED ，∴AD BE ⊥.【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.6．如图，在直角坐标系中，已知点A （-1，0）、B （0，2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为（ ， ）；（2）若二次函数的图象经过点C ． ①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y 对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C 点坐标；（2）①把C 点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y 的取值范围；③分二种情况进行讨论.7．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC 和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由；类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DFEF ； （2）3EF DF =，DFEF ,理由见解析; （3）①3EF DF =，DFEF ;②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【解析】【分析】 （1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析；（3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立. 【详解】解：（1）3EF DF =，DF EF ；如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，AD CD =，EGB 为等边三角形.AM MC ∴=，GN BN =.又点F 为AB 的中点，AF BF ∴=.()12MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴. MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==.设DM a =，2GB b =，120ADC ∠=︒，DA DC =，3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===.tan 33EGB NE GN GN b =⋅==∠.在DMF 和FNE 中，333DM FN a ==， 333MF NE b ==， 又90DMF FNE ∠=∠=︒，DMF FNE ∴∽. MDF NFE ∴∠=∠，33DF DM FE FN ==，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=︒，90DFM NFE ∴∠+∠=︒.90DFE ∴∠=︒.3EF DF ∴=且DF EF .（2）3EF DF =，DFEF .理由如下： 如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90︒时，则90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，CF BF ∴=.又CE EB =，EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ，∴四边形LCMF 为矩形，90DFE ∴∠=︒.DF EF ∴⊥，//AC EF .DA DC =，120ADC =∠︒，30DCA ∴∠=︒.GEB 为等边三角形，60ECB ∴∠=︒.∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^∘∴D ，C ，E 三点共线.30DCA DEF ∴∠=∠=︒.∴在Rt DEF △中，3tan 3DE DF F F E DF ===∠； （3）①3EF DF =，DFEF .选择题图进行证明：如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，在ADF 和BNF 中，AF BF AFD BFN DF NF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.18060O ADC∴∠=︒-∠=︒.又CPO BPE∠=∠，60O CEB∠=∠=︒，OCP OBE∴∠=∠.DCE NBE∴∠=∠.又GEB是等边三角形，GE BE∴=，又AD BN CD==，()SASDCE NBE∴≅.DE NE∴=，BEN CED∠=∠.BEN BED CED BED∴∠+∠=∠+∠，即60NED BEC∠=∠=︒.DEN∴是等边三角形.又DF FN=，DF EF∴⊥，60FDE∠=︒.tan3E EF DF DFFD∴∠=⋅=.或选择图进行证明，证明如下：如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF=，连接NB，DE，NE，NB与CD交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF和BNF中，AF BFAFD BFNDF NF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.120NOC ADC∴∠=∠=︒.60BOJ∴∠=︒，60JEC∠=︒.又OJB EJC∠=∠，OBE ECJ∴∠=∠.AD CD =，AD NB =，CD NB ∴=.又GEB 是等边三角形，CE BE ∴=.()SAS DCE NBE ∴≅.DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.BEN BED CED BED ∴∠-∠=∠-∠，即60NED BEC ∠=∠=︒.DEN ∴是等边三角形.又DF FN =，DF EF ∴⊥，60FDE ∠=︒.tan 3E E F DF DF FD ∴∠=⋅=.②旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立.【点睛】本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.8．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()2,0，点B的坐标为()5,0，点P为线段AB外一动点，且2PA=，PM PB=，90BPM∠=︒，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE的最大值是4;（3）AM的最大值是2，点P的坐标为（22）【解析】【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD ABCAD EABAC AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=2AP=22，∴最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴2，∴22，∴P（22）．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、初三数学圆易错题压轴题（难）9．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC=35x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，如图1，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC⊥AB，∵OC过O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：连接OC、DC，如图2，∵AB＝4AD，∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，∴∠DCF＝90°，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝∠DCF＝90°，∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，∵OF＝OC，∴∠AFC＝∠OCF，∴∠ACD＝∠AFC，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACF，∴122 AC AD DC xAF AC CF x====，∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，∵AD＝x，∴DF＝4x﹣x＝3x，在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，解得：DCx，∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，∴DC EC=，∴∠CFE＝∠AFC，∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝DCDF＝53xx=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．10．如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610r r-= 解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，∵AC ＝8，⊙O 的半径为2， ∴OC ＝6，OE ＝2，∴CE ＝2242OC OE -= ； （2）设⊙O 的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC 22AB A C -＝6， ∵AF ＝BF ，∴AF＝CF＝BF，∴∠ACF＝∠CAF，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠ACB，∴△OEC∽△BCA，∴OE OCBC BA=，即8610r r-=解得r＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关11．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q 也停止运动，设DP=m．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点P，Q整个运动过程中，①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m，m﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10433与△ABC的边相切．②点F 1136572【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos302FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯=== 3tan30(2)EP AP m =⋅=+ 533(2)m =+ ∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4， 如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin60OB ON ==4310AO ∴=- 4312AP ∴=-432123m ∴+=-， 4310m ∴=-， 综上所述,当m =1或4或4310-时，O 与△ABC 的边相切。
北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅2．如果0b a >>，那么下列不等式中正确的是（）A ．2ab b -<B <C ．22a b <D ．11a b<3．命题“[]1,3x ∃∈-，2320x x -+<”的否定为（）A ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+≥B ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+>C ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≥D ．[]1,3x ∃∉-，2320x x -+≥4．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A ．21y x =+B ．1yx=C ．y =D ．y x x=5．已知:31p x -<≤，:30q x -<<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0x >，0y >，且121y x+=，则12x y +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．107．函数241xy x =+的图象大致为（）A ．B ．C．D ．8．已知 0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）.A ．11a b>B ．2ab b <C ．22a b <D ．2a ab>9．已知函数()23,1,x ax x af x ax x a ⎧+-≤=⎨+>⎩在定义域上是单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．[)2,0-B ．(],2-∞-C ．(]0,2D ．[)2,+∞10．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==，则下列说法错误的是（）A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在()0,b ∈+∞，使得A B =成立二、填空题11．函数1()5f x x =-的定义域为.12．函数220.7xxy -+=的值域为.13．已知()2132f x x x +=-+，则()1f =．14．函数2112x y a-=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点的坐标是.15．设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知集合{}|4A x x =>，集合{}2|650B x x x =-+>，集合{}|22M x m x m =≤≤-.(1)求()R A B I ð；(2)若A M A ⋃=，求m 的取值范围.17．某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25xy =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．(1)请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；(2)在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？18．已知函数()f x 是定义在上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+.(1)已知函数()f x 的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数()f x 的解析式和单调递减区间；(2)若关于x 的方程()f x t =有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．（只需写出结论）(3)写出解不等式()0xf x ≥的解集．19．已知()()214f x x a x =-++(1)若当[]2,4x ∈时，()1f x >-恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求关于x 的不等式()1130f x x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭的解集.20．已知函数()21ax bf x x +=+是定义域为(),21a a --的奇函数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在定义域上是增函数；(3)求不等式()()21f x f x ->-的解集.21．已知集合{}22,,A x x m n m n ==-∈Z (1)分别判断1-、0、1是否属于集合A ；(2)写出所有满足集合A 的不超过15的正偶数；(3)已知集合{}21,B x x k k Z ==+∈，证明：“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件.。
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北京牛栏山第一中学数学圆 几何综合单元测试卷（解析版）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610r r-= 解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，∵AC＝8，⊙O的半径为2，∴OC＝6，OE＝2，∴CE＝2242OC OE-=；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝22AB A C-＝6，∵AF＝BF，∴AF＝CF＝BF，∴∠ACF＝∠CAF，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠ACB，∴△OEC∽△BCA，∴OE OCBC BA=，即8610r r-=解得r＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关2．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x=-+（2）d=5t （3）故当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;试题解析：（1）∵C （0，8），D （-4，0）， ∴OC=8，OD=4， 设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ， 在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2， 则（8-a ）2=a 2+42， 解得：a=3， 则OB=3， 则B （0，3）， tan ∠ODB=34OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k b b +== ，解得：1{23k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-12x +3； （2）如图所示：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6， 则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OAcos BAO AB∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，则AQ=10cos APt BAO =∠ ,∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，∴QR=12 AQ=5t, 即d=5t;（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形，则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6， 即1564t = ， 解得：85t =; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：132n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，即1524t ,解得：t=815∴当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）。
点睛：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用。
4．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若tan F＝23，AG﹣BG＝533，求ED的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1339．【解析】【分析】（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=23=BGCG，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG•AG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据53求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB，在△BCD和△DFB中：∠BCD＝∠DFB∠CDB＝∠FBDBD＝DB所以△BCD≌△DFB（AAS）．（2）证明：连接OC．因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，所以∠COB＝∠PEC，因为PE＝PC，所以∠PEC＝∠PCE，所以∠PCE＝∠COB，因为AB⊥CD于G，所以∠COB+∠OCG＝90°，所以∠OCG+∠PEC＝90°，即∠OCP＝90°，所以OC⊥PC，所以PC是圆O的切线．（3）因为直径AB⊥弦CD于G，所以BC＝BD，CG＝DG，所以∠BCD＝∠BDC，因为∠F＝∠BCD，tanF＝23，所以∠tan∠BCD＝23＝BGCG，设BG＝2x，则CG＝3x．连接AC，则∠ACB＝90°，由射影定理可知：CG2＝AG•BG，所以AG＝229922xC xG xGB==，因为AG﹣BG 53，所以2392x x -=，解得x ，所以BG ＝2x CG ＝3x ＝所以BC 3=，所以BD ＝BC ， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ，所以△DEB ∽△DBC ， 所以BDB DC DE D =，因为CD ＝2CG ＝所以DE ＝2DB CD =． 【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．5．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ．(1)当点F 是BC 的中点时，求DH BH的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长：(3)如图2．以CF 为直径作O ． ①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线： ②当DH BH的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【答案】（1）12DH BH =，13GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【解析】【分析】（1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得DH BH的值，由重心和中位线的性质求得16=GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长； （2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEB S，列出关系式求解即可得CF 的长； （3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切时，求得DH BH 的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出O 与线段DE 有且只有一个交点时DH BH 满足的条件． 【详解】解：（1）∵DE 是ABC 的中位线，∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ，又∵点F 是BC 的中点，∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，:1:2DH BH ∴=，即12DH BH =；:1:2=HF AH ， ∴13=HF AF ， 在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ，∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，12∴=GF AF ，111236∴=-=-=GH GF HF AF AF AF ， 在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，22221068BC AB AC ∴=-=-=，则142==CF BC ， 222264213AF AC CF ∴=+=+=，11321363∴=⨯=GH ； （2）∵四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等，∴S 四边形DCFH +DGH S=S 四边形BEGH +DGH S ， 即S 梯形DCFG =DEB S ，∵6AC =，8BC =，DE 是ABC 的中位线，∴3CD =，4DE =，∵1143622=⋅⋅=⨯⨯=DEB S DE CD ， 设2CF a =，∵DG 为ACF 的中位线， ∴12==DG CF a ， 则S 梯形DCFG ()3(2)622+⋅==+=DG CF CD a a ， 解得：43a =， 823∴==CF a ； （3）①证明：如图2，连结、CH OH ，CF 为O 的直径，O 经过点H ，90∴∠=︒FHC ，∴90∠=∠=︒AHC FHC ，AHC 为直角三角形，D 为AC 的中点，12∴==DH AC CD ， ∠∠∴=DCH DHC ．又OC OH =，∴∠=∠OCH OHC ，∴∠+=∠+OCH DCH OHC DHC ，即90∠=∠=︒DHO ACB ，∴BH BD ⊥，即BD 是O 的切线；②如图3-1，当O 与DE 相切时，O 与线段DE 有且只有一个交点，设O 的半径为r ，圆心O 到DE 的距离为d ，∴当r=d 时，O 与DE 相切， ∵//DE CF ，90ACB ∠=︒，3CD =，∴两平行线、DE CF 之间的距离为3CD =，∴3r =，则6CF =，1862,32=-=-===BF BC CF DG CF ， 由//DE CF 得：DGH BFH ，32DH DG BH BF ∴==； 如图3-2，当O 经过点E 时，连接OE 、OG ，设O 的半径为r ，即==OE OC r ，∵G 为AF 的中点，O 为CF 的中点，∴//OG CD ，∴四边形COGD 为平行四边形，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形COGD 为矩形，∴90∠=︒DGO ，则90∠=︒OGE ，OGE 为直角三角形， ∴=3=OG CD ，==DG OC r ，则4=-=-GE DE DG r ，由勾股定理得：222+=OG GE OE ，即2223(4)+-=r r ， 解得：258r =，则258==OE OC ，2524==CF r 257258,448∴=-=-===BF BC CF DG OC ，由//DE BC 得：DGH BFH ，252514874∴===DH DG BH BF ， 则当2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点； 综上所述，当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质与判定、中位线的性质等知识，解题的关键是灵活添加常用的辅助线，属于中考压轴题．6．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是81313+，最小值是81313-．【解析】【分析】（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短． 在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP =-=-=．当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．（3）△ACF 的面积有最大和最小值．如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=， ∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3，又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1，∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，AC ===∴sinBC BAC AC ∠===在Rt △ACH 中，sin 3GH AG BAC =•∠==∴111F H GH GF =-=-，∴△ACF 面积有最小值是：11127(1)22132AC F H -•=⨯-=；∴四边形ADCF 面积最小值是：27812722--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵221F H GH GF =+=+，∴△ACF 面积有最大值是2111)22AC F H •=⨯+=；∴四边形ADCF 面积最大值是27812722+++=综上所述，四边形ADCF 面积最大值是812+，最小值是812- 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示）（2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？ （3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号）【答案】（1）22m AO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①1121153762【解析】【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DP AO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可. ②明显以E 点与C 点重合前后为节点，点F 的运动轨迹分两部分，第一部分为从P 开始运动到E 点与C 点重合，即图中的12F F ，根据1212F F AC AF CF =--求解；第二部分，根据tan EF EP EBF EB EB ∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B ，在2Rt F BC 中用勾股定理求解即可.【详解】（1）2222DP m AO =+=+，8BP AB AP m =-=-（2）情况1：与AC 相切时，Rt AOH ∆中，∵30A ∠=︒∴2AO OH =∴22m m +=解得4m =情况2：与BC 相切时，Rt BON ∆中，∵60B ∠=︒∴3cos 2ON B OB ==即3282mm =- 解得32348m =-（3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒，∴3cos30cos302FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===． 在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP ==∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233233AF AE EF AD PE =-=-==, 253CF CP ==， 故1212235311353326F F AC AF CF =--=-=， 2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒． ∴tan EF EP EBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ． 在2Rt F BC 中，2222225357522BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.8．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3（3）51+和22 【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO ，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD ，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE 时或OB=BE 时两种情况，利用三角形相似即△COE ~△CBO 找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O 作OP ⊥AB ，垂足为点P ；OQ ⊥BC ，垂足为点Q ，∵BO 平分∠ABC ，∴OP=OQ ，∵OP ，OQ 分别是弦AB 、BC 的弦心距，∴AB= BC ；（2）∵OA=OB ，∴∠A=∠OBD ，∵CD=CB ，∴∠CDB =∠CBD ，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD ，∴∠AOD =∠CBO ，∵OC=OB ，∴∠C =∠CBO ，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD ，∵AO ⊥OB ，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D 作DH ⊥AO ，垂足为点H ，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan ∠AOD =HD OH ∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD ‖OB ， ∴D AOB H AH O = ， ∵OA=OB ，∴HD=AH ，∵HD ‖OB ，∴AH HD OH O AH DB H ===； （3）∵∠C=∠CBO ，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，∴OE≠OB ；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，∴△COE ~△CBO ， ∴CO CE BC CO =， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，∴BC =舍去)或，∴；若OE = EB 时，∵∠EOB =∠CBO ，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos ∠CBO=2EB OB =， ∵OB=2，∴ ，∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，∴．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．9．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:3l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD ===则点D 到⊙O 1-，即直线:l y b =+上的点到⊙O 的最小值为1-要使直线:3l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O 14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O 14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O 的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O1-1；点S 到⊙O 的最小11则1418≥≤，解得：1m ≤≤或1m ≤≤- 故当1m 时，m的取值范围为31m ≤≤④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O的最小值为11则418m -≥⎧≤，解得：4m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点N 到⊙O11；点T 到⊙O11则1418≥≤，解得：1m ≤≤--1m ≤≤（舍去） 故当2m <-时，m的取值范围为4m ≤≤-综上，m的取值范围为31m ≤≤或4m ≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.10．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．（1）求AC的长；（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．【答案】（1）AC=5；（2）410EF=；（3）03CE≤<或58CE<≤．【解析】【分析】（1）过A作AG⊥BC于点G，由cos45B=，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的长度；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．【详解】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：在Rt△ABG中，AB=5，4 cos5BGBAB==，∴BG=4，∴AG=3，∴844CG=-=，∴点G是BC的中点，在Rt△ACG中，22345AC=+=；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：∴CE=CF=4，∵AB=AC=5，∴∠B=∠ACB，∴4 cos cos5CHB ACBCF=∠==，∴CH=3.2，在Rt△CFH中，由勾股定理，得FH=2.4，∴EH=0.8，在Rt△EFH中，由勾股定理，得224100.8 2.45EF=+=（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：①当圆C与AD相离时，则CE<AE，∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<；②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤．【点睛】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．。