平面向量复习学案(学生)
高一数学必修四第二章平面向量复习学案.
第二章平面向量复习学案一.知识回顾 （一）向量的基本概念：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向 量的_____.2.零向量: 模为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量方向任意。
3.单位向量: 模等于______________的向量叫做单位向量. 与AB u u u r共线的单位向量是____. （二）向量之间的关系：共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量.规定:_______与任意向量共线.其中模相等方向相同的向量叫做____________;模相等且方 向相反的向量叫做___________;（四）两个定理：1.向量共线定理:向量与非零向量共线⇔有且只有一个实数λ,使得____________. 推论：平面上三点A,B,C 共线⇔对于平面内任意一点O ,存在实数λ,μ, 使μλ+=其中λ+μ=____.2.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使a =_______________. （五）向量的坐标表示及运算1. 平面向量的正交分解及其坐标表示: ),(y x j y i x a =+=ρρρ.2. 平面向量的坐标运算: 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则+=_____________; -=______________ ;λ=__________. 3. 向量平行的坐标表示: b a // ⇔_____________________ .4. 向量模的公式: 设=(x,y),=____________________5. 若已知点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) , 则向量AB =____________;若M(x O ,y O )是线段AB 的中点，则有中点坐标公式⎩⎨⎧==____________________00y x（六）平面向量的数量积1.平面向量数量积的定义:两个非零向量,,其夹角为θ,a b ⋅r r=________叫做和的数量积.其中_____________叫做向量在方向上的投影. 2.数量积的坐标运算:设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),a b ⋅r r=________________; 3.两个向量垂直的等价条件:设两个非零向量b a ,,则有向量式: a ⊥b ⇔__________； 坐标式：a ⊥b ⇔ ___________ 4.几个重要性质:①22a a a a =⋅=r r r r ；②若与同向，则a b ⋅r r =_____;若与反向，则a b ⋅r r =______;③两个非零向量,,其夹角为θ,则θcos =___________.④ a b a b ⋅≤⋅r r r r（七）向量中一些常用的结论：在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为__________②0PA PB PC P ++=⇔u u u r u u u r u u u r r为ABC ∆的_____心；③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r为ABC ∆的______心；④||||||==(或222==)⇔O 是ABC ∆的_____心；⑤向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的______心.二.典例剖析题型一：平面向量及其线性运算例 1.如图所示，OADB 是以向量b OB a OA ρρ==,为邻边的平行四边形，又31,31==，试用b a ρρ, 表示.,,MN ON OM题型二：平面向量的坐标运算()()().,//211,3.2是坐标原点的坐标的试求满足，，，已知例O =+⊥-==题型三：平面向量的数量积的应用 （一）与长度，距离有关的问题例3.已知向量r r a 与b 的夹角为60o，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模.（二）与垂直有关的问题例4.已知,1||,2||==b a ϖϖa ϖ与b ϖ的夹角为3π,若向量b k a ϖϖ+2与b a ϖϖ+垂直, 求k .（三）与夹角有关的问题例5.三角形ABC 中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)， 求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)cos ∠ABC 的值.（四）与最值有关的问题B D例6.已知()()ββααsin cos sin cos ，，，==b a ρρ且()03>-=+k b k a b a k ρρρρ. （1）用k 表示数量积b a ρρ•；（2）求b a ρρ•的最小值，并求出此时a ρ与b ρ的夹角θ的大小.当堂检测:1．下列命题正确的是 （ ）A ．单位向量都相等B ．若，，c b b a ρρρρ////则c a ρρ//.C ．||||b a b a ρρρρ-=+，则0a b ⋅=r rD ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=rr2．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -= 3.O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=OA OP+λ，[)+∞∈,0λ, 则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知向量()()()，，，，，，143221=-==c b a ρρρ若用a ρ和b ρ表示c ρ，则=→c _____________.5．若)3,2(=a ρ，)7,4(-=b ρ，则a ρ在b ρ上的投影为________________.6．已知)2,1(=→a ，),1(m b =→，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是_________7．已知)1,2(=a ρ与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________.8.已知(1,2)a =r,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r垂直？（2）ka +rb 与3a -r 平行？平行时它们是同向还是反向？。
平面向量复习课(学案)
《平面向量》复习课（学案）【复习要求】1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；【知识提要】1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等的向量；（4）负向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）位置向量；（11）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )= ，22b (x ,y )= 。
（1）a b = ⇔1212x x y y =⎧⎨=⎩；（2）a b ⊥ ⇔a b 0⋅= ⇔1212x x y y 0+=；（3）∥b ⇔存在0λ≠，使得a b =λ ⇔1221x y x y 0-=；（4）12P P 定比分点P 的坐标由12P P PP =λ 确定；（5）三角形中线向量公式：1m (a b)2=+ ；（6）模的性质：|a ||b ||a b ||a ||b |-≤±≤+ 。
【超级链接】相关知识：（1）方向向量；（2）法向量；（3）复数的向量表示；（4）两直线的夹角；（5）相关的三角比公式；（6）正弦定理、余弦定理。
【热身训练】1．下列命题中：①若a b ⊥ ，则|a b||a b|+=- ；②若∥b ，则a b |a||b|⋅=⋅ ；③若与b 反向，则|a b ||a ||b |-=+ ；④若与b 不平行，且存在实数p 、q ，使得pa qb 0+=，则p q 0==。
其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42． 设P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则P 是△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 重心 （D ） 垂心3．已知OA (1,2)=- ，OB (3,m)= ，且OA AB ⊥ ，则m ＝ 。
平面向量复习教案
第二十二教时教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。
过程：一、 知识（概念）的梳理：1． 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量2． 向量的加法与减法：法则（作图）、运算律3． 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义二、 例题：1． 若命题M ：'=；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。
则M 是N 的 （ C ）(A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若'=，则 ||=|'|，且, '方向相同∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ⇒N若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’∴|'AA |=|'BB | 从而'AA ='BB ，即：N ⇒M2． 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：1︒++ 2︒++ 3︒-+--解：1︒ 原式= =+=++)(2︒ 原式= =+=++)(3︒ 原式= AB AB CO OC AB CO OC OA OB =+=+-=--+-0)()()(3． a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。
解：如图：13125||22=+=OB (km )tan ∠AOB =512 , ∴∠AOB = arctan 512 ∴a + b 的长为13km ，方向与成arctan 512的角。
4． 如图：1︒已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
2︒已知a 、b 、c ，求作a + c - b AOB a b a+ba a a ab b b bc c c c c -d d d a -b a+c -ba+c5． 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0 解：原方程可化为：(2x - 3x ) + (-5a +21a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =29-a + b 6． 设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k 。
平面向量复习学案2
《平面向量》复习学案第2课时 平面向量的坐标运算【学习目标】1、理解平面向量都可以通过两个不共线的向量唯一地表示。
2、掌握用坐标表示的平面向量的共线定理。
3、掌握向量和、差以及数乘向量的坐标运算法则。
【自学指导】1. 平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使 .把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 .2. 平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=．我们把(x 、y )叫做向量a 的直角坐标，记作 ．并且=a ．3. 向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．4. 平面向量的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，R ∈λ，则：=+b a =+b a=a λ已知A (1x 、1y )，B (2x 、2y )，则=AB ．5. 两个向量),(11y x a =和),(22y x b =共线的充要条件是 ．【典型例题】例1 已知向量1e ，2e ，求作向量2135.2e e +-.例2 如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.例3 已知)1,2(=a ，)4,3(-=b ，求b a +，b a -，b a 43+的坐标.例4 如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是()1,2-、()3,1-、()4,3，试求顶点D 的坐标.例5 已知()2,4=a ，()y b ,6=，且b a //，求y 的值.例6 已知()1,1--A ,()31，B ，()52，C ，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.【基础练习】1. 已知向量a 、b 的坐标，求b a +与b a -的坐标：（1）()4,2-=a ，()2,5=b ； （2）()3,4=a ，()8,3-=b ；（3）()3,2=a ，()3,2--=b ； （4）()0,3=a ，()4,0=b ；2. 已知A 、B 两点的坐标，求AB 、BA 的坐标：（1）()5,3A ，()9,6B ； （2）()4,3-A ，()3,6B ；（3）()3,0A ，()5,0B ； （4）()0,3A ，()0,8B ；3. 已知点()0,0O ，向量()3,2=OA ，()36-=，OB ，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.4. 已知表示向量a 的有向线段始点A 的坐标，求它的终点B 的坐标：（1）()1,2-=a ，()0,0A ；（2）()3,1=a ，()5,1-A ；（3）()5,2--=a ，()7,3A .5. x 为何值时，()3,2=a 与()6,-=x b 共线？6. 已知()3,2--A ，()1,2B ，()4,1C ，()4,7--D ，试问AB 与CD 是否共线？。
平面向量复习学案
平面向量教学目标1．理解平面向量的概念（零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等）；2．理解平面向量的加法、减法．教学重难点理解平面向量的概念及向量相等的含义．向量加法的三角形法则与平行四边形法则知识归纳1.基本概念名称定义备注向量既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称为______)平面向量是自由向量零向量长度为____的向量；其方向是任意的记作____单位向量长度等于__________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向______或______的非零向量0与任一向量______或共线共线向量________________的非零向量又叫做共线向量相等向量长度______且方向______的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度____且方向____的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝__________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝________.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差________法则a－b＝a＋(－b)二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
典型例题练习【基本训练】1．判断下列命题是否正确：⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （ ）⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则错误！未找到引用源。
初中平面向量复习教案
上海育才苑教学设计方案姓名学生姓名上课时间12年10月7日12:00-14:00 辅导科目数学年级九年级课时 2 教材版本沪教版课题名称平面向量复习教学目标掌握向量的基本概念；掌握向量加法与减法的定义、运算法则和几何意义；理解掌握实数与向量积的意义和运算律；理解和掌握平面向量的线性运算的意义，掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示的方法。
教学重点实数与向量积，向量的线性运算。
教学难点实数与向量积的意义和运算律；平面向量的分解方法。
教学及辅导过程一、概念梳理（一）向量的基本概念1、什么叫向量？2、什么是向量方向与模？3、什么是相反向量？什么是平行向量？（二）向量的加法1、向量的加法定义向量加法的定义：如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2、向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。
运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
（2）向量加法的平行四边形法则（平行四边形法则）如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3、向量a，b的加法也满足交换律和结合律：①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。
②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。
③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；教学及辅导过程当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
平面向量复习课教(学)案
考点二、平面向量的数量积与应用
[例2] (1)(2012·高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足 ＝λ ， ＝(1－λ) ，λ∈R.若 · ＝－2，则λ＝( )
A．30° B．60°C．120° D．150°
六、课堂小结
1．向量的线性运算实质上是向量的加、减法与数乘运算，实现用基底表示向量的目的．在解题过程中要注意结合共线向量定理的应用．
2.平面向量数量积的应用主要是解决向量的夹角、模、垂直问题．在处理问题时，除考虑定义计算外，还要充分利用向量的线性运算、数形结合解决问题．
3.平面向量的应用主要体现在向量与平面几何、向量与三角、向量与解析几何、向量与物理等方面的结合，解决问题的关键是恰当引入向量，通过向量运算解决问题．
课后作业
1、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
2、在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
特别地，平面一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使 ＝x (或x )，或对直线外任意一点O，有 ＝x ＋y (x＋y＝1)．
(2)平面向量基本定理是平面向量坐标表示的理论基础．
4．向量的数量积
(1)计算方法：
①a·b＝|a||b|cosθ；
②已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
A． B．
C． D．
4．已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为( )A. B．－ C. D．－
第03讲 平面向量基本定理及其拓展(爪子定理)(高阶拓展)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案
第03讲平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高阶拓展）（3类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量4.会综合应用平面向量基本定理求解【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。
1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一． 2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.3. 形如AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC uuu r uuu r 为不共线的两个向量，则对于向量AD uuu r，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 。
则,,B C D 三点共线Û1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++uuu r uuu r uuu r 3、AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解B1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．A ．()10,0e =r，()21,2e =-r B ．()11,2e =-r ，()25,7e =r C ．()13,5e =r，()26,10e =r D ．()12,3e =-r，213,24e æö=-ç÷èør 2．（2024高三·全国·专题练习）如果12,e e r r是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）A ．1e r 与12e e +r r B ．122e e -r r 与122e e +r r C ．12e e +r r 与12e e -r r D ．123e e +r r 与1226e e +r r 3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）A ．()1,2a =r ，()0,0b =rB ．()1,2a =r，()1,2b =--r C ．()1,2a =r，()5,10b =r D ．()1,2a =r，()1,2b =-r1．（2023·陕西西安·一模）设R k Î，下列向量中，可与向量()1,1q =-r组成基底的向量是（ ）A ．(),b k k =rB ．(),c k k =--rC ．()221,1k d k =++u rD ．()221,1k e k =--r 2．（2023高三·全国·专题练习）设{}12,e e u r u u r 为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）A ．12e e +u r u u r 和12e e -u r u u rB ．1224e e +u r u u r 和2124e e -u u r u rC ．122e e +u r u u r 和1212e e +u r u ur D ．122e e -u r u u r 和2142e e +u u r u r1．（2022·全国·高考真题）在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==uuu r uuu r r r ，，则CB uuu r=（ ）A ．32m n -r rB ．23m n -+r rC ．32m n +r rD ．23m n+r r 2．（全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA ．3144AB AC -uuu v uuu v B ．1344AB AC -uuuv uuu v C ．3144+AB AC uuuv uuu v D ．1344+AB AC uuuv uuu v 3．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，M 是AB 的中点，3,AN NC CM =uuu r uuu r 与BN 相交于点P ，则AP =uuu r（ ）A ．3155AB AC+uuur uuu r B ．1355AB AC+uuur uuu r C ．1324AB AC +uuur uuu r D ．3142AB AC +uuur uuu r1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =uuu v v ，BD b =uuu v v ，则AF =uuu vA ．1142a b+v v B ．2133a b+v vC ．1124a b+vv D ．1233a b+v v2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC V 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF =uuu r uuu r ，则AF =uuu r（ ）A ．1526AB AC +uuur uuu r B ．1324AB AC +uuur uuu r C ．12AB AC +uuur uuu r D ．1322AB AC +r r 3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在ABC V 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN=与CM 相交于E ，设,AB a AC b ==uuu r uuu r r r ，则向量AE =uuu r（ ）A ．1132a b+r r B ．1223a b+rr C ．2155a b+rr D ．3455a b+rr1．（全国·高考真题）设D 为ABC V 所在平面内一点，且3BC CD =uuu r uuu r，则（ ）A. 1433AD AB AC =-+uuu r uuur uuu rB. 1433AD AB AC=-uuu r uuu r uuu rC. 4133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu rD. 4133AD AB AC=-uuu r uuu r uuu r2. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（ ）A.911 B.511C.311D.2113. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（ ）A.911 B.511C.311D.2111．（2024·云南昆明·一模）在ABC V 中，点D 满足4AD DB =uuu r uuu r，则（ ）A ．1344CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r B ．3144CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r C ．1455CD CA CB=+uuu ruuu r uuu r D ．4155CD CA CB=+uuu ruuu r uuu r 2．（2024·广东广州·一模）已知在ABC V 中，点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur ，则AD =uuu r（ ）A ．1566AB AC+uuur uuu r B ．1566AC AB+r r C ．1455AB AC+uuur uuu r D ．4155AB AC+uuur uuu rA ．13,22x y ==C ．13,22x y =-=-1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e u r 、2e u ur ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）A ．122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r B ． 123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r C ． 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r D ． 1e u r 和12e e +u r u u r 2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，则EF =uuu r（ ）A ．1233a b-+r r B ．1233a b--r rC ．2133a b+r r D ．2133a b-r r 3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，记,AB a AD b ==uuu r uuu r r r ，则EF =uuu r（ ）A ．2132a b-r r B ．2132a b+rr C ．1132a b+r r D ．1223a b+r r 4．（2024·山东济南·二模）在ABC V 中，E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r ，则DE =uuu r（ ）A ．1263AB AC-+uuur uuu r B ．5163AB AC+uuur uuu r C ．1263AB AC+uuur uuu r D ．1263AB AC-uuur uuu r 5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形ABC 的边长为2，P 为ABC V 的中心，PE AC ^，垂足为E ，则PE =uuu r（ ）A ．1233AB AC -+uuur uuu r B ．1136AB AC -+uuu r uuu r C ．1163AB AC -+uuu r uuu r D ．2133AB AC -+ r r 6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形ABCD 中，3,DC AB E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点，2DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r（ ）A ．12BA BC-+uuu r uuu r B ．12BA BC-+uuur uuu r C ．1122BA BC-+uuur uuu r D ．32BA BC-+uuu r uuu r7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD 中，E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （ ）A ．1142a b--r r B ．3142a b--rr C ．1124a b--r r D ．1324a b--r r 8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （ ）．A ．2132a b-r r B ．3146a b-rr C ．51122a b -rr D ．1126a b-r r9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r （ ）A ．1123AB AD -+uuur uuu r B ．1123AB AD --uuur uuu r C ．1132AB AD-+uuur uuu r D ．1132AB AD--uuur uuu r 10．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，,AB a AC b ==uuu r uuu r rr ，若2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，线段AD 与BE 交于点F ，则CF =uuu r（ ）A ．1233a b+r r B ．1233a b-rr C ．1233a b-+r r D ．1233a b--r r一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n ==uuu r uuu r u r r ，则BE =uuu r（ ）A ．533n m-r u rB ．732n m-r u r C ．732m n-u r r D ．532m n-u r r 2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（ ）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．1344AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r34333．（2023·湖南·一模）在ABC V 中，点D 满足2,AD DB E =uuu r uuu r 为BCD △重心，设,BC m AC n ==uuu r uuu r r r ，则AE uuu r可表示为（ ）A ．1233m n+r rB ．1233m n-+r rC ．5899m n-+r r D ．5899m n+r r 4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形ABCD 中，2BE ED =uuu r uuu r ，2AF AC AB =+uuu r uuu r uuu r，若(),EF AB AD l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则lm=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=o ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =uuu r uuu r ，3BF FC =uuu r uuu r．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，则DM CA ×uuuu r uuu r 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC V 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM =uuu r uuuu r ，2,AE ED AC AN l ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则l =（ ）A ．85B ．53C ．74D ．527．（2024·宁夏银川·模拟预测）在ABC V 中，2BD DC =uuu r uuu r，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值为（ ）A ．2B C ．3D ．83二、多选题8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,4,AB BC E ==是BC 的中点，F 是DC 上的一点，且2DF FC =，则下列说法正确的是（ ）33C ．28AE AF ×=uuu r uuu rD ．32AE AF ×=uuu r uuu r三、填空题9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在ABC V 中，2,3,3AB AC AB AC ==×=uuu r uuu r，点D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，3,AE AC BE =uuu r uuu r交AD 于点F ，设(),BF AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；点G 是线段BC 上的一个动点，则BF FG ×uuu r uuu r的最大值为 ．10．（2024·天津·模拟预测）如图，在ABC V 中，2AB =，5AC =，3cos 5CAB Ð=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =uuu r uuu r.若34BP AD =uuu r uuu r ，记(),PD AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；若点P 满足BP uuu r 与AD uuu r共线，PA PC ^uuu r uuu r，则BP ADuuu r uuu r 的值为.1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r，则EF uuu r 等于（ ）A ．()12a b+r r B ．()12a b-r r C ．()12b a -r r D ．12a b+r r 2．（全国·高考真题）在ABC V 中，AB c =uuu v v ，AC b =uuu v v ．若点D 满足2BD DC =uuu v uuu v ，则AD =uuu v（ ）A ．2133b c+v v B ．5233c b-v vC ．2133b c-v vD ．1233b c+vv3．（·全国·高考真题）在ABC V 中，D 是AB 边上一点.若12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则l 的值为（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-4．（全国·高考真题）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB Ð．若CB a =uuu v v ，CA b =uuuv v ，1=v a ，2b =v ，则CD =uuu v A ．1233a b+v v B ．2133a b+v vC ．3455a b +v vD ．4355a b+v v 5．（安徽·高考真题）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===uuu v v uuu v v uuu v uuu v ，M 为BC 的中点，则MN =uuuu v _______．（用a b vv 、表示）6．（北京·高考真题）在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==uuuu r uuu u r uuu r uuu r ，若MN x AB y AC =+uuuu r uuu r uuu r ，则x ＝，y ＝ .7．（江苏·高考真题）如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ×=×uuu v uuu v uuu v uuu v ，则ABAC的值是 .。
平面向量系数和(等和线、等值线)问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案
第04讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
平面向量复习与小结学案
必修42.5.3平面向量复习与小结【学习目标】1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，通过学生补充相关内容，加深理解向量的概念、平面向量的基本定理、两向量平行与垂直的条件、平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，对分析问题、解决问题方面有更进一步的感受．．2．通过本节对向量有关内容的复习，进一步认识事物之间的相互转化．感受数学的应用．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．能通过一题多解的活动、通过多种方法间的沟通，体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．【学习重点】构建知识网络、梳理题型解法、向量知识综合运用.【难点提示】理清知识脉络与联系，知识与方法在一些综合性问题中的灵活运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材114121P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容进行系统复习， 同时思考下列问题：1.在对网络中个知识点回顾与复习后，请对不熟悉的知识点重点复习并写在空白处或添纸上（链接1供你参考对照），对个知识点尽可能达到一定的熟练程度，同时还要理清知识间的联系，发现明白知识的易错易混点，必须确保各知识点在求解问题时能准确与灵活运用！2.在前面的学习中，我们遇到过哪些问题，运用了哪些思想方法求解？在前面的学习中， 求解有关向量问题的易错点有哪些？（见上学案2.5.1中的学习链接）3.运用向量法解决几何问题的三步曲 、 、 （见上学案2.5.1中的学习链接）.4. 用向量知识研究物理问题的基本思路、方法与步骤 （见上学案2.5.2中的学习链接）.二、典例赏析例1.已知),2,3(),2,1(-==b a 当k 为何值时，（1）b a b a k 3-+与垂直？ （2）b a b a k 3-+与平行？平行时它们是同向还是反向？解:解后反思 共线向量的充要条件的两种表示形式在应用中的特点你学会了吗？ 变式练习 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，,分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量2-=，m +=，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线？解：例2.在ABC ∆中，.,,===若∙=∙=∙． 求证ABC ∆为正三角形．证明:解后反思 你能通过一题多解的训练学会举一反三吗？如下面的变式. 变式练习 02=+∙若则ABC ∆的形状是例3 .平面内有向量OA OB OP ===（1，7），（5，1），（2，1），点Q 为直线OP 上一动点，（1）求QA QB ∙取最小值时，点Q 的坐标;（2）当点Q 满足（1）的条件和结论时，求cos AQB ∠的值． 解:解后反思 从该题的求解是否感受到：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，给解题带来很大的方便．通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明与计算转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用．有助于“数形结合”解题思想的认识和掌握．变式练习 已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，(,)22ππθ∈-（1）若a b ⊥ ,求θ的值;（2）求a b -的最小值; （3）求函数)(θf y ==a ·b 的单调增区间 解：例4.已知a 、b 是两个非零向量，当a +t b （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求t 的值； （2）求证：b ⊥（a +t b ）思路启迪：利用|a +t b |2=（a +t b ）2进行转换，可讨论有关|a +t b |的最小值问题，若能计算得b ·（a +t b ）=0，则证得了b ⊥（a +t b ）解：解后反思你还有其他证明方法吗？变式练习 设向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，且a 、b 满足||3||b k a b a k -=+（k 为正实数），（1）求证：)()(b a b a -⊥+；（2）设a 与b 的数量积表示为k 的函数)(k f ，求)(k f （3）求函数)(k f 的最小值及取得最小值时与的夹角．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：通过本节课的复习对向量知识是不是更加理解与掌握了？能对向量知识的综合与灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？（链接2）五、学习评价1.（06四川）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量 积中最大的是（ ）A.1213,PP PP ；B.1214,PP PP ；C.1215,PP PP ；D.1216,PP PP . 2.ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，．若q p //，则C ∠角的大小为 3.在下列命题中，正确命题的个数为ABMCQP ACB①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c）+=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 4.已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________5.已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 .6.如图ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD BN=31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线 证：7.已知向量,a b 满足1,a b ==且()30a kb ka b k +=-< （1）试用k 表示,a b ⋅并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 夹角的值； （2）当a b ⋅取最大值时，求实数,λ使a b λ-最小. 解：8.如图，点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，求证：12OA OA OA OB +=+ （1） 一般地，如果点1A ，2A ，…1n A-是AB 的n (3)n ≥等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例并证明你写的结论解：9.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径， （Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （Ⅱ）求BP CQ ⋅的最大值解：10.教材P118页复习参考题A 组2、10、11，B 组1、4、5、6、7、8.【学习链接】链接1.知识要点梳理 （一）基本概念1.向量：既有大小又有方向的量叫向量；零向量（特殊向量）：长度为零的向量；2.单位向量：长度为一个单位长度的向量，与非零向量a 共线的单位向量0a a a=±；3.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行，平行向量就是共线向量.4.向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a-=⇔模相等，方向相反.5.两个非零向量a 、的夹角：做=a ；=b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角．6.向量的坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=aj y i x +，则()y x ,叫做a 的坐标．7.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影.向量） 记：OA OB -是一个向量，=aλ||||a λ（三）基本定理、公式 （1）平面向量基本定理：若1e与2e不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+．（2）向量的模：a＝＝22yx +；非零向量a与b 的夹角：=θc o s 222221212121||||y x y x y y x x b a +++=（3）向量平行：a ∥b ⇔λ=⇔1221y x y x =；向量垂直：a⊥b⇔0=⋅⇔02121=+y y x x .。
《平面向量》复习案
课题：《平面向量》复习案教 学 内 容个 性 笔 记【学习目标】1、熟记平面向量相关的知识点、定理和重要结论；2、学会应用“数形结合”、函数等思想方法，探索并总结本章相关解题方法、步骤；3、体会数学解题方法的多样性，感受数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性.【学习重点】平面向量的相关概念、线性运算、数量积运算、定理和重要结论【学习难点】夹角、模的计算；平行、垂直条件的应用【学习过程】（一） 相关知识点梳理1.相关概念 (1)向量定义： (2)向量的三种表示方法：① ，② ，③ (3)零向量：(4)单位向量： .(5)共线向量： 特别规定：(6)相等向量：(7)相反向量：2.向量的运算（结果仍为向量） （1）线性运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言加法 与 减法OA +OB =OB OA -=记OA =(x 1,y 1), OB =(x 1,y 2) 则OB OA +=OB OA -=OA --→+AB --→=数乘AB --→=λa →（λ∈R ）记a →=(x ,y )则λa →=注：（ 0>λ时，AB 与a ； 0<λ时，AB 与a ； 0=λ时，AB = 向量线性运算的运算律与实数的运算律相同.（2）数量积运算（结果为数量）①定义：②坐标运算：若 ),(11y x a =，),(22y x b =，且a 与 b 的夹角为θ，则=⋅b a=θcos = （坐标表示） =a③已知点 ),(11y x A 和),(22y x B ，则=AB =AB(二)相关定理及重要结论（1）平面向量基本定理: 基底：平面内 的两个向量. （2）若 ),(11y x a =，),(22y x b =，则⇔b a // ；⇔⊥b a .（3）中点坐标公式:已知点 ),(11y x A 和),(22y x B则线段AB 的中点P 的坐标为 （二）预习检测1．已知),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=（ ）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 2.已知a (3,4)=，)8,6(--=b ，则a 与b （ ）A.互相平行B. 夹角为60oC.夹角为30oD.互相垂直 3.若向量)2,1(=a ，)4,3(-=b ，则))((b a b a +⋅等于（ ） A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)- 4.已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM ＝31−→−BC ,−→−CN ＝31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ，−→−AC ＝→b ，则−→−MN ＝ .5.已知a>0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，求a 的值.。
高中数学平面向量复习优秀教案
平面向量复习〔一〕【复习目标】1掌握向量的相关概念:2会进行向量的根本运算3理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理【复习重点】向量的根本运算【复习难点】理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理复习内容一、向量的相关概念: 1)定义2)重要概念：〔1〕零向量：〔2〕单位向量：〔3〕平行向量：〔4〕相等向量：〔5〕相反向量：3)向量的表示4)向量的模〔长度〕二、向量的运算1）加法：①两个法则②坐标表示减法:①法则②坐标表示，运算律2)实数λ与向量a 的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的夹角定义(2)平面向量数量积的定义(3)a在b上的投影(4)平面向量数量积的几何意义〔5〕平面向量数量积的运算律三、平面向量之间关系〔1〕向量平行(共线)条件的两种形式:〔2〕向量垂直条件的两种形式:〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的根本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：零向量：长度为0的向量，记作0.〔2〕单位向量：长度为1个单位长度的向量.〔3〕平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.〔4〕相等向量：长度相等且方向相同的向量.〔5〕相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、向量的相关概念〔一〕、向量表示及运算：几何表示，字母表示，坐标表示1、向量的模〔长度〕即向量的大小,记作|a| ；向量的表示方法: _________2、向量的加法: 平行四边形法则；三角形法则(首尾相接)，平行四边形法则，坐标表示:a + b = (x1+ x2，y1+ y2)．运算律：交换律；结合律。
3、向量的减法: 三角形法则(指向被减数)．坐标表示: a - b = (x1- x2，y1- y2)．4、(1)实数与向量的积:λa．规定:1) |λa| =|λ||a| ;2) λ＞0时与a同向; λ＜0时与a反向; λ=0时, λa = 0;坐标表示:λa=(λx，λy)．运算律：λ(μa ) = (λμ)a ; (λ+μ)a = λa +μa ;λ(a + b ) = λa +λ b.5、平面向量的数量积1〕、（1）a与b的夹角：共同的起点（2）向量夹角的范围：[00，1800]〔3〕向量垂直：〔4〕两个非零向量的数量积：• 规定：零向量与任一向量的数量积为0几何意义：数量积a·b等于：2〕、数量积的运算律：⑴交换律：a⋅b=b⋅a⑵对数乘的结合律：(λa)⋅b= λ(a⋅b)=a⋅(λb)⑶分配律：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c数量积不满足结合律即: (a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)3〕、平面向量数量积的重要性质a,b为非零向量，e为单位向量•〔1〕e · a=a·e=|a |cosθ•〔2〕a⊥b的条件是a·b=0(3) 当a与b同向时，a· b = |a | | b | ;当a与b反向时，a·b= - |a | | b特别地：a·a=| a |2或| a | =_____________〔4〕cosθ=〔5〕|a·b| ≤ | a | | b|二、平面向量之间关系向量平行(共线)条件的两种形式:(1)a // b(b≠ 0) ⇔a= λb;(2)a // b(a= (x1 , y1 ), b= (x2 , y2 ), b≠ 0)⇔ x1 y2- x2 y1=0向量垂直条件的两种形式:(1) a⊥b⇔a•b= 0( 2 ) a⊥b⇔a•b=x1x2+y1y2= 0〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.那么a=b⇔x1=x2且y1=y2三、平面向量的根本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，则______________例1. a = (1, 2),b = (-3, 2),当k为何值时,( 1) k a + b与a-3 b垂直;(2)k a + b与a-3 b平行, 平行时它们是同向还是反向? 例2.向量a,b 不共线．(1)假设A → B = a -b, B → C= 2 a -8 b, C → B=(a +b ), 求证A 、 B 、D 共线;(2)假设 k a - b 与 a -k b 共线,求实数 k 的值。
平面向量复习3学案(学生版)
； = 。 = ；
最大值： 最值 最小值：
无 最小值：
装
② cos 2 ③ tan 2 3.降幂公式：
【当堂检测】
a ∥ b ，则锐角 的值为 1．已知 a ( , 2sin ), b ( cos , ), 且
1 3
1 2
3 2
订
① sin 2 a ② cos a ；
3 sin x,sin x , b cos x,sinx , x 0, . 2
【我的收获】
3．设向量 a (sin x,cos x), b (cos x,cos x), x R ，函数 f ( x) a (a b ) . （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求 f ( x ) 的单调增减区间.
南涧县民族中学
高一数学必修四
新授学案
使用时间：
编号:12
学科组长审核:
学校领导审核:
班级：
小组：
姓名：
《平面向量复习 3》学案
【学法指导】 1.课前用 15-20 分钟完成【固学预学】。
5. 三角函数性质与图像
函数
y s inx
y cos x
y tan x
装
2.课前用 5-10 分钟完成【当堂检测】第 1 题。 4.课堂用 20-30 分钟完成【当堂检测】第 2-3 题，讲解展示 15 分钟，改错、总结 5 分钟。 【固学预学】
有错必改 我的错题目号：_____ 我的错题分析及正确解法： ____
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！
平面向量二轮复习教学设计
平面向量二轮复习教学设计引言：平面向量是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学竞赛中常考的内容之一。
为了帮助学生复习平面向量的知识并提升其应用能力，本文设计了一节针对平面向量的复习教学。
目标：在本节课中，我们的目标是复习和巩固平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的加法和减法、向量的数量积以及平面向量的基本运算规则。
同时，通过一些典型的习题和应用题，培养学生分析和解决问题的能力。
教学内容：1. 向量的基本概念和表示方法（15分钟）- 复习向量的定义：有大小和方向的量。
- 复习向量的表示方法：用有向线段表示。
2. 向量的加法和减法（20分钟）- 复习向量的加法和减法的定义。
- 给出几个示例，让学生进行计算和分析。
3. 向量的数量积（30分钟）- 复习向量的数量积的定义和性质。
- 解释数量积的几何意义和计算方法。
- 给出几个应用题，让学生进行计算和分析。
4. 平面向量的基本运算规则（20分钟）- 复习平面向量的基本运算规则：交换律、结合律、分配率等。
- 给出几个示例，让学生进行推导和计算。
5. 综合应用题（30分钟）- 准备一些综合应用题，让学生综合运用平面向量的知识解决实际问题。
- 强调问题分析和解决方法，引导学生思考和讨论。
教学方法：1. 理论讲解与示范：通过讲解向量的基本概念和运算规则，并通过示例演示计算方法和解题思路。
2. 互动讨论与群体合作：在讲解的过程中，引导学生积极回答问题，并鼓励学生相互交流和讨论。
3. 实际应用与综合训练：通过提供一些实际问题和综合应用题，让学生运用所学的平面向量知识解决问题，提升其应用能力。
教学评价：为了评价学生的学习效果和掌握程度，本节课可采用以下方式进行评价：1. 平时表现：包括学生在课堂上的表现、回答问题的积极性和参与度等。
2. 作业评价：布置一些与教学内容相关的练习题或作业，通过批改和讲解答案来评价学生的学习情况。
3. 小组合作评价：对学生进行小组合作评价，评估学生在群体讨论和合作中的表现和贡献。
初中平面向量复习教案
初中平面向量复习教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，包括大小和方向。
通过实际例子解释向量的表示方法，如箭头表示法和平行四边形法则。
1.2 向量的性质强调向量是矢量，具有大小和方向。
解释向量的相等性、相反向量、单位向量等概念。
1.3 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算。
利用平行四边形法则和三角形法则进行向量加法和减法运算。
第二章：向量的几何表示2.1 向量的几何表示法介绍向量的几何表示方法，包括箭头和平行四边形。
强调箭头表示法中的长度和方向，以及平行四边形法则的应用。
2.2 向量的模和方向解释向量的模（长度）和方向的概念。
利用直角坐标系和极坐标系表示向量的模和方向。
2.3 向量的图像利用图形展示向量的加法、减法和数乘运算。
强调图形中的平行四边形法则和三角形法则的应用。
第三章：向量的坐标表示3.1 向量的坐标表示法介绍向量的坐标表示方法，包括在直角坐标系中的表示。
解释二维和三维空间中向量的坐标表示方法。
3.2 向量的坐标运算复习向量的加法、减法和数乘运算的坐标表示。
利用坐标运算解决实际问题，如计算向量的模和方向。
3.3 向量的坐标图像利用坐标系中的图形展示向量的加法、减法和数乘运算。
强调图形中的平行四边形法则和三角形法则的应用。
第四章：向量的数量积4.1 向量的数量积概念介绍向量的数量积（点积）的概念和计算公式。
解释数量积的几何意义，如两个向量的夹角余弦值。
4.2 向量的数量积运算复习向量的数量积的运算规则，包括交换律、结合律等。
利用数量积解决实际问题，如计算两个向量的夹角余弦值。
4.3 向量的数量积图像利用图形展示向量的数量积的几何意义。
强调图形中的夹角余弦值和数量积的应用。
第五章：向量的投影5.1 向量的投影概念介绍向量的投影的概念，包括在二维和三维空间中的投影。
解释投影的计算方法和几何意义。
5.2 向量的投影运算复习向量的投影的运算规则，包括正交投影和一般投影。
利用投影解决实际问题，如计算向量在某一方向上的投影长度。
高考数学知识点《平面向量》复习教案
届高考数学知识点《平面向量》复习教案【小编寄语】小编给大家整理了届高考数学知识点《平面向量》复习教案，希望能给大家带来帮助!平面向量的坐标运算一.复习目标：1.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件;2.学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。
二.主要知识：1.平面向量坐标的概念;2.用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等;3.会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题.三.课前预习：1.若向量 ,则 ( )2.设四点坐标依次是，则四边形为 ( )正方形矩形菱形平行四边形3.下列各组向量，共线的是 ( )4.已知点 ,且有 ,则。
5.已知点和向量 = ,若 =3 ,则点B的坐标为。
6.设 ,且有 ,则锐角。
四.例题分析：例1.已知向量，，且，求实数的值。
小结：例2.已知，(1)求 ;(2)当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向?小结：例3.已知点 ,试用向量方法求直线和 ( 为坐标原点)交点的坐标。
小结：例4.已知点及 ,试问：(1)当为何值时, 在轴上? 在轴上? 在第三象限?(2)四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值.若不能,说明理由。
小结：五.课后作业：班级学号姓名1. 且，则锐角为 ( )2.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中 ( )2 -23.已知向量且，则 = ( )(A) (B) (C) (D)4.在三角形中，已知，点在中线上，且，则点的坐标是 ( )5.平面内有三点，且∥ ，则的值是 ( )1 56.三点共线的充要条件是 ( )7.如果 , 是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是 ( )若实数使，则空间任一向量可以表示为，这里是实数对实数，向量不一定在平面内对平面内任一向量，使的实数有无数对8.已知向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ ____.9.已知，则与平行的单位向量的坐标为。
高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案
1、向量的概念及运算 一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。
初中平面向量复习教案
初中平面向量复习教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的定义及其几何表示。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘以及向量共线定理。
3. 学会用向量解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 平面向量的概念：向量的定义、向量的几何表示。
2. 向量的线性运算：向量加法、向量减法、数乘向量。
3. 向量共线定理：共线向量、相反向量、平行向量。
4. 向量的模：向量模的定义及计算。
5. 向量的坐标表示：二维空间向量的坐标表示及运算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的概念、线性运算、共线定理、模的计算、坐标表示。
2. 教学难点：向量的坐标表示及运算，向量共线定理的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念、性质及运算规律。
2. 利用图形演示，直观展示向量的几何表示及运算过程。
3. 运用例题分析，引导学生学会运用向量解决实际问题。
4. 开展小组讨论，让学生在合作交流中掌握向量的相关知识。
五、教学过程1. 导入新课：回顾平面向量的概念及其几何表示。
2. 讲解向量的线性运算：向量加法、向量减法、数乘向量。
3. 讲解向量共线定理：共线向量、相反向量、平行向量。
4. 讲解向量的模：向量模的定义及计算。
5. 讲解向量的坐标表示：二维空间向量的坐标表示及运算。
6. 例题分析：运用向量解决实际问题。
7. 小组讨论：探讨向量共线定理在实际问题中的应用。
8. 课堂小结：回顾本节课所学内容，总结向量的基本性质及运算规律。
9. 作业布置：巩固所学知识，提高运用向量解决问题的能力。
10. 课后反思：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学质量。
六、教学评价1. 评价内容：学生对平面向量的概念、线性运算、共线定理、模的计算、坐标表示的理解和掌握程度。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、课后访谈、小组讨论等。
3. 评价指标：a. 学生能准确描述平面向量的概念及其几何表示；b. 学生能熟练运用向量进行线性运算，包括加法、减法、数乘；c. 学生能理解和应用向量共线定理，判断共线向量、相反向量、平行向量；d. 学生能正确计算向量的模，理解其意义；e. 学生能运用向量的坐标表示解决实际问题。
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向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积⑴ 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长度与方向规定如下：① | λa |＝ ．② 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＝0时，λa ．⑵ λ(μa )＝ ． (λ＋μ)a ＝ ． λ(a ＋b )＝ ．⑶ 共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ．⑵ 设1e 、2e 是一组基底，a ＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则a 与b 共线的充要条件是 ．例1．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设a AB =，b AC =，求BE ．变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）A ．－BC ＋BA 21B ．－BC －BA 21C ．BC －BA 21D ．BC ＋BA 21例2. 已知向量2132e e a -=，2132e e b +=，2192e e c -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使b a c μλ+=．变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：PO PD PC PB PA 4=+++例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若a AB =，b AD =，试用a 、b 表示BC 和MN ． 变式训练3：如图所示，OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边的平行四边形，又BM ＝31BC ，CN ＝31CD ，试用a 、b 表示OM ，ON ，MN ．例4. 设a ，b 是两个不共线向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，31(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？ 1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意O 与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证AB ∥CD ，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证AB ∥AC 即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作 ．并且|a |＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1、y 1)，b ＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：a ＋b ＝ a －b ＝ λa ＝已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则AB ＝ ．4．两个向量a ＝(x 1、y 1)和b ＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．2，3），B （－1，5），且AC ＝31AB ，求点C 的坐标．变式训练1.若(2,8)OA =，(7,2)OB =-，则31AB = . 例2. 已知向量a ＝(cos 2α，sin 2α)，b ＝(cos 2β，sin 2β)，|a －b |＝552，求cos(α－β)的值．BC变式训练2.已知a －2b ＝(－3，1)，2a ＋b ＝(－1，2)，求a ＋b ．例3. 已知向量a ＝(1, 2)，b ＝(x, 1)，1e ＝a ＋2b ，2e ＝2a －b ，且1e ∥2e ，求x ．变式训练3.设a ＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，a ∥b ，求证：k≥3．证明: k ＝θθsin cos 2- ∴k －3＝θπθsin )3cos(22--≥0∴k≥3例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，AB ＝(6，0)，点M 是线段AB 线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标； (2) 当|AB |＝|AD |时，求点P 变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标． “形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算． 1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 ．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a ＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则a ·b ＝ ． 3．向量的数量积的几何意义：|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)．a ·b 的几何意义是，数量a ·b 等于 ． 4．向量数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角． ⑴ e ·a ＝a ·e ＝ ⑵ a ⊥b ⇔⑶ 当a 与b 同向时，a ·b ＝ ； 当a 与b 反向时，a ·b ＝ ． ⑷ cosθ＝ ． ⑸ |a ·b |≤ 5．向量数量积的运算律： ⑴ a ·b ＝ ； ⑵ (λa )·b ＝ ＝a ·(λb )a b )·＝ 例1. 已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求：(2a ＋3b )·(3a －2b )．变式训练1.已知|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值．例2. 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若a ⊥b ，求θ；(2) 求|a ＋b |的最大值．变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，判断△ABC 是哪类三角形． 解:设BC 的中点为D ，则(OC OB -)(OA OC OB 2-+)＝0⇒2BC ·AD ＝0⇒BC ⊥AD ⇒△ABC 是等腰三角形. 变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 .例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝528，求cos(82πθ+)的值.变式训练4.平面向量13(3,1),(,22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3)x a t b =+-,,y ka tb =-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意a ·b 与ab 的区别．a ·b ＝0≠＞a ＝0，或b ＝0．3．应根据定义找两个向量的夹角。
对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．变式训练4.已知△ABC 的三个顶点为A （1，2），B （4，1），C （3，4）．(1)求AB 边上的中线CM 的长及重心G 的坐标；(2)在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把△ABC 的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P 的坐标平面向量章节测试题 一、选择题1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4）D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k ）B. (-10，2）C. (54,k k-) D.（5k, -4k ）3. △ABC 中,BC =a, AC =b,则AB 等于 ( )A.a+bB.-(a+b)C.a-bD.b-a4.化简52(a －b)－31(2a+4b)+152(2a+13b)的结果是( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a+51b D. 51a －51b 5.已知|p|=22,|q|=3, p 与q 的夹角为4π,则以a=5p+2q,b=p－3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( ) A.15 B.15 C. 16 D.14 6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( ) A.109-B.109C.1019-D.1019 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是( )A. P 在△ABC 的内部B. P 在△ABC 的外部C. P 是AB 边上的一个三等分点D. P 是AC 边上的一个三等分点8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的41,则线段AM 的长度是 ( )A.5C.259.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+ 10.若⊥a,则a 与b 的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.75011.把一个函数的图象按向量a=(3π,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+6π)-2,则原函数的解析式为 ( )A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y= -cosx 12.在△ABC 中，AB =c, BC = a, CA =b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a·b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC 为直角三角形 C. 若a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形 D.若c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题13.在△ABC ,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 .14.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c,则c= .16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a=b=0; ②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x AB ++= ③已知a,b,c 是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a=λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是. 三、解答题17.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB ,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a,=AD b,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线; ⑵试确定实数k,使ke 1+e 2和e 1+ke 2共线.19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为AD.⑴求证:AB ⊥AC;⑵求点D 与向量AD 的坐标.20.已知△ABC 的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB 边上的中线CM 的长;⑵在AB 上取一点P,使过P 且平行与BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5两部分,求P 点的坐标.21.已知a 、b 是两个非零向量，证明：当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值.A BN MDC。