平面向量复习学案(学生)

向量的概念与几何运算

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．向量的有关概念⑴

既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积⑴ 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长

度与方向规定如下：① | λa |＝ ．② 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＝0时，λa ．⑵ λ(μa )＝ ． (λ＋μ)a ＝ ． λ(a ＋b )＝ ．⑶ 共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的

两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，

有且只有一对实数1

λ、2

λ，使得 ．⑵ 设1e 、2e 是一组基底，a ＝2111e y e x +，b ＝

2212e y e x +，则a 与b 共线的充要条件是 ．例1．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设

a AB =，

b AC =，求BE ．变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）A ．－BC ＋BA 21B ．－BC －BA 21

C ．BC －BA 21

D ．BC ＋BA 2

1

例2. 已知向量2132e e a -=，2132e e b +=，2192e e c -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使b a c μλ+=．变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：PO PD PC PB PA 4=+++例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若a AB =，

b AD =，试用a 、b 表示BC 和MN ． 变式训练3：如图所示，OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝

b 为邻边的平行四边形，又BM ＝31BC ，CN ＝31CD ，试用a 、b 表示OM ，ON ，MN ．例4. 设a ，b 是两个不共线向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，31

(a ＋b )三向量的终点在一

条直线上？变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？ 1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意O 与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证AB ∥CD ，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证AB ∥AC 即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多

边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形

法则特点：首首相接连终点．1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作 ．并且|a |＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1、y 1)，b ＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：a ＋b ＝ a －b ＝ λa ＝

已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则AB ＝ ．4．两个向量a ＝(x 1、y 1)和b ＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．2，3），B （－1，5），且AC ＝3

1

AB ，求点C 的坐标．变式训练1.若(2,8)OA =，(7,2)OB =-，则

3

1

AB = . 例2. 已知向量a ＝(cos 2α，sin 2α)，b ＝(cos 2β，sin 2

β)，|a －b |＝

5

5

2，求cos(α－β)的值．B

C

变式训练2.已知a －2b ＝(－3，1)，2a ＋b ＝(－1，2)，求a ＋b ．例3. 已知向量a ＝(1, 2)，b ＝(x, 1)，1e ＝a ＋2b ，2e ＝2a －b ，且1e ∥2e ，求x ．

变式训练3.设a ＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，a ∥b ，求证：k≥3．

证明: k ＝θ

θ

sin cos 2- ∴k －3＝

θ

π

θsin )

3cos(22-

-≥0∴k≥3

例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，

AB ＝(6，0)，点M 是线段AB 线段CM 与BD 交于点P ．

(1) 若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标； (2) 当|AB |＝|AD |时，求点P 变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标． “形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．

2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算． 1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 ．

2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积

（或内积），记作a ·

b ，即a ·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a ＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，

则a ·

b ＝ ． 3．向量的数量积的几何意义：

|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)．

a ·

b 的几何意义是，数量a ·b 等于 ． 4．向量数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角． ⑴ e ·a ＝a ·e ＝ ⑵ a ⊥b ⇔

⑶ 当a 与b 同向时，a ·

b ＝ ； 当a 与b 反向时，a ·b ＝ ． ⑷ cosθ＝ ． ⑸ |a ·

b |≤ 5．向量数量积的运算律： ⑴ a ·

b ＝ ； ⑵ (λa )·b ＝ ＝a ·(λb )

a b )·＝ 例1. 已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求：(2a ＋3b )·(3a －2b )．

变式训练1.已知|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值．

例2. 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－2

2π

θπ<<．

(1) 若a ⊥b ，求θ；

(2) 求|a ＋b |的最大值．

变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．

(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；

(2)若ka →

+→

b 与a k →

-→

b 的长度相等，求βα-的值(k 为非

零的常数)．

例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －

OC )·

(OB ＋OC －2OA )＝0，判断△ABC 是哪类三角形． 解:设BC 的中点为D ，则(OC OB -)(OA OC OB 2-+)＝0⇒2BC ·AD ＝0⇒BC ⊥AD ⇒△ABC 是等腰三角形. 变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 .

例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝

5

2

8，求cos(82πθ+)的值.

变式训练4.平面向量13

(3,1),(,22

a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使

2(3)x a t b =+-,,y ka tb =-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.

角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．

2．注意a ·b 与ab 的区别．a ·b ＝0≠＞a ＝0，或b ＝0．

3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．

变式训练4.已知△ABC 的三个顶点为A （1，2），B （4，1），C （3，4）．

(1)求AB 边上的中线CM 的长及重心G 的坐标；

(2)在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把△ABC 的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P 的坐标