函数与方程零点问题

函数与方程

1．函数的零点

(1)定义：

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[探究] 1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？

提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．

2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？

提示：不一定．由图(1)(2)可知．

3．函数零点具有哪些性质？

提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：

(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；

(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

3．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )

解析：选C 由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解．

2．(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)，那么下列命题中正确的是( )

A．函数f(x)在区间(0,1)有零点

B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)有零点

C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点

D．函数f(x)在区间(1,16)无零点

解析：选C 由题意可知，函数f (x )的唯一零点一定在区间(0,2)，故一定不在[2,16)． 3．根据表格中的数据，可以判定方程e x

－x －2＝0的一个根所在的区间为( )

A.(－1,0) C ．(1,2)

D ．(2,3)

解析：选C 令f (x )＝e x

－x －2，则

f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0， f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0， f (3)＝20.09－5>0，

所以方程e x

－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．

4．若函数f (x )＝x 2

－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2

－ax －1的零点是________．

解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点为2和3，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

2＋3＝a ，2×3＝－b ，

即a ＝5，b ＝－6.

∴g (x )＝bx 2

－ax －1＝－6x 2

－5x －1， 令g (x )＝0，得x ＝－12或－13.

答案：－12，－1

3

5．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值围是________． 解析：∵f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上有零点， 且f (x )为一次函数，

∴f (－1)·f (1)<0，即(1－5a )(1＋a )<0. ∴a >1

5或a <－1.

答案：a >1

5

或a <－1

[例1] (1)(2013·模拟)设f (x )＝e x

＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)

D ．(2,3)

(2)(2013·模拟)函数f (x )＝2x

－2x

－a 的一个零点在区间(1,2)，则实数a 的取值围是

( )

A ．(1,3)

B ．(1,2)

C ．(0,3)

D ．(0,2)

[自主解答] (1)∵f (x )＝e x

＋x －4，∴f ′(x )＝e x

＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．对于A 项，f (－1)＝e －1

＋(－1)－4＝－5＋e －1

<0，f (0)＝－3<0，f (－1)f (0)>0，A 不正确，同理可验证B 、D 不正确．对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2

＋2－4＝e 2

－2>0，f (1)f (2)<0.

(2)由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0

若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 为何值？ 解：由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1

x

，在同一直角坐标系中

作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1

x

的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两

个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.

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判断函数零点所在区间的方法

判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．