关于实数基本理论PPT课件

证明: 因 为 l i m x n a ， 所 以 0 ， N 当 n N 有 x n a .
取 K N ， 则 对 k K ， 有 n k n K n N N ， 即
xnk a .
证毕
此定理用来判别数列 x n 不收敛很方便.若 在数列 x n 中有一个子列不收敛,或有两个子 列不收敛于同一极限,就可以判断 x n 不收敛.
这 种 数 列 称 为 x n 的 一 个 子 列 .
如 ： 数 列 1 n 2 1 n 和 2 n 1 1 是 两 子 列 .
可见一个数列可以有无穷多个子列. 为了方便,用另一种下标来表示它.
29.12.2020
6
§3.1关于实数基本定理
在选出的子列中,
问题：
对于给定的一个收敛数列 x n ,它的任何子列
是否也收敛呢?
xnk
又子列的极限与原数列的极限有什么关系呢?
下面的定理回答了这个问题.
29.12.2020
8
§3.1关于实数基本定理
定理1: 若 n l i m x n a , 则 x n 的 任 何 子 列 x n k都 收 敛 于 a .
如：数列0,1,0,1…一定发散,因为它有两 个子列分别收敛于0和1.故数列不收敛.
29.12.2020
9
§3.1关于实数基本定理
例1: 设 x n sinn 8， 在 x n 中 取 出 两 个 子 列 ：
si8 n ， si1n6， ,si8 n k， .
88
8
si4 n， si2 n 0 ， ， si（ 4 n 4 k 1 ） ， .
29.12.2020
7
§3.1关于实数基本定理
因 为 在 子 列 x n k中 的 下 标 是 k 而 不 是 n k ， 若 x n k收 敛 于 a ，
即 对 0 及 定 数 a ， K N ， 当 k K 时 ，
一 切 x n k 全 部 落 在 a 点 的 邻 域 内 ， 这 时 记 为 k li m xnk a.
k 表 示 x n k 在 子 列 中 是 第 k 项 ， n k 表 示 x n k 在 原 数 列 中 是 第 n k 项 .
显 然 ， 对 每 一 个 k ， 有 n k k . 又 h , k N , 若 h k ,
则 n h n k ； 反 之 ， 若 n h n k ， 则 h k .
记 第 一 项 为 x n 1 ， 第 k 项 为 x n k ， 于 是 可 将 x n 的 子 列 表 示 为 xnk : xn 1 ， xn2， xnk，
如 ：数 列 xnn： 1,2,3， n
子 列 x n k ： 3 , 7 , 1 1 ，
子 列 中 第 k 3 项 1 1 ， 在 原 来 数 列 中 是 第 n 3 1 1 项 ，
Hale Waihona Puke 这与已知条件矛盾.这就证明 A1 A2 .即推论得证.
29.12.2020
12
§3.1关于实数基本定理
二.上确界和下确界
第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍 然不能满足今后继续深入研究讨论的需要.这里将要介绍 关于实数的几个基本定理,这几个基本定理是进一步深入 研究函数的严格的理论基础,为此需要引进两个新概念:上 确界和下确界.
88
8
第一个子列收敛于0, 第二个子列收敛于1,
因此xn sinn8发散。
29.12.2020
10
§3.1关于实数基本定理
在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):
l i m （ fx ） A x n : x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ，
x x0
2
§3.1关于实数基本定理
学习重在“习”， 知识重在“识”， 文化重在“化”, 教育重在“育”。
29.12.2020
3
§3.1关于实数基本定理
第二部分
极限续论
第三章
关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质证明
1.关于实数完备性的基本定理
2.闭区间上连续函数性质的证明
29.12.2020
4
§3.1关于实数基本定理
一.子 列 二.上确界和下确界 三. 几个实数基本定理
29.12.2020
5
一.子 列
§3.1关于实数基本定理
D ef： xn ： x1,x2， x3， xn ， 按 原 来 次 序
自 左 向 右 任 意 选 取 无 穷 多 个 项 ，
如 x2， x5， x9 x78 ， 构 成 一 个 新 的 数 列 ，
都收敛于同一个极限即可.(反证法)
29.12.2020
11
§3.1关于实数基本定理
假设存在两个数列:
x(1) n
,
x(2) n
x ( 1 ) n x 0 ( n ) ,x ( 1 ) n x 0 ,有 （ fx （ 1 ） n ） A （ 1 n ） ；
x ( 2 ) n x 0 ( n ) ,x ( 2 ) n x 0 , 有 （ fx （ 2 ） n ） A （ 2 n ） ；
且 A 1 A 2 , 现 将 上 两 个 数 列 合 并 为 一 个 新 数 列 ：
x n : x ( 1 ) 1 ,x ( 2 ) 1 ,x ( 1 ) 2 ,x ( 2 ) 2 , x ( 1 ) n ,x ( 2 ) n ,
由 假 设 可 见 ， x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ， （ f x n ） 不 收 敛 ，
有 （ f xn） A （ n ） .
现在进一步有以下推论:
推论: 若 x n : x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ， 都 有 （ fx n ） 收 敛 ，
则 （ f x） 在 x0极 限 存 在 .
证明: 只要证明对任何满足上述条件的数列 xn， （ f xn）
§3.1关于实数基本定理
29.12.2020
1
§3.1关于实数基本定理
29.12.2020
当代著名数学家，柯朗曾指出： “微积分，或者数学分析，是人类 思维的伟大成就之一。它处于自然 科学与人文科学之间的 地位，使 它成为高等教育的一种特别有效的 工具。遗憾的是，微积分的教学方 法有时流于机械，不能体现出这门 学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗 的结晶。”