扭转变形1

第六章 圆轴的扭转
1
工程构件分类:
杆
杆的基本变形:
轴向拉压
板
块体
y x
z
(轴)
(梁)
扭转
弯曲
2
第六章 圆轴的扭转
6.1 扭转的概念与实例 6.2 扭矩、扭矩图 6.3 圆轴扭转时的应力与变形 6.4 圆轴扭转时的强度条件与刚度条件
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6.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆 受力特点：
d
dA=2rdr, 则有：
D
极惯 性矩
a=d/D
I r
2
D/2
r 3dr
d/2
(D4 32
d
4)
D 4
32
(1 a
4)
抗扭截面模量： WT Ir /( D / 2) D 3(1a 4 ) / 16
23
讨论 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
空 心 圆 轴
极惯 性矩
抗扭截 面模量
实
心
o
圆
o
d
轴
D
q max
T GIr
180o
T
GD4 / 32
180o
[q
]
则有： 4 D
32
M 180°
max
G 2[q ]
且由(2)、(4)可知 单位扭转角为：
tr
T• r
Ir
d /dx T /GIr
---(4)
---(5)
25
结论：
1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。
2） 截面任一处
tr=T•r/Ir
截面外圆周处（表面）
tmax=T/WT
实 心
tmax tr
变形体静力学的基本研究思路：
静力平衡条件 + 变形几何条件 + 材料物理关系
一.圆轴扭转时的应力
1. 变形几何条件
变形前 变形后
刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各 个横截面仍然保持为平 面，二平面间距离不变 ，其半径仍然保持为直 线且半径大小不变。
16
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1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转
t Gg --(2)
t
t ys
G是tg曲线的斜率，如图，
称为剪切弹性模量。
半径为r处的剪应力则为：
tr
Gg r
Gr
d
dx
GG
11
O
g
圆轴扭转时 无正应力
19
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
tmax
T
tr
rr r
A
gr
o
C
df
t rC O
B gr
D
TD
最大剪应力在圆轴 表面处。dx
tr
Gg r
外力偶
T 内力偶
平衡方程： T M 0
平衡
7
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M0
M0
T
取左边部分
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
T M0 T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
8
扭矩的符号规定：
M0
T
正
M0
T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
20kN m
20
A
B
C
M BC 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
11
例1. 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入 功率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别 为NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。
[t]=0.8~1.0[s]
(钢材，延性)
(铸铁，脆性) 33 返回主目录
2.刚度条件
扭另，单 （转一即位 弧圆方还统度轴 面 须一转必 ， 满为 换须 轴 足为/满 类 刚角m足零度，强件条）则度若件有条变。：件形q ，过max以大，保GT则证I r不不能破18正坏0o常；工[q作]
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIr 单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIr
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
34
3.扭转圆轴的设计
强度条件：
t max
T /WT
[t ]
刚度条件：
q max
T GI r
180 o
[q ]
二者 均须 满足
极惯 性矩
D
II
r r
DD44
3322
(1(1aa4
)4
)
a=d/D=0
Ir
D4
32
WT
D3 ( 1 a 4)
16
WT
D3
16
24
研究思路：
wk.baidu.com
变形几何条件
+
材料物理关系
+
静力平衡关系
g rd /dx ---(1)
tr
Ggr
Gr
d
dx
G
d
dx
r 2dA T
A
---(2) ---(3)
圆轴扭转剪应力公式：
9
3. 扭矩方程
T T (x)
扭矩图
表示扭矩变化规律的图线
Me
n
Me
x
xn
T
x
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截10面）
画扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
BC段：TBC
TAB TAB 10kN m
o
A
B
T / kNm
10
x C
电机每秒输入功： 外力偶每秒作功：
W Pk 1000(N.m)
W 力偶矩 转角
M
e
2
n 60
Mme
9.55
P(千瓦) n(转 / 分)
9.55 P(kW) n(r / min)
(kN m)
6
2．扭转内力：扭矩
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0
假想切面
取左边部分
M0
圆
oT
轴
D
tmax
空
T
tr
心
圆
o
轴
d
D
26
思考题
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
27
扩展——剪应力互等定理
在轴内任一点A处取一微单元，左右两面为横截面 ，上下两面为过轴线的径向截面。
tmax
tr
dA
r
o
tr
T
取微面积如图，有：
rt rdA T
A
利用(3)式，得到：
G d r 2dA T
dx A
21
3. 力的平衡关系
令：
Ir r 2dA
A
最后得到：
tr
Gr
d
dx
Tr
Ir
--(4)
Ir 称为截面对圆心的极惯性 矩，只与截面几何相关。
求Ir，WT ?
G d r 2dA T
om
m
m
10kN · 10kN ·
m
m
o
40kN ·
m
x
20kN · A B C D
m
x 求反力偶： M A 20kN m
A BC D + 向 按右手法确定
+ 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
A
B
C
D
10
20
20
15
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6.3 圆轴扭转时的应力与变形
Ir
D 4
32
抗扭截 面模量
WT
D3
16
扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核； 确定许用载荷（扭矩）； 设计轴的几何尺寸。
35
例4. 实心圆轴如图，已知MB=MC =1.64kN.m， MD=2.18kN.m 材料G=80GPa，[t]=40MPa ， [q]=1/m，试设计轴的直径。
解: 1) 画扭矩图。
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，
作类似的分析。 同样有：
CC= gdx=rdf
即得变形几何条件为：
g rd / dx --(1)
剪应变g的大小与半径
r成正比。与单位扭转 角df /dx成正比。
18
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。
在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
相对扭转角 ：B截面相对于 AB
A截面的扭转角。若AB=L，则
T
A Ag Bg
g
C
ABr
B
d
DLCd
O
T
AB
d DL T dx
dx 0 GIr
若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则
T/GIr=const. , 故有： AB T L / GIr
GIr称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
y
M0
作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程:
SMx=0
z
变形前
fAB x
M0
变形后
变形特征：相对扭转角 fAB
圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
4
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6.1 扭转的概念与实例
5
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6.2 扭矩与扭矩图
1．外力偶矩的计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A
9.55
NA n
9.55 400 5.46kN m 700
MB
MC
9.55
NB n
9.55 120 700
1.64kN
m
MD
9.55
ND n
9.55
160 700
2.18kN m
12
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
MB T1
B
T3 MD
动角df，原来的矩形ABCD变成平行四边形ABCD。
T
r
A
C
g
df
C O
Bg
D df r
D
dx
g是微元的直角改变量，即
半径r各处的剪应变。因为
CC= gdx=rdf , 故有：
g rd / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可
作类似的分析。
17
1. 变形几何条件
T
A gr B gr
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32
6.4 圆轴扭转的强度条件与刚度条件
1.强度条件 拉压 扭转强度条件
sys/n (延)
tys/n (延)
smax=[s]=
tma=x [t]=
sb/n (脆)
tb/n (脆)
s max FN / A [s ] t max T /WT [t ]
[t]=0.5~0.6[s] [t]与[s]之关系：
A
1000 B 1000 C
t max 1
T1 WT 1
D13
T1 [1
d
]
16
D1
T /N.m
150
150103 16
243
[1
(18
/
24)4
]
A
80.8MPa
100
B
C
30
2) 计算各段应力:
MA f18 MB
MC
f24 f22
BC段： N-mm-Mpa单位制
A 1000 B
t max 2
MB MC T2
D
B
C
T /kN.m
C B
1.64
T图
2.18 AD 3.28
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m
求各截面内力：
BC段 T1 1.64kN m
CA段 T2 3.28kN m
AD段 T3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
T2 WT 2
D23
T2 [1
d
]
16
D2
T /N.m
150
C
1000 100
100103 16
223 [1 (18 / 22)
4
]
86.7MPa
A
B
C
故 tmax=86.7Mpa
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB + T BC lBC
GIr AB
GIr BC
0 .183 rad
31
习题： 6-2，6-3， 6-5
dx A
tmax tr r
tor T
tmax在圆轴表面处，且 t max Tr / I r T /WT
WT =Ir /r，称为 抗扭截面模量。
22
讨论 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
极惯性矩: Ir r 2dA
dA
dr
A
抗扭截面模量 WT =Ir /r
r
o
讨论内径d，外径D的空心圆
截面，取微面积
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
2) 按强度设计，有：
t max
T WT
T D
3/16
[t
]
MB MC
B
C
T /kN.m
C B
1.64
MA
MD
A
D
2.18
AD 3.28
16 T
D3
max
[t ]
3
16 3280
40106
N-m-pa单位制
75103(m) 75mm
36
2) 按刚度设计，有：
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 29
例3. 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
解: 1) 画扭矩图。
MA f18 MB
MC
f24 f22
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-Mpa单位制
Gr d
dx
--(3)
圆轴几何尺寸及MT给定，
df/dx为常数；G是材料常数
截面上任一点的剪应力与该点
到轴心的距离r成正比；
剪应变在ABCD面内，故剪应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
20
3. 力的平衡关系
tr
Gg r
Gr
d
dx
--(3)
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
剪应力互等定理：
物体内任一点处 二相互垂直的截面上 ，剪应力总是同时存 在的，它们大小相等 ，方向是共同指向或 背离二截面的交线。
T
T
At
t dx
′
AA
c d′x
dy
dz
A的平衡
t(dxdz)dy=t (dydz)dx
t =t
28
二、 圆轴的扭转变形 单位扭转角为：
d / dx T / GI r
T 3280N m
13
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN.m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A 5460N m M B M C 1640N m M D 2180N m
问题
轮在轴上的位置 对扭矩有何影响？
14
练习：试作扭矩图
M A 40kN · 10kN · 10kN ·