分式的恒等变形习题
《分式的基本性质》典型例题
《分式的基本性质》典型例题例1下列分式的变形是否正确，为什么？（1）2a ab a b =（2）acbc a b =例2写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1）322) (b a ab b a =-（2）) (111232+=+++a a a a例3不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.（1）y x y x 02.05.03.02.0-+（2）y x y y x 3412.0--例4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.（1）32211a a a a -+--（2）2332-+-+x x x例5已知不论x 取什么数时，分式53++bx ax （05≠+bx ）都是一个定值，求a 、b 应满足的关系式，并求出这个定值.例6已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P 牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：例8不改变分式的值，使分式yx y x 4.05.03121-+的分子、分母中的多项式的系数都是整数．例9判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）b b a a +=+11；（2）ba b a b a +=++122； （3）x x x x x x 2222323-=--+-；（4）b a a b b a +-=--122．例10化简下列各式：（1）323453b a b a -；（2）bb a a 821624+-； （3）()()()()62332222-+-+-+x x x x x x x x参考答案例 1 分析分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0≠M 是基本性质的生果组成部分，应特别注意.解（1）∵已知分式a b /中已隐含了0≠a ，∴用a 分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.（2）因为已知分式b a /中，没限制c ，c 可以取任意数，当然也包括了0=c ，当分式的分子、分母都乘以0=c 时，分式没意义，故（2）是错误的.例2分析（1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，32b a 是由2ab 乘以ab 得到的，由分式的基本性质，b a -也要乘以ab ，所以括号内应填ab b a )(-（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，22)1(12+=++a a a 除以1+a 得到右边分子1+a ，按照分式的基本性质，1)1()1(23+-=+÷+a a a a ，故括号内应填.12+-a a解：（1）322)(ba ab b a ab b a ⋅-=-（2）)1(1112232+-+=+++a a a a a a 例3分析要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.（2）中分子、分母中各项系数(512.0=)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.解：（1）法1：原式50)02.05.0(50)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x y x y x -+=251510 法2：原式100)02.05.0(100)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x yx y x y x y x -+=-+=2515102503020 （2）原式y x y x y x y x 4015301260)3241(60)2151(--=⨯-⨯-= 说明在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.例4分析（1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.解：（1）32211a a a a -+--)1()1(322a a a a -+----=11232---+=a a a a （2）2332-+-+x x x )23(32-+--+=x x x 2332+-+=x x x例5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当0=x 时，5353=++bx ax 1=x 时，5353++=++b a bx ax ∵不论x 取什么实数，53++bx ax 是一个定值 ∴5353=++b a ，∴153155+==a a ∵b a 35=∴b a 53= 把b a 53=代入原式，得 535)5(53535353=++=++=++bx bx bx bx bx ax ∴a 、b 的关系为b a 35=；定值为53 例6解：设圆台的压力为G 牛顿，下底面积为1S 2米，上底面积为2S 2米. 则1S G P =,214S S = ∴214PS PS G ==∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：P S P S S G 44222==(牛顿/2米) 答：桌面受到的压强为P 4牛/2米.说明运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）n m 25-；（2）a b -4；（3）yx x ---63；（4）b a b a 32+-+． 例7分析根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．解：（1）同时改变分子和分式的符号，得nm n m 2525-=-；（2）同时改变分母和分式的符号，得ab a b 44-=-； （3）先确定是分母的符号，再变号，得()yx x y x x y x x +=+--=---636363； （4）先确定是分子的符号，然后变号，得()ba b a b a b a b a b a +--=+--=++-323232． 说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成yx x y x x -=---6363或b a b a b a b a +--=++-3232； 2．对于（4）题，也可处理成ba ab b a b a +-=++-2332的形式． 例8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．解：y x y x y x y x y x y x 121510153052213031214.05.03121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+． 说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．例9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式．解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式a ”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里232x x -与2-x 是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：()()222222223--+-=--+-x x x x x x x x ()()121222+=-++-=x x x x （4）此题是约分变形．因此分母化成()()b a b a -+-的形式，与分子约去公因式b a -可得．说明 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当2=a ，3=b 时，311322+≠+．（2）、（3）题同理． 例10分析化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．解：（1）2222323151533453b a b b a a b a b a b a -=⋅⋅-=-； （2）()()()b a a b a a b b a a 2442448216222224-=+-+=+-； （3）()()()()()()()()()()132121362332222-=+----+=-+-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x ． 说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式ba 242-已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．。
五年级下册分式的恒等变形的技巧
五年级下册分式的恒等变形的技巧
分式恒等变形的技巧：
1、两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
2、两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
3、两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。
分式恒等变形的定义：
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性。
分式恒等变形的主要内容：
分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明。
分式恒等变形的例题：
已知x 、y、z为3个互不相等的实数，且
x+(1/y)=y+(1/z)=z+(1/x)
求证：x²，y²，z²=1
由已知可得x-y=1/y+1/z=（y-z）/yz 所以yz=（y-z）/（x-y）其余的也一样按此方法推最后可得原式=xy*yz*zx=1。
奥数-分式恒等变形师
分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
（1/8） 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
（3）例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0 因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x ，y ，z 全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 【解析】 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a +++=++++++-+44816448161111a a a a =+++-+++1616161611a a =+-+32323232112a ==--例6. 若实数a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，求证： 7777771111a b c a b c++=++.【证明】：由已知得到()()bc ac ab a b c abc ++++=，有()()()0a b b c a c +++=，则a ，b ，c 中一定有两个数互为相反数。
第三节 分式的化简求值与恒等变形(含答案)...八年级数学 学而思
第三节 分式的化简求值与恒等变形分式的求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．注：①分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式求值的基本策略，②解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标．1.分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．注：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、 分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 2．分式的化简求值注意事项(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值，化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”． (2)代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法，解题时可根据题目 的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未 知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 3.分式化简求值需要用到下面的一些技巧 (1)适当引入参数； (2)取倒数或利用倒数关系； (3)拆项变形或拆分变形； (4)整体代入；(5)利用比例的性质．例1．已知,432z y x ==则=++-+2222z y x xzyz xy检测1.（甘肃兰州中考）如果),0(=/++===f d b k fed c b a 且),(3f d be c a ++=++那么=k 例2．（青海西宁中考）化简：,1221421222+-+÷-+-+x x x x x x x 然后在不等式2≤x 的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．检测2.（河南中考）先化简，再求值：,121)1(222++-÷-+x x x x x x 其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧<-≤-4121x x 的整数 解中选取，例3．（黑龙江齐齐哈尔中考）先化简，再求值：,24444)21(22++--+-÷-x x x x x x 其中-+x x 22.015=检测3． 已知x 是方程0132=-+x x 的根，则代数式)252(6332--+÷--x x x x x 的值为例4．（安徽合肥校级自主招生）设c b a ,,满足,0=/abc 且,c b a =+则+-+bc a c b 2222+-+ca b a c 2222abC b a 2222-+ 的值为( )1.-A 1.B2.C3.D检测4．（四川青羊区校级模拟）设有理数c b a ,,都不为零，且,0=++c b a 则+-+2221a c b22222211cb a b ac -++-+的值是( ) A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不能确定第三节 分式的化简求值与恒等变形(建议用时35分钟)实战演练1．（广西桂林）当3,6==y x 时，代数式yx xyy x y y x x 23).2(++++的值是( ) 2.A 3.B 6.C 9.D2．如果,300=x 则x x x x x x 13632+-+--的值为( )0.A 990101.B 110111.C 100101.D 3．（辽宁和平三模）已知,03=-y x 且,0=/y 则xyx y x y --+).1(222的值等于( ) 2.A 23.B 43.C 3.D4．已知,5.0:3:2:z y x ==则zy x zy x +--+23的值是( )71.A 7.B 3.C 31.D5．（江苏苏州一模）已知,0132=+-x x 则12+-x x x 的值是( )21.A2.B 31.C3.D6．若,544z y x ==则=+-+z y x yx 32 7．（山东郯城模拟）当2017=a 时，式子)]222(444[1222-+-÷-++÷a aa a a a a 的结果是 8．若),0(0222=/=-+xy y xy x 则=+++22223y x y xy x9．（湖南长沙自主招生）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧<-≥-0m x n x 的整数解仅为1，2，3，若m ．n 为整，数，则代数式22224421nmn m n m n m m n +--÷--+的值是10．（湖南慈利期末）已知,1=ab 则11+++b ba a 的值是 11．若分式672114422222+-+÷-+-+++x x x x x x x x x 的值为正整数，则整数=x12.如果c b a ,,是正数，且满足,9=++c b a ,910111=+++++a c c b b a 那么++++a c b c b a b a c+的值为13.（江西中考）先化简，再求值：,9)3132(2-÷-++x x x x 其中.6=x 14.（河北清苑一模）已知代数式：⋅+-+-÷+-=+=2562432,232x x x x x B x A (1)试证明：若A ，B 均有意义，则它们的值互为相反数；(2)若代数式A ，B 中的z 是满足不等式x x 26)3(3-<-的正整数解，求B A -的值．15.（山东乐陵一模）先化简：),3231(21.943322-+-÷+x x x x 若其结果等于,34试确定x 的值．16.（云南曲靖中考）先化简：,133963222--++++÷+x x x x x x x x 再求当1+x 与6+x 互为相反数时代数式的值． 17.（黑龙江齐齐哈尔中考）先化简，再求值：,24444)21(22++--+-÷-x x x x x x 其中.01522=-+x x 18.（河北南皮模拟）先化简代数式,4412122++-÷+-x x x x x 再判断它与代数式23+x 的大小关系． 19.（江苏涟水一模）已知三个数z y x ,,满足,3-=+y x xy ,34=+z y yz ⋅-=+34x z zx求zx yz xy xyz ++的值． 20.（甘肃期末）已知,0=++c b a 求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．拓展创新21.（天津南开模拟）已知).0(0)2)((=/=--xv y x y x 则xyy x +的值是( ) 2.A 212.-B 2.-C 或212-2.D 或212拓展1．已知),0,0(04322=/=/=-+b a b ab a 则代数式ba ab +的值为拓展2．已知),0,0(0522=/=/=++y x y xy x 则代数式yxx y +的值等于 拓展3．已知,111nm n m +=+则n m m n +的值是极限挑战22.（浙江自主招生）设c b a ,,均为正数，若,ac bc b a b a c +<+<+则c b a ,,三个数的大小关系是( ) b a c A <<. a c b B <<. c b a C <<. a b c D <<.答案。
分式的恒等变形精讲精练
一、化分式为部分分式的和【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛)下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B .【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 .【例3】 （5级）若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值.【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足1114a b +=，则a b +的最大值是 ．【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，28339m n xx x x -=+--均成立，求mn .【例7】 （5级）若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx Nx x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .【例8】 （4级）将269x -化为部分分式.分式恒等变形（竞赛部分）【例9】 （4级）化21(1)(2)x x x ---为部分分式．【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：2342x x x +--.【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3)x x x x x -++++.【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32241338(1)(2)(1)x x x x x x -+++--.【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1)x x x x x ++-+-.二、分式的恒等证明【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛）求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【例17】 （5级）已知：a c b d=，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=.【例18】 （5级）若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c az c a-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---【例19】 （5级）若1abc =，求证：1111a b ca ab b bc c ca++=++++++.【例20】 （5级）(2003年第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题)已知1111a b ca ab b bc c ca++=++++++，求证：1abc =.【例21】 （6级）(1986年中国数学奥林匹克竞赛赛前培训试题) 已知2220a b cbc a ca b ab c ++=---，求证：()()()2222220a b cbc a ca b ab c ++=---.【例22】 （6级）已知0a b cb c c a a b++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---.【例23】 (5级)(2002年北京市中学生数学竞赛初二复赛题二)已知0abc ≠，证明：下列四个数3333()()()(),,,a b c b c a c a b a b c abc abc abc abc++------中至少有一个不小于6．【例24】 （5级）已知223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a bx y+=。
分式恒等变形(难)60
分式恒等变形（难）一．试题（共60小题）1．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么++的值（）A．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定2．若x+y+z＝3a（a≠0），则的值为．3．设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．已知a+，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．不能确定5．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定6．（1）n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．（2）计算：．7．已知a、b、c满足a2+b2+c2＝1，，那么a+b+c 的值为．8．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为．9．如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．410．设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b11．设a、b、c满足abc≠0，且a+b＝c，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．312．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（）A．﹣1B．C．2D．13．已知﹣列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1＝8，a7＝5832，，则a5为（）A．648B．832C．1168D．194414．已知x2﹣5x﹣1991＝0，则代数式的值为（）A．1996B．1997C．1998D．199915．（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0；（2）设a+b+c＝0，求的值．16．（1）已知b2＝ac，求的值；（2）已知x、y、z满足，求代数式的值．17．（1）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0，求a8+7a﹣4的值．（2）已知，求的值．18．已知xyz＝1，x+y+z＝2，x2+y2+z2＝16，求代数式的值．19．如果，那么的值是（）A．0B．1C．2D．420．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（）A．3B．C．2D．21．已知，求的值．22．已知x+y+z＝3a，求的值．23．已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2＝1，①，；②求a+b+c的值．24．设1995x3＝1996y3＝1997z3（xyz＞0），且．求的值．25．已知：，，，且x+y+z≠0，试求的值．26．已知m＞0，n＞0，且，求的值．27．已知，且x≠y，求的值．28．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz 的值．29．证明以下各式：（1）若abc＝1，则（2）若a+b+c＝0，则（3）已知：且，求证：（4）若：x＝by+cz，y＝cz+ax，z＝ax+by．求证：．30．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值．31．已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝．32．（1）化简；（2）已知＝，用含a的式子表示．33．如果，那么＝（）A．1B．2C．D．34．已知：ax＝by＝cz＝1，求的值．35．若实数a，b，c满足条件，则a，b，c中（）A．必有两个数相等B．必有两个数互为相反数C．必有两个数互为倒数D．每两个数都不等36．若正数a、b、c满足（）2+（）2+（）2＝3，求代数式++的值．37．已知，求证：abc＝1．38．已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，，求：三角形的面积．39．已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为．40．已知a+＝，则a5+＝．41．在公式c＝中，r＝，设e、R、r不变，则n增至为n1，n1＝2n，此时c值为c1，则＝．42．方程组的解是．43．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．（1）求的值．（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．44．设互不相等的非零实数a，b，c满足a+＝b+＝c+，求（a+）2+（b+）2+（c+）2的值．45．已知正数a，b，c，d满足，，，，求（a+c）﹣（b+d）的值．46．已知：a+b+c＝0，则求：的值．47．若a+b+c＝0，求的值．48．已知a＝，b＝，c＝，则的值为．49．已知a2+b2+c2＝m，a+b+c＝，则的值为．51．已知实数a，b，c满足a+b+c＝13，a2+b2+c2＝77，abc＝48，求++的值．52．已知三个方程构成的方程组．恰有一组解x ＝a，y＝b，z＝c，则a3+b3+c3＝（）A．﹣1B．1C．0D．1753．求值：20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006＝（）A．2036216432B．2000000000C．12108216000D．055．已知abc＝1，则关于x的方程的解为．56．若y＝（abc≠0），则x2+y2+z2＝（）A．B．C．D．57．已知：a+b+c＝0，则的值是．58．在公式y＝kx+b（k，b为常数）中，当﹣3≤x≤1时，1≤y≤9，则2k﹣b的值为或．59．已知a+b＝2，，则ab的值为（）A．1B．﹣1C．D．60．已知x+﹣＝0，则|x16﹣46x8﹣6x4﹣3x2|＝（）A．1B．2C．3D．4分式恒等变形（难）参考答案与试题解析一．试题（共60小题）1．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么++的值（）A．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定【分析】根据abc＝6，可以将所求式子化简，然后再根据a+b+c＝0，可以得到bc+ac+ab 的正负情况，从而可以判断所求式子的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵abc＝6，∴++＝＝，∵bc+ac+ab＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，a+b+c＝0，∴bc+ac+ab＝﹣（a2+b2+c2），∵a、b、c均不为0，∴bc+ac+ab＜0，∴＜0，即++的值是负数，故选：C．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．2．若x+y+z＝3a（a≠0），则的值为．【分析】设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p，则m+n+p＝0，代入所求分式化简即可得出答案．【解答】解：设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p，则m+n+p＝0，代入，＝，＝，＝﹣，＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是正确设出x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p的形式，然后再化简求值．3．设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】根据，则，不等式同时加上1化简后即可得出答案．【解答】解：∵a、b、c均为正数，根据，则，上式同时加1得：，化简得：，∴c＜a＜b．故选：A．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是把已知不等式进行变形进而求解．4．已知a+，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．不能确定【分析】把a，b中的一个当作未知数，就可得到一个方程，解方程即可求解．【解答】解：两边同乘以a，得到：a2+（﹣2b）a﹣2＝0，解这个关于a的方程得到：a＝2b，或a＝﹣，∵a+≠0，∴a≠﹣，故选：C．【点评】把其中的一个字母当作未知数，转化为方程问题是解决关键．5．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定【分析】由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，然后代入化简即可得出答案．【解答】解：由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，代入，＝++，＝，＝0．故选：C．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度一般，关键是把a+b+c＝0分别变形为b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac的形式．6．（1）n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．（2）计算：．【分析】（1）由于n3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；（2）首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算【解答】解：（1）因n+6|（n3+63）+1780，而n+6|n3+63整除，故n+6|1780，得n＝4，14，83，172，350，439，884，1774，所以，所有吉祥数的和为4+14+83+172+350+439+884+1774＝3720．（2）∵+＝＝2∴原式＝49×2+1＝99【点评】本题考查数的整除性问题以及对规律性问题的考查，关键是通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决以及首尾配对，把数值计算转化为分式的运算．7．已知a、b、c满足a2+b2+c2＝1，，那么a+b+c 的值为0，1，﹣1．【分析】由，那么（a+b+c）（++）＝0，即可求解．【解答】解：由，那么（a+b+c）（++）＝0，∴a+b+c＝0或++＝0，当++＝0时，ab+bc+ac＝0，∵a、b、c满足a2+b2+c2＝1，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝1，∴a+b+c＝±1，故答案为：0或1或﹣1．【点评】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，关键是由变形为（a+b+c）（++）＝0．8．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为1．【分析】先用未知数x表示y，z，再根据解分式方程的步骤求出x的值，代入从而得到xyz的值．【解答】解：因为，所以4（4x﹣3）＝x（4x﹣3）+7x﹣3，解得．从而，．于是．故答案为1．【点评】本题考查了分式方程的解法．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．本题解题的关键是用一个未知数表示另两个未知数．9．如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．【解答】解：由已知得＝1﹣a，b＝1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）＝1，展开，得1﹣﹣a+＝1去分母，得ac+2＝2a两边同除以a，得c+＝2．故选：B．【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．10．设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b【分析】利用等比性质即可求得a＝2b，代入即可求得b，c的关系．【解答】解：由等比性质可得：＝＝＝，∴a＝2b，把a＝2b代入＝得，3b＝2c．故选：A．【点评】本题主要考查了等比性质，正确利用等比性质是解决本题的关键．11．设a、b、c满足abc≠0，且a+b＝c，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】由a+b＝c，可得b＝c﹣a，c＝a+b，a＝c﹣b，然后对所求分式进行变形，先利用平方差公式变形，再根据需要代入b＝c﹣a，c＝a+b，a＝c﹣b，进行变形，再利用分数的性质化简即可求值．【解答】解：∵a+b＝c，∴b＝c﹣a，c＝a+b，a＝c﹣b，∴++，＝++，＝++＝++＝++＝1+1﹣1＝1故选：B．【点评】本题利用了等式的性质、分数的性质、平方差公式以及整体代入的有关知识．12．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（）A．﹣1B．C．2D．【分析】由a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac＝；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，将已知代入，得ab+bc+ac＝；由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1），∴原式＝++＝＝＝＝＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．13．已知﹣列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1＝8，a7＝5832，，则a5为（）A．648B．832C．1168D．1944【分析】列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，假设仅知道a1＝8，a7＝5832，因而要想法用a1，a7表示出k的关系，进而求出k的值．观察发现，只有将各式分子分母分别相乘，才能最终剩余a1，a7，k即解得k，利用上面的原理也可以化为，那么a5就能解得．【解答】解：令＝k，则⇒，即，解得，⇒，解得a5＝＝＝648．故选：A．【点评】做好本题的关键是注意观察虚拟一个比值k，再利用已知条件a1＝8，a7＝5832，k找到他们间的关系，进而找到a1，a5，k间的关系，问题就能解决．本题虽是选择题，但也有一定难度，也可作为大题出现．14．已知x2﹣5x﹣1991＝0，则代数式的值为（）A．1996B．1997C．1998D．1999【分析】首先要化简分式到最简，再把已知条件变形，代入即可．【解答】解：＝＝＝＝＝x2﹣5x+8；∵x2﹣5x﹣1991＝0，∴x2﹣5x＝1991，∴原式＝1991+8＝1999．故选：D．【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，这个过程难度较大．15．（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0；（2）设a+b+c＝0，求的值．【分析】（1）先把分式化简，再代入求值即可；（2）由已知可得a+b＝﹣c，c＝﹣a﹣b，则2a2+bc＝2a2+b（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+a+b）＝（a﹣b）（a﹣c），同理2b2+ac＝（b﹣c）（b﹣a），2c2+ac＝（c﹣a）（c﹣b），代入所求代数式计算即可．【解答】解：（1）原式＝＝；∵a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，∴原式＝＝1；（2）由已知可得a+b＝﹣c，c＝﹣a﹣b，则2a2+bc＝2a2+b（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+a+b）＝（a﹣b）（a﹣c），同理2b2+ac＝（b﹣c）（b﹣a），2c2+ab＝（c﹣a）（c﹣b），∴原式＝＝，∵b＝﹣a﹣c，∴a2（b﹣c）﹣b2（a﹣c）+c2（a﹣b）＝a2（﹣a﹣2c）﹣（a+c）2（a﹣c）+c2（a+a+c）＝﹣a3﹣2a2c﹣a3﹣a2c+ac2+c3+2ac2+c3＝﹣2a3﹣3a2c+3ac2+2c3＝2（c3﹣a3）+3ac（c﹣a）＝（c﹣a）（2c2+5ac+2a2）＝（c﹣a）（2c+a）（c+2a）＝（c﹣a）（2c﹣b﹣c）（﹣a﹣b+2a）＝（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c）∴原式＝＝＝1．【点评】此题考查分式的化简求值，难度较大，已知条件的反复应用、因式分解的应用都要灵活．16．（1）已知b2＝ac，求的值；（2）已知x、y、z满足，求代数式的值．【分析】（1）先把分式化简，再代入求值即可；（2）由已知可得，则，同理求得所求代数式中的后两个式子的表达式，相加并化简即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝，∵b2＝ac，∴原式＝1；（2）由已知可得，则①，同理②，③，①+②+③得＝（x+y+z）﹣＝x+y+z﹣y﹣x﹣z＝0．【点评】此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．此题难度较大．17．（1）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0，求a8+7a﹣4的值．（2）已知，求的值．【分析】（1）由条件得a2＝a+1，通过不断平方，把原式用较低次方的多项式表示，代入所求代数式计算；（2）已知条件三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出的值．【解答】解：（1）由已知得a2＝a+1，两边平方，得a4＝a2+2a+1＝3a+2，两边再平方，得a8＝9a2+12a+4＝21a+13，∴a8+7a﹣4＝21a+13+＝＝＝＝48；（2）∵++＝＝＝＝﹣＝﹣，∴（+1）+（+1）+（+1）＝3﹣＝，即++＝，∴＝．【点评】本题考查了分式的恒等变形，采用了降次、通分、因式分解等方法，运算量大，考查学生的运算能力，需要仔细．18．已知xyz＝1，x+y+z＝2，x2+y2+z2＝16，求代数式的值．【分析】根据xy+2z＝xy+2（2﹣x﹣y）＝（x﹣2）（y﹣2），同理即可把所求的式子的分母进行转化，即可求解．【解答】解：∵x+y+z＝2，∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，即4＝16+2（xy+yz+xz），∴2（xy+yz+zx）＝﹣12．xy+2z＝xy+2（2﹣x﹣y）＝（x﹣2）（y﹣2）同理，yz+2x＝（y﹣2）（z﹣2），zx+2y＝（z﹣2）（x﹣2）．原式＝＝＝﹣【点评】本题主要考查了代数式的化简求值，正确对分母进行变形是解决本题的关键．19．如果，那么的值是（）A．0B．1C．2D．4【分析】本题通过对题中式子进行分析，可先求出的平方值，根据题中条件求出x的平方值，然后代入即可求出答案．【解答】解：＝，∵，∴x2＝﹣代入即可得＝+2+＝16，则的值是4．故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值问题，对于求带有根号的式子值，可先求出其平方，开方时注意正负号．20．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（）A．3B．C．2D．【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a ﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a＝0，代入即可求出y＝﹣x，把y＝﹣x代入原式即可求出答案．【解答】解：由于根号下的数要是非负数，∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，∴a只能等于0，将a＝0代入等式得﹣＝0，∴x＝﹣y，即：y＝﹣x，由于x，y，a是三个不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x＝﹣y代入原式得：原式＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．21．已知，求的值．【分析】由已知得（x﹣4）2＝3，即x2﹣8x+13＝0，则x2﹣8x＝﹣13，把分子、分母变形利用x2﹣8x表示，代入求值即可．【解答】解：已知得（x﹣4）2＝3，即x2﹣8x+13＝0，则x2﹣8x＝﹣13．分子x4﹣6x3﹣2x2+18x+23，＝x4﹣8x3+2x3﹣2x2+18x+23，＝x2（x2﹣8x）+2x3﹣2x2+18x+23，＝﹣13x2+2x3﹣2x2+18x+23，＝2x3﹣16x2+x2+18x+23，＝2x（x2﹣8x）+x2+18x+23，＝﹣26x+x2+18x+23，＝x2﹣8x+23，＝﹣13+23，＝10，分母是x2﹣8x+15＝﹣13+15＝2，∴＝＝5．故答案为：5．【点评】本题使用了整体代换的方法．正确对分子进行变换是解题的关键．22．已知x+y+z＝3a，求的值．【分析】由x+y+z＝3a得：（x﹣a）+（y﹣a）+（z﹣a）＝0，可设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z ﹣a＝p，则p＝﹣（m+n），将所求代数式中x﹣a、y﹣a、z﹣a分别用m、n、p代替，化简求值．【解答】解：设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p，则p＝﹣（m+n），∴原式＝＝＝＝﹣．【点评】本题解题的关键是根据已知等式设未知数，寻找几个未知数之间的关系，将所求分式进行转化，达到约分化简的目的．23．已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2＝1，①，；②求a+b+c的值．【分析】先对②式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论们每个式子等于0的情况，最后求出a+b+c的所有值．【解答】解：将②式变形如下，a（）+1+b（）+1+c（）+1＝0，即a（）+b（）+c（）＝0，∴（a+b+c）（）＝0，∴（a+b+c）•＝0，∴a+b+c＝0或bc+ac+ab＝0．若bc+ac+ab＝0，则（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）＝a2+b2+c2＝1，∴a+b+c＝±1．∴a+b+c的值为0，1，﹣1．【点评】将3拆成1+1+1，最终都是将①式变形为两个式子之积等于零的形式，再利用两数相乘，积为0，讨论两数的值的情况，并会利用公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）及开方运算．24．设1995x3＝1996y3＝1997z3（xyz＞0），且．求的值．【分析】设1995x3＝1996y3＝1997z3＝k，显然k≠0，代入式子从而形成等式而求得．【解答】解：设1995x3＝1996y3＝1997z3＝k（k≠0），∴，，，代入已知得，即，由k≠0，xyz＞0，可知x＞0，y＞0，z＞0，∴，故原式＝1．【点评】本题考查了分式的混合运算，设定定植k，代入很容易求得．25．已知：，，，且x+y+z≠0，试求的值．【分析】把，，代入化简即可得出答案．【解答】解：∵x+y+z≠0，把，，代入得：＝++＝，＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度不大，主要是先把，，代入再进行化简．26．已知m＞0，n＞0，且，求的值．【分析】将已知条件先做乘法，再因式分解求出m、n的关系式，代入所求算式进行计算．【解答】解：由，得（）2﹣2﹣15（）2＝0，即（﹣5）（+3）＝0，∵m＞0，n＞0，∴m＝25n，＝＝＝3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将已知条件变形，求出m、n的关系式是解题的关键．27．已知，且x≠y，求的值．【分析】由于＝，故只需分别求出x2+y2与xy的值即可．而由已知等式易知x2+y2＝2+（x+y），故先求出x+y的值，再代入计算出x2+y2的值，然后结合完全平方公式得出xy的值．通过观察发现，两个等式的右边都是，所以左边相等，得到x2+y＝y2+x，将它变形，可得x+y＝①；进一步计算出x2+y2＝2﹣2②，把①式两边平方，再将②式代入，可得xy＝2﹣③，然后将所求式子通分，把②③代入，即可求出其值．【解答】解：∵，，∴x2+y＝y2+x，∴x2﹣y2＝x﹣y，∴（x﹣y）（x+y﹣）＝0，∵x≠y，∴x+y＝．又∵x2+y2＝（﹣y）+（﹣x）＝2﹣2，∴x2+y2+2xy＝（x+y）2＝2，即2﹣2+2xy＝2，∴xy＝2﹣．∴＝＝＝．【点评】本题主要考查了完全平方公式及代数式求值，难度中等，关键是求出x+y的值．28．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz 的值．【分析】（1）根据题意，可知，然后变形整理，即可得到所求式子的值；（2）根据材料2中的例子，可以求得所求式子的值；（3）根据材料中的例子，将题目中的式子整理，化简，即可得到所求式子的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）设，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，∴；（3）设，∴①，②，③，①+②+③，得，④，④﹣①，得：，④﹣②，得：，④﹣③，得：，∴，，，∵∴，∴，解得，k＝4，∴，，，∴．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．29．证明以下各式：（1）若abc＝1，则（2）若a+b+c＝0，则（3）已知：且，求证：（4）若：x＝by+cz，y＝cz+ax，z＝ax+by．求证：．【分析】（1）由于abc＝1，可以把题目中的第一个分式的1分子变为abc，或者把分子中的ac乘以b变为1，最后就可以变为同分母的分式加减，由此即可求解；（2）由于a+b+c＝0，由此得到a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b），然后分别代入题目中的分母中，接着利用完全平方公式分解即可求解；（3）首先把两边平方，然后把变为，然后分别代入所证明的等式的左边，由此即可解决问题；（4）首先联立已知等式组成方程组，解方程组可以分别得到（x+y+z）＝2ax+2by+2cz，y+z﹣x＝2ax，x+z﹣y＝2by，x+y﹣z＝2cz；接着得到x+y+z＝2（1+a）x＝2（1+b）y＝2（1+c）z，由此即可证明题目的问题．【解答】（1）证法1：∵abc＝1∴左边＝＝右边所以等式成立．证法2：∵abc＝1∴∴左边＝＝右边等式成立．（2）∵a+b+c＝0∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b）∴原式左边＝＝右边即等式成立．（3）∵∵；又∵∴由（2）式得：∴等式左边＝＝1＝右边所以等式成立．（4）∵由（1）+（2）+（3）得：（x+y+z）＝2ax+2by+2cz（4）由（4）﹣（1）×2得：y+z﹣x＝2ax；由（4）﹣（2）×2得：x+z﹣y＝2by；由（4）﹣（3）×2得：x+y﹣z＝2cz；∴x+y+z＝2（1+a）x＝2（1+b）y＝2（1+c）z令x+y+z≠0，∴（1+a）x≠0，（1+b）y≠0，（1+c）z≠0．∴∴∴，同理：∴【点评】此题主要考查了由分式等式向整式等式转化的方法，因式分解在整式变形中的作用．几个因式的积为0，这几个因式中至少有一个为0．30．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值．【分析】令a+＝b+＝c+＝k，则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，继而知abc+3c ＝kbc＝k（ck﹣3），即abc+3k＝（k2﹣3）c，同理得出abc+3k＝（k2﹣3）a、abc+3k＝（k2﹣3）b，根据（k2﹣3）a＝（k2﹣3）b＝（k2﹣3）c且a，b，c为互不相等的非零实数得k2＝3，从而得出答案．【解答】解：令a+＝b+＝c+＝k，则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，由ab+3＝bk，可得abc+3c＝kbc＝k（ck﹣3），即abc+3k＝（k2﹣3）c，同理可得：abc+3k＝（k2﹣3）a，abc+3k＝（k2﹣3）b，∴abc+3k＝（k2﹣3）＝abc+3k＝（k2﹣3）b，∵a，b，c为互不相等的非零实数，∴k2﹣3＝0，即k2＝3，则＝9．∴．【点评】本题主要考查分式的化简求值，设k法得到则是解题的关键．31．已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝．【分析】由已知求出a+的值，把＝2变形成含a+的形式即可求解；【解答】解：∵a2﹣6a+1＝0，∴a≠0，将方程两边除以a得：a﹣6+＝0即a+＝6，而＝＝，∵＝2，∴，即，解得m＝，经检验m＝是原方程的解，故答案为：．【点评】本题考查解分式方程，题目有难度，解题关键是将方程变形为只含a+的形式再代入求解．32．（1）化简；（2）已知＝，用含a的式子表示．【分析】（1）对分母进行通分运算，然后约分得结果；（2）利用等式的性质，把方程转化为a＝x2+，右边配方，开平方求倒数得结果．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝1；（2）因为＝所以x2a+x2＝x4+x2+1即a＝x2+等式的两边都加2，得a+2＝x2+2+即a+2＝（x+）2所以＝所以＝±【点评】本题考查了分式的化简、分式方程的变形．解决（1）还可利用分式的基本性质，解决（2）的关键是配方．33．如果，那么＝（）A．1B．2C．D．【分析】由于，利用它们可以分别得到用b表示a和c，然后代入所求分式中计算即可求解．【解答】解：∵，∴a＝，＝1﹣b，∴＝，c＝，那么＝＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，解题的关键会利用分式的混合运算法则变形．34．已知：ax＝by＝cz＝1，求的值．【分析】根据题意可得x＝，y＝，z＝，由此可计算出+、+及+的值，从而可得出答案．【解答】解：根据题意可得x＝，y＝，z＝，∴+＝+＝+＝1，同理可得：+＝1；+＝1，∴＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，有一定难度，注意掌握解答此类题目的步骤．35．若实数a，b，c满足条件，则a，b，c中（）A．必有两个数相等B．必有两个数互为相反数C．必有两个数互为倒数D．每两个数都不等【分析】首先把等式去分母得到b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc＝0，用分组分解法将上式左边分解因式（a+b）（b+c）（a+c）＝0，得到a+b＝0，b+c＝0，a+c＝0，根据相反数的定义即可选出选项．【解答】解：，去分母并整理得：b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc＝0，即：（b2c+2abc+a2c）+（bc2+ac2）+（a2b+ab2）＝0，∴c（a+b）2+c2（a+b）+ab（a+b）＝0，（a+b）（ac+bc+c2+ab）＝0，（a+b）（b+c）（a+c）＝0，即：a+b＝0，b+c＝0，a+c＝0，必有两个数互为相反数，故选：B．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，因式分解的分组分解法，相反数，单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式等知识点，去分母后分解因式是解此题的关键．36．若正数a、b、c满足（）2+（）2+（）2＝3，求代数式++的值．【分析】根据题意，可知a、b、c具有轮换对称性，不妨设0＜a≤b≤c，然后分三种情况讨论c与a+b的大小关系，即可求得所求式子的值．【解答】解：由于a、b、c具有轮换对称性，不妨设0＜a≤b≤c，若c＞a+b，则c﹣a＞b＞0，c﹣b＞a＞0，∴，，，∴，与已知条件矛盾；若c＜a+b，则0≤c﹣a＜b，0≤c﹣b＜a，∴，，，∴，与已知条件矛盾；若c＝a+b，＝1，＝1，＝﹣1，∴（）2+（）2+（）2＝3，符合已知，∴++＝1+1﹣1＝1，由上可得，++的值是1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，利用分类讨论的方法解答．37．已知，求证：abc＝1．【分析】设abc＝k，ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w，然后将各式分别乘以c、a、b 可得出关系式，然后将所给分式两边同乘以uvw再得出一个关系式，从而联立可得出答案．【解答】解：设abc＝k，ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w，两边分别乘以c，a，b得：abc+ca+c＝cu，代入abc＝k并根据ac+c+1＝w得到：k﹣1+w＝cu (1)abc+ab+a＝av，代入abc＝k并根据ab+a+1＝u得到：k﹣1+u＝av (2)abc+bc+b＝bw，代入abc＝k并根据bc+b+1＝v得到：k﹣1+v＝bw (3)已知：++＝1，两边同乘以uvw得：avw+buw+cuv＝uvw（1）两边乘以v；（2）两边乘以w；（3）两边乘以u相加可得：（k﹣1）（u+v+w）+uv+vw+uw＝avw+buw+cuv＝uvw (4)（1）×（2）×（3）三式得：（k﹣1+u）（k﹣1+v）（k﹣1+w）＝abcuvw＝kuvw，∴（k﹣1）3+（u+v+w）（k﹣1）2+（uv+vw+uw）（k﹣1）﹣uvw（k﹣1）＝0，（k﹣1）[（k﹣1）2+（u+v+w）（k﹣1）+（uv+vw+uw）﹣uvw]＝0，与（4）比较可得：（k﹣1）3＝0，∴k＝1，即：abc＝1．【点评】本题考查分式的化简，难度较大，关键是设出abc＝k，ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w，注意在证明的时候要向结论靠拢．38．已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，，求：三角形的面积．【分析】计算b﹣c、c﹣a、a﹣b，可得a≥b≥c、b≥c≥a、c≥a≥b，则a＝b＝c＝1，根据等边三角形的面积公式求解．【解答】解：∵，，解法1：∴当a≥b时有b≥c，即a≥b≥c同理可得：即b≥c≥a同理可得：即c≥a≥b∴a＝b＝c＝1．解法2：∵，∴，，，∴，∴，∴a＝b＝c＝1，∴．【点评】此题根据分式的混合运算求三角形的面积，难度较大，要充分利用已知条件．39．已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为2．【分析】可设＝＝＝，则＝＝＝＝k，即＝，＝，＝k，设＝＝k1，＝＝k2，由＝k可得k＝，由+＝得k1+k2＝k，代入计算即可求解．【解答】解：设＝＝＝，则＝＝＝＝k，整理得+＝+＝+＝＝k，∴＝，＝，＝k，设＝＝k1，＝＝k2，由＝k得k＝，由+＝得k1+k2＝k，∴原式＝2×+2×＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和性质是解题的关键．40．已知a+＝，则a5+＝或．【分析】将原等式两边都乘以a，将分式方程化为整式方程，解方程求得a的值，再代入计算可得．【解答】解：∵a+＝，∴a2﹣a+1＝0，解得：a＝或a＝，当a＝时，a5+＝（）5+＝，当a＝时，a5+＝（）5+＝，故答案为：或．【点评】本题主要考查解分式方程和分式的求值能力，根据分式方程求得a的值是解题的关键．41．在公式c＝中，r＝，设e、R、r不变，则n增至为n1，n1＝2n，此时c值为c1，则＝．【分析】由r＝，可知R＝2r，n1＝2n，再相除即可解答．【解答】解：由r＝，可知R＝2r，n1＝2n，代入公式c＝可得c1＝，则＝÷＝．故答案为：．【点评】本题主要考查分式的乘除法，求出c1的值是解答本题的关键．42．方程组的解是．【分析】先把原方程组化为，令x+y+z＝k，代入得新方程组求得用k表示的x、y、z，再代入x+y+z＝k，求得k的值，即可求解．【解答】解：原方程组化为令x+y+z＝k，代入得由（1）+（2）+（3）得由（4）分别减去（1）（2）（3）得由（5）×（6）×（7）得（8）由（8）分别除以（5）（6）（7）得将（9）（10）（11）代入x+y+z＝k，得，从而原方程组的解为：．故答案为：．【点评】用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．43．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．（1）求的值．（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．【分析】（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx ﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．【解答】解：（1）由等式，去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）＝0，∴xyz＝x+y+z，∴原式＝．（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，又∵x，y，z为正实数，∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．【点评】本题考查了分式的加减法，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法运算及提公因式，比较复杂，正确计算是关键．44．设互不相等的非零实数a，b，c满足a+＝b+＝c+，求（a+）2+（b+）2+（c+）2的值．【分析】令a+＝b+＝c+＝k，则ab+2＝bk，bc+2＝ck，ac+2＝ak，继而知abc+2c ＝kbc＝k（ck﹣2），即abc+2k＝（k2﹣2）c，同理得出abc+2k＝（k2﹣2）a、abc+2k＝（k2﹣2）b，根据（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c且a，b，c为互不相等的非零实数得k2＝2，从而得出答案．【解答】解：令a+＝b+＝c+＝k，则ab+2＝bk，bc+2＝ck，ac+2＝ak，由ab+2＝bk可得abc+2c＝kbc＝k（ck﹣2），移项，得：abc+2k＝（k2﹣2）c，同理可得：abc+2k＝（k2﹣2）a，abc+2k＝（k2﹣2）b，∴（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c，∵a，b，c为互不相等的非零实数，∴k2﹣2＝0，即k2＝2，则（a+）2+（b+）2+（c+）2＝3k2＝6．【点评】本题主要考查分式的化简求值，设k法得到（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c是解题的关键．45．已知正数a，b，c，d满足，，，，求（a+c）﹣（b+d）的值．【分析】根据题意将四个式子相乘可得（abcd）2＝1，又a，b，c，d为正数，即abcd＝1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d的值，继而求出答案．【解答】解：根据题意将四个式子相乘可得：（abcd）2＝1，又a，b，c，d为正数，所以abcd＝1，则bcd＝，又bcd＝4a，即＝4a，解得a＝；同理可求出：b＝，c＝2，d＝3，故（a+c）﹣（b+d）＝（+2）﹣（+3）＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，有一定难度，根据所给条件求出a，b，c，d的值是关键．46．已知：a+b+c＝0，则求：的值．【分析】将a+b+c＝0转化为a3+b3+c3＝3abc，将经通分，分解因式，合并同类项转化为，再将a3+b3+c3＝3abc代入上式，至此问题得以解决．【解答】解：∵a+b+c＝0∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a则原式为：∵a+b+c＝0∴a3+b3+c3＝3abc∴上式＝9【点评】本题巧用a3+b3+c3＝3abc（当a+b+c＝0）这一结论，来解题．同学们对这一结论要会简单推理，灵活运用，在分式化简中经常用到．47．若a+b+c＝0，求的值．【分析】由于a+b+c＝0可转化为a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，b2+c2﹣a2＝﹣2bc，将上面各式代入可转化为进一步转化从而解决问题．【解答】解：∵已知a+b+c＝0⇒a+b＝﹣c⇒a2+b2+2ab＝c2⇒a2+b2﹣c2＝﹣2ab同理a2+c2﹣b2＝﹣2ac，b2+c2﹣a2＝﹣2bc分别将a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，b2+c2﹣a2＝﹣2bc代入式得＝＝＝＝0故答案为0【点评】做本类题目主要是有一个整体思想，即将一个表达式用另一个表达式来表示．如本题中a+b+c＝0做适当的转化a2+b2﹣c2就可以用﹣2ab表示．48．已知a＝，b＝，c＝，则的值为1．【分析】把a＝，b＝，c＝代入，再化简计算即可．【解答】解：∵a＝，b＝，c＝，∴＝＝＝＝＝＝∴＝++＝＝1故答案为：1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的基本性质进行化简是解题的关键．49．已知a2+b2+c2＝m，a+b+c＝，则的值为3．【分析】将a+b+c＝两边同时平方，然后根据完全平方公式及偶次幂的非负性进行分析求得a＝b＝c，从而代入原式进行化简计算．【解答】解：∵a+b+c＝，∴（a+b+c）2＝（）2，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝3m，又∵a2+b2+c2＝m，∴2ab+2ac+2bc＝2m，2（a2+b2+c2）＝2m，∴2（a2+b2+c2）﹣（2ab+2ac+2bc）＝0，∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，又∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0，∴即a＝b＝c，∴原式＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的性质，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构以及偶次幂的非负性是解题关键．50．如图，直线y＝kx+b经过A（﹣4，0）和B（3，m）两点，则不等式组2x+m﹣6＜kx+b ≤0的解集﹣4≤x＜3．【分析】易得：直线y＝2x+m﹣6经过点B（3．m），根据图象，分别得到不等式2x+m ﹣6＜kx+b和kx+b≤0的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：根据题意得：直线y＝2x+m﹣6经过点B（3．m），如图，不等式2x+m﹣6＜kx+b的解集为：x＜3，不等式kx+b≤0的解集为：x≥﹣4，∴不等式2x+m﹣6＜kx+b≤0的解集为：﹣4≤x＜3，故答案为：﹣4≤x＜3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，考查了数形结合的思想方法，解决此类题目注意交点等关键点，做到数形结合．51．已知实数a，b，c满足a+b+c＝13，a2+b2+c2＝77，abc＝48，求++的值．【分析】根据（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac可得ab+bc+ac的值，将其代入到++＝即可得．【解答】解：∵a+b+c＝13，a2+b2+c2＝77，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，即169＝77+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝46，∴++＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，掌握（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac求得ab+bc+ac的值是解题的关键．52．已知三个方程构成的方程组．恰有一组解x ＝a，y＝b，z＝c，则a3+b3+c3＝（）A．﹣1B．1C．0D．17【分析】首先把已知的每一个等式转化成其倒数形式，再进行约分化简，为了使解题简单，使用换元法设＝A、＝B、＝C，最后解一道关于A、B、C的三元一次方程组求出其A、B、C值，从而可求出x、y、z，最后代入a3+b3+c3中即可求解．【解答】解：原方程组变形为：，方程组化简为：，设＝A、＝B、＝C，则原方程组变形为：，解得：，∴，∴，∴a3+b3+c3＝1+8﹣8＝1，故选：B．【点评】本题是分式方程的解，考查了利用倒数法化简降次，换元法的运用，加减消元法和代入消元法的运用以及求代数值的方法．53．求值：20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006＝（）A．2036216432B．2000000000C．12108216000D．0【分析】针对代数式20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006，首先运用立方差公式进行因式分解、并对分解成包含因数1000的形式．再提取公因数1000，利用合并同类项、完全平方式化简求值．【解答】解：20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006，＝（2006﹣1006）（20062+2006×1006+10062）﹣10003﹣1000×3×2006×1006，＝1000×（20062+2006×1006+10062﹣10002﹣3×2006×1006），＝1000×[（20062﹣2×2006×1006+10062）﹣10002]，＝1000×[（2006﹣1006）2﹣10002]，＝1000×（10002﹣10002），＝0．故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用、完全平方式、立方差公式．解决本题的关键是先采用立方差公式，使每项都能提取公因数1000．54．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB 的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②＝+；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（）。
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形一、分式恒等变形 (1)第1 页共6 页第 1 页 共 6 页一、 分式恒等变形1. （1993年全国初中数学联赛1试）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是____________．【难度】 ★★【解析】4 22222236561210226612422(1)112x x x x x x x x x x x ++++==-=-++++++++ ∴当1x =-时，公式取最小值4．2. （1994年全国初中数学联赛1试）若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，则N =_________． 【难度】 ★★【解析】 4-∵()()2212x x x x +-=-+，且a b >， 所以，取2a =，1b =-，从而1c a b =+=． 因此，221121Mx N x x x x +==+-+-． 在上式中，令0x =，得4N =-.3. （1996年全国初中数学联赛1试）实数a ，b 满足1ab =，记1111M a b=+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（） A ．M N > B ．M N = C ．M N <D ．不确定 【难度】 ★★【解析】B 1111b a M a b b ab a ab=+=+++++， 又由1ab =，得到11b a M N b a =+=++． 选B ．4. （2000年全国初中数学联赛1试）设a ，b 是不相等的任意正数，又21b x a+=，21a y b+=，则x ，y 这两个数一定（） A ．都不大于2 B ．都不小于2。
专题09分式等式的恒等证明(原卷版)
专题09 分式等式的恒等证明考点点拨1、分式的加减乘除时，特别要注意bdbcad d c b a ±=±的逆向使用. 2、比例的重要性质，特别要注意合分比性质db ca dbc ad c b a --=++⇒=中0≠-d b 的条件和等比性质nd b mc a n md c b a +⋯+++⋯++⇒=⋯==中0≠+⋯++n d b 的条件.典例精选1．若1x +1y+1z=1x+y+z=1，则x ，y ，z 中，正数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．都有可能2．已知x ﹣y +z =1x −1y +1z=1，则（ ） A ．x ＝1，y ＝﹣1，z ＝1 B ．xyz ＝1C ．x +y +z ＝1D ．x ＝1或y ＝﹣1或z ＝13．设a 、b 是自然数，且其中一个是奇数，若a x ＝b y ＝2008z ，且1x+1y =1z，则2a +b 的一切可能的取值是（ ） A ．2010，510B ．267，4017C ．2010，510，267，4017D ．2008，2006，2004，20024．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，满足条件2b =1a+1c，则b 边所对的角B 的大小是（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能5．已知：a 2+c 2＝2b 2，则下列说法正确的是（ ） A ．a ，b ，c 均相等 B ．1b+c +1a+b =2c+a C ．1a+c+1b+c=2a+bD ．1a+c+1b+a=2b+c6．已知n 为正整数，若n 2+3n−10n 2+6n−16是一个既约分数，那么这个分数的值等于 ．7．设m 、n 、p 、q 为非负整数，且对于一切x ＞0，(x+1)m x n−1=(x+1)px q 恒成立，则（m 2+mn +p ）2q ＝ ．8．设a ，b ，c 均为正实数，且满足a 4+b 4+c 42(a 2b 2+a 2c 2+b 2c 2)＜1，则以长为a ，b ，c 的三条线段 构成三角形，（填“能”或“否”） 9．已知实数x ，y ，z 满足x x+1=y y+2=z z+3=x+y+z 3，则x +y +z ＝ 或 ．10．已知x ，y ，z 是三个互不相同的非零实数，设a ＝x 2+y 2+z 2，b ＝xy +yz +zx ，c =1x 2+1y 2+1z 2，d =1xy +1yz +1zx ，则a 与b 的大小关系是 ；c 与d 的大小关系是 ．11．已知（x n +c ）m 与（ax m +1）（bx n +1）恒等．（其中m ，n 均为正整数），则|a +b +c |＝ ．12．利用公式（a 2+b 2）（c 2+d 2）＝（ac +bd ）2+（bc ﹣ad ）2或其它方法找出一组正整数填空：（22+92×32）（42+92×52）＝（ ）2+92×（ ）2．精准预测1．已知：x 7﹣1＝0，则y =x 1+x 2+x 21+x 4+x 31+x 6= ． 2．如果2x 2﹣3x ﹣1与a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c 是同一个多项式的不同形式，那么a+b c= ．3．若{x =cy +bz y =az +cx z =bx +ay （其中a 2，b 2，c 2均不为1），求证：x 21−a 2=y 21−b 2=z 21−c 2．4．求证：对任意两两不等的三个数a 、b 、c ，都有(a+b−c)2(a−c)(b−c)+(b+c−a)2(b−a)(c−a)+(c+a−b)2(c−b)(a−b)是常数．5．已知x y+z+t=y z+t+x=z t+x+y=t x+y+z ，记A =x+y z+t +y+z x+t +z+t x+y +t+xy+z，证明：A 是一个整数． 6．已知：b 2+c 2−a 22bc +c 2+a 2−b 22ac +a 2+b 2−c 22ab=1，求证：三个分式中有两个等于1，一个等于﹣1．7．求证：a 2−bc(a+b)(a+c)+b 2−ca(b+c)(b+a)=ab−c 2(c+a)(c+b)8．设x ，y ，z ，w 为四个互不相等的实数，并且x +1y =y +1z =z +1ω=w +1x 求证：x 2y 2z 2w 2＝1．9．已知y =a −a 2x ，z =a −a 2y ，求证：x =a −a 2z ． 10．已知a b−c+b c−a+c a−b=0，求证：a(b−c)2+b (c−a)2+c (a−b)2=0． 11．设a 、b 、c 是互不相等的实数．求证：a 4(a−b)(a−c)+b 4(b−c)(b−a)+c 4(c−a)(c−b)＞0．12．已知a 、b 、c 是实数．若b 2+c 2−a 22bc、c 2+a 2−b 22ca、a 2+b 2−c 22ab之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为﹣1． 13．已知1a +1b+1c=1a+b+c ，求证：n 为奇数时，1a n+1b n+1c n =1a n +b n +c n．14．任何一个单位分数1n都可以写成两个单位分数的和：1n=1p+1q（n ，p ，q 都是正整数），显然，这里的p ，q 都大于n ．如果设p ＝n +a ，q ＝n +b ，那么有1n =1n+a+1n+b．（1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）； （2）写出16等于两个单位分数之和的所有可能情况．15．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，且满足a 2＝b （b +c ），b 2＝c （c +a ），求证：1a+1b=1c16．证明以下各式： （1）若abc ＝1，则1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1=1（2）若a +b +c ＝0，则1a 2+b 2−c 2+1b 2+c 2−a 2+1c 2+a 2−b 2=0 （3）已知：xa +y b+z c=1且a x+b y+c z=0，求证：x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1 （4）若：x ＝by +cz ，y ＝cz +ax ，z ＝ax +by ．求证：a 1+a+b1+b+c 1+c=1．17．证明：ax−a+bx (x−a)(x−b)=a 2(a−b)(x−a)+b 2(b−a(x−b)．。
新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的恒等变形(分式竞赛题)教案讲义(解析版)
一、化分式为部分分式的和【例1】 若213111a M N a a a -=+--+，求M 、N 的值. 【考点】化分式为部分分式和【难度】5星【题型】解答【关键词】 【解析】2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩【答案】12M N =-⎧⎨=-⎩【巩固】已知正整数,a b 满足1114a b +=，则a b +的最小值是 ． 【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】略．【答案】16【例2】 已知2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b . 【考点】化分式为部分分式和【难度】3星【题型】解答【关键词】06年，宁波市重点中学，自主招生试题 【解析】22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】22a b =⎧⎨=⎩例题精讲分式恒等变形（竞赛部分）【例3】 若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .【考点】化分式为部分分式和【难度】5星【题型】解答【关键词】 【解析】222(2)(2)2()Mx N c c x b ac x x x a x b x a b x ab +-+-=-=+-+++++，所以1222a b c ab c M b ac N+==⎧⎪=-⎪⎨-=⎪⎪-=⎩， 利用配方思想解得：12a b =-⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，∵a b >，∴21a b =⎧⎨=-⎩，∴4N =- 【答案】4N =-【例4】 将269x -化为部分分式. 【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵()()2933x x x -=-+,故设269x =-3A x +3B x +-. ∵(3)(3)()(33)33(3)(3)(3)(3)A B A x B x A B x A B x x x x x x -++++-++==+-+-+- ∴26()(33)9(3)(3)A B x A B x x x ++-+=-+-比较两边分子对应项的系数，得 0336A B A B +=⎧⎨-+=⎩ 解之得11A B =-⎧⎨=⎩∴2611933x x x =-+-+-. 【答案】1133x x -++-【例5】 化21(1)(2)x x x ---为部分分式． 【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】 【解析】设21(1)(2)12x A B x x x x -=+----，。
第三节 分式的化简求值与恒等变形-学而思培优
第三节分式的化简求值与恒等变形-学而思培优第三节分式的化简求值与恒等变形本节介绍有条件的分式求值、分式的化简与求值的紧密关系以及解有条件的分式化简与求值问题的基本策略。
除了整式化简求值的方法外，还介绍了恰当引入参数、取倒数或利用倒数关系、拆项变形或拆分变形、整体代入、利用比例性质等技巧。
基础演练：1.若2x+y=13，则(x^2+xy+y^2)/(2xy-x^2)的值为？答案：C。
根据题意，将2x+y代入分式中，得到(x^2+xy+y^2)/(2xy-x^2)=(13^2+13y+y^2)/(26-4x-13y)，化简后得到1.2.已知x+1/x=3，则(x^2-2x+1)/(x-1/x)的值为？答案：1.根据题意，将x+1/x=3代入分式中，得到(x^2-2x+1)/(x-1/x)=(x-1/x)^2-2(x-1/x)+1=1.3.已知11a-2ab-b/ab^2+7ab-2b=-4，则分式的值为？答案：-1/4.将11a-2ab-b和ab^2+7ab-2b分别化简后代入分式中，得到-1/4.4.当x=3,5/2,-2,7/3时，求代数式(x+1)/(x^2-1)的值。
答案：当x=3时，(x+1)/(x^2-1)=2/5；当x=5/2时，(x+1)/(x^2-1)=-2/3；当x=-2时，(x+1)/(x^2-1)=-3/5；当x=7/3时，(x+1)/(x^2-1)=1/4.5.化简求值：[(1/x-1)/(1-x^3)]÷[(x-1)/(x^2-2x+2)]，其中x=-1/2.答案：-1/8.将x=-1/2代入分式中，化简后得到-1/8.6.已知(5x-4)/(x-1)(2x-1)=-(x+2)/(x^2-1)，求A、B的值。
答案：A=2，B=-1.将(5x-4)/(x-1)(2x-1)和-(x+2)/(x^2-1)分别化简后，得到A=2，B=-1.能力提升：7.当x取1,2,…,2007,2008,2009时，计算代数式7/(1+x^2)，将所得的结果相加，其和等于？答案：D。
八年级数学第8讲.分式恒等变形.尖子班.学生版
8分式恒等变形满分晋级代数式10级二次根式的概念及运算代数式11级分式恒等变形代数式12级二次根式的综合化简漫画释义对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y x x ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦2x x y=⋅- 2x x y =-【例1】 计算： 例题精讲典题精练思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a aa a a a -+÷---【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值；⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值；⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．思路导航题型二：分式的恒等变形恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-． 【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++ ∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c ++++++++=++．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++例题精讲典题精练此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．典题精练例题精讲思路导航题型三：部分分式与分离常数⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【例7】 ⑴已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值；⑵已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a 、b 、c 互不相等，求证：8a +9b +5c =0．训练1. ⑴x 为何值时，分式1111x++有意义？ ⑵要使分式241312a a a -++没有意义，求a 的值．⑶当x ____时，(8)(1)1x x x -+-值为零. ⑷化简2212239a aa a a a -+÷---训练2. 已知31=+xx ，求1242++x x x 的值训练3. 已知：xy a x y =+，xz b x z =+，yz c y z =+，且0abc ≠．求证：2abcx bc ac ab =+-．训练4. 已知：0a b c ++=，8abc =．求证：1110a b c++<．思维拓展训练(选讲)题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 .题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习2】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【练习3】 已知1x y z a b c++=，0a b c x y z ++=，求证：2222221x y z a b c ++=．题型三 部分分式与分离常数 巩固练习 复习巩固【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值．【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？第十五种品格：创新微生物之父列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。
人教版八年级上册第十五章分式第十二讲 分式的恒等变形(无答案)
第十二讲 分式的恒等变形基本知识1. 分式基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．2. 分式符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．3. 比例的性质：(1) 若d c ba=，则cb ab =； (2) 若d c ba =，则d d c b b a ±=±（合比性质）； (3) 若d c ba =，且0≠±db ，则d b d bc a c a -+=-+（合分比性质）； (4) 若n md c b a === ，且0≠+++n d b ，则n d b m c a ++++++ b a =（等比性质）． 4. 倒数性质：(1) 若a ，b 互为倒数，则1=⋅b a ；(2) 若a ，b 互为倒数，则a n ，b n 仍互为倒数；(3) 若两个正数互为倒数，则这两个数之和不小于2，即21≥+aa )0(>a ． 例题分析例1．已知1=abc ，求证：1111=++++++++c ca c b bc b a ab a ．例2．已知0=++c b a ，求证：0111222222222=-++-++-+c b a b a c a c b ．例3．设a 、b 和c 都不为零，2=++c b a ，21111=++c b a ．证明：a 、b 和c 中至少有一个等于2．例4．已知a 、b 、c 为非零实数，且1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c a cbc b a 求c b a ++的值．例5．设x ，y ，z 是实数，且222)()()(x z z y y x -+-+-222)2()2()2(y x z x z y z y x -++-++-+=求)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x zx yz xy 的值．例6．计算：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x z y x z y z x z y x z y x y x y z z y x z y x x z x y +-++---+++--+--+-++---.题后说明：)()()(c b bc b a ab a c ac -+-+-系轮换对称式，故也可以用轮换对称式分解因式法，将其分解为))()((a c c b b a ----．例7．计算下面的式子：32233223y xy y x x y y xy y x x x -+-++++--+221y x 44222231y x y x y x -+-+.例8．化简：cb a b ac a c b c b a b a c a c b -+-+--+-+-222222.例9．若a z y x =+，b x z y =+，c y x z =+，求证：1111=+++++cc b b a a ．例10．若a ，b ，c 互不相等，且zb a y ac x c b -=-=-，求证：0=++cz by ax .练 习 反 馈1．如果)1()1(22xz y xz y yz x yz x --=--成立，求证：zy x z y x 111++=++，这里y x ≠, 0≠x ,0≠y ,0≠z ．2．化简：)()()(222222c ab c b ca b a bc a c ab b ca a bc -+-+--+-+-.3．计算：24222222222224)1(1)1(1)1()1()1()1(+---+-+--+-+--x x x x x x x x x x x x .4．计算：)1)(1)(1()1()1()1(222abab b b a a ab ab b b a a +++-+++++.5．已知22222222y ay a x bx b y ay a x bx b +-+-=++++，求证：y b a x =或a y b x =.6．已知c b a c b a a c b b c a b a b 22++++=-+-+=+，求证：4:3:2::=c b a ．7．已知d c b a ::=，求证：n n n n n nn n n abcd d c b a d c b a )(22222222=++++++----．8．已知a ，b ，c 为非零实数，且ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，求证：算式abc a c c b b a ))()((+++的值等于1-或8．。
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一、化分式为部分分式的和
【例1】 若
213111a M N a a a -=+--+，求M 、N 的值.
【巩固】已知正整数,a b 满足
1114a b +=，则a b +的最小值是 ．
【例2】 已知
2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b .
【例3】 若关于x 的恒等式
222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .
【例4】 将
269
x -化为部分分式.
【例5】 化
21(1)(2)x x x ---为部分分式．
【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式：2342
x x x +--. 例题精讲
分式恒等变形（竞赛部分）
【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3)
x x x x x -++++.
【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1)
x x x x x ++-+-.
二、分式的恒等证明 【例8】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝
⎭⎝⎭
【例9】 已知：a c b d
=，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=.
【例10】 若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a z c a
-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---
【例11】 若1abc =，求证：1111a b c a ab b bc c ca
++=++++++.
【巩固】已知1111a b c a ab b bc c ca
++=++++++，求证：1abc =.
【例12】 已知0a b c b c c a a b
++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---.
【例13】 已知3142a b ab c d cd +==+==，，，，
且a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=++++++++。
求证： （1）2222
77a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++ （2）3333
4968a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++
【巩固】已知2220a b c bc a ac b ab c ++=---，求证：()()()
2222220a b c bc a ac b ab c ++=---
三、分式与数论
【例14】 将a b b a -写成两个因式的积，使它们的和为a b b a +，求这两个式子。
【例15】 求最大的正整数n ，使得3100n +能被10n +整除。
【巩固】在12009这2009个正整数中，使221
n n ++不是既约分式的n 共有多少个？
1. 若对于3±以外的一切数，
28339
m n x x x x -=+--均成立，求mn . 课后作业
2. 将下列分式写成部分分式的和的形式：322
41338(1)(2)(1)x x x x x x -+++--.
3.
已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x +=+=+，求证：2221x y z =.
4. 已知
223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a b x y
+=。