4.1.1圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
5.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车 辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米， 高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为 坐标原点，半圆的直径AB所在 的直线为x轴，建立直角坐标系
y
（如右图）.
2 2
A
0
2.7
B
x
那么半圆的方程为 x y 16( y 0), 将x=2.7代入,得 y 16 2.7 8.71 ＜3.
【解】设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
根据题意得
解得a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
生活掠影
一石激起千层浪
乐在其中
生活掠影
奥运五环
福建土楼
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！
1.掌握圆的标准方程.（重点）
2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，
能根据条件写出圆的标准方程．
3.会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）
2
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的
高度.因此，货车不能驶入这个隧道.
圆 的
推导步骤 特点
求法
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
标
准 方 程
圆心(a,b)、半径r 待定系数法和直接法
不想当元帅的士兵不是好士兵。
A.(x-1)2+(y-1)2=1
4.1.1圆的标准方程
例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
解析答案
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
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高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
圆的标准方程1
（3）圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 .
(4) 圆的标准方程有哪些特点？
①是关于x、y的二元二次方程； ②方程明确给出了圆心坐标和半径; ③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实 际问题。
作业
习题4.1 P134 3、 4
4.1.1圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距 离等于r，所以圆C就是集合
M r C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，M适
O
x
合的条件可表示为：
说明：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
1、特点：明确给出了圆
把上式两边平方得：
心坐标和半径。
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。
问题:试推导圆心是C(a,b)，半 y 径
是r的圆的方程。
r M(x,y)
C
.
O
x
(1) 圆是 平面内到定点的距离等于定长 的点的集合；
（2) 推导中利用了 两点间的距离 公式进行坐标化；
练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0 相切，求圆的方程。
x 2+y2=196
补充练习：
（１）已知一圆过P（4，-2）,Q（-1， 3）两点，且在y轴上截得的线段长
4.1.1圆的标准方程
X 两边平方得
（x-a）2+(y-b)2=r2
圆的标准方程 说明：曲线方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→挖补
说明：只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆 的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必 须具备三个独立的条件．注意确定a、b、r，可 以根据条件，利用待定系数法来解决．
2 2 2 M ( x , y ) ( x a ) ( y b ) r 探究：点 的关系的判断方法： 0 0 与圆
（1） ( x0 a)
2
( y0 b)
2
> r ，点在圆外;
2
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （2） 0 = ，点在圆上; 0
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （3） 0 < ，点在圆内. 0
变一变： 已知两点A(4，9)和B(6，3)， Y 求以AB为直径的圆的方程 A 解法一: 圆心C(5,6) 2R=|AB|= 2 10
所求圆方程: ( x 5) ( y 6) 10
2 2
C
P B
解法二:利用 PA PB 0
O
X
指出：⑴要求能够用圆心坐标,半径长熟练地写出圆 的标准方程． ⑵轨迹法，求曲线方程的一般方法 ⑶已知一个圆的直径端点是 A(x1y1),B(x2， y2), 则圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．半径为 r 的圆的参数方程：
x a r cos ( x a)2 ( y b)2 r 的参数方程为 y b r sin 这就是圆
心为(a，b)，半径为 r，θ为参数的圆的参数方程 也可看成三角换元。说明参数θ的几何意义。
4.1.1 圆的标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
<
-
5 2
.
-12-
4.1.1 圆的标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
-11-
4.1.1 圆的标准方程
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
.
答案: ±2
题型一 圆的标准方程
课堂探究
【教师备用】 1.确定圆的标准方程的条件是什么? 提示:圆心坐标和半径,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗?
提示:不一定.当m=0时表示点(a,b),当m≠0时表示圆.
【例1】 已知一个圆经过两个点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y3=0上,求此圆的方程.
解:法一 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
(2 a)2 (3 b)2 r2,
a 1,
由已知条件得
(2
a)2
(5
b)2
r2,
解得
b
2,
a 2b 3 0,
r2 10.
所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
b 0,
则 (5 a)2 (2 b)2 r2,
(3 a)2 (2 b)2 r2.
解得
a 4, b 0, r 5.
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5.
法二 因为圆过 A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上.
由题意得
(2
a)2
(6
b)2
r2,
解得
a=2,b=-3,r=5,
(6 a)2 (0 b)2 r 2.
故外接圆方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
(2)设圆心为 O′,
因为|O′M|= 2 32 3 32 =5,|O′N|= (2 5)2 (3 2)2 = 34 >5,
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
4.1.1《圆的标准方程》课件(新人教A版必修2)
2
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引入新课
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当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定 了．
因此一个圆最基本要素是圆心和半径． 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用 坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离．
y M (x, y) r A(a,b) O x
3
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复习引入
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我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y M
r
A O x
4
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圆的方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
得： 整理得：
( x 0) ( y 0) r
2 2
2
x y r
2 2
2
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典型例题
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例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 M1 (5,7) ， 2 ( 5 ,1) 是否在这 M 个圆上． 解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准 方程是： ( x 2) 2 ( y 3) 2 25
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
7
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特殊位置的圆方程
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圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
人教高中数学 必修二 4.1.1圆的标准方程(公开课教案)
《4.1.1 圆的标准方程》教案
授课时间：授课地点：授课教师：
一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。
对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.
二、教学目标：
1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，
会根据圆的标方程，求圆心和半径;
②会判断点和圆的位置关系;
③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思
想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问
题、发现问题和解决问题的能力.
3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
数学的热情和兴趣.
三、内容分析：
重点：圆的标准方程的求法及其应用
难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.
五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.
六、教学过程：。
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程一、教学目标1、目标：（1）学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径；（2）会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力；（3）理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.2、解析：由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、预习导引1、圆的定义平面内到的距离等于（）的点的集合（轨迹）是圆，定点是（），定常是（）。
2、圆的标准方程圆心为C（a,b),半径为r 的圆的标准方程是（）三、问题引领，知识探究问题一：我们知道直线可以用方程表示,那么,圆可以用方程表示吗？如果能圆的方程怎样来求呢?.问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆？问题3：图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1问题4：我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?问题5：如果已知圆心坐标为C(a ,b ),圆的半径为r ,我们如何写出圆的方程?问题6：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？问题7：根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?问题8：确定圆的方程的方法和步骤是什么?问题9：坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?师生活动：学生思考，回答。
高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程
解:(3)设圆心为 C,AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0.
由
3x 3x
2y 15 10y 9
0, 0,
得
x y
7, 3,
所以圆心 C(7,-3),又 CB= 65 ,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.
3.圆的标准方程的定义 我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方 程,把它叫做圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心 在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.
4.几种特殊位置的圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
自主学习
知识探究
1.确定圆的几何要素 在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因 此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小. 2.圆的定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长 就是半径长.
条件
方程形式
单位圆(圆心在原点,半径长 r=1)
x2+y2=1
过原点(圆心(a,b),半径长 r= a2 b2 ) 圆心在原点(即 a=0,b=0,半径长为 r,r>0)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2=r2
圆心在x轴上(即b=0,半径长为r,r>0) 圆心在y轴上(即a=0,半径长为r,r>0) 圆心在x轴上且过原点(即b=0,半径长r=|a|)
圆的方程中的典型问题与方法：圆的方程中的典型问题与方法——4.1.1圆的标准方程
2 2 2
则圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)由已知可设圆的标准方程为 x2＋(y－b)2＝25，则 32＋(－4－b)2＝25， 解得 b＝0 或 b＝－8， 则圆的标准方程为 x2＋y2＝25 或 x2＋(y＋8)2＝25. (3)由已知设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
)Байду номын сангаас
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3．点 P(m2，5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( ) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 4 2 2 2 解析：选 B．由 m ＋25>24 可知，点 P(m ，5)在圆 x ＋y ＝24 的外部． 4．(2014· 滨州调研)已知圆 C 经过 A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的标准方程是( A．(x－2)2＋y2＝13 B．(x＋2)2＋y2＝17 C．(x＋1)2＋y2＝40 D．(x－1)2＋y2＝20 解析：选 D．∵圆心在 x 轴上，∴设圆心坐标为 C(a，0)． 又∵圆 C 经过 A(5，2)，B(－1，4)两点， ∴半径 r＝|AC|＝|BC|，可得 （a－5）2＋（－2）2＝ （a＋1）2＋（－4）2， 解之得 a＝1，可得半径 r＝ （a－5）2＋（－2）2＝ 20， ∴圆 C 的标准方程是(x－1)2＋y2＝20. 5．圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心到直线 y＝ 1 A． 2 B． 3 2 C．1 3 x 的距离为( 3 D． 3 ) )
2．用待定系数法求圆的标准方程 例 2 △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的标准方程． (链接教材 P119 例 2) [解析] 设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①， （5－a） ＋（1－b） ＝r a＝2 2 2 2 于是（7－a） ＋（－3－b） ＝r ，解此方程组，得b＝－3， （2－a）2＋（－8－b）2＝r2 r2＝25 所以△ABC 的外接圆的标准方程是：(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 【方法归纳】待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列：由已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； (3)解：解方程组，求出 a，b，r； (4)代：将 a，b，r 代入所设方程，得所求圆的标准方程． 【跟踪练习】 2．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，－4)； (3)求过两点 C(－1，1)和 D(1，3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程． 解：(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
人教A版高中数学必修二 4.1.1圆的标准方程 课件
课堂小结 (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为 x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此 必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆 心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r2 r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
例3：若点A是圆(x+3)2+(y-a)2=10上任一点, 并且A关于直线l:2x+y-1=0的对称点也 在圆上，求实数a的值.
4.1.1 圆的标准方程
温故知新
1、若已知C(3,-8),D(x,y), 它们之间的距离为d，则这 条等式该如何表示呢?
CD (x 3)2 (y 8)2 d
2、具有什么性质的点的轨迹称为圆？
答：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点 是圆心,定长是半径。
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
图
形
圆心在 x 轴上
圆心在 y 轴上
方程 x2 y2 r 2 （x a)2 y2 r2 x2 ( y b)2 r2
位置 图形
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
(必修2)4.1.1圆的标准方程(2课时)
• (1)当圆心在某条直线上时， • (一)可设出圆心坐标，将圆心用一个字母 表示． • (二)也可以考虑若圆心在另一条直线上， 则圆心为两直线的交点．
• (2)当圆经过不共线三点时， • (一)可由两边的中垂线求得圆心，进而求 出半径． • (二)也可设标准方程，将三点坐标代入，
解三元一次方程组求得a、b、r.
• (3)设圆心坐标为(a，b)，圆的方程为 • (x－a)2＋(y－b)2＝5. • 已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程中 得， 2 2
a ＋(1－b) ＝5 2 2 (2 － a ) ＋ (1 － b ) ＝5 a1＝1 ∴ b1＝－1
，
a2＝1 ，或 b2＝3
练习
1.(1)已知点A(1,1)在圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2=4的内 部,求实数a的取值范围.
(2)点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：
（1）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的 直线的方程。
4.1.1 圆的标准方程
y O
A
x
r
生活中的圆
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆 下定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。 问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
探究新知
问题三：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
圆心C：两条直线的交点
半径CA：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
4.1.1圆的标准方程课件人教新课标
[变式训练] (1)若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于
原点对称，则圆C的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， 5 )
在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为
(3)圆心坐标是(－1，－2)，半径是2，故不正确． (4)点(0，0)在圆外，故不正确． 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．圆心为P(－1，2)、半径长是2的圆的标准方程是 ()
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4 解析：根据圆心P的坐标为(－1，2)，圆的半径长为 2，得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4. 答案：B
[知识提炼·梳理] 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的 集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆 的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆 心、半径为r的圆．
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点M，N，P到圆心C的距离： |CM|＝ （4－5）2＋（6－3）2＝ 10> 5， |CN|＝ （4－3）2＋（6－4）2＝ 5， |CP|＝ （4－3）2＋（6－5）2＝ 2< 5， 所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．
[迁移探究1] (变换条件)将典例2中两点P1，P2坐标改 为“P1(4，9)和P2(6，3)”，求以P1P2为直径的圆的方程，并 判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上、圆内还是圆 外．
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4.1.1圆的标准方程
【教学目标】
（一）知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
⑵ 会用待定系数法求圆的标准方程.
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
（三）情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
【教学重点】圆的标准方程.
【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
【教学方法】启发、引导、讨论.
【教学过程】
一、新课引入
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
二、讲授新课
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a,b），半径为r （其中a、b、r 都是常数，r 0）.设M（x,y）为这个圆上任意一点，那么点M满
足的条件是（引导学生自己列出）P {M M A r},由两点间的距离公式让学生
写出点M适合的条件a）2（yb）2 r①
化简可得：(X a)2(y b)2 r2②
引导学生自己证明(X a)2 (y b)2r2为圆的方程，得出结论.
若点M(x, y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A的距离为r ,即点M在圆心为A的圆上.
所以方程②就是圆心为A(a, b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.
三、例题解析
例1:写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点
M i(5, 7), M2( 1)是否在这个圆上.
分析：可以从计算点到圆心的距离入手.
点M (X o, y o)与圆(x a)2
b)2(y b)2 r2的关系的判断方法
2
r，点在圆外
(1) (X o a)2(y o
(2) (X o a)2(y o b)2
2
r,点在圆上
(3) (X o a)2(y o b)2
2
r ,点在圆内
解：圆心是A(2, 3)半径长等于5的圆的标准方程是
2 2
(X 2) (y 3) 25.
2 2
把点M i(5, 7)的坐标代入方程(X 2) (y 3) 25，左右两边相等，点M i 的坐标适合圆的方程，所以点M i在这个圆上；把点M 2( J5, 1)的坐标代入方程
2 2
(X 2) (y 3) 25，左右两边不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点
M 2不在这个圆上•
例2: ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1), B(7, 方程•
因为A(5,1),B(7, 3),C(2, 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①•于是
mu (7 — J + [— 3- bf =『 (2 - + (-8- 二『
解此方程组，
a 2
得b 3
2
r
已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2, 2),且圆心在l :X y 1
上 ,
求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的 圆经过点A(1,1)和B(2, 2),由于圆心C 与A , B 两点的距离相等，所以圆心C 在
3),C(2, 8),求它的外接圆的
师生共同分析：从圆的标准方程(X a)2
(y b)2 r 2可知，要确定圆的标准
方程，可用待定系数法确定a 、
r 三个参数.
(学生自己运算解决)
(ABC 外接圆的圆心是
ABC 的外心，即
ABC 三边垂直平分线的交点•)
解：设所求圆的方程是(X
a)2
(y b)2
r 2
.①
25
所以
ABC 的外接圆的方程是
2
(X 2)
2
(y 3) 25
线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线I 上，因此圆心C 是直线I 与直线m
3 1
AB 的中点D 的坐标为-
2 2 2 1
直线AB 的斜率k AB 訂
3
.
因此线段AB 的垂直平分线m 的方程是y
X
解此方程组，得
y
解法2:设所求圆的方程为(X a)
2
(y b)2
[1_扌+(1_研=尸，
'(2 -
2 - 疔=
(3 + 1 = 0
的交点，半径长等于
CA 或]CB .
解法1 :因为A(1,1)，B(2, 2)，所以线段
圆心C 的坐标是方程组
x 3y
的解.
所以圆心C 的坐标是
3, 2
圆心为C 的圆的半径长r
AC
7(1 3)2
(1
2)2
5.
所以圆心为C 的圆的标准方程是(X 3)
2
(y
2)2
25 .
由题意得
25
2、求过点A(6,0) , B(1,5)且圆心在直线l:2x 7y 8 0上的圆的方程.
五、课堂小结
1、圆的标准方程.
2、点与圆的位置关系的判断方法.
3、根据已知条件求圆的标准方程的方法.
a
解得 b
2
r
所以所求圆的方程是(x 3)
2
(y 2)2
25 .
总结归纳：(教师启发，学生自己比较、归纳)比较例2、例3可得出 外接圆的标准方程的两种求法：
ABC
①根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、 值，写出圆的标准方程.
②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小， 再写出圆的标准方程.
然后 四、课堂练习
1、根据下列条件，求圆的方程.
圆心在点C( 2,1),并且过点A(2, 2)；
(2) 圆心在点C(1,3)，并与直线3x 4y 6 0相切；
(3) 过点(0,1)和点(2,1)，半径为 75 •。