4.1.1圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程

【教学目标】

（一）知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.

⑵ 会用待定系数法求圆的标准方程.

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.

（三）情感态度与价值观

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.

【教学重点】圆的标准方程.

【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.

【教学方法】启发、引导、讨论.

【教学过程】

一、新课引入

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

二、讲授新课

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a,b），半径为r （其中a、b、r 都是常数，r 0）.设M（x,y）为这个圆上任意一点，那么点M满

足的条件是（引导学生自己列出）P {M M A r},由两点间的距离公式让学生

写出点M适合的条件a）2（yb）2 r①

化简可得：(X a)2(y b)2 r2②

引导学生自己证明(X a)2 (y b)2r2为圆的方程，得出结论.

若点M(x, y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A的距离为r ,即点M在圆心为A的圆上.

所以方程②就是圆心为A(a, b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.

三、例题解析

例1:写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点

M i(5, 7), M2( 1)是否在这个圆上.

分析：可以从计算点到圆心的距离入手.

点M (X o, y o)与圆(x a)2

b)2(y b)2 r2的关系的判断方法

2

r，点在圆外

(1) (X o a)2(y o

(2) (X o a)2(y o b)2

2

r,点在圆上

(3) (X o a)2(y o b)2

2

r ,点在圆内

解：圆心是A(2, 3)半径长等于5的圆的标准方程是

2 2

(X 2) (y 3) 25.

2 2

把点M i(5, 7)的坐标代入方程(X 2) (y 3) 25，左右两边相等，点M i 的坐标适合圆的方程，所以点M i在这个圆上；把点M 2( J5, 1)的坐标代入方程

2 2

(X 2) (y 3) 25，左右两边不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点

M 2不在这个圆上•

例2: ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1), B(7, 方程•

因为A(5,1),B(7, 3),C(2, 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①•于是

mu (7 — J + [— 3- bf =『 (2 - + (-8- 二『

解此方程组，

a 2

得b 3

2

r

已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2, 2),且圆心在l :X y 1

上 ,

求圆心为C 的圆的标准方程.

师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的 圆经过点A(1,1)和B(2, 2),由于圆心C 与A , B 两点的距离相等，所以圆心C 在

3),C(2, 8),求它的外接圆的

师生共同分析：从圆的标准方程(X a)2

(y b)2 r 2可知，要确定圆的标准

方程，可用待定系数法确定a 、

r 三个参数.

(学生自己运算解决)

(ABC 外接圆的圆心是

ABC 的外心，即

ABC 三边垂直平分线的交点•)

解：设所求圆的方程是(X

a)2

(y b)2

r 2

.①

25

所以

ABC 的外接圆的方程是

2

(X 2)

2

(y 3) 25

线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线I 上，因此圆心C 是直线I 与直线m

3 1

AB 的中点D 的坐标为-

2 2 2 1

直线AB 的斜率k AB 訂

3

.

因此线段AB 的垂直平分线m 的方程是y

X

解此方程组，得

y

解法2:设所求圆的方程为(X a)

2

(y b)2

[1_扌+(1_研=尸，

'(2 -

2 - 疔=

(3 + 1 = 0

的交点，半径长等于

CA 或]CB .

解法1 :因为A(1,1)，B(2, 2)，所以线段

圆心C 的坐标是方程组

x 3y

的解.

所以圆心C 的坐标是

3, 2

圆心为C 的圆的半径长r

AC

7(1 3)2

(1

2)2

5.

所以圆心为C 的圆的标准方程是(X 3)

2

(y

2)2

25 .

由题意得