东南大学2012高等数学竞赛模拟试卷三和答案
江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题
江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(本科三级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-+-+→561)434lim 4x x x 。
2.=+++→∞433321lim n n n 。
3.=?→x x tdtt x x 32030sin sin lim 。
4.),1ln(x y -=则=)(n y 。
5.?=xdx x arctan 2 。
6. =?dx xx 211arccos 。
7. 函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??yz x z 。
8.交换积分次序??x dy y x f dx cos 2040),(π 。
二、(每小题6分，共12分)(1)求))(13(lim 31223∑=→∞+-i n i n n n 。
(2)设)(x f 在0=x 处二阶可导，且,2)0(='f 求20)()1(lim x x f e f x x --→。
三、(第(1)小题4分，第(2)小题6分，共10分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明。
(1)函数)(x f 在在),(δδ-上有定义)0(>δ，当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" f="" p="" 严格减少，)(lim="" 时，)(x=""> x f x →存在，且)0(f 是)(x f 极小值。
(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ,)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四、(12分)求一个次数最低的多项式)(x P ，使得它在1=x 时取极大值2，且)0,2(是曲线)(x P y =的拐点。
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合
东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）)一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．22lim sin1x xx x →∞=+ 2 ； 2．当0x →时,()x α=与2()x kx β=是等价无穷小,则k =34; 3．设()1sin xy x =+，则d x yπ== d x π- ；）4．函数()e xf x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为()223ee 2e(1)(1)(1)2x x x ο+-+-+- ； 5．已知函数32e sin ,0()2(1)9arctan ,0xa x x f xb x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩可导，则a =1 ，b = -1 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数11()1ex xf x -=-，则 [ C ]（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点、（D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t ty t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的切线与x 轴交点的横坐标是 [ C ] （A ）1ln 238+ （B ）1ln 238-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+ 8．以下四个命题中，正确的是 [ C ]（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界@（B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界9．当a 取下列哪个数值时，函数32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ B ]（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8、三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．011lim 1e x x x x -→+⎛⎫-⎪-⎝⎭()222000111e e 1lim lim lim 1e 1e x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→++-++-+⎛⎫-== ⎪--⎝⎭ 20e 11lim xx x x -→-+=+22201()21lim x x x xο→+=+32= 11。
数学_2012年江苏省高考数学全真模拟试卷(10)(含答案)
2012年江苏省高考数学全真模拟试卷（10）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1. 已知集合A ={x|x =sin nπ3, n ∈Z}，则集合A 的子集的个数为________．2. 若复数a+3i 1+2i（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 已知条件p:|x +1|>2，条件q:x >a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．4. 如图程序运行结果是________．5. 如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．6. 在120∘的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于M 、N 两点，这两个点的距离AB =5，则小球的半径为________．7. 函数f(x)=ln(x 2−2x)的单调递增区间是________．8. 将直线2x −y +λ=0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x −4y =0相切，则实数λ的值为________．9. O 是锐角△ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足：OP →=OA →+λ(AB→|AB →|2Sin∠ABC+，λ∈(0, +∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．10. 对于使−x 2+2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值l 做−x 2+2x 的上确界，若a ，b ∈R +，且a +b =1，则−12a−2b的上确界为________．11.如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM =13，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy 中，动点P 的轨迹方程是________．12. 设函数f(x)=a 1+a 2x +a 3x 2+...+a n x n−1，f(0)=12，数列{a n }满足f(1)=n 2⋅a n ，则数列{a n }的通项=________．13. 函数f(x)是奇函数，且在[−1, 1]是单调增函数，又f(−1)=−1，则满足f(x)≤t 2+2at +1对所有的x ∈[−1, 1]及a ∈[−1, 1]都成立的t 的范围是________．14. 已知O 为坐标原点，OP →=(x,y)，OA →=(a,0)，OB →=(0, a)，OC →=(3,4)，记|PA →|、|PB →|、|PC →|中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是________．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15. 已知函数f(x)=log 2(x 2+2−a)的定义域为A ，值域为B ． （1）当a =4时，求集合A ；（2）当B =R 时，求实数a 的取值范围．16.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90∘，AB =BB 1=a ，直线B 1C 与平面ABC 成30∘角．（1）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1； （2）求C 1到平面B 1AC 的距离； （3）求三棱锥A 1−AB 1C 的体积．17. 某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资单位：万元）．（1）分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？18. 已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，成等比数列． （1）求证：0<B ≤π3（2）求△ABC 的面积S 的最大值； （3）求BA →⋅BC →的取值范围．19. 已知点A(−1, 0)、B(1, 0)，△ABC 的周长为2+2√2．记动点C 的轨迹为曲线W ． （1）直接写出W 的方程（不写过程）； （2）经过点(0, √2)且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，是否存在常数k ，使得向量OP →+QO →与向量(−√2，1)共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．（3）设W 的左右焦点分别为F 1、F 2，点R 在直线l:x −√3y +8=0上．当∠F 1RF 2取最大值时，求|RF 1||RF 2|的值．20. 函数f(x)=x 2+a bx−c(b =2n,n ∈N ∗)的定义域为{x|x ≠1}，图象过原点，且f(−2)<−12．（1）试求函数f(x)的单调减区间；（2）已知各项均为负数的数列{a n }前n 项和为S n ，满足4S n f(1a n)=1，求证：−1an+1<lnn+1n<−1a n；（3）设g(m,n)=1m+1m+1+⋯+1n，是否存在m 1，，n 1，m 2，n 2∈N ∗，使得ln2011∈（g(m 1, n 1)，g(m 2, n 2)）？若存在，求出m 1，，n 1，m 2，n 2，证明结论；若不存在，说明理由．三、附加题21. 四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A(−1, 2)，B(3, 2)，C(3, −2)，D(−1, −2)，A ′(−1, 0)，B ′(3, 8)，C ′(3, 4)，D ′(−1, −4)．求将四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′的变换矩阵M ．22. 直线{x =−3+√32s y =12s (s 为参数)和曲线{x =t +1ty =t −1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．23. 设有3个投球手，其中一人命中率为q ，剩下的两人水平相当且命中率均为p （p, q ∈(0, 1)），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ． （1）当p =q =12时，求数学期望E(ξ)及方差V(ξ)；（2）当p +q =1时，将ξ的数学期望E(ξ)用p 表示．24. 已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N ∗均有a n 2≤a n −a n+1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n 的大小，并证明你的结论．2012年江苏省高考数学全真模拟试卷（10）答案1. 82. −63. a≥14. 345. 8/56. 57. (2, +∞)8. −3或79. 内10. −9211. y2=23x−1912. 1n(n+1)13. (−∞．−2]∪{0}∪[2, +∞)14. [7−2√6，+∞)15. 解：（1）当a=4时，真数x2+2−4>0，即x2>2解得x>√2或x<−√2，故A={x|x<−√2或x>√2}（2）若B=R，说明u=x2+2−a可取到一切正实数，则u在R上的最小值小于或等于0，即u min=2−a≤0，解之得a≥2实数a的取值范围为[2, +∞)．16. 解：（1）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，AC⊂平面ABC ∴ B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴ AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴ 平面B1AC⊥平面ABB1A1．（2）解：∵ A1C1 // AC，A1C1⊄平面B1AC，AC⊂平面B1AC∴ A1C1 // 平面B1AC∴ C1到平面B1AC的距离就是求A1到平面B1AC的距离过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵ 平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴ A1M⊥平面B1AC．从而A1C=√3a，又A1M=√22a，sinA1CM=A1MA1C=√66∴ C1到平面B1AC的距离为√22（3）解：∵ 直线B1C与平面ABC成30∘角，∴ ∠B1CB=30∘．可得B1C=2a，BC=√3a，∴ V A 1−AB 1C =V B 1−ABC =13×12×a ×√2a ×a =√26a 3 17. 对B 产品投资254万元，对A 产品投资154万元时， 可获最大利润6516万元．18. 解：（1）a +b +c =6，b 2=ac ，不妨设a ≤b ≤c ， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12故有0<B ≤π3， （2）又b =√ac ≤a+c 2=6−b 2，从而0<b ≤2．∵ △ABC 三边依次为a ，b ，c ，则a −c <b ，即有(a −c)2<b 2， ∵ a +b +c =6，b 2=ac ，b 2>(a +c)2−4ac ， ∴ b 2+3b −9>0，∴ b >−3+3√52， ∴−3+3√52<b ≤2；所以S =12acsinB =12b 2sinB ≤12⋅22⋅sin π3=√3，即S max =√3 （3）所以BA →⋅BC →=accosB =a 2+c 2−b 22=(a+c)2−2ac−b 22=(6−b)2−3b 22=−(b +3)2+27∵−3+3√52<b ≤2；∴ 2≤BA →⋅BC →<27−9√52；19. 解：（1）W:x 22+y 2=1(y ≠0)．（2）设直线l 的方程为y =kx +√2，代入椭圆方程，得x 22+(kx +√2)2=1． 整理，得(12+k 2)x 2+2√2kx +1=0．①因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 △=8k 2−4(12+k 2)=4k 2−2>0，解得k <−√22或k >√22． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则OP →+QO →=(x 1+x 2, y 1+y 2)， 由①得x 1+x 2，=−4√2k1+2k 2．② 又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2√2 ③所以OP →+QO →与向量(−2, 1)共线等价于x 1+x 2=−√2(y 1+y 2)， 将②③代入上式，解得k =√22． 所以不存在常数k ，使得向量OP →+QO →与MN →共线（3）当∠F 1RF 2取最大值时，过R 、F 1、F 2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l 相切．直线l 与x 轴于S(−8, 0)，∵ △F 1SR ∽△RSF 2∴ |RF 1||RF 2|=|SF 1||SR|=|SR||SF 2|=√|SF 1||SR||SR||SF 2|=√|SF 1||SF 2|=√73． 20. 解：（1）由己知a =0，b =c ．∵ f(−2)=−43b <−12且b =2n ，n ∈N ∗∴ b =2 ∴ f(x)=x 22(x−1)(x ≠1) 于是f′(x)=2x⋅2(x−1)−x 2⋅24(x−1)2=x 2−2x 2(x−1)2由f ′(x)<0得0<x <1或1<x <2故函数f(x)的单调减区间为(0, 1)和(1, 2)（2）由已知可得2S n =a n −a n 2，当n ≥2时，2S n−1=a n−1−a n−12两式相减得(a n +a n−1)(a n −a n−1+1)=0 ∴ a n −a n−1=−1（各项均为负数）当n =1时，2a 1=a 1−a 12⇒a 1=−1，∴ a n =−n 于是，待证不等式即为1n+1<ln n+1n<1n ．为此，我们考虑证明不等式1x+1<ln x+1x <1x，x >0令1+1x=t ，x >0，则t >1，x =1t−1再令g(t)=t −1−lnt ，g′(t)=1−1t由t ∈(1, +∞)知g ′(t)>0 ∴ 当t ∈(1, +∞)时，g(t)单调递增∴ g(t)>g(1)=0于是t −1>lnt 即1x >lnx+1x，x >0①令ℎ(t)=lnt −1+1t，ℎ′(t)=1t−1t2=t−1t 2由t ∈(1, +∞)知ℎ′(t)>0∴ 当t ∈(1, +∞)时，ℎ(t)单调递增∴ ℎ(t)>ℎ(1)=0于是lnt >1−1t即lnx+1x>1x+1，x >0②由①、②可知1x+1<ln x+1x<1x ，x >0所以，1n+1<lnn+1n<1n ，即1−1a n<ln n+1n<−1a n（3）m 1=2，n 1=2011，m 2=1，n 2=2010． 在1n+1<lnn+1n<1n中令n =1，2，3，…，20072010，并将各式相加得12+13+⋯+12011<ln 21+ln 32+⋯+ln 20112010<1+12+⋯+12010 即ln2011∈（g(2, 2011)，g(1, 2010)）． 21. 解：该变换为切变变换，设矩阵M 为[10k1]，则[10k1][−12]=[−10]． ∴ −k +2=0，解得k =2． 所以，M 为[1021]．22. 解：曲线{x =t +1t y =t −1t(t 为参数)可以化为x 2−y 2=4． 将直线的参数方程代入上式，得s 2−6√3s +10=0．设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2，∴ s 1+s 2=6√3，s 1s 2=10． AB =|s 1−s 2|=√(s 1+s 2)2−4s 1s 2=2√17． 23. 解：（1）∵ 每位投球手均独立投球一次， 当p =q =12时，每次试验事件发生的概率相等， ∴ ξ∼B(3, 12)，由二项分布的期望和方差公式得到结果 ∴ Eξ=np =3×12=32，Dξ=np(1−p)=3×12×(1−12)=34（2）ξ的可取值为0，1，2，3． P(ξ=0)=(1−q)(1−p)2=pq 2；P(ξ=1)=q(1−p)2+(1−q)C 21p(1−p)=q 3+2p 2q ；P(ξ=2)=qC 21p(1−p)+(1−q)p 2=2pq 2+p 3； P(ξ=3)=qp 2． ξ的分布列为24. 证明：(1)a n 2≤a n −a n+1，得a n+1≤a n −a n 2， ∵ 在数列{a n }中a n >0， ∴ a n+1>0，∴ a n −a n 2>0， ∴ 0<a n <1，故数列{a n }中的任意一项都小于1． (2)由(1)知0<a n <1=11，那么a 2≤a 1−a 12=−(a 1−12)2+14≤14<12，由此猜想：a n <1n(n ≥2)．下面用数学归纳法证明：①当n =2时，显然成立；②当n =k 时(k ≥2, k ∈N)时，假设猜想正确，即a k <1k ≤12，那么a k+1≤a k −a k 2=−(a k −12)2+14<−(1k −12)2+14=1k −1k 2=k −1k 2<k−1k 2−1=1k+1，∴ 当n =k +1时，猜想也正确，综上所述，对于一切n ∈N ∗，都有a n <1n ．。
东南大学高等数学A竞赛练习
2012数学竞赛练习题（东南大学数学系贺传富）1.证明：3sin cos 20d d (04xxxax ax a πππ-≥>⎰⎰为常数）。
2．设)(x f 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0,f f f t '''≠==是曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在x 轴的截距，求)()(lim0x tf t xf x → 。
3．使得不等式αx x ≤ln 对任意的正数x 都成立的最小正常数α=1e。
4．设,0)(sin tan )sin(sin )tan(tan lim 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→a a x x x x b x x 且,0≠b 则a ＝3，b ＝1。
5．设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)(>x f ，则极限nn f nn f n f n f )1()1()2()1(lim-∞→ ＝ 10ln ()d e f x x ⎰。
6．sin 4e sin 2d sin 42x xx x π-=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰sin 8e 1sin x C x -+-。
7．设()2005654321()314231113,2f x x x x x x f ⎛⎫=++++-= ⎪ ⎪⎝⎭1-。
8．设4()ln(1)f x x x =-，当4n >时，()(0)n f=!4n n --。
9．ln(1)ln(2)ln()lim ln 1112n n n n n n n n n n →∞⎛⎫ ⎪++++++-⎪+ ⎪++⎝⎭＝2ln 21-。
10．2lim arctanarctan (0)1n a a n a n n →∞⎛⎫-≠ ⎪+⎝⎭＝a 。
11．设1 11,nn I xx +=⎰则n n nI ∞→lim ＝322(1e)33+-。
12．设)(x f 在]1,0[上连续，且11110()d ()d ()d 0,n f x x xf x x x f x x -====⎰⎰⎰10()d 1n x f x x =⎰，证明：存在],1,0[∈ξ使)1(2|)(|+≥n f n ξ。
2012年江苏省高等数学竞赛模拟试题
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛模拟试题（1）一．填空题1. =+→x x x ln 10)(tan lim2.极限_______)x (sin )x sin(sin x sin lim 30x =-→ 3. 设2lim (1)0→+∞+-+-=x ax x x b , 则=a , =b .4. 设当0→x 时，函数()(1)1=+-x f x x α与0()arcsin d =⎰xg x x t t 是同阶无穷小，则常数=α . 5. 设函数)(x y y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定, 则曲线)(x y y =在点)1,0(处的法线方程为______6. 设常数0k >，则方程ln 0e x x k -+=在区间(0,)+∞内的实根的个数为 .7.已知函数()22x11x x ln y +++=，则______________y =' 8.不定积分：______________dx e x x 1x 2=-⎰ 9.=+⎰∞+12)1(x dx x _____ 10. ⎰-=-+a a xdx x f x f sin )]()([11.已知函数()f x 在点0=x 处连续，且()0arctan lim 21→=-f x x x e ，则 11lim →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x f f x x . 12. 若级数∑∞=-+-1166)2(n n n n n a n 收敛，则a 的取值为13.函数x cos y 2=，则_______________y )n (=14. 设1()1-=+x f x x，则()()=n f x . 二．选择题1.函数)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为( ) (A)1,0=x (B)1=x (C)0=x (D)无可去间断点2.设x x x f 1sin )(2=，x x g sin )(=,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( ) (A)同阶无穷小但不等价 (B)低阶无穷小 (C)高阶无穷小 (D)等价无穷小3.．设函数)(x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）（A ）若)(x f 只有一个零点，则)(x f '必至少有两个零点；（B ）若)(x f '至少有一个零点，则)(x f 必至少有两个零点；（C ）若)(x f 没有零点，则)(x f '至少有一个零点；（D ）若)(x f '没有零点，则)(x f 至多有一个零点。
2012第四届试题及答案
(4, −3,1) ；
(3) 已 知 函 数 z = u ( x, y )e
ax + by
∂ 2u = 0, 确 定 常 数 a 和 b ， 使 函 数 z = z ( x, y ) 满 足 方 程 ，且 ∂x∂y
∂ 2 z ∂z ∂z − − + z =0； ∂x∂y ∂x ∂y
(4) 设函数 u = u ( x) 连续可微, u (2) = 1 , 且 ( x + 2 y )udx + ( x + u 3 )udy 在右半平面上与路径无关，
F (t + Δt ) − F (t ) , 这是一个在厚度为 Δt 的球壳上的积分. 原点到球壳边缘上的点的射线和
z 轴夹角在 θ t + Δt 和 θ t 之间. 我们使用球坐标变换来做这个积分, 由积分的连续性可知, 存在
α = α (Δt ) , θ t + Δt ≤ α ≤ θ t , 使得
1 f ′′(0) + ο (1) 1 f ′′(0) 1 = 1 − lim = 1− = …………………（3 分） 2 x →0 f '( x) − f '(0) 2 f ′′(0) 2 x
⎛ x3 ⎜ x f (u ) ∴ lim = lim ⎝ x →0 f ( x ) sin 3 u x →0 ⎛ u3 ⎜ ⎝
….（2 分）
⎧ x2 + y2 = z S : 在曲线 上任取一点 ( x, y, z ) , 则原点到的点的射线和 z 轴的夹角 ⎨ 2 2 2 2 x y z t + + = ⎩
为
θt = arccos = arccos
z t
g . 取 Δt > 0 , 则 θ t > θ t + Δt . 对于固定的 t > 0 , 考虑积分差 t
江苏高考数学模拟-南京市2012年高三第一次模拟考试(word版有答案)
江苏高考数学模拟试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = ▲ . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = ▲ . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = ▲ . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ . 5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 ▲ .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = ▲ .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥AB CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 ▲ . 10.已知1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞U 上的奇函数, 则()f x 的值域为 ▲ .11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = ▲ .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 ▲ .13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲ .14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,第5题第7题则实数p 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()3cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:∥PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .17．(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?C A BD PE 第16题第17题ADCBOxy18．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆222199x y +=的右顶点, 点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上, BP DA =u u u r u u u r .(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.19．(本小题满分16分)对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．第18题数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，O e 的半径OB 垂直于直径AC ，D 为AO 上一点，BD 的延长线交O e 于点E ，过E 点的圆的切线交CA 的延长线于P .求证：2PD PA PC =⋅.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被C e 截得的弦AB 的长度.D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x y z 、、均为正数，求证：111()3x y z ++≤.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.A BC P O · E DDCPB 1第22题23．（本小题满分10分）已知整数n ≥4,集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ⋅⋅⋅. (1)当5n =时,求集合3512,,,C A A A ⋅⋅⋅中所有元素之和. (2)设i m 为i A 中的最小元素,设n P =312nC m m m ++⋅⋅⋅+,试求n P .数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.32. 23. －44.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间) 10.3113[,)(,]2222--U 11.4m = 12.21(,]e-∞ 52 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解: (1)因为31()2cos 22f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6x π=-……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分(2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分 故所求的值域为13[2-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O =I ,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分 而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =I ,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O 到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分 因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =u u u r u u u r,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-,所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r =8分 又圆心(0,－1)到直线BD的距离为d =所以直线BD 被圆C 截得的弦长为= ……………………………………………………………………………………10分 (3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分19．解: (1)函数()4xf x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分(2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =,① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++U ,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分 ②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2mg g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-U ,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2mg g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-U =224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得21m -≤≤. 综上所述,所求m的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p ++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列…………………………3分 又当n=1时,120a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分(2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===, [1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p +=-,解得13p =-…………6分 此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分综上所述,13p =-, 192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分②[1]当13p =-时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得103(21)k a <-,当3k ≥时, 1013(21)k<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040133(1())2k >-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分数学附加题部分21．A. 证明：连结OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为OB=OE ，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC 于点O ，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE ，PD=PE ，又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2=PA·PC，故PD 2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分B. 易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为 点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……………8分 代入20x y ''+-=中得12042yx y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=…………………10分C. 解：C e 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24cos 4sin ρρθρθ=+ 由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,得22440x y x y +--=………………………………5分 其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =又直线l 的普通方程为20x y --=,∴圆心C 到直线l的距离d ==∴弦长AB ==10分 D. 证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++……………………………………5分111x y z ≥++,111()x y z ++≤………………………10分 22. 解:(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -,设(0CP a a =≤≤ ,则(2,2,0),(2CQ P a Q =-,1(2)B Q =-u u u r ,1(2,,2)D P a =--u u u u r ,∵11B Q D P ⊥,∴110BQ D P ⋅=u u u r u u u u r ，∴240a -+=，解得1a =……………………………4分 ∴PC=1,CQ=1,即P Q 、分别为,BC CD 中点…………………………………………………………5分(2)设平面1C PQ 的法向量为(,,)n a b c =r ，∵1(1,1,0),(0,1,2)PQ PC =-= u u u r u u u u r ,又10n PQ n PC ⋅=⋅=r u u u r r u u u u r，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =-r ………………………………………………8分 ∵(0,0,2)k =-r 为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>=r r ,而二面角为钝角,故余弦值为13-……10分23.（1）解：当5n =时，含元素1的子集有246C =个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,于是所求元素之和为24(12345)61590C ++++⨯=⨯=……………………………………………5分（2）证明:不难得到12,i i m n m Z ≤≤-∈ ，并且以1为最小元素的子集有21n C -个，以2为最小元素的子集有22n C -个，以3为最小元素的子集有23n C -，…，以2n -为最小元素的子集有22C 个,则32222121232123(2)nn n n n C P m m m C C C n C ---=+++=⨯++++-L L ………………………………8分2222231(2)(3)(4)n n n C n C n C C -=-+-+-++L 2222222341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++L 2322223341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++L 23222441(3)(4)n C n C n C C -=+-+-++L 2332224441(4)()n C C n C C C -=++-+++L 23322451(4)n C C n C C -=++-++L4333445n C C C C =++++L 41n C +=……………………………………………………………………10分。
2012年南京三模三模数学试卷和参考答案
南京市、盐城市2012届高三年级第三次模拟考试数 学 2012.05注意事项：1．本试卷共160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷题卡上．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合A ＝{}1,1,3-，B ＝}2,a ，且B A ⊆，则实数a 的值是 ▲ ．答案:12．已知复数z 满足(2)5i z i -=（其中i 为虚数单位），则复数z 的模是 ▲ ．答案3．根据如图所示的流程图，若输入x 的值为 -7.5，则输出y 的值为 ▲ . 答案: -14．若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方形玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m 、n ，则方程220x mx n ++=无实根的概率是 ▲ ．答案:7365．为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位:克）作为样本。
下图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是 ▲ 克. 答案:5076.已知正△ABC 的边长为1，73CP CA CB =+, 则CP AB ⋅ =▲ ． 答案: -27.已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。
其中是平面α∥平面β的充分条件的为= ▲ ．（填上所有符合要求的序号） 答案:①③8.若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩是奇函数，则满足()f x a >的x 的取值范围是 ▲ ．答案:(1)-+∞9.在直角坐标系xOy 中，记不等式组30270260y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ．若指数函数x y a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是 ▲ ．答案:)+∞10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O的距离为则过F 、O 、P 三点的圆的方程是 ▲ ． 答案:221725()()222x y -+-=11．已知sin()sin 032ππααα++=-<<，则cos α= ▲ ．解答：3sin coscos sinsin sin )332265πππαααααα++=+=+=- 4sin()65πα+=-，又366πππα-<+<，所以3cos()65πα+=。
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(江苏卷,理数).pdf
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（江苏卷） 数学（理科） 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷?答题卡规定填写自己的姓名?座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名?座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整?笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上答题无效． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交． 参考公式： 椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高． 若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则 ， ， 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算． 第Ⅰ卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．若集合，则__________ 2．若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则_________ 3．的增区间是__________ 4．执行图1所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为__________ 5．某家庭电话，打进的电话响第一声被接的概率为，响第二声被接的概率为，响第三声或第四声被接的概率都是，则电话在响第五声之前被接的概率为__________ 6．设是定义在上的奇函数，且，则_________ 7．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为__________ 8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数．则=__________ 9．光线从点出发，经轴发射到圆的最短路程为__________ 10．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则__________ 11．已知，则的值为__________ 12．若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是___________ 13．长为的线段的两个端点在抛物线上滑动，则线段中点到轴距离的最小值是________． 14．一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为_________第Ⅱ卷二?解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）第1小题7分，第2小题4分，第3小题4分 已知设函数 （1）当，求函数的的值域； （2）当时，若=8，求函数的值； （3）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数的图象，求函数的表达式并判断奇偶性． 16．（本小题满分14分）第1小题7分，第2小题4分，第3小题4分 如图，在底面是矩形的四棱锥中，，?分别是?的中点，，． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 17．（本小题满分14分）第1小题3分，第2小题5分，第3小题7分 已知函数（为常数，且），且数列是首项为4， 公差为2的等差数列． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，当时，求数列的前项和； （3）若，问是否存在实数，使得中的每一项恒小于它后面的项?若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分）第1小题10分，第2小题6分． 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，已知=3米，=2米． （1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内? （2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求出最小面积． 19．（本小题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分． 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6．椭圆的左焦点为，过左准线与轴的焦点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点为． （1）求椭圆的方程； （2）求证：； （3）求面积的最大值． 20．（本小题满分16分）第1小题6分，第2小题4分，第3小题6分． 已知函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数． （1）求的取值范围； （2）求证：； （3）若函数，，的最大值为，求证：数学II（附加题）21．【选做题】本题包括A?B?C?D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤． A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 在中，是的平分线，的外接圆交于点，且 求证：． B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 求矩阵的特征值及对应的特征向量． C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 把参数方程（是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线． D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知为正数，求证： 【必做题】第22题?第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 某校欲从两个素质拓展小组中选拔4个同学参加市教育局组织的2010年夏令营活动，已知甲组内有实力相当的1个女生和3个男生，乙组内有实力相当的2个女生和4个男生，现从甲?乙两个小组内各任选2个同学．（1）求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；（2）设为选出的4个同学中女生的个数，求的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分） 设数列，满足 证明为等差数列的充要条件是为等比数列． 2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（江苏卷） 数学（理科） 一．填空题 1． 2．-4 3． 4． 5．0．8 6．-2 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二．解答题 15．（1） ； 由， （2）， 所以=（3）由题意知 所以；，故为奇函数． 16．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 空间直角坐标系，则∴， ，，，，，，． （1）∵ ∴∥，即∥， 又平面，平面， ∴∥平面． （2）∵，， ∴，即． 又， ∴． ∵， ∴平面． （3）设平面的一个法向量，则 ∴，即，解得平面的一个法向量． 而平面的一个法向量是，设二面角为，则 ． 即二面角的余弦值为． 17．（1）证：由题意，即， ∴∴ ∵常数且，∴为非零常数， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）解：由（Ⅰ）知，， 当时，． ∴ ① ② ②-①，得 ∴ ． （3）解： 由（Ⅰ）知，，要使对一切成立， 即对一切成立． ①当时，，对一切恒成立； ②当时，，对一切恒成立，只需 ，∵单调递增， ∴当时，． ∴，且， ∴ 综上所述，存在实数满足条件． 18．（1）解：设的长为米（） 由题意可知：∵ 即 ∴ 由得 ∵ ∴，即 解得： 即长的取值范围是 （2）∵ ∴ 当且仅当，即时取“=”号 即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米． 19．（1）设椭圆W的方程为，由题意可知 ，解得 所以椭圆W的方程为 （2）因为左准线方程为，所以点M的坐标为（-3，0） 于是可设直线的方程为，点A，B的坐标分别为 则点C的坐标为，， 由椭圆的第二定义可得 所以三点共线，即． （3）由题意知 当且仅当时“=”成立，所以面积S的最大值为 20．（1）按题意，得． ∴ 即． 又 ∴关于的方程． 在内有二不等实根=?．关于的二次方程 在内有二异根?． ． 故． （2）令， 则． ∴． （3）∵， ∴ ． ∵， ∴当（，4）时，；当（4，）是． 又在[，]上连接， ∴在[，4]上递增，在[4，]上递减． 故． ∵， ∴0<9a0．若M≥1，则． ∴，矛盾．故0<M<1． 数学II（附加题） 21．A．证明：连接 由圆内接四边形的性质定理可得： ， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵，，是的平分线， ∴ ∴ ∴ ∴ B．特征多项式 由，解得． 将代入特征方程组，得 可取为属于特征值的一个特征向量 将代入特征方程组，得 可取为属于特征值的一个特征向量． 综上所属，矩阵有两个特征值 属于的一个特征向量为 属于的一个特征向量为． C．由，得，即 ①，又 ② ②÷①得： ③ 将③代入①得，整理得 因为，所以 所求普通方程为 D．证明：∵， 所以 22．（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男 同学，1个为女同学”为事件， “从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学， 1个为女同学”为事件， 由于事件?互斥，且 ∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为 （2）可能的取值为0，1，2，3， ∴的分布列为 0123P∴的数学期望 23．充分性：若为等比数列，设公比为，则 有为常数 所以为等差数列． 必要性：由得 ∴ 若为等差数列，设公差为 则 ∴， 为常数 ∴为等比数列 20070126。
2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第1部分 集合 苏教版.pdf
2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第1部分 集合 苏教版
（2012年兴化）已知集合,集合，
则集合中所有元素之和为______▲______. 答案：
（苏锡常二模）.设集合，，则 .
答案：（-1,2）
（盐城二模）已知集合, , 若, 则整数=▲ .
答案：0
（南京二模）1.已知集合,若,则实数的取值范围是_______________
答案：(－∞，0]
（天一）2.已知全集，集合，，则集合=▲ .
答案：
（南京三模）1．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是 ▲ ． 答案:1
（常州期末）1、已知集合，若,则实数的值为 。
（南通三模）已知集合，那么=▲ .
解析：考查集合中元素的互异性、集合的并集运算。
答案：。
（苏锡常一模）已知集合，集合，则 .
答案：
（南通一模）设全集Z，集合，则 ▲ （用列举法表示）.
答案：{0，1}。
2012年江苏高考数学信息卷三(南师大数学之友版)word版
2012 高考数学模拟题三一、填空题 1.已知sin(45)(090)10αα︒-=︒<<︒，则cos α=45.提示：依题意得45α︒-(45,45)∈-︒︒，又cos(45)10α︒-==，则4cos cos[45(45)]2102105αα=︒-︒-=⨯+⨯=.2. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=2,122,2)(2x x ax x x f x ，若2((1)3f f a >，则a 的取值范围是（-1,3）.提示：由题知，2(1)213,((1))(3)36f f f f a =+===+，若2((1))3f f a >，则9+263a a >，即2230a a --<，解得13a -<<.3. 如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅= ，则ω=4π.提示：依题意得,PM PN PM PN =⊥，所以P M N ∆是等腰直 角三角形，又斜边M N 上的高为2，因此有M N =4, 即 该函数的最小正周期的一半为4，所以28πω=，4πω=.4. 已知{n a }是等比数列，2512,4a a ==，则12()n n S a a a n N *=+++∈ 的取值范围是 [4,8) .提示： 因为{n a }是等比数列，所以可设11n n a a q -=.因为2512,4a a ==，所以141214a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以1214[1]12881212nn n n S a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==-⨯ ⎪⎝⎭- .因为11022n⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，所以48n S ≤<.5.在A B C ∆中，D 为B C 中点，45,30B A D C A D ∠=︒∠=︒2=AB ,则A D=12.提示：在A B C ∆和ACD ∆中分别使用正弦定理即可.6. 在棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为 6 .提示：点P 在以1AC 为焦点的椭圆上，P 分别在A B 、A D 、1A A 、11C B 、11C D 、1C C上. 或者，若P 在A B 上，设A P x =,有112,2P A P C x x +=+=∴=.故A B 上有一点P （A B 的中点）满足条件.同理在A D 、1A A 、11C B 、11C D 、1C C 上各有一点满足条件. 又若点P 在1B B上上，则12PA PC +=>. 故1B B 上不存在满足条件的点P ，同理1DD 上不存在满足条件的点P . 7. 已知A 、B 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>和双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的公共顶点。
2012南京三模试卷 数学(含参考答案)
南京市2012届高三年级第三次模拟考试数 学 2012.05参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合A ＝{}1,1,3-，B ＝{}2,a a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 ▲ ．答案:12．已知复数z 满足(2)5i z i -=（其中i 为虚数单位），则复数z 的模是 ▲ ． 答案:53．根据如图所示的流程图，若输入x 的值为 -7.5，则输出y 的值为 ▲ . 答案: -14．若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方形玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m 、n ，则方程220x mx n ++=无实根的概率是 ▲ ． 答案:7365．为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位:克）作为样本。
下图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是 ▲ 克. 答案:5076.已知正△ABC 的边长为1，73CP CA CB =+, 则CP AB ⋅= ▲ ． 答案: -27.已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。
其中是平面α∥平面β的充分条件的为= ▲ ．（填上所有符合要求的序号） 答案:①③8.若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩是奇函数，则满足()f x a >的x 的取值范围是 ▲ ．答案:(1)--+∞9.在直角坐标系xOy 中，记不等式组30270260y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ．若指数函数x y a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是 ▲ ．答案:)+∞10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O的距离为，则过F 、O 、P 三点的圆的方程是 ▲ ． 答案:221725()()222x y -+-=11．已知sin()sin 0352ππααα++=--<<，则cos α= ▲ ．解答：3sin coscos sinsin sin )3326πππαααααα++==+= 4sin()65πα+=-，又366πππα-<+<，所以3cos()65πα+=。
2012年江苏省大学生高等数学竞赛模拟试题(2)(打印版)
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（2）1．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x x x f x 在（-∞，+∞）上连续，则a =_____ 2．设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y ______ 3．由曲线xx x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =_________ 4.设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos ____ 5. =-+∞→x x x x 1sin 1312lim 2———6.设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=t y t t x cos 1sin 则此曲线在3π=t 处的法线方程为____________ 7.=+⎰∞+e 2)ln 1(x x dx ——————————8.设对一切实数x 和y ,恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ______9. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰,0,;0,1e 2e )1ln()(2222sin 0x a x dt t x f x x x 在x = 0处连续，则a =_____ 10. ⎰+∞=+022)1(x dx _____11.曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++021444222z y x z y x 在点M (1,1,1)处的切线方程为______________ 12.设函数x x x f -+=11ln )(，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 12的定义域为_________。
13.设要使函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,)(cos )(21x a x x x f x 在区间),(+∞-∞上连续，则=a _________14.设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=-=)1(e )(3t f y t f x π所确定，其中f 可导，且0)0(≠'f ，则==0t dx dy_____15,已知31e 1tan )(1lim 20=--+→x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ——————16.设⎰=⎩⎨⎧≤<-≤≤=x dt t f x F x x x x x f 02)()(21,210,)(，则F (x )=_________ 17.=+++-+-∞→xx x x x x sin 114lim 22 。
东南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
东南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
9．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．曲线在点处切线的方程为（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
12．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．．
A、正确
B、不正确
【答案】B。
2012年高考最新南京数学模拟试卷
18 ． （ 本 小 题 满 分 16 分 ） 设
an 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ， S n 为 其 前 n 项 和 ， 满 足
2 2 2 2 a2 a3 a4 a5 ,S7 7 .(1) 求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn ；试求所有的正整数
A
D E P F D B
C
16.证明： （1）方法一：取线段 PD 的中点 M，连结 FM，AM． 1 因为 F 为 PC 的中点，所以 FM∥CD，且 FM＝2CD． 因为四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点， 1 所以 EA∥CD，且 EA＝2CD．所以 FM∥EA，且 FM＝EA． 所以四边形 AEFM 为平行四边形．所以 EF∥AM 又 AM平面 PAD， EF平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD 方法二：连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N，连结 PN．
(2) ∵a,b,c 成等比数列,
∴b =ac 2 b 2 a 2 c 2 ac P≥ = 2ac 2ac
F M
2 ac ac 1 = 2 ac 2
∴0<B≤
3
∴
5 <2B+ ≤ 6 6 6
∴
1 ≤sin(2B+ )≤1，∴2≤f(B)≤3 2 6
3d (a4 a3 ) d (a4 a3 )
18.（1）设公差为 d ，则 a2
2
2 2 2 ，由性质得，因为 d 0 ， a5 a4 a3
所以 a4
即 2a1 5 d 0 a3 0 ，
， 又由 S7
7 得 7a1
76 解得 a1 5 ， d 7， 2
Q {x | f ( x) 1} ， 若 “ x Q ” 是 “ x P ” 的 必 要 不 充 分 条 件 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围
2012年江苏省高等数学竞赛模拟试题
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛模拟试题（1） 一．填空题 1.=+→xx x ln 10)(tan lim2.极限_______)x (sin )x sin(sin x sin lim30x =-→ 3. 设2lim (1)0→+∞+-+-=x ax x x b , 则=a , =b .4. 设当0→x 时，函数()(1)1=+-xf x x α与0()arcsin d =⎰xg x x t t 是同阶无穷小，则常数=α .5. 设函数)(x y y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定, 则曲线)(x y y =在点)1,0(处的法线方程为______6. 设常数0k >，则方程ln 0e x x k -+=在区间(0,)+∞内的实根的个数为 .7.已知函数()22x11x x ln y +++=，则______________y =' 8.不定积分：______________dx e x x 1x2=-⎰ 9.=+⎰∞+12)1(x dxx _____ 10.⎰-=-+aaxdx x f x f sin )]()([11.已知函数()f x 在点0=x 处连续，且()0arctan lim21→=-f x x xe ，则11lim →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x f f x x . 12. 若级数∑∞=-+-1166)2(n nn n n a n 收敛，则a 的取值为13.函数x cos y 2=，则_______________y)n (=14. 设1()1-=+x f x x，则()()=n f x . 二．选择题1.函数)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为( ) (A)1,0=x (B)1=x (C)0=x (D)无可去间断点2.设x x x f 1sin)(2=，x x g sin )(=,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( ) (A)同阶无穷小但不等价 (B)低阶无穷小 (C)高阶无穷小 (D)等价无穷小 3.．设函数)(x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ）（A ）若)(x f 只有一个零点，则)(x f '必至少有两个零点； （B ）若)(x f '至少有一个零点，则)(x f 必至少有两个零点； （C ）若)(x f 没有零点，则)(x f '至少有一个零点； （D ）若)(x f '没有零点，则)(x f 至多有一个零点。
东南大学数模200920102A卷附答案分析
共10页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）姓名 学号 班级课程名称 数学建模与实验 考试学期 09-10-2得分适用专业 各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； B.1.1 1.230.20000.40⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR <3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=；C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C均正确三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。