正弦定理和余弦定理复习题(含答案)
正弦定理和余弦定理复习题
班级:____________ 姓名:__________________
1.在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知()()sin sin 2sin c C a b B a b A -+=-,则C =( ) A .3π B .3π或23π C .6π D .6π或56
π 2.在ABC ?中,角A ?B ?C 的对边分别是a ?b ?c ,若2A B =,4a =,3b =,则c 的值是( ) A .73c = B .73c =或3c = C .3c = D .以上都不对
3.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积为2224
a b c +-,则C = A .π2
B .π3
C .π4
D .π6 4.在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( ) A .6π B .3π C .23π D .
56π 5.在ABC ?中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2
22b a c ac =++,且sin sin 1A C +=,则ABC ?的形状为( )
A .等边三角形
B .等腰直角三角形
C .最大角为锐角的等腰三角形
D .最大角为钝角的等腰三角形 6.在ABC ?中,若
cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B B +=+,则ABC ?的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 7.在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,90ABC ∠=o ,22AB BC CD ==,则cos DAC ∠=( )
A B C D .10
8
.已知ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足cos cos 2cos ,b A a B c B +=b =则ABC V 外接圆的面积为________.
9.在ABC ?中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .ABC ?的面积()2214
S a c =+,若
2sin sin B A C =,则角B 的值为______.
10.已知ABC ?的面积为1cos 7
C =
,2b a -=,则c =_______.
11.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.
(1)求角C ;(2)若7c =33ABC S ?=ABC ?的周长.
12.如图,在四边形ABCD 中,2AB =,5BC =
,AC AD ⊥,2AC AD =. (1)若3BAC π
∠=,求AC ;
(2)求四边形ABCD 面积的最大值
1.A
解:()()2si in n sin s c C a b B a b A -+=-Q
2222c ab b a ab ∴--=-.即222
a b c ab +-=,则2221cos =22a b c C ab +-=, ()0,C π∈Q 3C π∴=
.故选:C
2.A ∵2A B =,∴sin sin22sin cos A B B B ==,所以2cos a b B =,42cos 2233
a B
b ===?, 2222cos b a
c ac B =+-,2291683
c c =+-?,解得3c =或73c =, 当3c =时,3,4c b a ===,C B =,2180A B +=?,但不可能有2A B =,舍去. ∴73
c =. 故选:A.
3.C 详解:由题可知222124
ABC a b c S absinC +-==V 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=
所以sinC cosC =()C 0,π∈Q C 4π∴=
故选C.
4.B
因为cos cos 2cos ,sin 0a B b A c C C +=≠,所以sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=, sin()2sin cos A B C C +=,sin 2sin cos C C C =,1cos 2
C =, 0C π< . 故选:B. 5.D 因为222 b a c ac =++,所以2221cos 22c a b B ac +-==-,120B =?, 所以sin sin sin sin(60)A C A A +=+?-31sin cos sin sin 123A A A A π??=+-=+= ???. 又03A π<< ,所以6A C π==,则ABC ?的形状为最大角为钝角的等腰三角形. 故选D 6.D 由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B +===+,cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =,即90C =o 或cos cos C b B c =,由正弦定理,得cos cos ,cos cos b B C sinB c C B sinC =∴=,即sin cos sin cos C C B B =,即22sin C sin B =,,B C Q 均为ABC ?的内角,22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=o 或90B C +=o ,ABC ?∴为等腰三角形或 直角三角形,故选D. 7.C 如下图所示,不妨设1BC CD ==,则2AB =,过点D 作DE AB ⊥,垂足为点D , 易知四边形BCDE 是正方形,则1BE CD ==,1AE AB BE ∴=-=, 在Rt ADE ?中,222AD AE DE =+=,同理可得225AC AB BC =+=, 在ACD ?中,由余弦定理得2222310cos 210252 AC AD CD DAC AC AD +-∠===???, 故选C . 8.4π. 解:因为cos cos 2cos ,b A a B c B += 由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==可得:sin cos sin cos 2sin cos ,B A A B C B += 即sin()2sin cos ,A B C B +=即 sin 2sin cos ,C C B =又sin 0C >, 即1cos 2B =,又()0,B π∈,所以3sin B =,设ABC V 外接圆的半径为R , 则24sin 2 b R B === ,即2R =,则ABC V 外接圆的面积为2224R πππ=?=, 故答案为:4π. 9.512 π 因为1sin 2S ac B =,又()2214S a c =+,所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=,由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+ 由2sin sin B A C = 结合正弦定理,得2b = 所以2sin 2cos ac B ac B =+ )sin cos 1B B -=,所以1sin 42B π??-= ?? ?, 因为()0,B π∈,所以得46B ππ- =,或546B ππ-=(舍去),所以512B π∠=. 故答案为: 512π 10.8 解:Q 1cos 7C = ,sin C ∴= 1sin 2 S ab C == 可得35ab =①,2b a -=②由①②解得:7b =,5a = 余弦定理:222 1cos 72a b c C ab +-== 解得:8c = 故答案为:8. 11.(1)3C π =(2 )5 试题解析:(1)由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=?= ?= (2 )11sin 622ABC S ab C ab ab ?=?=?= 又2222cos a b ab C c +-=Q 2213a b ∴+=,2()255a b a b ∴+=?+= ABC ?∴的周长为57+ 12.21;(2)9 104. (1)当3BAC π ∠=时,在ABC ?中,由余弦定理得 2222cos AB AC AB AC BAC BC +-??∠=, 设AC x =(0x >),则221 22252x x +-???=, 即2210x x --=,解得21x =, 所以21AC =; (2)ABC ?的面积为5sin ABC S B ?=, 在ABC ?中,由余弦定理得2945AC B =-, 所以,ACD ?的面积为219 544ACD S AC B ?==, 所以,四边形ABCD 的面积为 9 9 5510444S B B B π?? =-=+- ???, 因为()0,B π∈,所以当34B π =时,四边形ABCD 的面积最大, 最大值为9 104