专题复习1：利用轴对称求最值

专项复习一：距离和最小问题 班级 姓名

基础知识：

直线外一点和直线上各点的所连线中， 最短.简称： 最短。

平面上连接两点的所有线中， 最短. 简称：两点之间， 最短。

知识探索：

一、关于 一 条变化线段最短问题

思路指导：此类问题一般应用垂线段最短来解决

例 1.如图1，一次函数122

y x =-交两坐标轴与A ，B 两点，M 点坐标为（445-,0），N 为直线AB 上的一个动点，当MN 取最小值时MN= ，

此时N 点坐标为 .

练习：

1. 如图2,矩形ABCD 中AB=6，tan ∠ADB=34

,E 为对角线BD 上一个动点，则AE 的最小值为 . 2. 如图3,菱形ABCD 中，AB=10，∠B=45°，M 为BC 上一个动点，则AM 的最小值为 .

3. 如图4,⊙O 直径为10，弦AB 长为8，M 为AB 上一点，则OM 的最小值为 .

4. 如图5,在直角坐标系中，点C 坐标为（-4，-3），⊙C 半径为1，P 为x 轴上一个动点，PQ 切⊙C 于Q ， 则当PQ 最小时，P 点坐标为 .

5. 如图6，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，()0,43C ，延长AC 到点D,使CD=12

AC,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；

（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分

成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到

达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短.（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）

6.已知MN为一条东西走向的公路，在公路的一侧是平坦的草原，大伟驾驶汽车从A处出发到位于点A东北方向（北偏东45°）的B处，B距离公路的距离BC为10km，已知汽车在公路上的行驶速度为40km/h，在草原上的速度为20km/h，大伟规划了两种方案：

方案一：直接沿线段AB行驶从A到B

方案二：现沿公路行驶至C处，再沿CB从C到B

（1）请你计算哪种方案用时较少？

（2）同行的王教授提出，如果沿公路先行驶一段距离，再沿直线方向到

B可以用时较少;

Ⅰ. 汽车先沿公路行驶5km到D，再沿DB到B，求所用时间.

Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.

二、关于两（多）条线段和最小问题

思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.

例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.

练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，¼MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.

P在

2.平移后应用两点间线段最短

例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）

（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值

（2）求AC+CD+DB的最小值.

练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.

3.旋转后应用两点间线段最短

例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角

线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，

连接EN、AM、CM.

⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

时，求正方形的边长.

⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31