考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题：

Min z=60 x1+40 x2 +80 x3

s.t. 3 x1 +2 x2 + x3 2

4x1 +x2 +3x3 4

2x1 +2x2 +2x3 3

x1 , x2 , x3 0 要求：（1）写出其对偶问题；

（2）用对偶单纯形法求解原问题；

（3）用单纯形法求解其对偶问题；

（4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。解：（1）设对应于上述约束条件的对偶变量分别为y1,y2, y3 ；则由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为：

Max Z'=2 y1+4 y2+3 y3

s.t 3y1+4 y2+2 y3 60

2y1+y2+2 y3 40

y1 +3y2 +2 y3 80

y1,y2,y3 0

（2）用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量x4 ,x5 , x6 ）MaxZ= -60 x1 -40x2-80x3 +0x4 +0x5 +0x6

s.t -3x1 -2x2- x3+ x4 =-2 -4x1-x2-3x3+x5=-4

-2 x1-2 x2-2 x3+x6=-3

X i, X2 , X3 0

建立此问题的初始单纯形表，可见:

从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b列数字为负，故需进行迭代运算。

换出变量的确定，计算min (-2,-4, -3)=-4，故x为换出变量。换入变量的确定，计算得15,40, 80/3,故x i为换入变量。

由表可知，X6为换出变量。X2为换入变量。然后继续画单纯形表:

X i, X2 , X3 0

可得X4为换出变量，X3为换入变量。继续做单纯形表:

所以此问题的最优解为X= （11/10,19/30, 1/10）,此对偶问题的最优解为Y二（16,12,30），原问题的最小值为118/3.

（3）MaxZ '2 y1+4 y2 +3 y +0 y +0 * +0 y

S.t 3 y1+4 y2+2 y3+ y4=60

2 y1 + y2 +2 y

3 + y =40

y1 +3y2+2 出 + y6=80

y1, y2, y3, y4, y5, y6 0

然后建立单纯形表，可得

由此可知，y4为换出变量，y2为换入变量。继续画单纯形表，

由此可知，y5为换出变量，y3为换入变量。继续画单纯形表，

由此可得最后一行的检验数都已经为负或是零，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解为

Y（0,20 /3,50/3, 0,0,80/3）

目标函数值为230/3

（4）比较第二问和第三问，主要是换出变量和换入变量的关系：

第（2）问里，X5为换出变量，X i为换入变量；X6为换出变量。X2为换入变量；X4为换出变量，X3为换入变量！

第（3）问里，纸为换出变量，牡为换入变量；y为换出变量, 换入变量！