第十章第一节折射率描述
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Dn ( r ) = 8π ∫
∞
0
sin( kr ) [1 − ]φ n ( k ) k 2 dk kr
知识回顾
折射率起伏的三维谱密度
由结构函数的谱展开式可以得到其逆变换：
Dn ( r ) = 8π ∫
∞ 0
sin( kr ) [1 − ]φ n (k )k 2 dk kr
如何推导？
φ n (k ) =
复 习
Reynolds在解决湍流问题时先对基本方程 求平均，然后再从所得到的矩方程中求解统计 矩。可否先求基本方程的解，然后再对这些解 加以统计平均以求得统计矩？
第十章 波在湍流大气中的传播
湍流大气的物理特性处于随机变化的起伏 状态，当各种波信号在大气中传播时，其物理 特征也是不规则变化的。本章主要研究讨论声 波与电磁波在湍流大气中传播的基本规律。这 些结果对波传播以及大气遥感有重要的应用意 义。
v φn ( k )
折射率的谱
但是由于Bn(r)为标量，只依赖于r，在球坐 标系里处理更为方便，因此得到
P 4810e n1 = 77.6 × 10 ( + ) 2 T T
−6
式中e是水汽分压（百帕）。令起伏量分 布为 e’， T’， n’，与 p’，考虑到它们均为小 值，且压强变化远小于温度和水汽压的变 化。
微波的折射率起伏
由此可以得到 ：
n1 = be′ − aT ′
∂n1 77.6 p 0.7466 −6 a= = × 10 + e 2 3 ∂T T T
v v v 2 Dn ( r ) = [ n1 ( x ) − n1 ( x + r )] = 2 Bn ( 0 ) − 2 Bn ( r )
折射率起伏谱
在一湍流标量场中，脉动量可以假定为由相 应于一连续波数范围内不同波数的脉动组 成．于是，n-脉动的谱分析就是表明这些贡献 是如何在这些波数上分布的．与速度脉动情况 一样，我们可以将谱函数定义为相关函数的 Fourier变换．
r v r v v v DTe (r ) = [e′( x + r ) − e′( x )][T ′( x + r ) − T ′( x )]
微波折射率起伏的结构函数
如果未发生相变过程，n’仍然是个保守量， 对局地均匀各向同性湍流来说，仍有
Dn ( r ) = C r
2 n
2 n 2 2 e 2
2/3
光波波段的折射率主要决定于那些 因素呢？
1.1、折射率起伏的表达式
干净大气在可见光波段的折射率n由下式表 达式：
7.52 × 10 −3 P n − 1 = 77.6 × 10 −6 × (1 + ) 2 T λ
大气折射率只依赖于波长、温度和大气压，与水 汽无关。 P为大气压力（hPa），T为大气温度 （K），λ为光波波长（μm）。
z − 2 / 3 − z / z0 C ( z ) = C ( z 0 )( ) e z0
2 n 2 n
式中z0为贴地层高度，一般取2.5米。
Cn
Cn2高度廓线：
2高度廓线
Cn
Cn2的日变化：
2的日变化
总结
在光波波段，折射率决定于波长、大气温度 和气压。 根据湍流大气的特点，折射率的起伏主要决 定于温度的起伏。 结构常数大小反映了湍流的强弱。 折射率起伏谱的特征（一维谱和三维谱）。 微波折射率与大气的湿度有很大的关系。
v v v v Bn (r ) = n1 ( x )n1 ( x + r )
v v v v 2 Dn (r ) = [n1 ( x ) − n1 ( x + r )]
折射率结构函数和温度结构常数
由折射率与温度之间的关系可以折射率结构 函数的特性。
v v v 2 2 ′( x ) − T ′( x + r )] = CT r 2 / 3 DT (r ) = [T
2 0
∞
折射率谱的von Karman 形式
前面的关系式只在惯性子区尺度范围内成立 即湍流被数必须满足2π/L0<<κ<< 2π/l0 。当 波数κ≥2π/l0时，湍流能量的粘性耗散作用显 著，湍流能谱随波数的衰减要超过κ–11/3。而当 κ≤2π/L0 时，大尺度湍流起作用，湍流结构 已不具备均匀各向同性。为此，von Karman 将(10．1．11)推广为下列经验公式：
C = b C + a C − 2abC
2 T
2 Te
式中的系数a2，b2，2ab依赖于天气状态。
折射率起伏的结构函数
折射率结构常数反映了折射率起伏场和温度 起伏场湍流的强弱。 下面将给出实际大气折射率起伏结构常数的 分布。
3、实验结果
根据许多结果的平均，一般常采用以下形式 的Cn2廓线，它代表贴地层高度以上的大气折射 率结构常数，
φ n (k ) = 0.033C (k +
2 n 2
1 L0
2
)
−11 / 6
−
k2
2 km
e
k m = 5.92 / l0
光波的折射率起伏
我们已经了解了可见光波段的折射率起伏的 表达式、折射率起伏的相关矩和结构函数、折 射率起伏谱的形式。 对于微波波段的情况又是如何呢？
2、微波的折射率起伏
对于波长超过1厘米的电磁波；大气折射率 显著地依赖于大气水汽，而与波长的关系不密 切，其表达式是：
随机连续介质中 电磁波传输问题的研究
1950年以前，一般的概率论的方法。 1950 年 以 后 ， Tartarskii 系 统 地 把 Kolmogorov 湍 流 理 论 引 入 了 这 些 问 题 的 研 究，这主要是指折射率湍流的微结构和结构函 数的“2/3定律”等。 Tartarskii在解决波动在湍流介质中传播问 题时采用了先求基本方程的解，然后再对这些 解加以统计平均以求得统计矩的方法。
折射率相关矩结构函数起伏谱
由速度相关矩的谱展开式（6.5.20）
v 2 sin( kl ) Bij (l ) = 4π ∫ Fij (k )k dk 0 kl 类 推
∞
4π ∞ Bn ( r ) = ∫0 sin(kr )φ n (k )kdk r Dn ( r ) = 2 Bn ( 0 ) − 2 Bn ( r )
折射率起伏的一维谱密度
根据一维谱密度和三维谱密度之间的关系， 可以得到折射率起伏一维谱密度函数的表达式.
2 ∞ 4πk φ ( k ) E n (k ) n E n1 (k1 ) = ∫ dk = ∫ dk k1 k1 k k ∞
2 E n1 ( k ) = 0.25C n k −5 / 3
( ∫ En1 ( k )dk = n1 )
p′ T′ << p T
n1 = −77.6 × 10 × (1 +
−6
7.52 × 10 −3
λ2
p ) 2 T′ T
折射率起伏
由上式可以看到，折射率起伏与温度起伏之 间有着很明确的关系。我们已经了解过温度起 伏场的特征，那么折射率起伏场的特征是什么 呢？
1.2、折射率结构函数和相关矩
定义折射率的结构函数和相关矩为
折射率结构常数与温度结构常数
折射率结构常数与温度结构常数反映了折射 率起伏场和温度起伏场湍流的强弱。 而反映湍流场涡旋结构的起伏谱的情况又是 怎么样的呢？
1.3、折射率起伏谱
由于折射率和温度均为标量，所以它们的相 关矩和结构函数也是标量，因此在进行谱展开 是相对矢量场来说就变得很简单。 对于均匀各向同性湍流，折射率结构函数 Dn(r)和相关矩Bn(r)的关系式是
∂n1 0.3733 b= = ∂e T2
微波折射Biblioteka Baidu起伏的结构函数
由结构函数的定义可以得到微波折射率的结 构函数为
Dn ( r ) = b 2 De ( r ) + a 2 DT ( r ) − 2abDTe ( r )
式中 De(r), DT(r), DTe(r),分布为 水汽、温度和温湿结构函数。
2 2
作业
推导Dn(r)的谱展开式及其逆变换式：
Dn (r ) = 8π ∫
∞ 0
sin( kr ) [1 − ]φ n (k )k 2 dk kr
φ n (k ) =
1 8π 2 k 2
∫
∞
0
sin(kr ) d 2 dDn (r ) [r ]dr kr dr dr
折射率的谱
为 让我们首先考虑一维谱函数 En1(k1) ，定义
总结
掌握以下一些公式：
−6
p ) 2 T′ n1 = −77.6 × 10 × (1 + 2 λ T 2 2 DT ( r ) = CT r 2 / 3 Dn ( r ) = Cn r 2 / 3
77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 2 Cn = [ (1 + ) p ] 2 CT = 7.87 × 10 -13 CT (m − 2 / 3 ) T2 λ2
T = T +T′
P = P + P′
n = n + n1
7.52 × 10 −3 p n = 77.6 × 10 −6 × (1 + ) 2 T λ
折射率起伏的表达式
由此可以得到折射率脉动量的表达式：
7.52 × 10 −3 p p ′ T ′ n1 = 77.6 × 10 −6 × (1 + ) ( − ) 2 T p T λ
1 ∞ Bn (r1 ) = ∫ E n1 (k1 )e ik1r1 dk1 2 −∞
∫
∞
0
En1 ( k1 )dk1 = Bn ( 0 ) = n1
π∫
1
∞ −∞
2
E n1 (k1 ) =
Bn (r1 )e
− ik1r1
dr1
推广到 三维
v 1 φ n (k ) = 3 8π
∫∫∫
∞
−∞
v −ik j r j B n ( r )e dr
§10．1 大气折射率起伏
大气折射率是影响波传播的重要物理量 ， 湍流对波传播的影响通过折射率起伏体现的。 本节内容： 1、光波的折射率起伏 1.1、折射率起伏的表达式 1.2、折射率结构函数和相关矩 1.3、折射率起伏谱 2、微波的折射率起伏 3、实验结果 总结和作业
1.1、折射率起伏的表达式
折射率结构常数
由此得到折射率结构常数与温度结构常数之 间的关系：
77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 Cn = [ (1 + ) p ] 2 CT T2 λ2
若取p=1000hPa，T=300K，λ=0.633μm，则
77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 2 Cn = [ (1 + ) p ] 2 CT = 7.87 × 10 -13 CT (m − 2 / 3 ) T2 λ2
1 8π 2 k 2
∫
∞
0
sin(kr ) d 2 dDn (r ) [r ]dr dr kr dr
Dn ( r ) = C r
2 2/ 3 n
如何推导
∞ 5 2 −3 2 Cn k ∫ r −1 / 3 sin( kr )dr = 0.033Cn k −11 / 3 φn ( k ) = 0 18π 2
CT2为温度结构常数，Cn2为温度结构常数。
v v v v 2 Dn ( r ) = [ n1 ( x ) − n1 ( x + r )] 77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 v v v =[ (1+ ) p ] 2 [ T ′( x ) − T ′( x + r )] 2 T2 λ2 77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 =[ (1 + ) p ] 2 CT r 2 / 3 = C n r 2 / 3 T2 λ2
随机连续介质中 电磁波传输问题的研究
Tatarskii 在 求 解 Maxwell 方 程 时 ， 使 用 了 Rytov的平缓扰动法。 该方法只能适合于一次散射弱起伏情况。 对于多次散射强起伏引起的闪烁饱和问题， 至今仍没有很好得解决。 但无论如何，Tatarskii在激光武器、激光雷 达、激光大气通讯等领域获得了成功地应用。
7.52 × 10 −3
φn ( k ) = 0.033C k
2 n
−11 / 3
2 E n1 ( k ) = 0.25C n k −5 / 3
− k2
2 km
φ n (k ) = 0.033C (k +
2 n 2
1 L0
2
)
−11 / 6
e
Dn ( r ) = b De ( r ) + a DT ( r ) − 2abDTe ( r )
本章主要内容
引 言 §10．1 §10．2 §10．3 §10．4 §10．5 §10．6 大气折射率起伏 波传播方程 电磁波散射 声波散射 弱湍流大气中的电磁波视线传播 强湍流大气中的电磁波视线传播
引 言
波的传播：波源和介质。 介质的分类：
确定性介质
随机散射元 随机性介质 随机连续介质 √ 粗糙表面
∞
0
sin( kr ) [1 − ]φ n ( k ) k 2 dk kr
知识回顾
折射率起伏的三维谱密度
由结构函数的谱展开式可以得到其逆变换：
Dn ( r ) = 8π ∫
∞ 0
sin( kr ) [1 − ]φ n (k )k 2 dk kr
如何推导？
φ n (k ) =
复 习
Reynolds在解决湍流问题时先对基本方程 求平均，然后再从所得到的矩方程中求解统计 矩。可否先求基本方程的解，然后再对这些解 加以统计平均以求得统计矩？
第十章 波在湍流大气中的传播
湍流大气的物理特性处于随机变化的起伏 状态，当各种波信号在大气中传播时，其物理 特征也是不规则变化的。本章主要研究讨论声 波与电磁波在湍流大气中传播的基本规律。这 些结果对波传播以及大气遥感有重要的应用意 义。
v φn ( k )
折射率的谱
但是由于Bn(r)为标量，只依赖于r，在球坐 标系里处理更为方便，因此得到
P 4810e n1 = 77.6 × 10 ( + ) 2 T T
−6
式中e是水汽分压（百帕）。令起伏量分 布为 e’， T’， n’，与 p’，考虑到它们均为小 值，且压强变化远小于温度和水汽压的变 化。
微波的折射率起伏
由此可以得到 ：
n1 = be′ − aT ′
∂n1 77.6 p 0.7466 −6 a= = × 10 + e 2 3 ∂T T T
v v v 2 Dn ( r ) = [ n1 ( x ) − n1 ( x + r )] = 2 Bn ( 0 ) − 2 Bn ( r )
折射率起伏谱
在一湍流标量场中，脉动量可以假定为由相 应于一连续波数范围内不同波数的脉动组 成．于是，n-脉动的谱分析就是表明这些贡献 是如何在这些波数上分布的．与速度脉动情况 一样，我们可以将谱函数定义为相关函数的 Fourier变换．
r v r v v v DTe (r ) = [e′( x + r ) − e′( x )][T ′( x + r ) − T ′( x )]
微波折射率起伏的结构函数
如果未发生相变过程，n’仍然是个保守量， 对局地均匀各向同性湍流来说，仍有
Dn ( r ) = C r
2 n
2 n 2 2 e 2
2/3
光波波段的折射率主要决定于那些 因素呢？
1.1、折射率起伏的表达式
干净大气在可见光波段的折射率n由下式表 达式：
7.52 × 10 −3 P n − 1 = 77.6 × 10 −6 × (1 + ) 2 T λ
大气折射率只依赖于波长、温度和大气压，与水 汽无关。 P为大气压力（hPa），T为大气温度 （K），λ为光波波长（μm）。
z − 2 / 3 − z / z0 C ( z ) = C ( z 0 )( ) e z0
2 n 2 n
式中z0为贴地层高度，一般取2.5米。
Cn
Cn2高度廓线：
2高度廓线
Cn
Cn2的日变化：
2的日变化
总结
在光波波段，折射率决定于波长、大气温度 和气压。 根据湍流大气的特点，折射率的起伏主要决 定于温度的起伏。 结构常数大小反映了湍流的强弱。 折射率起伏谱的特征（一维谱和三维谱）。 微波折射率与大气的湿度有很大的关系。
v v v v Bn (r ) = n1 ( x )n1 ( x + r )
v v v v 2 Dn (r ) = [n1 ( x ) − n1 ( x + r )]
折射率结构函数和温度结构常数
由折射率与温度之间的关系可以折射率结构 函数的特性。
v v v 2 2 ′( x ) − T ′( x + r )] = CT r 2 / 3 DT (r ) = [T
2 0
∞
折射率谱的von Karman 形式
前面的关系式只在惯性子区尺度范围内成立 即湍流被数必须满足2π/L0<<κ<< 2π/l0 。当 波数κ≥2π/l0时，湍流能量的粘性耗散作用显 著，湍流能谱随波数的衰减要超过κ–11/3。而当 κ≤2π/L0 时，大尺度湍流起作用，湍流结构 已不具备均匀各向同性。为此，von Karman 将(10．1．11)推广为下列经验公式：
C = b C + a C − 2abC
2 T
2 Te
式中的系数a2，b2，2ab依赖于天气状态。
折射率起伏的结构函数
折射率结构常数反映了折射率起伏场和温度 起伏场湍流的强弱。 下面将给出实际大气折射率起伏结构常数的 分布。
3、实验结果
根据许多结果的平均，一般常采用以下形式 的Cn2廓线，它代表贴地层高度以上的大气折射 率结构常数，
φ n (k ) = 0.033C (k +
2 n 2
1 L0
2
)
−11 / 6
−
k2
2 km
e
k m = 5.92 / l0
光波的折射率起伏
我们已经了解了可见光波段的折射率起伏的 表达式、折射率起伏的相关矩和结构函数、折 射率起伏谱的形式。 对于微波波段的情况又是如何呢？
2、微波的折射率起伏
对于波长超过1厘米的电磁波；大气折射率 显著地依赖于大气水汽，而与波长的关系不密 切，其表达式是：
随机连续介质中 电磁波传输问题的研究
1950年以前，一般的概率论的方法。 1950 年 以 后 ， Tartarskii 系 统 地 把 Kolmogorov 湍 流 理 论 引 入 了 这 些 问 题 的 研 究，这主要是指折射率湍流的微结构和结构函 数的“2/3定律”等。 Tartarskii在解决波动在湍流介质中传播问 题时采用了先求基本方程的解，然后再对这些 解加以统计平均以求得统计矩的方法。
折射率相关矩结构函数起伏谱
由速度相关矩的谱展开式（6.5.20）
v 2 sin( kl ) Bij (l ) = 4π ∫ Fij (k )k dk 0 kl 类 推
∞
4π ∞ Bn ( r ) = ∫0 sin(kr )φ n (k )kdk r Dn ( r ) = 2 Bn ( 0 ) − 2 Bn ( r )
折射率起伏的一维谱密度
根据一维谱密度和三维谱密度之间的关系， 可以得到折射率起伏一维谱密度函数的表达式.
2 ∞ 4πk φ ( k ) E n (k ) n E n1 (k1 ) = ∫ dk = ∫ dk k1 k1 k k ∞
2 E n1 ( k ) = 0.25C n k −5 / 3
( ∫ En1 ( k )dk = n1 )
p′ T′ << p T
n1 = −77.6 × 10 × (1 +
−6
7.52 × 10 −3
λ2
p ) 2 T′ T
折射率起伏
由上式可以看到，折射率起伏与温度起伏之 间有着很明确的关系。我们已经了解过温度起 伏场的特征，那么折射率起伏场的特征是什么 呢？
1.2、折射率结构函数和相关矩
定义折射率的结构函数和相关矩为
折射率结构常数与温度结构常数
折射率结构常数与温度结构常数反映了折射 率起伏场和温度起伏场湍流的强弱。 而反映湍流场涡旋结构的起伏谱的情况又是 怎么样的呢？
1.3、折射率起伏谱
由于折射率和温度均为标量，所以它们的相 关矩和结构函数也是标量，因此在进行谱展开 是相对矢量场来说就变得很简单。 对于均匀各向同性湍流，折射率结构函数 Dn(r)和相关矩Bn(r)的关系式是
∂n1 0.3733 b= = ∂e T2
微波折射Biblioteka Baidu起伏的结构函数
由结构函数的定义可以得到微波折射率的结 构函数为
Dn ( r ) = b 2 De ( r ) + a 2 DT ( r ) − 2abDTe ( r )
式中 De(r), DT(r), DTe(r),分布为 水汽、温度和温湿结构函数。
2 2
作业
推导Dn(r)的谱展开式及其逆变换式：
Dn (r ) = 8π ∫
∞ 0
sin( kr ) [1 − ]φ n (k )k 2 dk kr
φ n (k ) =
1 8π 2 k 2
∫
∞
0
sin(kr ) d 2 dDn (r ) [r ]dr kr dr dr
折射率的谱
为 让我们首先考虑一维谱函数 En1(k1) ，定义
总结
掌握以下一些公式：
−6
p ) 2 T′ n1 = −77.6 × 10 × (1 + 2 λ T 2 2 DT ( r ) = CT r 2 / 3 Dn ( r ) = Cn r 2 / 3
77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 2 Cn = [ (1 + ) p ] 2 CT = 7.87 × 10 -13 CT (m − 2 / 3 ) T2 λ2
T = T +T′
P = P + P′
n = n + n1
7.52 × 10 −3 p n = 77.6 × 10 −6 × (1 + ) 2 T λ
折射率起伏的表达式
由此可以得到折射率脉动量的表达式：
7.52 × 10 −3 p p ′ T ′ n1 = 77.6 × 10 −6 × (1 + ) ( − ) 2 T p T λ
1 ∞ Bn (r1 ) = ∫ E n1 (k1 )e ik1r1 dk1 2 −∞
∫
∞
0
En1 ( k1 )dk1 = Bn ( 0 ) = n1
π∫
1
∞ −∞
2
E n1 (k1 ) =
Bn (r1 )e
− ik1r1
dr1
推广到 三维
v 1 φ n (k ) = 3 8π
∫∫∫
∞
−∞
v −ik j r j B n ( r )e dr
§10．1 大气折射率起伏
大气折射率是影响波传播的重要物理量 ， 湍流对波传播的影响通过折射率起伏体现的。 本节内容： 1、光波的折射率起伏 1.1、折射率起伏的表达式 1.2、折射率结构函数和相关矩 1.3、折射率起伏谱 2、微波的折射率起伏 3、实验结果 总结和作业
1.1、折射率起伏的表达式
折射率结构常数
由此得到折射率结构常数与温度结构常数之 间的关系：
77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 Cn = [ (1 + ) p ] 2 CT T2 λ2
若取p=1000hPa，T=300K，λ=0.633μm，则
77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 2 Cn = [ (1 + ) p ] 2 CT = 7.87 × 10 -13 CT (m − 2 / 3 ) T2 λ2
1 8π 2 k 2
∫
∞
0
sin(kr ) d 2 dDn (r ) [r ]dr dr kr dr
Dn ( r ) = C r
2 2/ 3 n
如何推导
∞ 5 2 −3 2 Cn k ∫ r −1 / 3 sin( kr )dr = 0.033Cn k −11 / 3 φn ( k ) = 0 18π 2
CT2为温度结构常数，Cn2为温度结构常数。
v v v v 2 Dn ( r ) = [ n1 ( x ) − n1 ( x + r )] 77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 v v v =[ (1+ ) p ] 2 [ T ′( x ) − T ′( x + r )] 2 T2 λ2 77.6 × 10 −6 7.52 × 10 −3 2 2 =[ (1 + ) p ] 2 CT r 2 / 3 = C n r 2 / 3 T2 λ2
随机连续介质中 电磁波传输问题的研究
Tatarskii 在 求 解 Maxwell 方 程 时 ， 使 用 了 Rytov的平缓扰动法。 该方法只能适合于一次散射弱起伏情况。 对于多次散射强起伏引起的闪烁饱和问题， 至今仍没有很好得解决。 但无论如何，Tatarskii在激光武器、激光雷 达、激光大气通讯等领域获得了成功地应用。
7.52 × 10 −3
φn ( k ) = 0.033C k
2 n
−11 / 3
2 E n1 ( k ) = 0.25C n k −5 / 3
− k2
2 km
φ n (k ) = 0.033C (k +
2 n 2
1 L0
2
)
−11 / 6
e
Dn ( r ) = b De ( r ) + a DT ( r ) − 2abDTe ( r )
本章主要内容
引 言 §10．1 §10．2 §10．3 §10．4 §10．5 §10．6 大气折射率起伏 波传播方程 电磁波散射 声波散射 弱湍流大气中的电磁波视线传播 强湍流大气中的电磁波视线传播
引 言
波的传播：波源和介质。 介质的分类：
确定性介质
随机散射元 随机性介质 随机连续介质 √ 粗糙表面