足球中的方程问题

足球中的方程问题

福建周奕生

足球是同学们所喜爱的，与足球有关的问题不知能否解决？

足球一般都是由黑白相间的小皮块组成的，黑皮呈五边形，白皮呈六边形（如图）．黑皮与白皮的块数之间存在着一个相等关系，你发现了吗？

问题1 有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑

皮可看作正五边形，白皮可看作正六边．设白皮有ｘ块，则黑皮有

（32-ｘ）块，每块白皮有六条边，共有6ｘ条边，因每块白皮有三

条边和黑皮连在一起，故黑皮共有3ｘ条边．要求出白皮、黑皮的

块数，列出的方程正确的是（）。

（Ａ）3ｘ=32-ｘ；（Ｂ）3ｘ=5（32-ｘ）；（Ｃ）5ｘ=3（32-ｘ）；

（Ｄ）6ｘ=32-ｘ．

问题2 中国足球队首次进入世界杯决赛圈，实现了近五十年的愿望．足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑皮呈五边形，白皮呈六边形，已知黑皮有12块，则白皮有（）

（Ａ）32块；（Ｂ）20块；（Ｃ）12块；（Ｄ）10块．

问题3由黑白相间的小皮块缝合而成的足球，如果黑皮呈五边形，白皮呈六边形，那么这样的足球是否有白皮比黑皮多９块的可能？如果有，求出白皮和黑皮的块数；如果没有，请说明理由．

分析：解决这三个问题的关键在于弄清白皮和黑皮的块数之间的关系．即假设足球上白皮和黑皮的块数分别为ｍ、ｎ，那么ｍ、ｎ之间究竟有什么关系呢？

经过观察足球上白皮和黑皮的边的关系，正如问题1所说的，每块白皮有6条边，每块黑皮有5条边，这些边有一部分是公共的，它们构成了和谐的关系，这个关系就是白皮的三条边和黑皮连在一起，由于“近墨者黑”，这些本是白皮的边变成了黑边，因此，每块白皮有3条黑边，共有3ｍ条黑边，这些黑边也就是所有黑皮的边，而每块黑皮有5条黑边，共有5ｎ条黑边．从白皮的黑边来看，足球上共有黑边3ｍ条，从黑皮上来看共有5ｎ条黑边，因此，ｍ，ｎ满足关系：3ｍ=5ｎ．

有了这个关系，上述问题便迎刃而解了．请大家试着自己求解出答案.答案分别是：（B）、（B）、不存在。

请你再想一想：由六边形的白皮和五边形的黑皮相间缝制的足球，至少需要几块白皮和黑皮？

二、比赛胜负问题

人们关注足球主要是关注比赛的输赢，而输赢是以得分计算的，根据得分情况制定比赛策略也是关系到胜负的一个关键，其中用方程分析比赛是常见的一种问题。

例如：足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：（1）前8场比赛中，这支球队共胜了几场？

（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？

（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场才能达到预期目标？

分析：（1）8场比赛得17分，这17分来自胜的得分和平的得分。设胜了x场，则平了（8-1-x）场，即（7-x）场。根据得分规则，得3x+（7-x）=17。解得x=5。

因此，前8场比赛中共胜了5场。

（2）打满14场得分最高的方案是接下来的6场比赛都胜，可得18分，因此，这支球队打满14场最高可得35分。

（3）要想达到29分的目标，在后6场比赛中至少应再得12分，而得12分的方案可以是：胜4场，输2场；或胜3场，平3场，可见，至少要胜3场，其余3场要打平。