解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮

对一道竞赛试题的思考

杨广亮

(高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001）

题目 设ABC ∆为锐角三角形，M ，N ，P 分别是ABC ∆的重心G 向边AB ，BC ，

CA 所作垂线的垂足. 证明：

4

1274≤<∆∆ABC MNP S S （第16届巴尔干地区数学奥林匹克）]1[ 我们知道，“重心”、“内心”“垂心”是三角形的三个比较特殊的点，在各类竞赛试题中对三心的考查也是屡见不鲜的，这里，笔者通过类比发现，将试题中的“重心”改为“内心”、“垂心”后，仍有类似的面积问题值得我们探究.同时我将给出在同一锐角三角形中，由三心向各边做垂线所形成的垂足三角形面积大小关系.

命题1 设ABC ∆为任意三角形，M ，N ，P 分别是ABC ∆的内心G 向边AB ，BC ，

CA 所作垂线的垂足. 证明：

4

1

≤∆∆ABC MNP S S 引理

]

2[ 若()x f y =是区间()b a ，上的上凸函数，1x ，2x ，…, ()b a x n ，∈,则

()()()⎪⎭

⎫

⎝⎛++≤++n x x x f n x f x f x f n n 2121

当且仅当n x x x ==21时上式等号成立.

证明：如图1，设BC ，CA ，AB 长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则r GP GN GM ===，记()c b a p ++=2

1

， ABC ∆的面积为S . 即有

()()()c p b p a p p r p S ---=⋅=…①，

而

A MGP ∠-=∠π，

B MGN ∠-=∠π，

C NGP ∠-=∠π，

…②

将①带入②有

图1

()C B A r C r r B r r A r r S S S S NGP MGN MGP MNP sin sin sin 2

1sin 2

1

sin 21sin 212

++⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆()()()a

A

p

c p b p a p S

S MNP

sin ⋅---=∆()()a A r c b a C B A r c b a r C B A r S

S MNP

sin sin sin sin 2

1sin sin sin 212

⋅

=++++⋅=++⋅⋅++⋅⋅=∆

由三角形和差化积公式和倍角公式化简得

又在ABC ∆中， 有

2A ，2B ，2C ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈20π， 从而 3

3

2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

++≤⋅⋅C B A C B A ， 当且仅当C B A ==时上式等号成立. 已知

2A ，2B ，2C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，，而()x x f sin =在⎪⎭

⎫

⎝⎛20π，上为上凸函数， 由引理知

2

13222sin 32sin 2sin 2sin

=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++≤++C B A C B A ， 此处也是当且仅当C B A ==时上式等号成立.

从而

上式两处等号同时成立的条件是当且仅当C B A ==时，即ABC ∆为等边三角形时.

命题2 设ABC ∆为锐角三角形，G 为ABC ∆的垂心，M ，N ，P 分别为AB ，BC ，

CA 边的垂足. 证明：

4

1

≤∆∆ABC MNP S S

证明:如图2，MNP ∆为ABC ∆垂足三角形，可证得

C B A S S ABC

MNP

cos cos cos 2=∆∆]

3[

后面求范围过程类似于命题2，可证明8

1

cos cos cos ≤C B A ，读者可试着证明.

()()()C B A A C B B C A C B A sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 21++-+-+-+=2

sin

2sin 2sin 2C

B A S S MNP ⋅⋅=∆4132sin 2sin 2sin 22sin 2sin 2sin 23

≤⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++⋅≤⋅⋅=∆C

B A

C B A S S MNP 图2

面积关系

在锐角三角形ABC ∆中，我们把由垂心，内心，重心向三边作垂线形成

的垂足三角形依次记为1S ，2S ，3S .则321S S S ≤≤

证明：已知]

4[21S S ≤ 下面仅证32S S ≤

在ABC ∆中 易证

2

sin 2sin 2sin

41cos cos cos C B A C B A ⋅⋅+=++ 由[1]知 ()

ABC S C

B A S ⋅++=

9

sin sin sin

222

3

， 又有 ABC S C B A S ⋅⋅⋅=2sin 2sin 2sin 22

从而只需证

()C

B A C

B A S

C B A S C B A S S ABC

ABC 22222232sin sin sin 2sin

2sin 2sin 189

sin sin sin 2sin 2sin 2sin

2++⋅⋅=⋅++⋅⋅⋅=

()

1cos cos cos 341cos cos cos 18222≤++-⎪

⎭⎫ ⎝

⎛-++=C

B A

C B A 也即证

()()

15cos cos cos 2cos cos cos 9222≤+++++C B A C B A

此即转化为在条件π=++C B A ，且A ，B ，C ⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈20π，下，求函数

()()()

C B A C B A C B A F 222c o s c o s c o s 2c o s c o s c o s 9+++++=，，的最大值问题.

设

()()()

()

πλλ-++++++++=C B A C B A C B A C B A L 222cos cos cos 2cos cos cos 9，，，得方程组

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧=-++=∂∂=+--=∂∂=+--=∂∂=+--=∂∂.002sin 2sin 902sin 2sin 902sin 2sin 9πλ

λλλC B A L C C C L B B B

L A A A L

，，， 易知

C C B B A A 2sin 2sin 92sin 2sin 92sin 2sin 9+=+=+ …※

令()x x x g 2sin 2sin 9+=，