数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案
数值分析Ch3函数逼近与曲线拟合
正交，这就需要引进范数与赋范线性空间，内积
3．1 函数逼近的基本概念
• 定义 设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元 素 x1 , x2 , , xn S ，若存在不全为零的数 1 , 2 , , n P ，使得 1 x1 2 x2 n xn 0 则称 x1 , x2 , , xn 线性相关，否则，若仅对
数 值 分 析
Computational Method
Chapter 3 函数逼近
第三章 函数逼近与曲线拟合 设函数 y f x 的离散数据（有误差）为
x y
，
x0 y0
x1 y1
x2 y2
xn yn
希望找到简单函数 Px 整体上有 是某度量， 0 是指定精度。
f x Px
1 x1
2 x2 x 2 , 1 1 1 , 1 x , x , 3 2 2 3 x3 3 1 1 2 , 2 1 , 1
xn , 1 xn , 2 xn , n1 1 2 n1 n xn 1 , 1 2 , 2 n1 , n1 k 1 xk , i i ( k 1,2,, n) 简写为: k x xk i 1 i , i
，
x
2
。
（连续） f x Ca, b
b
常见范数：
f x 1 f x dx • 1范数： a ，
• 2-范数：
f x 2
2 f x dx a b
1 2
f x max f x • 范数： ， a ,b
数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案
第三章 函数逼近与曲线拟合1． ()sin 2f x x π=，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。
解：()sin ,2f x π=[0,1]x ∈伯恩斯坦多项式为0(,)()()nn k k kB f x f P x n==∑其中()(1)k n k k n P x x x k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭当1n =时，01()(1)0P x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x xB f x f P x f P x x x xππ=∴=+⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭=当3n =时，302212223331()(1)01()(1)3(1)03()(1)3(1)13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭3302232233223(,)()()03(1)sin 3(1)sin sin 6323(1)(1)225632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x x πππ=∴==+-+-+=-+-+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x =证明：若()f x x =，则(,)()()nn k k k B f x f P x n ==∑ 00111(1)(1)11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1)11(1)1[(1)]n k n kk n k n kk n k n kk n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x nk n n k x x k n x x k n x x x k x x x x-=-=-=-=----=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭--+=-----+=---⎛⎫=- ⎪-⎝⎭-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭=+-=∑∑∑∑∑3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明：若20120,n n a a x a x a x x R ++++=∀∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n =，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得0101010211111n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭++ 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，∴只有零解a=0。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析 第3章 函数逼近与曲线拟合)
在[a, b]上一致成立 。
定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵
(u1, u1) (u2 , u1)
G
(u1, u2
(u1, un
) )
(u2 , u2 )
(u2 , un )
(un , u1)
(un , u2 )
(un
, un
)
称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un线性无关 。
n1(x) (x an )n (x) n n1(x)
(n 0,1,...)
其中 0 (x) 1, －1(x) 0, n (xn (x),n (x)) /(n (x),n (x)), n (n (x),n (x)) /(n1(x),(n1(x))
(n 1,2,.....)
并且(
中找一个元素 * (x) 使 f (x) *(x) 在某种意义下
最小.
3、 范数的定义
设S为线性空间,x∈S,若存在唯一实数 || || 满足条件：
(1)‖x‖≥0;当且仅当x＝0时,‖x‖＝0; (正定性)
(2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R; (齐次性)
(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式)
类较简单的便于计算的函数类B中，求函数 P(x) B , 使P(x)与f(x)
之差在某种度量意义下最小” . 函数类A通常是区间[a，b]上的连续 函数，记作C[a，b]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或 三角多项式．
2、函数空间 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予
集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
1 2n n!
dn dxn
{(
数值分析第三章答案
数值分析第三章答案【篇一：常州大学数值分析作业第三章】答：matlab 程序function [a,y]=lagrange(x,y,x0) %检验输入参数if nargin 2 || nargin 3error(incorrect number of inputs); endif length(x)~=length(y)error(the length of x must be equal to it of y); endm=length(x);n=m-1;l=zeros(m,m); %计算基本插值多项式的系数for i=1:n+1 c=1;for j=1:n+1if i~=jif abs(x(i)-x(j))eps abs(x(i)-x(j))epserror(there are two two same nodes);endc=conv(c,poly(x(j)))/(x(i)-x(j));end endl(i,:)=c; end%计算lagrange插值多项式的系数 a=y*l;%计算f(x0)的近似值 if nargin==3y=polyval(a,x0);工程（专）学号：14102932enda=fliplr(a); return[a,y] = lagrange(x,y,x0); p1 = vpa(poly2sym(a),3) y[a,y] = lagrange(x,y,x0); p2=vpa(poly2sym(a),3) yp2 = x2 - 0.109x - 0.336 y =0.5174[a,y]=lagrange(x,y,x0); p4=vpa(poly2sym(a),3) yp4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 y =0.5001次多项式在2.8处的值。
答：matlab 程序 function[t,y0]=aitken(x,y,x0,t0) if nargin==3 t0=[]; endn0=size(t0,1);m=max(size(x)); n=n0+m;t=zeros(n,n+1);t(1:n0,1:n0+1)=t0; t(n0+1:n,1)=x; t(n0+1:n,2)=y; if n0==0 i0=2; elsei0=n0+1; endfor i=i0:nfor j=3:i+1t(i,j)=fun(t(j-2,1),t(i,1),t(j-2,j-1),t(i,j-1),x0); end endy0=t(n,n+1); returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x) y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1); return%选取0、1、3、4四个节点，求三次插值多项式 x=[0,1,3,4];y=[0.5,1.25,3.5,2.75]; x0=2.8;[t,y0]=aitken(x,y,x0) t =0 0.5000 00 0 1.01.25002.6000 0 0 3.03.50003.29993.23000 4.02.75002.07502.28503.4190 y0 =3.41900000000000016、选取适当的函数y=f(x)和插值节点，编写matlab程序,分别利用lagrange插值方法,newton插值方法确定的插值多项式，并将函数y=f(x)的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中，观测节点变化对插值余项的影响。
数值逼近蒋尔雄3样条插值和曲线拟合答案
第三章 样条插值和曲线拟合1．x y =有如下的函数表试用一次、二次、三次、四次多项式插值函数求8，看哪一个最接近8。
解 先作差商表4167121013934201511008160124601316111100-⨯---故：8.2)48(512)8(1=-+=p819047619.2)98)(48(2101)48(512)8(2=----+=p844444.2)98)(48)(18(34201)48)(18(601)18(311)8(3=---⨯+----+=p6222.2)1(47810081478601)18(861)08(10)8(4=-⨯⨯⨯-⨯⨯+---⨯+=p 已知828427.28=，因此选定)8(,16,9,42321p x x x ===最接近8。
利用Neville 方法得:xi8-xif(xi) 2.828427188171-1.333333333.3333333 2.4 4422.866666667 2.62222222.8 2.84444449-1 32.8190476192.8571429 16 -8 4f(8)= 2.828427125 xi8-xif(xi)88171-1 1/33 1/3 2 2/5 4422 13/15 2 28/452 4/5 2 38/45 9-1 32 86/1052 6/7 16 -8 4已知 828427.28=，故选定)8(,16,9,42321p x x x ====2.819047619最接近8.11101201011121213434342121------ 所以：)())(1())(1()1(1)(21213421344-++-++++-=x x x x x x x x x p ， 故：0232.0)1.0(4=p 与f (0.1)=0.1不相等。
（2）若采用分段插值，则在],0[21上，x x f x f x L =--+--=00)(0)0()(21212121，所以： )1.0(1.0)1.0(f L ==，结果一样。
李庆扬数值分析第五版习题答案解析清华大学出版社
又
即计算值比准确值大。
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
17．设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
令
则
则法方程组为
从而解得
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
将 代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组，得
又 三次样条表达式为
将 代入得
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章 函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
2．当 时，求证
证明：
若 ，则
3．证明函数 线性无关
解：
采用复化梯形公式时，余项为
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3.若，求和.解：由均差与导数关系于是4.若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析韩旭里答案
数值分析韩旭里答案【篇一：数值分析上机题目】>1631110xxxx 材料科学与工程学院一．第2章插值法l2.7 给定数据表2-15.用newton插值公式计算3次插值多项式n3(x).表2-15x f(x)1 1.251.52.500 1.002 5.50a. matlab代码如下，two.m,%第二章，p45,练习题2第七题 clear(); x=[1,1.5,0,2];y(:,1)=[1.25,2.50,1.00,5.50];%已知点集合x和y syms t w; w(1)=1; %计算基函数序列w和差商表y，以及函数序列的权数diag(y),计算的牛顿三次多项式表述为t的函数 for j=2:length(x) fori=j:length(x)y(i,j)=(y(i,j-1)-y(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); i=i+1; endw(j)=prod(t-x(1:j-1)); j=j+1; enddisp(三次牛顿插值多项式为); disp(collect(w*diag(y)));plot(x,y(:,1),*); hold on;fplot(collect(w*diag(y)),[-0.5,2.5]);legend({已知点集,三次牛顿插值多项式函数},location,northwest,fontsize,14); xlabel(x,fontsize,16);ylabel(y,fontsize,16); hold off;b. 计算结果如下：二．第3章函数逼近与数据拟合a. matlab代码，three.m，%第三章函数逼近与数据拟合，p68练习题，第2题 clear(); syms x;%所使用的非线性基函数序列，用符号表示 y=abs(x);%被逼近函数f=[1,x^2,x^4];%求解法方程的系数矩阵a*gn=b，其中a和b均为行向量gn=ones(length(f),length(f)); for i=1:length(f) for j=1:length(f) gn(i,j)=int(f(i)*f(j),-1,1);j=j+1; endb(i)=int(f(i)*y,-1,1); i=i+1; enda=b/gn;%最佳平方逼近的系数行向量 disp(逼近函数表达式);disp(vpa(f*a));disp(最佳函数逼近得平方误差); disp(vpa(int(y^2,-1,1)-a*b));fplot(y,[-1,1]); hold on; fplot(a*f,[-1,1]);legend({被逼近函数,逼近函数},location,north,orientation,horizontal,fontsize,16,fontweight,b old);xlabel(x,fontsize,20,fontweight,bold);ylabel(y,fontsize,20,fontweight,bold); hold off;b. 运行结果如下：三.第4章数值积分与数值微分例4.9用romberg求积法计算定积分 01sin?(??)??a. matlab代码，four.m%romberg求积公式，外推原理 clear(); clear(); format long; a=0; b=1;t(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b));t(2,1)=1/2*t(1,1)+(b-a)/2*f((a+b)/2); t(1,2)=(4*t(2,1)-t(1,1))/(4-1);col=2;while abs(t(1,col)-t(1,col-1))0.5*10^-6%t(1,col)对应的计算的是多少步的值,col→coln关系col=col+1;%此时求得是第n+1次均分后的结果，使用的是第n次的结果，注意在矩阵 %计算的第n斜列是第n-1次均分的结果 for j=1:colif j==1h=(b-a)/2^(col-2);%使用n+1之前的第n次结果【篇二：数值分析a教学】>一、课程基本信息二、课程目的和任务“数值分析”是理工科院校计算数学、力学、物理、计算机软件等专业的学生必须掌握的一门重要的基础课程。
李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)
和变量均需要发生变化。
2、当 f (x) x 时，求证 Bn ( f , x) x
利用多项式展开定理证明： 证：
Bn (
f
,
x)
n k 0
f
(
k n
)
Pk
(
x)
n k 0
f
(
k n
)
n k
xk (1
x)nk
f (0)0
n
k
n!
n
xk (1 x)nk
(n 1)!
xxk 1(1 x)(n1)(k 1)
答：
b
|| f ||1 | f (x) |dx a
b
|| f ||2 f (x)2 dx a
||
f
||
max
a xb
|
f
(x) |
2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线 性无关？
解：f , g C [a , b]，其内积为
a0 a1 x a2 x2 .... an xn 0
由于需要解出 a0 , a1, a2 ,..., an 共 n+1 个未知数，构造 n+1 个方程，取 x x0 , x1, x2 ,..., xn
n
有方程组 a j xk j 0 ，则系数行列式为 k 0 j0
1
G
1
...
x01 x11 ...
xi
] | |
min p
i0
[
f
xi
Pn xi ] |
m
| min [ f p i0
xi
Pn xi ] |2
数值分析第二次作业答案answer2
S4 = 0.11157238253891，S8 = 0.11157181325263。 同学们根据自己理解计算 S4 ，S8 都可。 复合梯形公式和复合 Simpson 公式的代码已重复多次，同学们自己整 理。 3. 用 Simpson 公式计算积分 误 差 为 |R(f )| = | − η ∈ (0, 1)。 4. 推导下列三种矩形求积公式： ∫b f (x)dx ∫a b f (x)dx ∫a b a f (x)dx = (b − a)f (a) + = (b − = (b −
14.7 53.63 从而 a = −7.855048，b = 22.25376。 2. 已知实验数据如下： 。 xi 19 25 31 38
44
yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如 y = a + bx2 的经验公式。 答案：两个待定常数，只能两个 φ。 φ0 ，φ1 也必须形如 y = a + bx2 。 可设 φ0 = 1，φ1 = x2 。法方程为： ( 5 5327 )( a b ) = ( 271.4 369321.5 )
第三章 函数逼近 1. 观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离 s(m) 0 求运动方程。 ( 10 φ0 = 1，φ1 = t。法方程为： 6 14.7 )( a b ) = ( 280 1078 )
6
1. 用 LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组 8 10 −7 0 1 x1 −3 2.099999 6 2 x 5.900001 2 = 5 5 − 1 5 − 1 x 3 x4 1 2 1 0 2 输出 Ax = b 中系数 A = LU 分解的矩阵 L 及 U ，解向量 x 及 det A；列 主元法的行交换次序，解向量 x 及 det A；比较两种方法所得的结果。 代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; x=A\b;x(1) 结果：1.7764e-016 LU分解代码： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]; b=[8,5.900001,5,1]'; [m,n] = size(A); if m~=n, error('A matrix needs to be square'); end for i=1:n-1 pivot = A(i,i); if abs(pivot)<50*eps, error('zero pivot encountered'); end for k = i+1:n A(k,i) = A(k,i)/pivot; A(k,i+1:n) = A(k,i+1:n) - A(k,i)*A(i,i+1:n); end end 7
数值分析详细答案(全)
第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ；二次插值：取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅=＝－0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f，故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意， ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以，.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值，作均差表：i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =，(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。
数值分析—第3章函数逼近与数据拟合法
称为广义多项式。
数值分析
三、函数的最佳平方逼近 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] 如果存在 使
* ( x) Span 0 , 1 , , n } {
b
a
( x) f ( x) ( x) dx min
* 2
( x ) a
mn mn0 mn0
(2) 递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x (n 1, 2, ) Tn1 ( x ) 2 x Tn ( x ) Tn1 ( x ) Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它们 的Gramer行列式Gn 0，其中
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) G n G n ( 0 , 1 , , n ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n )
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性： 当n为偶数时，Pn (x)为偶函数； 当n为奇数时，Pn (x)为奇函数。 (4) Pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全
部在区间[-1, 1]内部。
数值分析
2．切比雪夫(Tchebyshev)多项式 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
Span{ 0 , 1 , , n }
并称 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是生成集合的一个基底。 设函数系{
0 ( x), 1 ( x), , n ( x) ，…}线性无关，
数值分析第三版课本习题与答案
数值分析第三版课本习题与答案第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设2⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++2.2)定义的德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)x l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8maxmax a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21.设2()1/(1)f x x=+,在55x-≤≤上取10n=,按等距节点求分段线性插值函数()hI x,计算各节点间中点处的()hI x与()f x的值,并估计误差.22.求2()f x x=在[],a b上的分段线性插值函数()hI x,并估计误差.()f x x=在[],a b上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24.给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件i)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868; S S'='=ii)(0.25)(0.53)0. S S"="=25.若[]2(),f x C a b∈,()S x是三次样条函数,证明i)[][][][] 222()()()()2()()()b b b ba a a af x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-";ii)若f x S x i n==,式中ix为插值节点,且01na x x x b=<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b a S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'.26.编出计算三次样条函数()S x系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x可⽤(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利⽤区间变换推出区间为[],a b的伯恩斯坦多项式.(b)对()sinf x x=在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较.2.求证:(a)当()m f x M≤≤时,(,)≤≤. (b)当()f x x=时,(,)nB f x x=.3.在次数不超过6的多项式中,求()sin4f x x=在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4.假设()f x在[],a b上连续,求()f x的零次最佳⼀致逼近多项式.5.选取常数a,使301maxxx ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式. 8. 如何选取r ,使()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-?()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成积?19. ⽤许⽡兹不等式(4.5)估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx----??.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22.()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:。
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数值分析习题集及答案：篇一：数值分析习题集及答案[1]数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论1. 设x 0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: *****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.n************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6. 设Y0?28,按递推公式( n=1,2,…)Y计算到Y100.27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?Yn?Yn?127. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N充分大时,怎样求???N1dx1?x2?29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10. 设误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列S?12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0??1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?计算到612.计算f?1),?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3?? 13.f(x)?ln(x,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?ln(x???ln(x14. 试用消元法解方程组?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足s??s?a?b?c???.sabc第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令1Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?11证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且x0?xn?1x2x0???nx0?x2?xn2nxn?xn?1?1Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.3.4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.xj6. 设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i) ii) 7. 设?xl(x)?xkjjj?0nnk(k?0,1,?,n);?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x8a?x?bx8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若yn?2,求?yn及?yn.10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k 阶差分n44?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk. 12. 证明k?0n?1n?1n?1?f?gkk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?013. 证明??j?02yj??yn??y0.n?1n14. 若f(x)?a0?a1x???an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明?f?(x)j?1jnxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.15. 证明n阶均差有下列性质: i)若F(x)?cf(x),则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则?0174f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.20. 设f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.22. 求f(x)?x在?2423. 求f(x)?x在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) ii)2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.i)??f?(x)?dx???S?(x)?dx???f?(x)?S?(x)?dx?2?aaab2b2b2baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx;ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则?baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式.?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的(b)对f(x)?sinx在?马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:0,?/2(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.0,2??的最佳一致逼近多项式.3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.4. 假设f(x)在?5. 选取常数a,使0?x?1maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.6. 求f(x)?sinx在?0,17. 求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.x?1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?8. 如何选取r,使p(x)?x?r在?20,19. 设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.43***T(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x). nn01210. 令,求11. 试证12. 在??T*n(x)?是在?0,1?上带权??的正交多项式.?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.?x?1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln13. 设f(x)?e在?有界,证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).112331541655?(x)?1?x?x?x?x?x?1,1??28243843840,试将?(x)降低到3次多14. 设在上项式并估计误差. 15. 在??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.?a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式16. f(x)是?Fn*(x)?Hn也是奇(偶)函数.?ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.17. 求a、b使?1g(x)?C?a,b?,定义 f(x)18. 、2?2(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb问它们是否构成内积?1x6?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11.???span?1,x?,?2?span?x100,x101?,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.?1?span?1,x2,x4?f(x)?x?1,1??22. 在上,求在上的最佳平方逼近.sin(n?1)arccosxun(x)?23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系un?1?x??2xun?x??un?1?x?.24. 将近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.f(x)?sin1x??1,1?2在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼?1,1?上展成切比雪夫级数.25. 把f(x)?arccosx在?26.y?a?bx.227.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录?xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱?Ck?(k?0,1,?,7).第四章数值积分与数值微分篇二：数值分析习题解答1第一章引论（习题）2．证明：x的相对误差约等于x的相对误差的1/2.证明记 f(x)?Er(f)?x ，则 ?x?x*x(x?x)*x?x*x?x?x*1??Er(x).□ *x2x?xx3．设实数a的t位?进制浮点机器数表示为fl(a). 试证明fl(a?b)?(a?b)/(1??),|?|?其中的记号*表示+、-、?、/ 中一种运算.证明：令： ??11?t?， 2(a?b)?fl(a?b) fl(a?b)c?1可估计： |fl(a?b)|??故： |?|? （c为a?b阶码）， 1c?tc?111?t???? 22于是：fl(a?b)?(a?b)(1??). □4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）（2）（3） 11?x?,1?2x1?xx?1?xx?1,x对|x|??1; 对x??1; 1?cosx,x 2对x?0,|x|??1. 解 (1) 2x(2) (1?x)(1?2x). . x(x?x?x?x)1?cosxsin2xsinx?? (3) . □ xx(1?cosx)1?cosx6．设a?0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差. 对于f(x)??x，估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差.解 a的相对误差：由于|E(x)|?x?a?1x?a, ?10?3. Er(x)?2x11Er(x)?10?2??10?2.（Th1） 2?918f(a)对于f(x)的误差和相对误差. |E(f)|?|?x??a|=a?x?x??a??3???1022?0.25=10?3 |Er(f)|?10?3?a?4?10?3.□9．序列{yn}满足递推关系：yn?1?100.01yn?yn?1. 取y0?1,y1?0.01及y0?1?10?5,定的. y1?0.01，试分别计算y5，从而说明该递推公式对于计算是不稳解递推关系： yn?1?100.01yn?yn?1(1) 取初值 y0?1， y1?0.01 计算可得： y2?100.01?10?6?2?1?1.0001?1?10?4 ?8y3?10 ， y4?10(2) 取初值 0?1?10记： ?n?yn?n, ?5 ， y5?10?2?10 ，…， 1?10,序列 ??n? ，满足递推关系，且?0??10?5 ， ?1?0?n?1?100.01?n??n?1, 于是： ?2?10?5,?3?100.01?10?5, ?4?(100.01)2?10?5?10?5,?5?(100.01)?103?5?200.02?10?5,n?2 可见随着 ?n 的主项 (100.01)?10?5 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.篇三：《数值分析》习题1习题11．以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈ 6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…） 计算到100Y27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，若取27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析 第三章上机答案
1、程序：x=-1:0.2:1;f=1./(1+25*x.^2);y=polyval(f,x); %计算原函数每个x 值所对应的函数值 p=polyfit(x,y,3) %对（x ，y ）进行三次拟合并输出三次多项式系数 z=polyval(p,x); %计算拟合后的多项式对应x 点的函数值 plot(x,y,'r',x,z,'b') %画图输出：p =1.8222 1.2090 -0.3619 -0.1140则三次曲线拟合的方程为：1140.03619.02090.18222.1)(233--+=x x x x p2、3次和4次多项式拟合：程序：x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46];%3次拟合%p3=polyfit(x,y,3)xi=0:0.1:1.0;yi=polyval(p3,xi);subplot(1,2,1);plot(x,y,'*',xi,yi,'r');xlabel('x');ylabel('y');%4次拟合%p4=polyfit(x,y,4)xi=0:0.1:1.0;yi=polyval(p4,xi);subplot(1,2,2);plot(x,y,'*',xi,yi,'r');xlabel('x');ylabel('y');输出：p3 =-6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266p4 =2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427则3次拟合多项式为：9266.06591.48147.126221.6)(233+-+-=x x x x p 4次拟合多项式为：9427.02987.52747.163348.128853.2)(2344+-+-=x x x x x p另一函数拟合：定义函数：function [C,L]=lagran(x,y)%x 为n 个节点的横坐标所组成的向量，y 为纵坐标所组成的向 %C 为所求的牛顿插值多项式的系数构成w=length(x);n=w-1;L=zeros(w,w);for k=1:n+1V=1;for j=1:n+1if k~=jV=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));% conv 求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量endendL(k,:)=V;endC=y*L输入命令：x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46];cc=polyfit(x,y,4);xx=x(1):0.1:x(length(x));yy=polyval(cc,xx);plot(xx,yy,'r');hold on ;plot(x,y,'x');xlabel('x');ylabel('y');x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];y=[0.94 0.58 0.47 0.52 1.00 2.00 2.46];%y 中的值是根据上面两种拟合曲线而得到的估计数据，不是真实数据[C,L]=lagran(x,y);xx=0:0.01:1.0;yy=polyval(C,xx);hold onplot(xx,yy,'b',x,y,'.');输出：C =40.6746 -110.2183 110.3671 -57.3264 23.4994 -5.4764 0.9400。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论XX 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？〔有效数字的计算〕 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？〔有效数字的计算〕 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取〔3.14109 , 3.14209〕之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？〔有效数字的计算〕解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？〔误差的计算〕 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
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解：
令
则 在 上为奇函数
又 的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有
13。求 在 上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
解：
于是得 的最佳一次逼近多项式为
即
误差限为
14。求 在 上的最佳一次逼近多项式。
解：
于是得 的最佳一次逼近多项式为
浓度
0 1.27 2.162.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 。
解：
观察所给数据的特点，采用方程
两边同时取对数，则
取
则
则法方程组为
从而解得
因此
22。给出一张记录 用FFT算法求 的离散谱。
解：
则
01234567
43210123
444 404
8 4048 0
16 0 0 0
23，用辗转相除法将 化为连分式。
解
24。求 在 处的 阶帕德逼近 。
解：
由 在 处的泰勒展开为
得
从而
即
从而解得
又
则
故
25。求 在 处的 阶帕德逼近 。
解：
由 在 处的泰勒展开为
得
从而
即
解得
又
则
故
证明：
若
令Байду номын сангаас，可得
当 时，
当 时，
又 ，故
得证。
10。证明切比雪夫多项式 满足微分方程
证明：
切比雪夫多项式为
从而有
得证。
11。假设 在 上连续，求 的零次最佳一致逼近多项式？
解：
在闭区间 上连续
存在 ，使
取
则 和 是 上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切比雪夫定理知
P为 的零次最佳一致逼近多项式。
17。求函数 在指定区间上对于 的最佳逼近多项式：
解：
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 最佳平方逼近多项式为
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
2．当 时，求证
证明：
若 ，则
3．证明函数 线性无关
证明：
若
分别取 ，对上式两端在 上作带权 的内积，得
此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，
只有零解a=0。
函数 线性无关。
4。计算下列函数 关于 的 与 ：
令
则
则法方程组为
从而解得
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如 的经验公式，并计算均方误差。
解：
若 ，则
则
则法方程组为
从而解得
故
均方误差为
21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：
时间
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
18。 ，在 上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
按勒让德多项式 展开
则
从而 的三次最佳平方逼近多项式为
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
15。求 在区间 上的三次最佳一致逼近多项式。
解：
令 ，则
且
令 ，则
若 为区间 上的最佳三次逼近多项式 应满足
当
时，多项式 与零偏差最小，故
进而， 的三次最佳一致逼近多项式为 ，则 的三次最佳一致逼近多项式为
16。 ，在 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：
若
且 ，则
则法方程组为
解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
m与n为正整数，
解：
若 ，则
在 内单调递增
若 ，则
若 m与n为正整数
当 时,
当 时,
在 内单调递减
当 时,
在 内单调递减。
若
当 时，
在 内单调递减。
5。证明
证明：
6。对 ，定义
问它们是否构成内积。
解：
令 （C为常数，且 ）
则
而
这与当且仅当 时， 矛盾
不能构成 上的内积。
若 ，则
,则
若 ，则
,且
即当且仅当 时， .
故可以构成 上的内积。
7。令 ，试证 是在 上带权 的正交多项式，并求 。
解：
若 ，则
令 ，则 ，且 ，故
又 切比雪夫多项式 在区间 上带权 正交，且
是在 上带权 的正交多项式。
又
8。对权函数 ，区间 ，试求首项系数为1的正交多项式
解：
若 ，则区间 上内积为
定义 ，则
其中
9。试证明由教材式 给出的第二类切比雪夫多项式族 是 上带权 的正交多项式。