矩阵、向量求导PPT课件
矩阵求导
1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)T3. 行向量Y T对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：dX T/dX = Id(AX)T/dX = A T4. 列向量Y对行向量X T求导：转化为行向量Y T对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX T = (dY T/dX)T5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV T)/dX = (dU/dX)V T + U(dV T/dX)d(U T V)/dX = (dU T/dX)V + (dV T/dX)U重要结论：d(X T A)/dX = (dX T/dX)A + (dA/dX)X T = IA + 0X T = Ad(AX)/dX T = (d(X T A T)/dX)T = (A T)T = Ad(X T AX)/dX = (dX T/dX)AX + (d(AX)T/dX)X = AX + A T X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则：d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)重要结论：d(X T A)/dX = (dX T/dX)A + X T(dA/dX) = IA + X T0 = A8. 标量y对矩阵X的导数：类似标量y对列向量X的导数，把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
第三章矩阵和向量的应用ppt课件
1,2,,nr是解空间的一组系基。础解
例1：求方程组的通解
x1 2x2 x3 0 2x1 3x2 x3 0
解：
4x1 7x2 x3 0
1 A 2
4
2 3 7
1 1
1 0
1
r2
2r1
0
2 1 1
1
3
1 0
你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？
3.向量在一组基下的坐标如何求？
详见参考书第59页。
一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2, ,s,则方程组的全
部解就是 k 11 k 22 k ss,这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
3 0
1 0
0
0 1 0
5 3 0
1 0 0
0 1 0
5 同解方程组为
3 0
x1 5x3 x2 3x3
2 1 1 3 0 0
x3 1,
x1 5
x2
3
基础解系为 (5,3,1)T 通解为 kk(5,3,1)T
例2：求方程组的通解 x1 x2 x3 x4 0
n
a2n
a
mn
b 1
b2
b
m
x 11 x 22 x nn
方程组的向量方程
非齐次线性方程组的有解判定
方程组（1）有解 可由 1,2, ,n线性表示 A (1 ,2 , ,n ,)r ( , A ) r ( A ) A(1,2, ,n,)称为(1 方 )的程 增组 .广矩 非齐次线性方程组的解法
xr1,xr2, ,xn
线性代数第2章矩阵PPT课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
《矩阵和向量的应用》课件
向量的外积和内积
向量的外积
向量的外积也称为叉积，是向量的一种运算。两个向量的外 积结果是一个向量，其方向垂直于作为运算输入的两个向量 。外积在物理和工程中有广泛的应用，如描述旋转和方向。
向量的内积
向量的内积也称为点积，是向量的一种基本运算。两个向量 的内积结果是一个标量，等于两个向量长度和夹角的余弦值 的乘积。内积在几何、物理和工程中有广泛应用，如描述长 度、角度和力矩等。
解特征多项式得到，也可以通过迭代法、 QR分解等方法求解。特征向量在解决线性
方程组、优化问题等方面有重要应用。
05
矩阵和向量的应用前景展望
矩阵和向量在人工智能领域的应用
机器学习算法
矩阵和向量在机器学习算法中扮演着重要的角色，如线 性代数、矩阵运算和向量空间模型等。它们被广泛应用 于分类、聚类、回归等任务中，如支持向量机、神经网 络等。
矩阵的特征值和特征向量
特征值
特征值是矩阵的一种数值特征，用于描述矩 阵的线性变换性质。特征值可以通过求解特 征多项式得到，对应的特征向量是满足$A cdot v = lambda cdot v$的向量。特征值 和特征向量在解决线性方程组、优化问题等 方面有重要应用。
特征向量
特征向量是与特征值对应的向量，用于描述 矩阵线性变换的性质。特征向量可以通过求
数据挖掘
矩阵和向量在数据挖掘中也有广泛的应用，如关联规 则挖掘、聚类分析等。它们可以帮助我们发现数据中 的模式和规律，为决策提供支持。
矩阵和向量在其他领域的应用
图像处理
矩阵和向量在图像处理中也有广泛的应用，如图像变 换、图像滤波等。它们可以帮助我们更好地处理和操 作图像数据，提高图像处理的效果和质量。
04
矩阵和向量的进阶满足方程$A cdot A^{1} = I$的唯一矩阵，其中$I$是单位 矩阵。逆矩阵在解线性方程组、求矩 阵的行列式等方面有重要应用。
矩阵对向量求导
矩阵、向量求导法则（1）行向量对元素求导设 []n Ty y 1=y 是 n 维行向量，x 是元素，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂x y xy x n T1y 。
（2）列向量对元素求导设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m y y 1y 是 m 维列向量，x 是元素，则 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂x y x y x m 1y 。
（3）矩阵对元素求导设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n y y y y Y1111 是 n m ⨯ 矩阵，x 是元素，则 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂x y xyx y xy x Y mn m n1111。
（4）元素对行向量求导 设 y 是元素，][1q Tx x =x 是 q 维行向量，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂q T x y x yy 1x 。
（5）元素对列向量求导设 y 是元素，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=p x x 1x 是 p 维列向量，则 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂p x y x y y 1x。
（6）元素对矩阵求导设 y 是元素，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pq p q y x x x X 1111 是 q p ⨯ 矩阵，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂pq p q x y x yx y x yX y1111。
（7）行向量对列向量求导设 []n Ty y 1=y 是 n 维行向量，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=p x x 1x 是 p 维列向量，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂p n pn Tx y x yx y x y1111x y。
（8）列向量对行向量求导设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m y y 1y 是 m 维列向量，][1q Tx x =x 是 q 维行向量，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂q m mq Tx y x y x y x y1111x y 。
（9）行向量对行向量求导设 []n Ty y 1=y 是 n 维行向量，][1q T x x =x 是 q 维行向量，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂qTTTT x x y y x y1 。
第2章 矩阵运算基础PPT课件
23
2.2.5 数组的除法：
用符号“./” 和“.\”表示。a、 b必须具有相同的阶数。a./b表 示a中元素分别除以b中的对应元 素。 a.\b表示b中元素分别除以a 中的对应元素。
24
>> a=[1 2 3]; >> b=[2 4 6]; >> c=a./b c=
2
40
3.求逆矩阵
>> X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16];
>> Y=inv(X)
Y=
0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717
分类:
行向量 列向量
13
向量的构造
1．逐个输入
>>a=[1 3 9 10 15 16]
%采用空格和逗号分隔构成行向量
>>b=[1; 3; 9; 10; 15; 16] %采用分号隔开构成列向量
2．利用冒号表达式“:”生成向量
>>x=1:2:9
%初值=1，终值=9，步长=2
>>z=1:5
%初值=1，终值=5，默认步长=1
30 36 42 >> 1 2 3;-2 0 0; 1 0 1; -1 2 3];B=[-1 3; -2 2; 2 1],求C=A*6， >> A=[1 2 3;-2 0 0; 1 0 1; -1 2 3]
A=
123 -2 0 0 101 -1 2 3
2.2.3 数组的乘法 使用“ .* ”运算符，要求a、b两数组 必须具有相同的阶数，
a .* b表示a和b中对应元素之间相乘。
向量与矩阵的基本运算.ppt
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，
记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。 3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。
1.定义
=（a1,a 2 , ,a n）
b1 b2 = b n
由n个数构成的有序数组称为n维向量
如果两个 n 维向量 a ( x1, x2 ,..., xn ) b ( y1 , y2 ,..., yn ) 的对应分量相等，即xi yi (i 1,2,..., n)，则称 向量 a 与 b 相等，记为 ab
第一章 向量与矩阵的 基本运算
向量与矩阵是线性代数的一个主要研究 对象，也是数学上的一个重要工具。其应用已 经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科
学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运
算起着重要的作用，本章主要讨论有关向量与 矩阵运算的一些基本规则与技巧。
向量与矩阵的基 第一节 本概念
一、n维向量：
数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或
a11 a12 a21 a22 A ... ... a m1 am 2
... a1n ... a2 n ... ... ... amn
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵
同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘。
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零 外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λn) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
向量矩阵求导
矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M 了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. 行向量Y'对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对行向量X’求导：转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
【全版】向量和矩阵推荐PPT
330
例5-2：叉积运算
>>x1=[11 22 33] x1 =
11 22 33 >>x2=[1 2 3] x2 =
123 >>x3=cross(x1,x2) x3 =
000
8
4.3 矩阵的创建方法
B=
矩阵以“[ ]”为首尾，行与行之间用1 分2号“3;”或按4 回
➢ linspace/logspace 函数 例2：生成等差向量。
>> vec1=10:5:60 vec1 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
>> vec2=linspace (10,60,11) vec2 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
其结果将是此标量和矩阵中的每一个元素“ 相加”、 “ 相减”、“ 相乘”、“ 相除”； 矩阵有两种除法运算：左除和右除。
16
矩阵的除法
ans =
ans左= 除和右除，分别表示为 \ 和 /。
>> vec1+101 27 若-A3矩1 阵1是2 非奇异方阵，则A\B和B/A可以实现。
14
4.4.3 利用冒号表达式获得子矩阵
① 获得某行或某列
A(:,j) —— 取A矩阵第j列的全部元素 A(i,:) —— 取A矩阵第i行的全部元素
② 获得子矩阵
A(i:i+m,:) —— 取矩阵第i～i+m行的全部元素 A(:,k:k+m) —— 取矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) —— 取矩阵第i～i+m行内，并在第
线性代数1-1、2节 矩阵与向量的概念、矩阵的运算
教学难点：矩阵的乘法运算与矩阵的初等变换.分块矩 阵，特别是分块矩阵的乘法运算.
§1 矩阵与向量的概念
1.1 矩阵的概念
1. 矩阵的引出 考察线性方程组
x1 2 x1
x2 3x2
2
x3 x3
1, 2
,
x1 2 x 2 3 x3 4 .
13 6 2 i 2 2 2 是一个 33复矩阵,
2 2 2
1 2
是一个 31矩阵,
4
2359 是一个 14矩阵,
4 是一个 11矩阵. 显然，一阶矩阵就是一个数。
3. 几种特殊的矩阵
①同型矩阵：行数和列数都分别相等的矩阵.
Λ
1
0
0 2
0
0
.
0
0
n
简记作 di1 ,a 2 , g ,n .
b11
⑥列矩阵
B
b
2
1
.
b
m
1
也称为n维列向量。
⑦行矩阵 A(a11,a12, ,a1n). 也称为n维行向量。
n维列向量与n维行向量统称为n维向量，简称向
矩阵 A的
i, j 元
简记为
A A m n a im j n a i. j
这 m n 个数 A 的 称 ,元 简 为 素 称 . 为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 0 3 5是一个 24实矩阵, 9 6 4 3
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
矩阵、向量求导法则
∂yT ∂yT ∂x ∂x1q 11 T ∂y = ∂X T ∂yT ∂y ∂x ∂x pq p1
(13)
14. 列向量对矩阵求导
x11 x1q y1 设 y = 是 m 维列向量， X = 是 p × q 矩阵，则 x p1 x pq ym
矩阵、向量求导法则
矩阵、向量求导法则
1. 行向量对元素求导
设 y = [ y1
T
yn ] 是 n 维行向量， x 是元素，则
∂yn ∂y T ∂y1 = ∂x ∂∂x
(1)
2. 列向量对元素求导
y1 设 y = 是 m 维列向量， x 是元素，则 ym
∂y1 ∂x ∂y = ∂x ∂y m ∂x
(2)
3. 矩阵对元素求导
y11 y1n 设Y = 是 m × n 矩阵， x 是元素，则 ym1 ymn
∂y1n ∂y11 ∂x ∂x ∂Y = ∂x ∂y ∂ymn m1 ∂x ∂x
∂y1 ∂x ∂y = ∂x ∂y m ∂x
(10)
11. 矩阵对行向量求导
y11 y1n T 设Y = 是 m × n 矩阵， x = x1 xq 是 q 维行向量，则 ym1 ymn
∂Y ∂Y ∂Y = T ∂x ∂xq ∂x1
(11)
12. 矩阵对列向量求导
x1 y11 y1n 是 m × n 矩阵， x = 是 p 维列向量，则 设Y = xp ym1 ymn
矩阵向量求导
矩阵向量求导
矩阵向量求导是矩阵微积分中的一个重要概念，它在机器学习、深度学习等领域中得到广泛应用。
在矩阵向量求导中，我们需要对一个矩阵或向量中的每个元素进行求导。
具体来说，对于一个矩阵A，我们可以将其表示为A=[a1,a2,...,an]，其中ai表示矩阵A的第i列。
对于一个向量x，我们可以将其表示为x=[x1,x2,...,xn]。
在求导时，我们需要对矩阵或向量中的每个元素进行求导，然后将结果组合成一个新的矩阵或向量。
具体来说，对于一个矩阵A，我们可以将其每个元素表示为Aij，其中i表示矩阵A的行数，j表示矩阵A的列数。
对于一个向量x，我们可以将其每个元素表示为xi。
在求导时，我们需要使用链式法则和矩阵乘法规则。
具体来说，对于一个矩阵A和一个向量x，我们可以将其表示为y=A*x。
对y求导时，我们需要使用链式法则和矩阵乘法规则，得到dy/dx=A。
在实际应用中，矩阵向量求导常常用于神经网络中的反向传播算法。
在反向传播算法中，我们需要对神经网络中的每个参数进行求导，然后根据求导结果更新参数，从而使神经网络的输出更加准确。
矩阵向量求导是矩阵微积分中的一个重要概念，它在机器学习、深度学习等领域中得到广泛应用。
在实际应用中，我们需要使用链式
法则和矩阵乘法规则，对矩阵或向量中的每个元素进行求导，然后将结果组合成一个新的矩阵或向量。