控制系统的传递函数及信号流图和梅逊公式
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第二章 传递函数-梅逊公式
第二章 自动控制系统的数学模型
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
N 1
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
课件：信号流图和梅逊公式的应用
增益。
3、信号流图的性质
➢ 信号流图只适用于线性系统 ➢ 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号 只能沿着支路上的箭头指向传递,后一个节点对前一个 节点没有负载效应（即无反作用）. ➢ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相 加后的信号传送到所有的输出支路 ➢ 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 ➢ 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。
知识点
LC
d 2uc dt2
RC
duc dt
uc
ur
1）R-L-C电路的传递函数
Uc s
1
Ur s LCs2 RCs 1
d 2 y(t) dy(t)
m
dt2
f
ky(t) F(t) dt
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
s2
1
fs
1
典型环节及其传递函数(具有基本输入和输出关系的环节)
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L4 G2G3H2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L5 G4H2
确定前向通路
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 G1G2G3
1 1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P2 G1G4
2 1
前向通路数：n 2
C 1
R
Pk k
G1G2G3 G1G4
1 G1G2G3 G1G2H1 G2G3H2 G1G4 G4H2
3、信号流图的性质
➢ 信号流图只适用于线性系统 ➢ 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号 只能沿着支路上的箭头指向传递,后一个节点对前一个 节点没有负载效应（即无反作用）. ➢ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相 加后的信号传送到所有的输出支路 ➢ 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 ➢ 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。
知识点
LC
d 2uc dt2
RC
duc dt
uc
ur
1）R-L-C电路的传递函数
Uc s
1
Ur s LCs2 RCs 1
d 2 y(t) dy(t)
m
dt2
f
ky(t) F(t) dt
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
s2
1
fs
1
典型环节及其传递函数(具有基本输入和输出关系的环节)
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L4 G2G3H2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L5 G4H2
确定前向通路
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 G1G2G3
1 1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P2 G1G4
2 1
前向通路数：n 2
C 1
R
Pk k
G1G2G3 G1G4
1 G1G2G3 G1G2H1 G2G3H2 G1G4 G4H2
自动控制系统课件第六节信号流图和梅逊增益公式
开环 确定输出/输入的闭环 特征方程
等效变换和梅逊公式的局部应用 开环传递函数、各种闭环传递函数、特征方程之间的关系 传递函数和微分方程之间的转换关系
单元练习
3、已知系统结构图如下，试 求系统的传递函数：
C(s) , E(s) R(s) R(s)
1、已知单位负反馈系统的开环传 递函数，求系统的单位脉冲响 应和单位阶跃响应。
• 特征方程 1G k( s1 )G 1( s2 )(G s) H 0( s)
E(s) R(s)
8
N(s)
1
1 C(s)
s
s
6s
1
C E
(s (s
) )
8
s2 1 6
8 s (s6)
s
C R
( (
s) s)
8
1 s2
1
6 s
1
8 s2
8 s2 6 s8
C N
( (
s) s )1
s 6 s
8 s2
利用梅逊增益公式求传递函数
• 基于信号流图
R(s) 1
E(s)
G1
x1(s)
-G4
• 基于方框图
G3
R(s)G1G2来自H1 H2G(s)
1
n k1
Pk
k
-1
G2
x2(s) G3
x3(s) 1 C(s)
1
-G5
Δ 1 G1G2G4 G2G3
P1 G1G2G3 Δ1 1
P2 G1G5 Δ 2 1
Gk
(s)
2s 1 s2
2、试绘制下图所示无源网络方框图并求 传递函数，其中R1=R2=1Ω，L=1H，C=1F。
c(t)1ette t (t0)
等效变换和梅逊公式的局部应用 开环传递函数、各种闭环传递函数、特征方程之间的关系 传递函数和微分方程之间的转换关系
单元练习
3、已知系统结构图如下，试 求系统的传递函数：
C(s) , E(s) R(s) R(s)
1、已知单位负反馈系统的开环传 递函数，求系统的单位脉冲响 应和单位阶跃响应。
• 特征方程 1G k( s1 )G 1( s2 )(G s) H 0( s)
E(s) R(s)
8
N(s)
1
1 C(s)
s
s
6s
1
C E
(s (s
) )
8
s2 1 6
8 s (s6)
s
C R
( (
s) s)
8
1 s2
1
6 s
1
8 s2
8 s2 6 s8
C N
( (
s) s )1
s 6 s
8 s2
利用梅逊增益公式求传递函数
• 基于信号流图
R(s) 1
E(s)
G1
x1(s)
-G4
• 基于方框图
G3
R(s)G1G2来自H1 H2G(s)
1
n k1
Pk
k
-1
G2
x2(s) G3
x3(s) 1 C(s)
1
-G5
Δ 1 G1G2G4 G2G3
P1 G1G2G3 Δ1 1
P2 G1G5 Δ 2 1
Gk
(s)
2s 1 s2
2、试绘制下图所示无源网络方框图并求 传递函数，其中R1=R2=1Ω，L=1H，C=1F。
c(t)1ette t (t0)
西北工业大学考研专业课自动控制原理课程第6讲-梅逊公式
= 1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
P1 = G1G2G3G4G5G6
∆1 = 1
Φ(s) =
G1G2G3G4G5G6
1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
E(s) =
R(s)
+ −G2 (s)H (s)⋅ N (s)
1 + G1 (s)G2 (s)H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
控制系统的传递函数 (例)
例7 系统结构图如右图所示， 求当输入 r(t) = 1(t) 干扰 n(t) =d(t) 初条件 c(0) = -1 c’(0) = 0 时系统的总输出 c(t) 和总误差e(t)。 求解
Φ en (s)
=
E (s) N (s)
=
−G2 (s)⋅ H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
4. 系统的总输出 C(s) 及总误差 E(s)
C (s) = G1 (s)G2 (s)⋅ R(s) + G2 (s)⋅ N (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H (s)
Mason 公式（2）
例 2 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例2 求 C(s)/R(s)
∆ = 1 − [ −G1G2 H−1 G2G3 H 2 − G1G2G3 − G4 H2− G1G4 ] = 1 + G1G2 H1 + G2G3 H 2 + G1G2G3 + G4 H 2 + G1G4
第2章_控制系统的动态数学模型_2.6系统信号流图及梅逊公式
支路
混合节点
输入节点（源点）：只有输出的节点，表示系统的 输入变量。 输出节点（阱点、汇点） :只有输入的节点，表示 系统的输出变量。 混合节点：既有输入又有输出的节点，表示系统的 中间变量。如果从混合节点引出一条具有单位增益 的支路，则可以将混合节点变为输出节点，即成为 系统的输出变量。
支路
前向通路P1的特征式的余因子为： 1 1 将上述结果代入梅逊公式，计算该系统的传递 函数，化简后为：
1 1 P Pk k P 1 k k 1 = R1 R2C2C2 s 2 ( R1C 1 R2C2 R1C 2 ) s 1
【例3】用梅逊公式求系统传递函数 （说明：与教材P.45例2-21比较，去掉了G8、G9和-H3 等三个环节。）
信号流图 的特征式 系统的闭环传递 函数（也称为系 统总增益）
信号流图的特征式Δ的计算公式： 1 La Lb Lc Ld Le L f L 其中： a b ,c d ,e , f
a a
L 为所有不同回路的传递函数（增益）之和。
b c
L L 为每两个互不接触回路的传递函数（增益）
信号流图起源于梅逊（S. J. Mason）利用图 示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点 和支路组成的一种信号传递网络。 节点：表示信号或变量，其值等于所有进入该节点 的信号之和。节点用小圆圈“ο”表示。 支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益（即 传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支 路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。
【例2】基于系统的信号流图，采用梅逊公式计算上例 系统的传递函数。
系统输入信号Ui(s)与输出信号Uo(s)之间只有一条 前向通路P1，即k=1，而且其传递函数（增益）为：
混合节点
输入节点（源点）：只有输出的节点，表示系统的 输入变量。 输出节点（阱点、汇点） :只有输入的节点，表示 系统的输出变量。 混合节点：既有输入又有输出的节点，表示系统的 中间变量。如果从混合节点引出一条具有单位增益 的支路，则可以将混合节点变为输出节点，即成为 系统的输出变量。
支路
前向通路P1的特征式的余因子为： 1 1 将上述结果代入梅逊公式，计算该系统的传递 函数，化简后为：
1 1 P Pk k P 1 k k 1 = R1 R2C2C2 s 2 ( R1C 1 R2C2 R1C 2 ) s 1
【例3】用梅逊公式求系统传递函数 （说明：与教材P.45例2-21比较，去掉了G8、G9和-H3 等三个环节。）
信号流图 的特征式 系统的闭环传递 函数（也称为系 统总增益）
信号流图的特征式Δ的计算公式： 1 La Lb Lc Ld Le L f L 其中： a b ,c d ,e , f
a a
L 为所有不同回路的传递函数（增益）之和。
b c
L L 为每两个互不接触回路的传递函数（增益）
信号流图起源于梅逊（S. J. Mason）利用图 示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点 和支路组成的一种信号传递网络。 节点：表示信号或变量，其值等于所有进入该节点 的信号之和。节点用小圆圈“ο”表示。 支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益（即 传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支 路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。
【例2】基于系统的信号流图，采用梅逊公式计算上例 系统的传递函数。
系统输入信号Ui(s)与输出信号Uo(s)之间只有一条 前向通路P1，即k=1，而且其传递函数（增益）为：
信号流图与梅逊公式
信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式控制系统的信号流图与结构图⼀样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。
对于结构⽐较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐⽽费时。
与结构图相⽐，信号流图符号简单，更便于绘制和应⽤，⽽且可以利⽤梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。
但是，信号流图只适⽤于线性系统，⽽结构图不仅适⽤于线性系统，还可⽤于⾮线性系统。
⼀、信号流图的组成信号流图起源于梅逊利⽤图⽰法来描述⼀个或⼀组线性代数⽅程式，它是由节点和⽀路组成的⼀种信号传递⽹络。
图中节点表⽰系统中的变量或信号，以⼩圆圈表⽰；⽀路是连接两个节点的有向线段，⽀路上的箭头表⽰信号传递的⽅向，⽀路的增益（相当于动态结构图⽅框中的传递函数）标在⽀路上。
⽀路相当于乘法器，信号流经⽀路后，被乘以⽀路增益⽽变为另⼀信号。
⽀路增益为1时不标出。
节点变量表⽰所有流向该节点的信号之和。
5在信号流图中，常使⽤以下名词术语：1、源节点（或输⼊节点）只有输出⽀路的节点称为源节点，如图中的x。
1它⼀般表⽰系统的输⼊量。
2、阱节点（或输出节点）只有输⼊⽀路的节点称为阱节点，如图中的x。
5它⼀般表⽰系统的输出量。
3、混合节点既有输⼊⽀路⼜有输出⽀路的节点称为混合节点，如图中的2x 、3x 、4x 。
它⼀般表⽰系统的中间变量。
4、前向通路信号从输⼊节点到输出节点传递时，每⼀个节点只通过⼀次的通路，叫前向通路。
前向通路上各⽀路增益之乘积，称为前向通路总增益，⼀般⽤k p 表⽰。
在图中从源节点到阱节点共有两条前向通路，⼀条是54321x x x x x →→→→，其前向通路总增益为abc p =1；另⼀条是5431x x x x →→→，其前向通路总增益为ec p =2。
5、回路起点和终点在同⼀节点，⽽且信号通过每⼀个节点不多于⼀次的闭合通路称为单独回路，简称回路。
如果从⼀个节点开始，只经过⼀个⽀路⼜回到该节点的，称为⾃回路。
回路中所有⽀路增益之乘积叫回路增益，⽤a L 表⽰。
2.4 系统信号流图及梅逊公式
Fc(s)
cs
例 ：绘制如图所示系统的方块图
R1 i1(t) ui(t) C1
A
R2
i2(t)
uA(t)
u0(t)
C2
U i s - U A s = R1 I 1 s
拉氏变换后方程组
U A s - U 0 s = R2 I 2 s 1 I2 s = U0 s c2 s
Ө(t)
D
f(t)
P74 2-25 已知：f(t)为输入力，θ(t) 为轴的输出转角，弹簧刚度k,轴的 转动惯量J，阻尼系数D,轴的半径r， 求系统的传递函数。
解：该系统可以看作是一个质量、弹簧、 阻尼系统。
对于质量,这里用转动惯量J来代替。 对J、k、D分别列方程，有
J t f t r TK TD
1 I1 s - I 2 s = UA s c1 s
各环节的方块图如下所示。
Ui s -U A s = R1 I1 s
Ui(s)
+
1/R1
I1(s)
1 I1 s I 2 s UA s c1s
I1(s)
TK K t TD D t
J t f t r K t D t J t D t K t f t r
拉氏变换后，得 2 Js s Ds s K s F s r
X0(s)
H(S)
-H(s)
从图中可以我们可以定义： 通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 节点：用来表示变量或信号的点，像输 回路：起点与终点重合且与任何节点 前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通 入节点、输出节点、比较点以及引出点， 支路：定向线段，箭头表明信号的流向， 相交不多于一次的通路。 过任何节点不多于一次的通路。 标明有传递函数。 用符号“。”表示。
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
1 1
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
2-7 第七节 信号流图及梅逊公式
第七节 信号流图及梅逊公式一、信号流图信号流图——控制系统中信号传递关系的图解描述。
（相比方块图其符号简单，更容易绘制）1、组成（1）节点用“○”表示，标志系统的变量（输入、输出及中间变量），变量值为所有输入到该节点的信号之代数总和。
根据节点的输入输出特点又细分为：增益。
支路表示连接的两个节点变量之间的关系，2、（1节点的信号之代数和，与输出无关。
从同一节点流出的信号均等于该节点变量，与流入312X AX BX =+ 43X CX = 53X DX =（2）信号在支路上沿箭头方向单向传递。
（3）支路相当于一个乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一个信号。
（支路增益为“1”时，可不标出） （4）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出支路，可以从信号流图中分离出系统变量。
即变混合节点为汇节点，分离前二、由方块图到信号流图方块图 信号流图信号线节点信号线上传递的信号节点变量方块及传递函数支路传递方向及增益引出点出支路比较点入支路方块图中一条信号线就对应一个节点。
例例3：画出如图机械系统输入力()f t，⎪⎩112122222()()()()()()()()()()()()1122111122222F s K BS X s X s m S X s K BS X s X s K X s m S X s ⎧2⎡⎤−+−⎣⎦⎪⎪=⎪⇒⎨⎡⎤+−−⎪⎣⎦⎪=⎪⎩12由图知，系统有三个变量()f t 、()1x t 、()2x t ，它们对应()F s 、()1X s 、()2X s将其写成依次单向关系。
由2式推出()()()()()()22212111212221m S K K BS X s K BS X s K BS X s X s m S K K BS +++=++⇒=+++由1式加2式推出()()()()()()()()22112222122211m S X s F s K m S X s 2X s F s K m S X m S =−+s ⎡⎤⇒=−+⎣⎦简化）外，用的最多的却是梅逊增益公式。
2.2-6传递函数
d d d a0 n c(t) +a1 n1 c(t) ++an1 c(t) +anc(t) dt dt dt m m1 d d d =b0 m r(t) +b m1 r(t) ++bm1 r(t) +bmr(t) 1 dt dt dt
n
n1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入， y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 为系统的输出 为系统输入 初始条件下，对上式两边取拉氏变换， 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为： 系统传递函数为：
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例： 以上一节RLC电路的微分方程为例： RLC电路的微分方程为例
d 2 u C (t ) du C ( t ) LC + RC + u C (t ) = u r (t ) 2 dt dt
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到： 设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
K(2s + 1) G(s) = s(Ts + 1)(τ 2s2 + 2ξτ s + 1)
四、控制系统的传递函数
电气网络传递函数的求取 图中z 例： 图中 1和z2为复数阻 抗，由图
I= Ur (s) Uc (s) = Z1 + Z2 Z2
图2-18 具有传递滞后的装置
即
U c ( s) Z2 = G ( s) = U r (s) Z1 + Z 2
1）R-L-C电路的传递函数 ） 电路的传递函数
U c (s ) 1 = U r (s ) LCs 2 + RCs + 1
2）弹簧 质量 阻尼器系统的传递函数 ）弹簧-质量 质量-阻尼器系统的传递函数
自动控制原理 梅森公式求系统传递函数
1 2 3 1 4
1 2 H1 2 3 H2 1 2 3
L1 G1G2H1 L2 G2G3H 2 L3 G1G2G3
P1 G1G2G3 P2 G1G4
4 H2 1 4
L4 G4H2 L5 G1G4
8
R(s)
-
G4
A
G1
G2
-B
H1
P
1
2
Pk k
k 1
G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1
1 G1H1 G3H 2 G1G2G3H1H 2 G1G3H1H 2
6
G4
求 E(s) R(s)
R
E
-
G1
G2
+
-
G3
C
+
H1
H2
P1 1, 1 1 G3H2
P2 G3G4H1H2 , 2 1
△2=1
△3=1+G2(s)H1(s)
Cs N s
P11
P2 2
P33
1 Gn sG1sG2 s Gn sG1sG3s Gn sG1sG2 sG3sH1s]
23
练习
已知系统的结构如图,求传递函数 Y , Y , Y
9
练习 求传递函数
-
G1
R
Y
-
-
G2
GY
G2 G1 G1G2 G1G2
R 1 G2 G1 G1G2 G1G2 G1G2
G2 G1 2G1G2 1 G2 G1 3G1G2
10
2.3.5 闭环控制系统的传递函数
2-4-2信号流图及梅逊公式
果关
2.信号流图的性质
l信号流图适用于线性系统。
l支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。
l在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。
l具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。
l对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。
的方
一节点，
节点
小圆圈
条
＝
1
4条
：系统有单个路条,两两互不接路7
求：
2.4.6 闭环系统的传递函数。
第2章第5节信号流图和梅逊公式
+ G1 (s)G2 (s)G7 (s)[1 + G4 (s)G8 (s)]}/[1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)]
增益
x1
节点
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
a 21
支路
x2
节点
x2 = a21 x1
3
一、由线性方程组绘制信号流图
例2-12
设一线性系统由下列方程组描述
x 2 = a 21 x1 + a 23 x3 + a 24 x 4 + a 25 x5
x3 = a32 x 2
x 4 = a 43 x3 + a 44 x 4
∆(s) = 1 − N1 (s) + N 2 (s) − N 3 (s) + L
N 2 ( s) = L1 ( s) L2 ( s)
= 1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)
11
L3 = G6 ( s )G4 ( s )G5 ( s )(−G9 ( s ))
J.Z. G7 G3 G4 －G8 G5
L2
C(s)
G1
G2
自动控制原理 第二章 梅森公式信号流图
Uo(s)
-1
Ui ( s )
1/R1
IC(s)
1/C1s
1/R2
1/C2s
I2(s)
Uo ( s ) Uo ( s )
U(s)
-1
-1
例3 已知系统信号流图，求传递函数。
L1 G 2 H 2 解：三个回路：
-H1 R G1 G2 G3 C -H2 G4
L 2 G 1G 2 H 2
L 3 G 2G 3 H1
信号流图的绘制
由系统结构图绘制信号流图 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。
注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)
(节点)
G ( s)
(节点) (支路)
D ( s) R(s) E(s) G ( s) (- ) 1 V(s)G (s) 2 H ( s)
ab c d + e d (1 – b g) C(s) = R(s) 1 – a f – b g – ch– e h g f + af c h
信号流图
• 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信 号的代数和，用“O”表示； 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变 成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 x6 信号流图中常用的名词术语： x5 x1 • 源节点（输入节点）： x3 x7 I(s) x4 x2 o在源节点上，只有信号输出 1/R1 1+R1C1s R2 支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。 -1 •阱节点（输出节点）： 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它 一般代表系统的输出变量。
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+
1 Ln LrLsLt
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
例2-7 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数 C(S)
R(S)
图2-45 例2-7图
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
解： P1 G1G2G3.
路 开通路—通路与任一节点相交不多于一次
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
闭通路—通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节 点相交不多于一次
6）前向通路—从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节 点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路
7）回路—就是闭环通路 8）不接触回路—如果一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘积。 10）回路增益—回路中多支路增益的乘积。
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的性质 (1)信号流图只适用于线性系统。 (2)支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信 号只能沿着支路上的箭头指向传递 (3)在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把 相加后的信号传送到所有的输出支路。
(4)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理。 (5)对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的， 这是由于描述的方程可以表示为不同的形式。
参考输入误差的传递函数为
CR(s) ER(s)G1(s)G2(s)
CR(s)
G1( s )G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
ER(s)G1(s)G2(s)
G1( s )G 2( s )
R( s )
1 G1(s)G2(s)H (s)
ER(s)
1
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
节点表示系统中的变量；
两变量之间的因果关系用一被称为支路的有向线段 来表示，支路的方向用箭头标明，信号只能沿箭头 指向单向传递。
两变量间的因果关系又称增益，标明在相应的支
路旁。
x2 a12 x1
式中x1 输入量,x2 输出量, a12是这两个量间的增益
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
x2 a12x1 a32x3 a42x4 a52x5
x3 a23x2
x4 a34x3 a44x4
x5 a35x3 a45x4
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的术语和性质 1）节点—代表系统中的变量,等于所有流入该节点的信号之和。 2）支路—信号在支路上按箭头指向由一个节点流向另一个节点 3）输入节点或源点—相当于自变量，它只有输出支路 4）输出节点或阱点—它是只有输入支路的节点，对应于因变量 5）通路—沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图 ❖ 源节点 ❖ 阱节点 ❖ 混合节点 ❖ 支路 ❖ 支路增益 ❖ 前向通路 ❖ 回路 ❖ 互不接触回路
结构图 输入信号 输出信号 比较点，引出点 环节 环节传递函数
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
输入节点与输出节点间的传输等于着两个节点之间的总增
益或总传输。计算总增益的梅逊公式为
T 1
Pkk
式中，T为系统的总增益；P为k 第k条前向通路的增益或传输；
k 为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值， 称为第k条前向通路特征式的余因子；为信号流图的特征式。
按下式计算 =1-（所有不同回路增益之和）+（所有两个互不接触回路
增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
3.扰动D(s)作用下的闭环传递函数
CD(s) 表示由扰动作用引起的系统输出。CD(s与) D(s)的比值，称
为扰动作用下的闭环传递函数，即为
CD(s)
G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
ED(s) G2(s)H(s) D(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
1 1
Ln G1G2 H1 G2G3H2 G1G2G3
绘制信号流图的过程
首先按照节点的次序绘出各节点；
然后根据各方程式绘制各支路；
当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的
信号流图。
x2 a12x1 a32 x3 a42 x4 a52x5
x3 a23x2 x4 a34x3 a44 x4
x5 a35x3 a45x4
《自动控制理论》
2.参考输入作用下的闭环传递函数
CR (s)和 ER(分s) 别为R(s)作用的输出和误差。系统的输出 CR (s)
与参考输出R(s)之比，称为在参考输入作用下的闭环传递函 数，即为
CR(s)
G1( s )G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
信号流图是线性方程组中变量间关系的一种图示法。把 它应用于线性系统时，必须将系统的微分方程变成以s为变 量的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式，即
n
Xj(s) Gkj(s)Xk(s), k 1
j 1,2, , n
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路。
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
设系统如图2-38所示,图中R(s)—参数输入, D(s)—扰动
图2-38 控制系统的框图
1. 开环传递函数
系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即
B E
s s
= G1
s
G2
s
H
s
(2-48)
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
《自动控制理论》
§2的图解描述反馈系统的方法。但 当系统的回环增多时，对框图的简化和推导它的传递函数就很 麻烦，且易出错。由梅逊（S·J·Mason）提出的信号流图， 不仅具有框图表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方 便地写出系统的传递函数，因此，信号流图在控制工程中也被 广泛地应用。
1 Ln LrLsLt
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
例2-7 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数 C(S)
R(S)
图2-45 例2-7图
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
解： P1 G1G2G3.
路 开通路—通路与任一节点相交不多于一次
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
闭通路—通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节 点相交不多于一次
6）前向通路—从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节 点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路
7）回路—就是闭环通路 8）不接触回路—如果一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘积。 10）回路增益—回路中多支路增益的乘积。
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的性质 (1)信号流图只适用于线性系统。 (2)支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信 号只能沿着支路上的箭头指向传递 (3)在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把 相加后的信号传送到所有的输出支路。
(4)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理。 (5)对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的， 这是由于描述的方程可以表示为不同的形式。
参考输入误差的传递函数为
CR(s) ER(s)G1(s)G2(s)
CR(s)
G1( s )G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
ER(s)G1(s)G2(s)
G1( s )G 2( s )
R( s )
1 G1(s)G2(s)H (s)
ER(s)
1
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
节点表示系统中的变量；
两变量之间的因果关系用一被称为支路的有向线段 来表示，支路的方向用箭头标明，信号只能沿箭头 指向单向传递。
两变量间的因果关系又称增益，标明在相应的支
路旁。
x2 a12 x1
式中x1 输入量,x2 输出量, a12是这两个量间的增益
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
x2 a12x1 a32x3 a42x4 a52x5
x3 a23x2
x4 a34x3 a44x4
x5 a35x3 a45x4
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的术语和性质 1）节点—代表系统中的变量,等于所有流入该节点的信号之和。 2）支路—信号在支路上按箭头指向由一个节点流向另一个节点 3）输入节点或源点—相当于自变量，它只有输出支路 4）输出节点或阱点—它是只有输入支路的节点，对应于因变量 5）通路—沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图 ❖ 源节点 ❖ 阱节点 ❖ 混合节点 ❖ 支路 ❖ 支路增益 ❖ 前向通路 ❖ 回路 ❖ 互不接触回路
结构图 输入信号 输出信号 比较点，引出点 环节 环节传递函数
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
输入节点与输出节点间的传输等于着两个节点之间的总增
益或总传输。计算总增益的梅逊公式为
T 1
Pkk
式中，T为系统的总增益；P为k 第k条前向通路的增益或传输；
k 为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值， 称为第k条前向通路特征式的余因子；为信号流图的特征式。
按下式计算 =1-（所有不同回路增益之和）+（所有两个互不接触回路
增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
3.扰动D(s)作用下的闭环传递函数
CD(s) 表示由扰动作用引起的系统输出。CD(s与) D(s)的比值，称
为扰动作用下的闭环传递函数，即为
CD(s)
G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
ED(s) G2(s)H(s) D(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
1 1
Ln G1G2 H1 G2G3H2 G1G2G3
绘制信号流图的过程
首先按照节点的次序绘出各节点；
然后根据各方程式绘制各支路；
当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的
信号流图。
x2 a12x1 a32 x3 a42 x4 a52x5
x3 a23x2 x4 a34x3 a44 x4
x5 a35x3 a45x4
《自动控制理论》
2.参考输入作用下的闭环传递函数
CR (s)和 ER(分s) 别为R(s)作用的输出和误差。系统的输出 CR (s)
与参考输出R(s)之比，称为在参考输入作用下的闭环传递函 数，即为
CR(s)
G1( s )G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
信号流图是线性方程组中变量间关系的一种图示法。把 它应用于线性系统时，必须将系统的微分方程变成以s为变 量的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式，即
n
Xj(s) Gkj(s)Xk(s), k 1
j 1,2, , n
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路。
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
设系统如图2-38所示,图中R(s)—参数输入, D(s)—扰动
图2-38 控制系统的框图
1. 开环传递函数
系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即
B E
s s
= G1
s
G2
s
H
s
(2-48)
《自动控制理论》
§2.5 控制系统的传递函数
《自动控制理论》
§2的图解描述反馈系统的方法。但 当系统的回环增多时，对框图的简化和推导它的传递函数就很 麻烦，且易出错。由梅逊（S·J·Mason）提出的信号流图， 不仅具有框图表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方 便地写出系统的传递函数，因此，信号流图在控制工程中也被 广泛地应用。