【精选】第4讲高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声

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高斯白噪声（whiteGaussiannoise，WGN）

⾼斯⽩噪声（whiteGaussiannoise，WGN）本⽂科普⼀下⾼斯⽩噪声（white Gaussian noise，WGN）。

百度百科上解释为“⾼斯⽩噪声，幅度分布服从⾼斯分布，功率谱密度服从均匀分布”，听起来有些晦涩难懂，下⾯结合例⼦通俗⽽详细地介绍⼀下。

⽩噪声，如同⽩光⼀样，是所有颜⾊的光叠加⽽成，不同颜⾊的光本质区别是的它们的频率各不相同（如红⾊光波长长⽽频率低，相应的，紫⾊光波长短⽽频率⾼）。

⽩噪声在功率谱上（若以频率为横轴，信号幅度的平⽅为功率）趋近为常值，即噪声频率丰富，在整个频谱上都有成分，即从低频到⾼频，低频指的是信号不变或缓慢变化，⾼频指的是信号突变。

由傅⾥叶变换性质可知，时域有限，频域⽆限；频域有限，时域⽆限。

那么频域⽆限的信号变换到时域上，对应于冲击函数的整数倍（由公式也可推得：）。

即说明在时间轴的某点上，噪声孤⽴，与其它点的噪声⽆关，也就是说，该点噪声幅值可以任意，不受前后点噪声幅值影响。

简⽽⾔之，任意时刻出现的噪声幅值都是随机的（这句话实际上说的就是功率谱密度服从均与分布的意思，不同的是，前者从时域⾓度描述，⽽后者是从频域⾓度描述）。

这⾥要指出功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）的概念，它从频域⾓度出发，定义了信号的功率是如何随频率分布的，即以频率为横轴，功率为纵轴。

既然⽩噪声信号是“随机”的，那么反过来，什么叫做“相关”呢？顾名思义，相关就是某⼀时刻的噪声点不孤⽴，和其它时刻的噪声幅值有关。

其实相关的情况有很多种，⽐如此时刻的噪声幅值⽐上⼀时刻的⼤，⽽下⼀时刻的噪声幅值⽐此时刻的还⼤，即信号的幅值在时间轴上按从⼩到⼤的顺序排列。

除此之外，幅值从⼤到⼩，或幅值⼀⼤⼀⼩等都叫做“相关”，⽽⾮“随机”的。

解释完了“⽩噪声”，再来谈谈“⾼斯分布”。

⾼斯分布，⼜名正态分布（normal distribution）。

概率密度函数曲线的形状⼜两个参数决定：平均值和⽅差。

04预备知识：高斯随机过程

0->1
白噪声
信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
n0 P （） 2 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即
n0 R ( ) 2
输入直流分量与直流增益的积
随机过程通过线性系统
• 输出过程的自相关函数
R（ E[（t1）（t 2） ] t1， t 2）
E h( u) ( t1 u)du h(v ) ( t 2 v )dv

h( u)h(v ) E ( t1 u) ( t 2 v )dvdu
预备知识（三）
高斯随机过程通信原理第四讲
随机过程（噪声信号）示例
利用随机过程基础解决通信中问题
随机过程ξ(t)（噪声、信号）
统计、观测、计算最终求出功率谱，从而获得了频率域通信系统中所遇到的信号如果平稳上的功率分布，获得其带宽、功率性与噪声一般都能满足各态与时间起点无关能，达到了研究通信系统的目的历经条件 2
f ( x )dx 1 f ( x )dx

a
1 f ( x )dx 2
一维高斯分布的数值计算
• 在通信系统中，通常需要计算随机变量X大于某常数的概率：
P（ X C )

C
f ( x )d x
无法直接计算出
( x a )2 1 e xp dx 2 C 2 2 xa z
随机过程通过线性系统
• 平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立

第4讲高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声

r(t) Acos (ct ) n(t)
其中：
(2.7.1)
Acos (ct )
---正弦载波:假定A、ωc为常数;θ为随机变量，其一维 pdf 均匀分布，即： f(θ)=1/(2π)， 0≤θ≤2π
n(t) nc (t) cosct ns (t) sin ct (t) c (t) cosct s (t)sin ct
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章随机过程
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1
et2 / 2dt
2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
通信原理
第2章随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理
第2章随机过程
2.5.3 已知ξ(t)的统计特性，求 aξ(t)、φξ(t)的统计特性
结论2
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
若ξ(t)：均值为0、方差为δ2、窄带平稳高斯随机过程。
则：
（1）其包络aξ(t)的一维分布呈瑞利分布；（2）其相位φξ(t)的一维分布呈均匀分布；（3） aξ(t)与φξ(t)统计独立。

高斯随机过程

若统计独立，则必不相关；反若不相关，则统计独之，则不然，即：若不相关，立。
则不一定统计独立。
若狭义平稳，则必广义平稳；若广义平稳，则狭义反之，则不然，即：若广义平平稳。稳，则不一定狭义平稳。
高斯分布函数的计算--查表法（附录B）
x
F (x) p( x)
1
2
R(t1,t2)= R(t1,t1+τ)= E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ = R(τ)

x1x2
f2 (x1,
x2 ;
)dx1dx2

R( )
仅是时间间隔τ=t2-t1的函数
平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值为常数；自
相关函数只与时间间隔τ有关，R(t1,t1+τ)=R(τ)
(t,
t

) E[ (t)

1 2
E{cosw0
(t )] E[sin(w0t
cos[w0 (t2 t1) 2 ]}
) sin(w0 (t

)

)]
(2)

1 2
cosw0
0

1 2
cosw0

R( )
可见:ξ(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关，所以ξ(t)为广义平稳随机过程。
f (z)
1
2
蓝线下面积为为F(x)
Q(x)函数：
Q(x) 1 et2 / 2dt
2 x
红线下面积为Q函数
x
z
[例3.2-2]
Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是一随机过程。若X1、X2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，求：

樊昌信《通信原理》(第7版)章节题库(随机信号)【圣才出品】

第3章随机信号一、选择题某二进制随机信号的功率谱密度计算公式为则该信号（）。

A ．含有f s 谐波分量 B ．不含f s 谐波分量 C ．不含直流分量 D ．含有2f s 谐波分量【答案】B二、填空题1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与______无关，二维分布只与______有关。

【答案】时间；时间间隔【解析】平稳随机过程其一维概率密度函数与时间t 无关，即1111(,)()f x t f x =；而二维分布函数只与时间间隔τ＝t 2－t 1有关，即21212212(,;,)(,;)f x x t t f x x τ=。

2．一个均值为零、方差为σ2的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是______过程，均值为______，方差为______。

【答案】平稳高斯；0；2n σ【解析】由结论可知，一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。

此外，在同一时刻上得到的同相分量和正交分量是互不相关的或统计独立的。

3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是______，其相位的一维分布是______。

【答案】瑞利分布；均匀分布【解析】在窄带高斯随机过程中，对于均值为0、方差为σ2的平稳高斯窄带过程，其包络和相位的一维分布分别为瑞利分布和均匀分布，且两者统计独立。

4．高斯白噪声在______时刻上，随机变量之间不相关，且统计独立。

【答案】不同【解析】由白噪声的自相关函数()()02n R τδτ=知高斯白噪声在不同时刻上（即τ＝0）变量之间不相关且统计独立。

5．设n （t ）为高斯白噪声，则合成波通过中心频率为ω1的窄带滤波器后的输出包络服从______分布；若r （t ）通过中心频率为ω2的窄带滤波器，则输出包络服从______分布。

【答案】莱斯分布（广义瑞利分布）；瑞利分布【解析】正弦波加窄带高斯噪声的包络分布f （z ）与信噪比有关。

高斯噪声和白噪声

(1.2.69)
Phys. Meaning: The N Gaussian variables will be statistical each other, if
物理含义: 如果N个高斯随机变量之间是互不相关的,则它们之间也是统计独立的。
4、满足高斯分布的充分条件：
The sufficient & necessary condition for RV to obey Gaussian distribution
(1.2.67)
where M is the matrix of the joint 2-order center moment （联合二阶中心矩） of the RV, M is its determinant (行列式), of the element
M ik is the surplus factor (余因子）
• 单（多）脉冲噪声：瞬态分析法
Single (multiplex) pulse noises: instantaneous analysis
一、高斯噪声（依噪声幅度分布特性判定）
Gaussian Noise: Judged according to the magnitude distribution feature
The linear combination of Gaussian noise is still a Gaussian noise.
<2> 高斯噪声与一固定数值相加的结果只改变噪声平均值,不改变其它特性 The results of a Gaussian noise plus a fixed value
（2）性质: 由纯正弦单色光波或宽带热辐射光束产生的光子计数，服从泊松分布。

(第六组)3.7高斯白噪声和带限白噪声.

高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
Team 6
谢谢
Team 6
Team 6
高斯白噪声和带限白噪声
本节学习重点：
1.白噪声 2.带限白噪声
（1）低通白噪声（2）带通白噪声
3.高斯白噪声
Team 6
1.白噪声
定义:如果噪声的功率谱密度在所有频率上为一常数，即
Pn (
f
)

n0 2
f (W/Hz)
(3.7-1)双边功率谱密度
2
R () n0 2 ()
0
f
0

图3-6 白噪声的功率谱密度和自相关函数
由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即
Team 6
关于白噪声：
白噪声中“白”的含义与光学中的“白”相同，白光指实在际电中磁，辐热射噪可声见频范率围范内围所为有频0 率~1分01量2 H的z，数功值率都谱相密等。
Pn ( f
)=
ìïïïïíïïïïî
n0 2
0
f £ fH 其它
自相关函数：
R(t
)=
n0
fH
sin 2p fH t 2p fH t
= Sa(2p fH t )
Team 6
n0
Pn ( f )
2
R( )
1 / 2 fH
1/ 2 fH
f

fH
0
fH
0
图3-7 带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
ò 自相关函数：R(t ) =
¥ -?
Pn ( f )e j2p f t df
=
n0

随机实验理想白噪声和带限白噪声的产生与分析

实验八理想白噪声和带限白噪声的产生与分析１．实验目的了解理想白噪声和带限白噪声的基本概念并能够区分它们，掌握用matlab或c/c++软件仿真和分析理想白噪声和带限白噪声的方法。

⒉实验原理所谓白噪声是指它的概率统计特性服从某种分布而它的功率谱密度又是均匀的。

确切的说，白噪声只是一种理想化的模型，因为实际的噪声功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。

然而白噪声在数学处理上比较方便，所以它在通信系统的分析中有十分重要的作用。

一般地说，只要噪声的功率谱密度的宽度远大于它所作用的系统的带宽，并且在系统的带内，它的功率谱密度基本上是常数，就可以作为白噪声处理了。

白噪声的功率谱密度为：其中为单边功率谱密度。

2 ) ( 0 N f S n 0 N白噪声的自相关函数位：白噪声的自相关函数是位于τ =0 处，强度为的冲击函数。

这表明白噪声在任何两个不同的瞬间的取值是不相关的。

同时也意味着白噪声能随时间无限快的变化，因为它含一切频率分量而无限宽的带宽。

) ( 20 N R ）（ 20 N若一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。

带限白噪声分为低通型和带通型。

⒊实验任务与要求⑴用matlab 或c/c++语言编写和仿真程序。

系统框图如图19、图20 所示：特性测试绘制图形低通滤波特性测试绘制图形白噪声图1 低通滤波器系统框图特性测试绘制图形带通滤波特性测试绘制图形白噪声图2 带通滤波器系统框图⑵输入信号为：高斯白噪声信号和均匀白噪声信号，图为高斯白噪声。

⑶设计一个低通滤波器和一个带通滤波器。

要求低通滤波器的通带为0KHz-2KHz、通带衰减小于1db、阻带衰减大于35db。

带通滤波器的通带为10KHz-20KHz、通带衰减小于1db、阻带衰减大于35db。

⑷首先计算白噪声的均值、均方值、方差、概率密度、频谱及功率谱密度、自相关函数。

高斯白噪声

所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。

这是考查一个信号的两个不同方面的问题。

高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。

热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。

短波信道存在多径时延、多普勒频移和扩散、高斯白噪声干扰等复杂现象。

为了测试短波通信设备的性能，通常需要进行大量的外场实验。

相比之下，信道模拟器能够在实验室环境下进行类似的性能测试，而且测试费用少、可重复性强，可以缩短设备的研制周期。

所以自行研制信道模拟器十分必要。

信道模拟器可选用比较有代表性的Watterson 信道模型( 即高斯散射增益抽头延迟线模型) ，其中一个重要环节就是快速产生高斯白噪声序列，便于在添加多普勒扩展和高斯白噪声影响时使用。

传统的高斯白噪声发生器是在微处理器和DSP 软件系统上实现的，其仿真速度比硬件仿真器慢的多。

因此，选取FPGA 硬件平台设计高斯白噪声发生器可以实现全数字化处理，同时测试费用少、可重复性强、实时性好、速度快，能较好地满足实验需求。

本文提出了一种基于FPGA 的高斯白噪声序列的快速产生方案。

该方案根据均匀分布和高斯分布之间的映射关系，采用适合在FPGA 中实现的折线逼近法。

该方法实现简单，快速且占用的硬件资源少，而且采用VHDL 语言编写，可移植性强，并可灵活地嵌入调制解调器中使用。

1 均匀分布随机数发生 1.1 m 序列发生器伪随机噪声具有类似随机噪声的一些统计特性，且便于重复产生和处理，因此获得了广泛的应用。

m 序列就是一种常用的伪随机序列，该序列又被称作最长线性反馈移存序列。

m 序列是由线性反馈移位寄存器产生的周期最长的一种序列。

如果选用n 级线性反馈移位寄存器，则m 序列的周期为(2n-1) 。

对于m 序列来说，将n 级线性反馈移位寄存器状态看成无符号整数，则状态的取值范围为 1 ～(2n-1) ，并且在m 序列的一个周期内，移位寄存器的每种状态都会出现且只出现一次，但要注意线性反馈移位寄存器的初始状态设定为非零值，并且在给定任意非零初始状态时，m 序列的周期都不变。

高斯过程与白噪声

W
图3.11示出了低通型限带白噪声的 S X ( ) 和 R X ( )的图形，注意，时间间隔 W 为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为0，相关函数值为0）。
2. 带通型
带通型限带白噪声的功率谱密度为
S S X ( ) 0 0 W 2 W 2
0
2
2
i 1
n
( xi m i )
2

2 Xi
}

i 1
n
1 2 i
exp{
( xi mi ) 2 i
} f X ( x1 ; t1 ) f X ( x 2 ; t 2 ) f X ( x n ; t n )
即两两相互独立。
性质4：平稳正态过程与确定信号之和仍为正态分布。
正态过程的不相关与相互独立等价。性质3：
证明：若X(t)在n个不同时刻采样得到一组随机变量X1, X2,…,Xn （1）如果Xn（n＝1,2,…）两两之间相互独立，则
C X (ti , t k ) E [( X i mi )( X k m k )] E [( X i mi )] E [( X k m k )] 0
当 i k 时。所以，两两互不相关。（2）如果Xn（n＝1,2,…）两两之间互不相关，则
C X ( t i , t k ) E [( X i m i )( X k m k )]
0 2 i ik ik
所以
12 C 0
2
... ...
0 其它
由维纳—辛钦定理，得到相应的自相关
函数为
R X ( ) WS 0 sin( W / 2 )

白噪声_高斯噪声_高斯白噪声的区别

这几个概念的区别和联系：（转自：研学论坛）白噪声，就是说功率谱为一常数；也就是说，其协方差函数在delay=0时不为0，在delay不等于0时值为零；换句话说，样本点互不相关。

（条件：零均值。

）所以，“白”与“不白”是和分布没有关系的。

当随机的从高斯分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“高斯白噪声”；同理，当随机的从均匀分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“均匀白噪声”。

那么，是否有“非白的高斯”噪声呢？答案是肯定的，这就是”高斯色噪声“。

这种噪声其分布是高斯的，但是它的频谱不是一个常数，或者说，对高斯信号采样的时候不是随机采样的，而是按照某种规律来采样的。

仿真时经常采用高斯白噪声是因为实际系统（包括雷达和通信系统等大多数电子系统）中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪声，高斯噪声下的理想系统都是线性系统。

相关讨论：1、白噪声是指功率谱在整个频域内为常数的噪声，其付氏反变换是单位冲击函数的n倍（n取决于功率谱的大小），说明噪声自相关函数在t=0时不为零，其他时刻都为0，自相关性最强。

高斯噪声是一种随机噪声，其幅度的统计规律服从高斯分布。

高斯白噪声是幅度统计规律服从高斯分布而功率谱为常数的噪声如果在系统通带内功率谱为常数，成为带限白噪声“高斯”与“白”没有直接关系，有时人们还会提出高斯型噪声，这指的是噪声功率谱呈高斯分布函数的形状而已。

2、有一个问题我想提出来：连续白噪声和离散白噪声序列的关系是什么？它们之间不应该是简单的采样关系。

因为连续白噪声的功率谱在整个频率轴上为常数，按照随机信号采样定理，对这样的信号采样，采样后的序列的功率谱必然发生混叠，而且混叠过后的功率谱是什么？应该是在整个频率轴上都为无穷大。

这显然不满足离散白噪声序列的定义。

那离散白噪声序列跟连续白噪声有何关系？我觉得是对带限的连续白噪声进行采样后得到的，这个带限的连续白噪声信号的带宽刚好满足Nyquist抽样定理。

高斯白噪声和带限白噪声

高斯白噪声和带限白噪声1．白噪声（1）白噪声的定义如果噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数，即或式中，n0为正常数，则称该噪声为白噪声，用n(t)表示。

（2）白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数为（3-1-3）由式（3-1-3）可知，对于所有的都有，表明白噪声仅在时才相关，在任意两个时刻的随机变量不相关。

（3）白噪声的平均功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即（4）高斯白噪声①高斯白噪声的定义高斯白噪声是取值的概率分布服从高斯分布的白噪声。

②高斯白噪声的性质高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

2．低通白噪声（1）低通白噪声的定义低通白噪声是通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道输出的白噪声，用n(t)表示。

（2）低通白噪声的功率谱密度假设理想低通滤波器具有模为1、截止频率为｜f｜≤f H的传输特性，则低通白噪声对应的功率谱密度为（3）低通白噪声的自相关函数①自相关函数表达式②自相关函数的性质由图3-2（b）可以看出，只有在上得到的随机变量才不相关。

（4）低通白噪声的功率谱密度和自相关函数的图形表示图3-2 低通白噪声的功率谱密度和自相关函数3．带通白噪声（1）带通白噪声的定义带通白噪声是指通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道输出的白噪声，用n(t)表示。

（2）带通白噪声的功率谱密度假设理想带通滤波器的传输特性为则输出噪声的功率谱密度为（3）带通白噪声的自相关函数（4）带通白噪声的功率谱密度和自相关函数的图形表示图3-3 带通白噪声的功率谱密度和自相关函数（5）带通白噪声的平均功率其中，B是指理想矩形的带通滤波器的带宽。

高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声

信号处理
带限白噪声在信号处理中常被用作测试信号或输入信号，用于评估滤波器、频谱分析等算法的性能。
05
总结与比较
三种随机过程的比较
高斯随机过程
具有高斯分布的随机变量序列，其概率密度函数为正态分布。具有连续的均值和方差，且各变量之间存在线性关系。
高斯白噪声
一种特殊的随机过程，具有高斯分布的随机变量，且各变量之间相互独立。其功率谱密度为常数，即具有平坦的频率特性。
04
带限白噪声
带限白噪声的定义
01
带限白噪声是指在一定带宽限制下，功率谱密度均匀分布的随机信号。
02
它是一种理想化的模型，用于描述在特定频率范围内具有恒定功率密度的随机信号。
带限白噪声的性质
功率谱密度
带限白噪声的功率谱密度在整个频率范围内是恒定的，表示其具有均匀的频率分布。
随机性
适用于描述具有平坦频率特性的信号，如通信系统中的噪声干扰。优点
是功率谱密度计算简单，缺点是难以描述具有特定频率特性的现象。
03
带限白噪声
适用于描述在一定频率范围内具有恒定功率谱密度的信号，如音频信号
中的噪声成分。优点是能够描述特定频率范围内的信号特性，缺点是计
算功率谱密度时需要考虑边界条件。
THANKS
感谢观看
在统计学中，许多重要的分布都可以通过高斯随机过程进行建模和推断。
在物理和工程领域，许多自然现象和人工系统都可以用高斯随机过程进行描述和分析。
03
高斯白噪声
高斯白噪声的定义
总结词
高斯白噪声是一种随机信号，其特点是具有高斯分布的幅度和均匀分布的频率。
详细描述
高斯白噪声是指其幅度服从高斯分布（也称为正态分布）的随机信号。同时，它的功率谱密度是均匀分布的，这意味着它的频率成分是均匀分布在整个频带内的。